K A N T O N S S C H U L E I M L E E MATHEMATIK. Grafiktaschenrechner ohne CAS, beliebige Formelsammlung

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1 K A N T O N S S C H U L E I M L E E W I N T E R T H U R MATURITÄTSPRÜFUNGEN 06 Klasse: 4g Profil: MN Lehrperson: Rolf Kleiner MATHEMATIK Zeit: 3 Stunden Erlaubte Hilfsmittel: Grafiktaschenrechner ohne CAS, beliebige Formelsammlung Bemerkungen: Die Prüfung enthält 8 Aufgaben mit 00 Punkten. Lösen Sie jede Aufgabe auf ein separates A4-Blatt. Schreiben Sie Ihre Lösungswege klar nachvollziehbar auf. Geben Sie numerische Ergebnisse wenn möglich eakt, andernfalls sinnvoll gerundet an.

2 Maturitätsprüfung 06 Klasse 4g MN Mathematik Seite von 3. [8P] Gegeben ist die Funktion f ( ) = e (siehe Figur). a) Bestimmen Sie den spitzen Winkel, unter welchem der Graph der Funktion f die y -Achse schneidet. b) Die ins Unendliche reichende Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f, der Tangente im y -Achsenabschnitt des Graphen und der negativen -Achse (siehe Figur) wird um die -Achse rotiert. Bestimmen Sie den eakten Wert für das Volumen des Rotationskörpers. c) Zwischen dem Graphen von f der Geraden g = e (wie oben) und = wird über dem Intervall [ c, c +] eine Fläche eingeschlossen (siehe Figur). Bestimmen Sie den eakten Wert des Parameters c, für welchen dieser Flächeninhalt minimal wird.. [6P] Gegeben ist die Funktion f (siehe Figur). a) Zeigen Sie formal mit Hilfe der Funktionsgleichung, dass der Graph der Funktion symmetrisch zur y -Achse ist. b) Der Punkt Z u,v liegt auf dem Graphen der Funktion, wobei u > 0 und v < 0 (siehe Figur). Z u,v entsteht durch Spiegelung von Z an der y -Achse. Z, Z und O 0,0 bilden die Ecken des Dreiecks OZ Z. Bei Rotation dieses Dreiecks um die y -Achse entsteht ein Kegel. Bestimmen Sie den Grenzwert des Kegelvolumens, wenn der Punkt Z y -Achse) wandert. = 4 entlang des Graphen nach unten (d. h. in Richtung negativer 3. [8P] Eine Polynomfunktion dritten Grades y = a 3 + b + c + d hat in = sowohl eine Nullstelle als auch eine Etremstelle. Ausserdem hat der Graph von f im Punkt P, 8 die Steigung 6. Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b, c und d. 00 = ln k 4. [] Gegeben ist die Funktion f. k = Bestimmen Sie einen vereinfachten Ausdruck für die erste Ableitung f '.

3 Maturitätsprüfung 06 Klasse 4g MN Mathematik Seite von 3 5. [5P] Gegeben ist die Funktion f ( ) = cos( ). a) Bestimmen Sie einen eakten Wert für die kleinste positive Nullstelle von f. b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Trapezmethode und fünf Teilintervallen einen Näherungswert für den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und den beiden Koordinatenachsen (siehe Figur). c) Erklären Sie nur auf Grund des Graphen in der Figur (ohne Berechnungen), ob der Näherungswert aus Aufgabe b) zu gross oder zu klein ist. Es sei w die kleinste positive Wendestelle von f. d) Zeigen Sie, dass w eine Nullstelle der Funktion = sin n + cos( ) ist. e) Illustrieren und erklären Sie mit Hilfe einer groben Skizze des Graphen der Funktion = sin n, warum = ein ungünstiger Startwert wäre, um w mit dem Newtonverfahren anzunähern. f) Geben Sie mit Hilfe Ihres Grafiktaschenrechners die Koordinaten des Wendepunkts W,y W + cos( ) von f auf 4 Dezimalen genau an. 6. [P] Gegeben sind die Ebene ε : + 6y 6z 9 = 0 und die Ebene ε, welche durch die Punkte A(,0,0 ), B (,,9) und D ( 5,9,) definiert ist. a) Beweisen Sie, dass A, B und D die Ecken eines gleichschenkligrechtwinkligen Dreiecks mit rechtem Winkel bei der Ecke A bilden. b) Bestimmen Sie den Punkt C so, dass ABCD ein Quadrat bildet. c) Bestimmen Sie den Winkel zwischen der Ebene und der -y-ebene. d) Beweisen Sie, dass die beiden Ebenen ε und ε parallel sind. e) Bestimmen Sie den Abstand zwischen den beiden Ebenen ε und ε. f) Bestimmen Sie eine Gleichung der Kugel mit folgenden Eigenschaften: () Der Mittelpunkt der Kugel ist der Mittelpunkt der Strecke BD. () Die Ebene ε ist Tangentialebene der Kugel. g) Die Ebene ε 3 steht senkrecht auf ε und enthält die Punkte B und D. Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von ε und ε 3. ε

