Matura2016-Lösung. Problemstellung 1

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Matura2016-Lösung. Problemstellung 1"

Transkript

1 Matura-Lösung Problemstellung. Die Funktion f( = + 9k + müsste bei = den Wert annehmen, also gilt + 9k + = k =. Wir betrachten den Bereich mit positiven Werten. Dann gilt: f ( = = = ; = Bei liegt ein relatives Minimum vor (f ( = / >, links und rechts von dieser Stelle sind die Funktionswerte höher, dort würde der Schnee liegen bleiben, die Form des Tankes würde ihre Aufgabe nicht erfüllen. Die Funktion f( = cos ( π k ist bei = differenzierbar, erfüllt somit nicht die Voraussetzungen für die Form des Tankes. Wie wir im zweiten Teil der Aufgabe feststellen werden, erfüllt die Funktion f( = ( k alle Bedingungen.. Der Neigungswinkel ϑ soll links von = größer als sein. Dort gilt =, also ist der Funktionswert f( = ( + k für negative. f ( = k ( + k = k tan( k tan( 5,7 Bezeichnen wir mit A die Querschnittsfläche, dann gilt: A L = V (k A 8 Aus Smmetriegründen können wir die Fläche folgendermaßen berechnen: [ A = ( k d = ] k + = k + ( k + 8 k =, Damit gilt:, k 5,7 Da k ganzzahlig ist, erhalten wir k = 5.. Das Verhältnis des Füllvolumens und des Gesamtvolumens ist der Füllstand. Um den Prozentsatz zu erhalten, multiplizieren wir das Verhältnis mit V (z = L A(z, da es sich jeweils um gerade Körper handelt. L kürzt sich. L A(z = Die Flächen kann man leichter berechnen, wenn wir über integrieren, wobei wir die Smmetrie z z ausnutzen: A(z = d; = ( 5 = 5 A(z = 5 d = (z z. z Der Gesamtquerschnitt ergibt sich für z = zu A( = Daher ist V (z = (z z

2 Zur Probe setzen wir z =,5 ein: V (z =,5 = 59,875. Der Querschnitt des Tankes nimmt mit der Höhe ab. Daher tragen tiefere Bereiche mehr zum Füllvolumen bei und deshalb befindet sich in halber Gesamthöhe mehr als die Hälfte des Gesamtvolumens. Die Differenz zwischen dem korrekten Prozentsatz und dem des Hausverwalters ist d = (z z z = z z d = z 5 = ; z = 5 ; d = z <, also Maimum. Für z,7m ist die Abweichung maimal. Der Fehler beträgt,% Problemstellung. f ( Eigenschaften von f : bei = ist die Tangentensteigung unendlich groß, bei = und = 7 ist die Tangentensteigung gleich Null, also hat f an diesen Stellen Nullstellen, bei = ist f ( = (Begründung: Steigung der gegebenen Tangentengleichung und gleichzeitig ist dies ein Etremwert von f (Wendepunkt von f, bei = 5 ist f (5 = (ebenfalls Steigung der gegebenen Tangentengleichung, zwischen = 8 und = ist die Steigung konstant gleich. (8, (, (, ( (7, 8 5, (, F ( Die Funktion verläuft durch den Nullpunkt und weiters durch die Punkte (5,, (8, auf Grund der angegebenen Flächen und durch den Punkt (,, weil die Dreiecksfläche dazukommt. Bei = und = 7 hat F Wendestellen, da f dort Nullstellen hat. Die Funktion F hat ein Maimum bei (5, und ein Minimum bei (8, (da f dort eine Nullstelle hat. Im Intervall ]5,8[ ist f negativ, daher ist F streng monoton fallend, im restlichen Bereich überall streng monoton wachsend. Die Steigungen der Funktion F ( sind aufgrund der Werte von f( = F (:

3 bei = gleich bei = gleich bei = gleich bei = 5 gleich bei = 7 gleich bei = 8 gleich bei = gleich 8 (, (5, W (8, 8 W (, 8

4 . = f ( Durch den Betrag werden die negativen Werte von f ( positiv, also der entsprechende Bereich an der -Achse gespiegelt. Die Definitionsmenge bleibt dabei unverändert, also D =]; [. (, (, ( 5, (7, (8, (, 8 = f( Nun werden die negativen Werte von f an der -Achse gespiegelt und daraus dann die Tangentensteigungen gebildet. f erhält an den Stellen = 5 und = 8 Spitzen, die Tangentensteigungen eistieren an diesen Stellen nicht mehr (Sprungstellen. Im Intervall [5,8] wird die ursprüngliche Ableitung mit multipliziert. D =]; [\{5; 8}. (, (, (7, 8 (, = Die Nullstellen von f werden zu Polstellen (senkrechte Asmptoten von. Die Funktion f( ( f( verläuft durch die Punkte (,,, (,, (, 7, ( und, und hat ein Minimum bei = und ein Maimum bei = 7 (umgekehrt zu f. D =]; [\{5; 8}.

5 5 (, (;,5 (;,5 (;, E ( 7, 5. (a (b (c 8 8 f(d = 8 = f( d = 8 = 7 7 f (d = [f(]7 = (f(7 f( = ( = 9 (d f( =, also F ( = + C. F (8 = = 8 + C, daraus folgt C = 7. 9 [ ] F (d = = 7 =,. k = F ( = f( =, Punkt (,, daraus folgt =. k = F (8 = f(8 =, Punkt (8,, daraus folgt: =. 9 Frage f ist eine gerade Funktion und deshalb achsensmmetrisch bezüglich der -Achse. Damit ist: f(d = + f(d = π,88 < Da weiters f positiv ist, also immer e > ist, muss u positiv sein.

