ist symmetrisch bezüglich der y-achse, da f( x) = f(x) ist. e x + e x = 2 2 (Substitution: a = e x )

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1 Problemstellung. f() e + e ist symmetrisch bezüglich der y-achse, da f( ) f() ist. Es ist f () e e. Aus f () folgt ; f(). f () e + e vor. <, daher ist der Graph rechtsgekrümmt. Außerdem liegt bei ein Maimum Berechnung der Nullstellen: f() e + e (Substitution: a e ) a + a a a + a / ln( ± ). Der linksseitige Steigung der Tangente bei ln( + ) ergibt sich durch Einsetzen in f () zu -. Mit tan(α) k erhält man α 5 (siehe Skizze). Aus Symmetriegründen ist der Winkel auf der rechten Seite gleich groß und daher der Winkel zwischen den beiden Tangenten wie gefordert 9. Bogenlänge: L ln( +) ln( ) ln( +) ln( ) ln( +) ln( ) ln( +) ln( ) ( e e ) + d [ e + e + e + e d e + + e d e + e d ] ln ( +) ln ( )

2 . Die Dreiecke AML und ALC sind ähnlich (weil beide rechtwinklig sind und der Winkel <) MAL <) ACL). Es gilt: AL CL ML AM f () (gleiches Verhältnis der Katheten; Ableitung entspricht der Tangentensteigung). Umformen ergibt: AL CL e e. Die Strecke CL ist (halbe Quadratseite). Mit dem Satz des Pythagoras AC CL + AL kann die Strecke AC e + e berechnet werden. Der gesuchte Wert für d beträgt: d f() + AC e + e + e + e. Der Wert ist unabhängig von konstant. y C L A. Der Graph der neuen Funktion ist im Vergleich zur ursprünglichen etwas nach unten verschoben, die neuen Nullstellen sind wie angegeben bei ± ln. Die linksseitige Steigung der Tangente an der Stelle ln beträgt. Daraus folgt ein Winkel von. Aus den gleichen Überlegungen wie oben ist der Winkel zwischen den Tangenten diesmal, dies entspricht dem Innenwinkel eines regelmäßigen Sechsecks.

3 Problemstellung. Die Funktion f ist im ganzen Definitionsbereich stetig. Sie ist aber an den Eckpunkten P (n,f(n )) mit n Z nicht differenzierbar. Der Grenzwert Der Grenzwert lim f() eistiert nicht, da die Funktionswerte zwischen und oszillieren. + f() lim, da der Zähler beschränkt und der Nenner gegen unendlich geht. + Zum Zeichnen sind die folgenden Funktionsterme nützlich: für f() + für < für < + für < g() f () für < < + für < für h() + für < + 8 für < Die gesuchten Graphen schauen wie folgt aus: g() h() 5. Die Formel p π b gibt den Zusammenhang zwischen der Periode p und dem Koeffizienten b an: b π π. y A B III II O I C Die Laplace-Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus dem Verhältnis Dabei ist die Gesamtfläche gleich. Teilfläche Gesamtfläche.

4 P I 5% P II sin ( π ) d π,66% P III sin ( π ) d π 6,%. Es ist: (f()) und (s()) sin ( π ). Im Intervall [,] ist, damit nimmt die Fläche I beim Quadrieren ab. Im selben Intervall ist sin ( π ) sin ( π ), also auch das Integral. Die oberste Fläche III und damit die Wahrscheinlichkeit P III wird größer. Für die mittlere Fläche kann das Integral gebildet werden: (sin ( π ) )d 6 (Partielle Integration). Damit wird diese Fläche auch größer.. Mit dem Schalenmodell ergibt sich die Fläche aus πf()d. V π d + ) π ( d 8 π

5 Frage Mit Hilfe der partiellen Integration erhält man: e d [ e ] e d e E e E Unter Verwendung dieses Ergebnisses führt wieder die partielle Integration zum Ziel: e d [ e ] e d e (e E) e + 6E Frage Es sei r der Zylinderradius und k der Kugelradius, dann gilt für das Volumen V der Plastikform (Halbkugel) in Abhängigkeit des Kugelradius: V (k) k π. k h r Der Kuchen kann maimal so groß sein, dass er die Kuchenform von innen berührt. In der Seitenansicht entspricht dies einem Rechteck, welches einem Halbkreis eingeschrieben ist. Daraus ergibt sich die Beziehung: r + h k. Für den Kuchen, also dem Zylindervolumen Z erhält man: Z(r,h) r π h bzw. Z(h) (k h ) π h π (hk h ) Das maimale Volumen erhält man aus der Gleichung Z (h), also π(k h ) mit der Lösung h k. Dass es sich dabei um den maimalen Wert handelt kann durch Z (h) π( 6h) < bestätigt werden. Für das Kuchenvolumen ergibt sich mit dem obigen Wert Z(k) π k. Das Verhältnis der beiden Körper ergibt schließlich einen Wert, der immer kleiner als 5,6 ist: Z V π k k π,58 < 5 5