4 Maturitätsprüfung 06 Klasse 4g MN Mathematik Seite 3 von 3. [P] Ein gerader Kreiskegel hat die Spitze S 6,,9. Der Grundkreis liegt in der Ebene ε : 9 6y + z +4 = 0 und enthält den Punkt P 0,, 0. a) Zeigen Sie, dass der Punkt P in der Ebene ε liegt. b) Bestimmen Sie den Neigungswinkel der Mantellinie SP bezüglich der Grundkreisebene ε. c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M des Grundkreises. d) Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Grundkreis durch P. (Diese Tangente liegt natürlich ebenfalls in der Ebene ε.) 8. [P] Eine Urne enthält 6 schwarze und 4 rote Kugeln. Es werden nacheinander drei Kugeln ohne Zurücklegen aus der Urne entnommen. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei der drei Kugeln schwarz sind, lässt sich folgendermassen berechnen: P ( ) = =. a) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Anzahl entnommener schwarzer Kugeln. Das Eperiment wird nun 00 Mal wiederholt, wobei jeweils nach jeder Entnahme von drei Kugeln dieselbe Ausgangslage mit 6 schwarzen und 4 roten Kugeln in der Urne wiederhergestellt wird. b) Insgesamt wurden 60 schwarze Kugeln entnommen. Bestimmen Sie, ob gemäss der µ ± σ -Regel diese Anzahl (also 60 von maimal 300 schwarzen Kugeln) als normal betrachtet werden soll. c) Erklären Sie mit oder ohne Berechnung, ob die Standardabweichung grösser, gleich gross oder kleiner gewesen wäre, wenn jede entnommene Kugel sofort zurückgelegt worden wäre. A und B spielen ein Spiel. Und zwar gewinnt A, wenn alle drei entnommenen Kugeln schwarz sind. B gewinnt, wenn mindestens zwei Kugeln rot sind. Sonst ist es unentschieden. d) Bestimmen Sie die Gewinn-Wahrscheinlichkeiten für beide Spieler sowie die Wahrscheinlichkeit eines Unentschiedens. e) Das erste Spiel gewinnt B. Bestimmen Sie für diesen Fall die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Kugel schwarz war. f) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass A von den nächsten 0 Spielen mindestens 4 Spiele gewinnt. g) Am nächsten Tag wollen A und B so viele Male spielen, dass es mit einer Wahrscheinlichkeit von % nicht jedes Mal unentschieden endet, sondern dass es zu mindestens einem Sieg kommt. Bestimmen Sie, wie viele Spiele mindestens gespielt werden müssen. h) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnen wird, wenn die Spieler so lange spielen, bis einer der beiden gewonnen hat. Ende Prüfung

5 Resultate Maturitätsprüfung 06 Klasse 4g MN Mathematik. a) f '( ) = e f '( 0) = ϕ = 90 arctan( ) ϕ = b) V = π ( e ) d V 3 Kegel ; ( e ) d = ( e 4 ) d = e4 0 = 4 Nullstelle der Tangente = 0.5 h Kegel = 0.5 V Kegel = 3 π 0.5 = π 6 V = π 4 π 6 V = π 0.68 P +P ; +P c) A c c+ d A' c = e c ( ( c + )) ec c = e c+ umständlicher: A( c) = e c + c =... A' ( c) =... 5 A' ( c) = 0 : e c+ e c = 0 6 e c e e c = ( e )e c = c = ln e P. a) f = ( ) 4 4 = ( ) = f ( ) P b) V Kegel = 3 π u v = 3 π u u 4 u V = lim u 0 3 π ( 4 ) u 3 V = 4π 3 = 3 π ( 4 ) u 3. f '( ) = 3a + b + c f ( ) = 0: a + b + c + d = 0 +P ; f '( ) = 0: 3a + b + c = 0 +P ; f ( ) = 8 : a + b c + d = 8 3 +P ; f '( ) = 6 : 3a b + c = 6 4 +P z. B. 3 : a + c = 8 und + 4 : 6a + c = 6 6 a =, b = 4, c =, d = 0 8P bzw. y = f ( ) = ln( ) + ln( ) + ln( 3 ) +...ln( 00 ) = ln( ) + ln( ) ln( ) =ln( ) ( f '( ) = 3 ; = P f ' ( ) = 5050