6 A f ist ungerade, also punktsmmetrisch bezüglich des Ursprungs und deshalb ist der Wert A =. B B = u u e d = u [ u ] [ e d = e d e d = ] π = π C Wählt man die Substitution z = 5, also dz d = 5, so bleiben auch die Grenzen gleich und es ergibt sich C = π dz = e z 5 5 Frage Für den Umfang gilt U( = + = + ( a = a + + und für die Fläche: A( = = ( a = a +. Die geforderten Etremwerte ergeben sich aus dem Gleichungssstem { U ( = a + = A ( = a + = Man erhält = und a = und daraus die Länge und die Breite. Das gesuchte Rechteck ist also ein Quadrat. Dass es sich hierbei jeweils um ein Maimum handelt, kann mit Hilfe der. Ableitung gezeigt werden: U ( ( = = < und A = = <. Frage Das Integral lässt sich einfacher lösen, wenn man die Figur um 9 dreht.

7 + = r = r h r h V h r r (f( d = h r r (r d ] h r [r r [r (h r h h r + hr r ] ( r + r ] [r h r h (rh h + h r hr + r + r r Noch einfacher ist folgende Überlegung: h Die Punkte auf dem dargestellten Großkreis erfüllen die Kreisgleichung + ( r = r = r ( r = r Die Schnittfläche mit einer senkrechten Ebene zur Achse sind Kreise mit jeweils der Fläche π Daher ist das Volumen gleich

8 V h h d = r d = ] h [r = (rh h qed Frage Es sei X die Zufallsvariable, welche die Anzahl der korrekten Antworten angibt. Es handelt sich um eine Binomialverteilung mit p = und q = p =. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für P (X 8. P (X 8 = P (X = 8 + P (X = 9 + P (X = ( ( 8 ( ( ( = = =,% 9 + ( ( Frage 5 Der Vektor n = ist Normalvektor zur Ebene. Sei g die Parameterform der Geraden durch den Mittelpunkt K der Kugel mit dem Richtungsvektor n: = + t. Schneidet man diese Gerade mit der Ebene, so erhält man zunächst den Wert für t: + z 9 = ( + t ( t + ( + t 9 = t = und daraus durch Einsetzen des Wertes von t in die Geradengleichung den Berührungspunkt: B(,,. Den Radius r erhält man als Abstand zwischen K und B: r = KB = ( + + ( + + ( = 9 = Frage Die Aussage ist falsch. Die gesuchte Polnomfunktion kann nicht konstant sein. Für Grad n gilt lim P ( ± = +, übersteigt also ab einem bestimmten -Wert jede beliebige Schranke, während für die Kosinusfunktion stets cos( ist.

9 Frage 7 Günstige Wege Um auf dem Feld B zu landen bedarf es Bewegungen nach rechts (r und 5 Bewegungen nach oben (o, dabei ist die Reihenfolge egal. Ein möglicher Weg ist etwa rrrooooo oder auch oorooror. Die günstigen Fälle für dieses Wegstück können als Permutation (mit Wiederholung 8! (!5! = 5 8 8! oder als Kombination = = 5 berechnet werden.!(8! Um vom Feld B nach A zu gelangen benötigt man anschließend r und o, hierfür gibt es Wege.!!! = 5 Die günstigen Fälle vom Ausgangspunkt zum Punkt A über den Punkt B sind also 5 5 = 8 Möglichkeiten. Mögliche Wege Um vom Ausgangspunkt direkt zum Feld A zu gelangen bedarf es 7r und 7o, insgesamt Züge, dafür gibt es also! = Wege. 7!7! Damit ist die Wahrscheinlichkeit auf dem Weg zum Feld A das Feld B zu durchqueren:,5%. 8,5 = Frage 8 Durch zweimalige partielle Integration und anschließendes Einsetzen des Punktes erhält man die gesuchte Stammfunktion: e ( + d = e ( + e ( + d ( = e ( + e ( + e d = e ( + (e ( + e + C = e + C Aus f( = e erhält man die Gleichung e = e + C mit C = e. Frage 9 Die Parametergleichung der ersten Geraden ist A = λ Die der. Geraden erhält man mit dem Ansatz = µ, = µ (so ist die. Gleichung erfüllt und die erste nach z umgeformt z = µ µ = µ. Die Parametergleichung der zweiten Geraden: B =. + µ Der Normalvektor der Ebene ist das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der beiden Geraden:.

10 = + = 8 Die Gleichung der Ebene lautet damit z + C =. Einsetzen des Punktes P (,, ergibt C = 8. Die Ebenengleichung (durch gekürzt lautet: + + = Frage Das Integral führt zur Integraleponentialfunktion, die sicherlich nicht Stoff der Oberschule ist. Das Lösen ist für diese Aufgabe aber nicht notwendig, weil die Stammfunktion abgeleitet wieder die ursprüngliche Funktion ergibt. Aufpassen muss man aber auf die innere Ableitung von t t (Kettenregel. Formal: Es sei F (t eine Stammfunktion von ln t, also F (t = ( ln t. t Dann ist ln t d = F t ( F (e und ln t d = ( F ( F (e = F ( = e Für den Punkt ergibt sich der -Wert: f( e =. Es ist f ( = der Tangenten: k = f ( e = e e = e e ln(. ln(, demnach gilt für die Steigung Durch Steigung und Punkt kann der -Achsenabschnitt der Tangente berechnet werden: = k e + d = e + d e = d Tangentengleichung: = e e

Pflichtteil... 2. Wahlteil Analysis 1... 6. Wahlteil Analysis 2... 9. Wahlteil Analysis 3... 13. Wahlteil Analytische Geometrie 1...