6 Frage Damit der Grenzwert eistiert, muss der Zähler für auch gegen Null gehen, daraus ergibt sich die Gleichung (für ) b 6, also b 8. Nun kann die Regel von de L Hospital angewandt werden, a + b a leitet man Zähler und Nenner ab, so ergibt sich die Gleichung: lim Setzt man in diese Gleichung für b 8 und ein, so erhält man a. Frage Gegeben ist folgende Dichtefunktion (es gilt f()d ): { f() falls [,] sonst Damit ist die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der -Achse außerhalb dem gegebenen Intervall überall Null. Den Durchschnittswert (Erwartungswert) einer stetigen Zufallsvariablen erhält man aus: µ E(X) f()d d [ 8 5 ] 6 5 Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste ausgeloste Zahl eakt ist beträgt, weil P ( X ) f()d. Für das Intervall [,] ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeit: P (X < ) P ( < X < ) f()d 5 6,5% Frage 5 Wählt man OA als Stützvektor und AB als Richtungsvektor, so ergibt sich die Parameterdarstellung: r : OA + λ AB + λ 5 Der Richtungsvektor steht normal zu der gesuchten Ebene. Diese hat damit die Form 5 y z + d. Setzt man den Punkt C in diese Gleichung ein, so erhält man d und damit die gesuchte Ebene in Koordinatenform: π : 5 y z 6

7 Frage 6 Wendet man die Regel von de L Hospital mehrmals an, so ergeben sich folgende Ausdrücke: sin() cos() lim a lim a a lim sin() lim a(a )a cos() a(a )(a ) a Der Zähler des letzten Bruches ist erstmals ungleich Null. Nun muss a so gewählt werden, dass auch der Nenner ungleich Null ist, dies ist für a der Fall. Der Grenzwert (nachdem nicht gefragt ist) lautet: lim cos() lim ( )( ) cos() 6 Frage 7 Aus der Koordinatenform der Ebenengleichung kann man direkt den Normalenvektor n ablesen. Die Gleichung der Geraden g, welche durch die beiden gesuchten Kugelmittelpunkte und dem Punkt in der Ebene P verläuft und gleichzeitig senkrecht zur Ebene steht, ist: g : + λ Damit erhält man für die möglichen Mittelpunkte in Abhängigkeit von λ: M λ ( + λ; λ; λ) Nun ist λ so zu bestimmen, dass der Abstand MP 6 ist: Aus ( + λ ) + (λ ) + ( λ ) 6 erhält man 6λ 6 und damit die Werte λ und λ. Setzt man diese Werte für die Mittelpunkte ein, so erhält man die Koordinaten: M (,,) und M (,,) Alternative Methode: Von P aus ± 6 mal den normierten Richtungsvektor (Normalvektor der Ebene) abtragen: OM ± 6 6 ± Frage 8 Wenn der Wert die doppelte Wahrscheinlichkeit haben soll, dann können statt der Teile Teile genommen werden, so ergibt sich: P (X ) 5,8% und für alle anderen Seiten die Wahrscheinlichkeit P (X ). 7

8 Die Fragestellung führt auf eine Binomialverteilung mit n 5 und den obigen Wahrscheinlichkeiten. Bei 5 Würfen soll die wenigstens Mal vorkommen, dies kann mit der Gegenwahrscheinlichkeit wie folgt berechnet werden: P (X ) P (X ) P (X ) ( ) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) ( ) ,79 7,9% Frage 9 Zu zeigen ist die Eistenz und die Eindeutigkeit: Die Lösung der Gleichung arctan() + + e entspricht den Nullstellen der Funktion f() arctan() + + e. Die Funktion f ist stetig und nach dem Nullstellensatz muss es mindestens eine Nullstelle im Intervall [ ; ] geben, da f( ). < und f() > ist. f () e >, da jeder einzelne der Summanden nie negativ (und nicht gleichzeitig Null) werden kann. Damit ist die Funktion streng monoton steigend. Eine streng monoton steigende Funktion kann höchstens eine Nullstelle haben. Damit ist gezeigt, dass die Gleichung genau eine Nullstelle hat. Frage Voraussetzung für das Theorem von Rolle ist, dass die Funktion im geschlossenen Intervall [,] stetig und im offenen Intervall ] ; [ differenzierbar ist sowie f( ) f(). 5 y Die Funktion hat bei eine Nullstelle, denn es ist f(), an dieser Stelle ist f aber nicht differenzierbar: lim f () lim ( ) lim lim f () lim ( ( )) lim An dieser Stelle hat f also eine Sprungstelle, somit ist f zwar stetig, aber eben nicht differenzierbar. ist eine Nullstelle von f (). Dieses Beispiel widerspricht nicht dem Theorem, da die Voraussetzung der Differenzierbarkeit für die Anwendbarkeit des Satzes nicht gegeben ist. (Trotzdem eistiert eine waagrechte Tangente bei ). Der Satz von Rolle liefert keine Aussage, wenn seine Voraussetzung nicht erfüllt werden. 8