6 5. a) = arccos( 0) = π.533 P π b) A= ( cos( ))d.5 cos cos( 0.5)+cos( 0.5 )+cos( 0.5 cos(.5) )+cos( )+ = 0.5( ) = = c) Weil die Kurve konkav ist (siehe Figur), schneiden die Trapeze einen Teil der Fläche ab. Also ist der Näherungswert zu klein. P (Genauer wäre A 0.95.) d) f '( ) = sin( ) f '' = sin ( + cos( )) f ''( w ) = 0 : sin( ) + cos( ) = 0 bzw. n ( ) = 0 e) Die Tangente an den Graphen von n ( ) an der Stelle = ist so flach, dass weit von der gesuchten Nullstelle entfernt wäre. Schätzung: > 0 (Eine Berechnung ergäbe 6.5.) f) Nullstelle von n mit Hilfe des Rechners: W.355,y W = 0.6 P 6. a) AB 6 = 9, AD 6 = 9 gleichschenklig: AB = AD = = und α=90 : AB # AD = = 0 Δ ABD rechtwinklig-gleichschenklig b) c! = b "! + AD """! = C (,, ) P c) ϕ = arccos n!"!!"! #n!"!!"! = arccos n n # 0 ϕ = (0.994rad)

7 !!" d) Z. B. n ε = AB AD = ist parallel zu n!!" ε = 6 6 ε / / ε P e) d ( ε,ε ) = d ( A,ε ) = d ( ε,ε ) = P f) M = M BD (, 5.5, 5.5 ),r = d ( ε,ε ) = ( ) + ( y 5.5) + ( z 5.5) = 4 P g) Richtung: BD = Schnittgerade: y z ; Punkt: b!" + d ε,ε ( ) n!" n!" = = t (oder durch (0, 95 /, 3 / ) etc.). a) ( ) + ( 0) +4 = 0 Punkt P liegt in der Ebene ε. P b) ϕ = arcsin PS!"! #n ε PS!"! = arcsin n ε ! 6 ϕ = (0.964rad) c) Normale zu ε durch S : y z 6 = 9 9 +t 6 geschnitten mit ε : 9( 6 + 9t ) 6( 6t ) + ( 9 + t ) +4 = 0 t + 4 = 0 t = 3 M (,,5 ) d) Richtungsvektor der Tangente = PM n!"! ε = 5 Tangente: y z 0 94 = 0 +t = 39 6

8 8. a) S 0 3 P = 4 0 = = 6 0 = 3 0 E ( X ) = E ( X ) =.8 = E X =3.8 V X σ ( X ) = V ( X ) = 0.56 σ ( X ) = =E X = 0 0 = 6 E X +P ( = = 0.56 b) µ = 00.8 = 80 ; σ = =.483 µ σ = < ist aussergewöhnlich, also nicht normal. c) Ohne Zurücklegen bedeutet: Nach jeder schwarzen Kugel steigt die Wahrscheinlichkeit für rot und umgekehrt. Die Resultate sind also ausgeglichener, d.h. weniger gestreut als beim Zurücklegen. Wenn zurückgelegt würde, wäre µ immer noch.8, aber es wäre z. B. P(S = 3) = = 0.6 statt nur 0.6. σ wäre grösser beim Ziehen mit Zurücklegen. (Berechnung: Binomialverteilung σ = = >.483) P d) Siehe a): P ( B) = P ( A ) = 6, P ( B ) = 3, P ( unentschieden ) = P e) P (. Kugel schwarz / B gewinnt) = = P = 3 0 P f) Binomial B (X 4) = B (X 3) oder B 0, 0, 6 6 0, 5 6 (X B 6) P = g) n < n > log (...) n > 9.93 A und B müssen mindestens 0 Spiele spielen. P A h) P = P A +P ( B) = = 6 P = 3 P Notenskala und Resultate Maturitätsprüfung 06 Klasse 4g MN Mathematik Note Anzahl Punkte Anzahl SchülerInnen