Pflichtteil... 2. Wahlteil Analysis 1... 6. Wahlteil Analysis 2... 9. Wahlteil Analysis 3... 13. Wahlteil Analytische Geometrie 1... Pflichtteil... Wahlteil Analsis 1... 6 Wahlteil Analsis... 9 Wahlteil Analsis 3... 13 Wahlteil Analtische Geometrie 1... 16 Wahlteil Analtische Geometrie... 3 Lösungen: 006 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung

Mehr

ist symmetrisch bezüglich der y-achse, da f( x) = f(x) ist. e x + e x = 2 2 (Substitution: a = e x )

ist symmetrisch bezüglich der y-achse, da f( x) = f(x) ist. e x + e x = 2 2 (Substitution: a = e x ) Problemstellung. f() e + e ist symmetrisch bezüglich der y-achse, da f( ) f() ist. Es ist f () e e. Aus f () folgt ; f(). f () e + e vor.

Mehr

Pflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1...

Pflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1... Pflichtteil... Wahlteil Analysis... Wahlteil Analysis... Wahlteil Analysis 3... 5 Wahlteil Analytische Geometrie... Wahlteil Analytische Geometrie... Lösungen: 00 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 00: Pflichtteil

Mehr

Pflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1...

Pflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1... Pflichtteil Wahlteil Analysis 8 Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis 9 Wahlteil Analytische Geometrie Wahlteil Analytische Geometrie 9 Lösungen: Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Benötigte

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f(x) = x sin( x + ) Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral

Mehr

Lösungen zur Prüfung 2014: Pflichtteil

Lösungen zur Prüfung 2014: Pflichtteil Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Benötigte Kenntnisse: Analysis: Ableiten mit Produktregel, Integral mit Stammfunktion berechnen, Gleichung lösen, Kosinusfunktion, Nullstellen, Funktionswerte

Mehr

f(x) = x + 1 ±(x + 1) für 1 x < 0 ±( x + 1) für 0 x 1

f(x) = x + 1 ±(x + 1) für 1 x < 0 ±( x + 1) für 0 x 1 Problemstellung. Die gesuchte lineare Funktion durch die Punkte (0, ) und (, 0) lautet f(x) = x + im Intervall [0, ]. Die Gleichungen für die Begrenzungslinien sind: Λ(x) = { ±(x + ) für x < 0 ±( x + )

Mehr

Inhaltsverzeichnis VB 2003

Inhaltsverzeichnis VB 2003 VB Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Die Integralrechnung Die Stammfunktion Wie kommt man zur Stammfunktion am Beispiel der Potenzfunktion Beispiele für Stammfunktionen: Beispiele mit Wurzelfunktionen

Mehr

e-funktionen f(x) = e x2

e-funktionen f(x) = e x2 e-funktionen f(x) = e x. Smmetrie: Der Graph ist achsensmmetrisch, da f( x) = f(x).. Nullstellen: Bed.: f(x) = 0 Es sind keine Nullstellen vorhanden, da e x stets positiv ist. 3. Extrema: notw. Bed.: f

Mehr

Mathematikaufgaben. Matura Session

Mathematikaufgaben. Matura Session Mathematikaufgaben Matura 05. Session Angaben 05. Session 05. Session Problemstellung Ein Telefonanbieter sieht für Auslandgespräche eine Figebühr von 0 Euro monatlich und zusätzlich 0 Cent pro Gesprächsminute

Mehr

Zusammenfassung: Differenzialrechnung 2

Zusammenfassung: Differenzialrechnung 2 LGÖ Ks M 11 Schuljahr 17/18 Zusammenfassung: Differenzialrechnung Inhaltsverzeichnis Etrem- und Wendepunkte... 1 Etremwertprobleme... 8 Etrem- und Wendepunkte Definition: Ist eine reelle Zahl, dann heißt

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik 00 Baden-Württemberg (ohne CAS) Haupttermin Pflichtteil - Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit Aufgabe : ( VP) f() e =. Bestimmen Sie eine Stammfunktion

Mehr

Analysis 8.

Analysis 8. Analysis 8 www.schulmathe.npage.de Aufgaben Gegeben sind die Funktionen f a durch f a (x) = a x x + (x R x ; a R a ) a) Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f a mit den

Mehr

Abitur - Übung 1 Glege 9/11

Abitur - Übung 1 Glege 9/11 Abitur - Übung 1 Glege 9/11 Aufgabe 1.1) ganz-rationale Funktion 1.1.a) Bestimmen Sie eine ganz-rationale Funktion 3.Grades, deren Graph bei =4 die -Achse berührt und an deren Punkt (2/f(2)) die Tangente

Mehr

Mathematik 3 für Informatik

Mathematik 3 für Informatik Gunter Ochs Sommersemester 0 Mathematik 3 für Informatik Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garantie auf Fehlerfeiheit). Seien f ) = { {, falls, falls und f ) =. ln, falls a) Skizzieren

Mehr

13 3. a) Uhrzeit Wasseranstieg (in cm pro Stunde)

13 3. a) Uhrzeit Wasseranstieg (in cm pro Stunde) 1 Funktionen als mathematische Modelle Noch it in Dierenzialrechnung? 1 1. a) Höhenänderung zwischen 0 m und 1 00 m (in der Horizontalen): ca. 800 m 600 m = 00 m durchschnittliche Änderungsrate im Intervall

Mehr

Ausführliche Lösungen

Ausführliche Lösungen Bohner Ihlenburg Ott Deusch Mathematik für berufliche Gmnasien Jahrgangsstufen und Analsis und Stochastik Ausführliche Lösungen zu im Buch gekennzeichneten Aufgaben ab 5. Auflage 05 ISBN 978--80-8- Das

Mehr

Pflichtteil - Exponentialfunktion

Pflichtteil - Exponentialfunktion Pflichtteil - Eponentialfunktion Aufgabe (Ableiten) Bestimme die. und. Ableitung der folgenden Funktionen: a) f() = ln() + b) g() = e Aufgabe (Integrieren) Berechnen Sie die Integrale: a) e d b) c) h()

Mehr

PFLICHTTEIL FRANZ LEMMERMEYER

PFLICHTTEIL FRANZ LEMMERMEYER PFLICHTTEIL FRANZ LEMMERMEYER ( Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion f(x mit f(x = (3x x + und Vereinfachen Sie so weit wie möglich. ( Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion F (x von ( π f(x =

Mehr

Hauptprüfung Abiturprüfung 2016 (ohne CAS) Baden-Württemberg

Hauptprüfung Abiturprüfung 2016 (ohne CAS) Baden-Württemberg Baden-Württemberg: Abitur 06 Pflichtteil www.mathe-aufgaben.com Hauptprüfung Abiturprüfung 06 (ohne CAS) Baden-Württemberg Pflichtteil Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Aleander Schwarz www.mathe-aufgaben.com

Mehr

Abitur 2017 Mathematik Infinitesimalrechnung I

Abitur 2017 Mathematik Infinitesimalrechnung I Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 217 Mathematik Infinitesimalrechnung I Gegeben ist die Funktion g : x 2 4 + x 1 mit maximaler Definitionsmenge D g. Der Graph von g wird mit G g bezeichnet.

Mehr

Vorkurs Mathematik für Ingenieur Innen WS 2018/2019 Übung 7

Vorkurs Mathematik für Ingenieur Innen WS 2018/2019 Übung 7 Prof. Dr. J. Pannek Dynamics in Logistics Vorkurs Mathematik für Ingenieur Innen WS 018/019 Übung 7 Aufgabe 1 : Etremwerte Der Ellipse + y = 1 ist ein Rechteck mit Seitenlängen p, q, dessen Seiten parallel

Mehr

Vorkurs Mathematik für Ingenieure WS 2015/2016 Übung 6

Vorkurs Mathematik für Ingenieure WS 2015/2016 Übung 6 Prof. Dr. J. Pannek Dynamics in Logistics Vorkurs Mathematik für Ingenieure WS 015/016 Übung 6 Aufgabe 1 : Differentialrechnung (a Berechnen Sie die Ableitung nachstehender Funktionen an der Stelle 0 und

Mehr

Gebrochen rationale Funktion f(x) = x2 +1

Gebrochen rationale Funktion f(x) = x2 +1 Gebrochen rationale Funktion f() = +. Der Graph der Funktion f ist punktsmmetrisch, es gilt: f( ) = ( ) + f() = f( ) = + = + = f(). An der Stelle = 0 ist f nicht definiert, an dieser Stelle liegt ein Pol

Mehr

Differenzenquotient. f(x) Differenzialrechnung. Gegeben sei eine Funktion f(x). 197 Wegener Math/5_Differenzial Mittwoch 04.04.

Differenzenquotient. f(x) Differenzialrechnung. Gegeben sei eine Funktion f(x). 197 Wegener Math/5_Differenzial Mittwoch 04.04. Gegeben sei eine Funktion f(). Differenzialrechnung Differenzenquotient f() 197 Wegener Math/5_Differenzial Mittwoch 04.04.2007 18:38:45 1 Differenzenquotient Gesucht ist die Tangente an der Stelle, wobei

Mehr

Inhalt der Lösungen zur Prüfung 2015:

Inhalt der Lösungen zur Prüfung 2015: Inhalt der Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil... Wahlteil Analysis... 8 Wahlteil Analysis... Wahlteil Analytische Geometrie/Stochastik... Wahlteil Analytische Geometrie/Stochastik... 9 Pflichtteil Lösungen

Mehr

Pflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1...

Pflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1... Pflichtteil... Wahlteil Analysis... 7 Wahlteil Analysis... Wahlteil Analysis... Wahlteil Analytische Geometrie... 9 Wahlteil Analytische Geometrie... 008 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 008: Pflichtteil

Mehr

Inhalt der Lösungen zur Prüfung 2011:

Inhalt der Lösungen zur Prüfung 2011: Inhalt der Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Wahlteil Analysis 7 Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis 6 Wahlteil Analytische Geometrie Wahlteil Analytische Geometrie 6 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung

Mehr

K2 KLAUSUR 2. Aufgabe Punkte (max) Punkte. (1) Bestimmen Sie die Ableitung von f(x) = 2 x

K2 KLAUSUR 2. Aufgabe Punkte (max) Punkte. (1) Bestimmen Sie die Ableitung von f(x) = 2 x K2 KLAUSUR 2 PFLICHTTEIL 202 Aufgabe 2 3 4 5 6 7 8 Punkte (max) 2 2 3 3 5 3 5 3 Punkte () Bestimmen Sie die Ableitung von f(x) = 2 x 2 + 4. (2) Berechnen Sie das Integral 4 ( ) x 2 dx. (3) Lösen Sie die

Mehr

4.4. Aufgaben zu Potenzfunktionen

4.4. Aufgaben zu Potenzfunktionen .. Aufgaben zu Potenzfunktionen Definition: Eine Funktion der Form f() = c z mit z Z\{;} heißt Potenzfunktion. Aufgabe : Potenzfunktionen mit positiven Eponenten (Parabeln). Ergänze: 9 8 7 6 - - - - -

Mehr

Abitur 2011 G8 Musterabitur Mathematik Infinitesimalrechnung

Abitur 2011 G8 Musterabitur Mathematik Infinitesimalrechnung Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 211 G8 Musterabitur Mathematik Infinitesimalrechnung I Teilaufgabe 1 (3 BE) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f : x (e x 2) (x 3 2x ) mit Definitionsbereich

Mehr

Serie 4: Flächeninhalt und Integration

Serie 4: Flächeninhalt und Integration D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr. Ana Cannas Serie 4: Flächeninhalt und Integration Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom. und 4. Oktober.. Das Bild zeigt

Mehr

Potenzfunktionen Spezialfall 1: Exponent positiv und ganzzahlig

Potenzfunktionen Spezialfall 1: Exponent positiv und ganzzahlig Potenzfunktionen Spezialfall : Eponent positiv und ganzzahlig Funktionsvorschrift: f() = p, wobei p N feste Zahl f() = f() = f() = - - - - 0 - - - f() = - Wertebereich D = R falls p ungerade: W = R falls

Mehr

A7.2 Kenntnis der Bedeutung der 1. und 2. Ableitung für den Graphen einer Funktion; Untersuchung ganzrationaler Funktionen

A7.2 Kenntnis der Bedeutung der 1. und 2. Ableitung für den Graphen einer Funktion; Untersuchung ganzrationaler Funktionen A7.2 Kenntnis der Bedeutung der 1. und 2. Ableitung für den Graphen einer Funktion; Untersuchung ganzrationaler Funktionen Die folgenden grundsätzlichen Überlegungen sollen am Beispiel der Funktion f 1

Mehr

Abitur 2014 Mathematik Infinitesimalrechnung I

Abitur 2014 Mathematik Infinitesimalrechnung I Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 204 Mathematik Infinitesimalrechnung I Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. Teilaufgabe Teil A (5 BE) Gegeben ist die Funktion f : x x ln

Mehr

Exemplar für Prüfer/innen

Exemplar für Prüfer/innen Exemplar für Prüfer/innen Kompensationsprüfung zur standardisierten kompetenzorientierten schriftlichen Reifeprüfung AHS Juni 2015 Mathematik Kompensationsprüfung Angabe für Prüfer/innen Hinweise zur Kompensationsprüfung

Mehr

Relationen / Lineare Funktionen

Relationen / Lineare Funktionen Relationen / Lineare Funktionen Relationen Werden Elemente aus einer Menge X durch eine Zuordnungsvorschrift anderen Elementen aus einer Menge Y zugeordnet, so wird durch diese Zuordnungsvorschrift eine

Mehr

Mathematik LK13 Kursarbeit Musterlösung Aufgabe I:

Mathematik LK13 Kursarbeit Musterlösung Aufgabe I: Mathematik LK13 Kursarbeit 1 6.11.14 Musterlösung Aufgabe I: Analysis I 1. Spaß mit natürlichen Eponentialfunktionen Gegeben sind die Funktionen f ()=e ( + ) und g ( )=5 e Untersuchen Sie beide Funktionen

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 004 Baden-Württemberg (ohne CAS) Haupttermin Pflichtteil - Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f() = + 3 Aufgabe : ( VP) Geben Sie eine Stammfunktion

Mehr

Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit x f(x) = (x + 5) e. Aufgabe : ( VP) Gegeben ist die Funktion

Mehr

Wiederholung: Differential- und Integralrechnung1

Wiederholung: Differential- und Integralrechnung1 Wiederholung: Differential- und Integralrechnung. Richtig, der Differenzenquotient ist die Steigung der Sekante. Durch den Grenzübergang erhält man die Steigung der Tangente (= Differentialquotient. Falsch,

Mehr

1.3 Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Schaubildes der Funktion f mit f( x) x 6x 13

1.3 Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Schaubildes der Funktion f mit f( x) x 6x 13 Musteraufgaben ab 08 Pflichtteil Aufgabe Seite / BEISPIEL A. Geben Sie Lage und Art der Nullstellen der Funktion f mit f( x) ( x ) ( x ) ; x IR an.. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in P( f ())

Mehr

Linearisierung einer Funktion Tangente, Normale

Linearisierung einer Funktion Tangente, Normale Linearisierung einer Funktion Tangente, Normale 1 E Linearisierung einer Funktion Abb. 1 1: Die Gerade T ist die Tangente der Funktion y = f (x) im Punkt P Eine im Punkt x = a differenzierbare Funktion

Mehr

Skript Analysis. sehr einfach. Erstellt: Von:

Skript Analysis. sehr einfach. Erstellt: Von: Skript Analysis sehr einfach Erstellt: 2017 Von: www.mathe-in-smarties.de Inhaltsverzeichnis Vorwort... 2 1. Funktionen... 3 2. Geraden... 6 3. Parabeln... 9 4. Quadratische Gleichungen... 11 5. Ableitungen...

Mehr

1 Ableitungen. Hinweise und Lösungen:

1 Ableitungen. Hinweise und Lösungen: Hinweise und Lösungen: http://mathemathemathe.de/analsis/analsis-grundagen Ableitungen Übung.: Einfache Ableitungen - Bestimme die ersten Ableitungen a) f() = 7 + + 8 b) f() = a + a a K(t) = t t + 0 Übung.:

Mehr

G13 KLAUSUR 1. (1) (2 VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit. f(x) = e 2x+1 x

G13 KLAUSUR 1. (1) (2 VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit. f(x) = e 2x+1 x G3 KLAUSUR PFLICHTTEIL Aufgabe 2 3 4 5 6 7 8 Punkte (max) 2 2 3 3 5 3 5 3 Punkte () (2 VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f(x) = e 2x+. x (2) (2 VP) Gegeben ist die Funktion f mit f(x)

Mehr

Ableitung und Steigung. lim h

Ableitung und Steigung. lim h Ableitung und Steigung Aufgabe 1 Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = x über den Differentialquotienten. f (x f '(x ) lim h h) f (x h ) (x lim h h) h x x lim h hx h h x h(x lim h h h) lim x h h x

Mehr

Demo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002

Demo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002 Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur Analysis Teilbereich : Ganzrationale Funktionen Hier nur Aufgaben als Demo Datei Nr. 9 März 00 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Vorwort Die in dieser Reihe von

Mehr

Kantonsschule Reussbühl Maturitätsprüfung 1999, Typus AB Be/Sw Mathematik Lösungen Sw / 2003

Kantonsschule Reussbühl Maturitätsprüfung 1999, Typus AB Be/Sw Mathematik Lösungen Sw / 2003 Lösung der Aufgabe a) Nullstelle: : = Ableitungen: f () = : - = : = a f (a) = - e < : ist Stelle eines Maimums f () = : = : = a f (a) = e - : ist Wendestelle b) = e unabhängig von a tan = e ; = 69,8...

Mehr

Prüfungsteil B, Aufgabengruppe 1: Analysis. Bayern Aufgabe 1. BundesabiturMathematik: Musterlösung

Prüfungsteil B, Aufgabengruppe 1: Analysis. Bayern Aufgabe 1. BundesabiturMathematik: Musterlösung Abitur MathematikBayern 04 Prüfungsteil B, Aufgabengruppe BundesabiturMathematik: Prüfungsteil B, Aufgabengruppe : Bayern 04 Aufgabe a). SCHRITT: SCHNITTPUNKTE MIT DEN KOORDINATENACHSEN Die Koordinatenachsen

Mehr

Extrakapitel für M3. 1. Integration durch Substitution (Umkehrung der Kettenregel)

Extrakapitel für M3. 1. Integration durch Substitution (Umkehrung der Kettenregel) Etrakapitel für M Dr.Manfred Gurtner 005. Integration durch Substitution (Umkehrung der Kettenregel) Beispiel : Berechnen Sie das Integral I 5 5 d a) Da die Wurzel eine innere Funktion hat, substituieren

Mehr

1 Allgemeines, Verfahrensweisen

1 Allgemeines, Verfahrensweisen 1 Allgemeines, Verfahrensweisen 1.1 Allgemeines Definition einer Funktion Eine Funktion f ist eine eindeutige Zuordnung, die jedem x-wert genau einen y-wert zuordnet. Dem y-wert, welchem ein x-wert zugeordnet

Mehr

K A N T O N S S C H U L E I M L E E MATHEMATIK. Grafiktaschenrechner ohne CAS, beliebige Formelsammlung

K A N T O N S S C H U L E I M L E E MATHEMATIK. Grafiktaschenrechner ohne CAS, beliebige Formelsammlung K A N T O N S S C H U L E I M L E E W I N T E R T H U R MATURITÄTSPRÜFUNGEN 06 Klasse: 4g Profil: MN Lehrperson: Rolf Kleiner MATHEMATIK Zeit: 3 Stunden Erlaubte Hilfsmittel: Grafiktaschenrechner ohne

Mehr

Höhere Mathematik III WS 05/06 Lösungshinweis Aufgabe G 11 Blatt 2

Höhere Mathematik III WS 05/06 Lösungshinweis Aufgabe G 11 Blatt 2 Höhere Mathematik III WS 5/6 Lösungshinweis Aufgabe G 11 Blatt Die zu optimierende Zielfunktion ist der Abstand zum Ursprung. Ein bekannter Trick (Vereinfachung der Rechnung) besteht darin, das Quadrat

Mehr

(a) Stellen Sie im Rahmen des Modells des beschränkten Wachstums eine Funktion auf, welche die Temperatur des Wassers nach t Stunden angibt.

(a) Stellen Sie im Rahmen des Modells des beschränkten Wachstums eine Funktion auf, welche die Temperatur des Wassers nach t Stunden angibt. Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik Wintersemester 08/9 Universität Bielefeld Klausuraufgaben Erste Klausur zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik 7. Februar 09 Lösungsvorschläge Aufgabe

Mehr

Analysis I. Teil 1. Bayern Aufgabe 1. Abitur Mathematik Bayern Abitur Mathematik: Musterlösung. D f =] 3; + [ x = 1

Analysis I. Teil 1. Bayern Aufgabe 1. Abitur Mathematik Bayern Abitur Mathematik: Musterlösung. D f =] 3; + [ x = 1 Abitur Mathematik: Bayern 2012 Teil 1 Aufgabe 1 a) DEFINITIONSMENGE f(x) = ln(x + 3) x + 3 > 0 x > 3 D f =] 3; + [ ABLEITUNG Kettenregel liefert f (x) = 1 x + 3 1 = 1 x + 3 b) DEFINITIONSMENGE 3 g(x) =

Mehr

8. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau

8. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 8. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS / 6..-.. Aufgabe G (Matrixinversion mit Gauß-Algorithmus

Mehr

1. Übungsaufgabe zu Exponentialfunktionen

1. Übungsaufgabe zu Exponentialfunktionen 1. Übungsaufgabe zu Exponentialfunktionen Die folgende Funktion y = f(t) = 8 t e stellt die Konzentration eines Stoffes in einer Flüssigkeit dar. y ist die Konzentration des Stoffes in mg / Liter. t ist

Mehr

Pflichtteil. Baden-Württemberg Aufgabe 1. Aufgabe 2. Musterlösung. Abitur Mathematik Baden-Württemberg Abitur Mathematik: Musterlösung

Pflichtteil. Baden-Württemberg Aufgabe 1. Aufgabe 2. Musterlösung. Abitur Mathematik Baden-Württemberg Abitur Mathematik: Musterlösung Abitur Mathematik: Baden-Württemberg 2013 Aufgabe 1 1. SCHRITT: STRUKTUR DER FUNKTION BESCHREIBEN Der Funktionsterm von f ist das Produkt einer ganzrationalen Funktion u(x) = 2x 2 + 5x und einer Verkettung

Mehr

Maturitätsprüfung Mathematik

Maturitätsprüfung Mathematik Maturitätsprüfung 007 Mathematik Klasse 4bN Kantonsschule Solothurn Mathematisch-naturwissenschaftliches Maturitätsprofil Name: Note: Hinweise zur Bearbeitung der Prüfung: Zur Lösung der Aufgaben stehen

Mehr

Analysis. Ganzrationale Funktionen: Nullstellen, Extrempunkte, Monotonie, Verhalten im Unendlichen, Tangente. Gymnasium Klasse 10

Analysis. Ganzrationale Funktionen: Nullstellen, Extrempunkte, Monotonie, Verhalten im Unendlichen, Tangente. Gymnasium Klasse 10 Analysis Ganzrationale Funktionen: Nullstellen, Extrempunkte, Monotonie, Verhalten im Unendlichen, Tangente Gymnasium Klasse 1 Hilfsmittel: wissenschaftlicher Taschenrechner Alexander Schwarz März 18 1

Mehr

Kegelschnitte. Evelina Erlacher 13. & 14. M arz 2007

Kegelschnitte. Evelina Erlacher 13. & 14. M arz 2007 Workshops zur VO Einfu hrung in das mathematische Arbeiten im SS 2007 Kegelschnitte Evelina Erlacher 13. & 14. M arz 2007 Denken wir uns einen Drehkegel, der nach oben als auch nach unten unbegrenzt ist.

Mehr

Berufsmaturitätsprüfung 2009 Mathematik

Berufsmaturitätsprüfung 2009 Mathematik GIBB Gewerblich-Industrielle Berufsschule Bern Berufsmaturitätsschule Berufsmaturitätsprüfung 2009 Mathematik Zeit: 180 Minuten Hilfsmittel: Formel- und Tabellensammlung ohne gelöste Beispiele, Taschenrechner

Mehr

LAF Mathematik. Näherungsweises Berechnen von Nullstellen von Funktionen

LAF Mathematik. Näherungsweises Berechnen von Nullstellen von Funktionen LAF Mathematik Näherungsweises Berechnen von Nullstellen von Funktionen von Holger Langlotz Jahrgangsstufe 12, 2002/2003 Halbjahr 12.1 Fachlehrer: Endres Inhalt 1. Vorkenntnisse 1.1 Nicht abbrechende Dezimalzahlen;

Mehr

Weitere Ableitungsregeln. Kapitel 4

Weitere Ableitungsregeln. Kapitel 4 Weitere Ableitungsregeln Kapitel . Die Kettenregel L f() = u(v()) g() = v(u()) a) + + b) cos [( + ) ] (cos + ) c) sin ( ) [sin ()] d) e) ( = _ ) _ ( f) cos [π( + )] cos (π) + g) ( ) = h) ( + ) + = + +

Mehr

1 Differentialrechnung

1 Differentialrechnung BT/MT SS 6 Mathematik II Klausurvorbereitung www.eah-jena.de/~puhl Thema: Üben, üben und nochmals üben!!! Differentialrechnung Aufgabe Differenzieren Sie folgende Funktionen: a y = ln( b f( = a a + c f(

Mehr

Matur-/Abituraufgaben Analysis

Matur-/Abituraufgaben Analysis Matur-/Abituraufgaben Analysis 1. Tropfen Die folgende Skizze zeigt die Kurve k mit der Gleichung y = (1 ) im Intervall 1. Die Kurve k bildet zusammen mit ihrem Spiegelbild k eine zur -Achse symmetrische

Mehr

24.1 Überblick. 24.2 Beispiele. A. Bestimmen einer ganzrationalen Funktion. 24. Interpolation mit Ableitungen

24.1 Überblick. 24.2 Beispiele. A. Bestimmen einer ganzrationalen Funktion. 24. Interpolation mit Ableitungen 4. Interpolation mit Ableitungen 4. Interpolation mit Ableitungen 4.1 Überblick Die Interpolationsaufgabe haben wir bereits in Kapitel 7 (Band Analysis 1) untersucht. Als Auffrischung: Zu n vorgegebenen

Mehr

Pflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1...

Pflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1... Pflichtteil Wahlteil Analysis 7 Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis 7 Wahlteil Analytische Geometrie Wahlteil Analytische Geometrie 8 Lösungen: Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Benötigte

Mehr

Inhalt der Lösungen zur Prüfung 2012:

Inhalt der Lösungen zur Prüfung 2012: Inhalt der Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil... Wahlteil Analsis... 8 Wahlteil Analsis... Wahlteil Analsis... 4 Wahlteil Analtische Geometrie... 8 Wahlteil Analtische Geometrie... Pflichtteil Lösungen

Mehr

ARBEITSUNTERLAGEN. zum STARTERKURS an der UNIVERSITÄT DES SAARLANDES

ARBEITSUNTERLAGEN. zum STARTERKURS an der UNIVERSITÄT DES SAARLANDES ARBEITSUNTERLAGEN zum STARTERKURS an der UNIVERSITÄT DES SAARLANDES Vorbemerkung Ziel des Propädeutikums ist es, die Schulmathematik wieder ins Gedächtnis zu rufen und eine gemeinsame Grundlage für die

Mehr

Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen

Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de Klemens Fersch. Januar Inhaltsverzeichnis Punkte:Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt. Aufgaben....................................................

Mehr

Mathematik Übungsklausur 2013 Ausführliche Lösungen

Mathematik Übungsklausur 2013 Ausführliche Lösungen Mathematik Übungsklausur 0 Ausführliche Lösungen Analysis Aufgabe Die Nullstellen einer Funktion f mit Definitionsbereich D f sind die Lösungen der Gleichung f(x) = 0 in D f. Damit erhält man: a) f: x

Mehr

Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 4: Anwendungen der Differentialrechnung

Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 4: Anwendungen der Differentialrechnung Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 4: Anwendungen der Differentialrechnung www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2014/other/mathematik1 BIOL Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)

Mehr

DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein

DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein für Baden-Württemberg Alle Originalaufgaben Haupttermine 004 0 Ausführlich gerechnete und kommentierte Lösungswege Mit vielen Zusatzhilfen X π Von: Jochen Koppenhöfer und Pascal

Mehr

Kreissektoren und Bogenmaß

Kreissektoren und Bogenmaß M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens gilt für einen Kreissektor mit Fläche des Kreissektors Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des

Mehr

Diskussion einzelner Funktionen

Diskussion einzelner Funktionen Diskussion einzelner Funktionen. Wir betrachten die Funktion f mit f() = cos sin (a) Berechne f() für { π, π, π, π, } 5π und zeichne den Grafen von f im - Intervall [ π, ] 5π. Einheiten: cm auf der y-achse,

Mehr

f : x y = mx + t Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, welche die y-achse im Punkt S schneidet. = m 2 x 2 m x 1

f : x y = mx + t Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, welche die y-achse im Punkt S schneidet. = m 2 x 2 m x 1 III. Funktionen und Gleichungen ================================================================== 3.1. Lineare Funktionen Eine Funktion mit der Zuordnungvorschrift f : x y = mx + t und m, t R heißt lineare

Mehr

1 Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung

1 Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung Schülerbuchseite 5 5 Lösungen vorläuig VI Natürliche Eponential- und Logarithmusunktion Die natürliche Eponentialunktion und ihre Ableitung S. 5 Durch Ausprobieren erkennt man, dass < a

Mehr

(Quelle Abitur BW 2004) Gegeben sind die Schaubilder der Funktion mit, ihrer Ableitungsfunktion, einer Stammfunktion von und der Funktion mit.

(Quelle Abitur BW 2004) Gegeben sind die Schaubilder der Funktion mit, ihrer Ableitungsfunktion, einer Stammfunktion von und der Funktion mit. Aufgabe A5/04 Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitungsfunktion einer Funktion. Welche der folgenden Aussagen über die Funktion sind wahr, falsch oder unentscheidbar? (1) ist streng monoton wachsend

Mehr

Der Differenzenquotient

Der Differenzenquotient Der Differenzenquotient Von den linearen Funktionen kennen wir den Begriff des Differenzenquotienten k = y 2 y 1 x 2 x 1 mit dem die Steigung einer Geraden festgelegt wird. Der Begriff des Differentialkoeffizienten

Mehr

Analysis 2. f(x) = x2 6x + 8 x 2 6x + 5 a) Ermitteln Sie den Definitionsbereich der Funktion f. Weisen Sie nach, dass gilt:

Analysis 2.  f(x) = x2 6x + 8 x 2 6x + 5 a) Ermitteln Sie den Definitionsbereich der Funktion f. Weisen Sie nach, dass gilt: Analysis 2 www.schulmathe.npage.de Aufgaben 1. Gegeben ist die Funktion f durch f(x) = x2 6x + 8 x 2 6x + 5 a) Ermitteln Sie den Definitionsbereich der Funktion f. Weisen Sie nach, dass gilt: f (x) = 6(x

Mehr

Abitur 2012 Mathematik Infinitesimalrechnung I

Abitur 2012 Mathematik Infinitesimalrechnung I Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 212 Mathematik Infinitesimalrechnung I Geben Sie zu den Funktionstermen jeweils den maximalen Definitionsbereich sowie einen Term der Ableitungsfunktion

Mehr

8 Kurven in der Ebene

8 Kurven in der Ebene Aufgabe 8. Wie lautet die Gleichung der Gerade, die durch den Punkt (4 5) geht und senkrecht zur Geraden y = x 4 steht? Der Punkt (4 5) muss die Geradengleichung erfüllen: y = mx + t 5 = m 4 + t m =, da

Mehr

Ist die Funktion f : R R injektiv, hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W, so ist f : D W bijektiv. Dann heißt

Ist die Funktion f : R R injektiv, hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W, so ist f : D W bijektiv. Dann heißt Ist die Funktion f : R R injektiv, hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W, so ist f : D W bijektiv. Dann heißt f 1 : W D, y wobei D mit f() = y die Umkehrfunktion zu f. Der Graph G f 1 = {(y,

Mehr

TU Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik 1

TU Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik 1 U Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik Aufgabe 6. Die Funktion f heißt bezüglich g gerade [bzw. bezüglich u ungerade], falls f g + g f g g [bzw. f u + u f u u ] gilt. a Man erläutere

Mehr

Technische Universität Dresden, Fakultät Mathematik Prof. Dr. F. Schuricht, Dr. M. Herrich. der Übungsaufgaben zum Brückenkurs Mathematik 2018

Technische Universität Dresden, Fakultät Mathematik Prof. Dr. F. Schuricht, Dr. M. Herrich. der Übungsaufgaben zum Brückenkurs Mathematik 2018 Technische Universität Dresden, Fakultät Mathematik Prof. Dr. F. Schuricht, Dr. M. Herrich E R G E B N I S S E der Übungsaufgaben zum Brückenkurs Mathematik 08 Ergebnisse zur. Übung am.09.08 Thema: Logik,

Mehr

Mathematik. Abiturprüfung 2014. Prüfungsteil A. Arbeitszeit: 90 Minuten. Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen keine Hilfsmittel verwendet werden.

Mathematik. Abiturprüfung 2014. Prüfungsteil A. Arbeitszeit: 90 Minuten. Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen keine Hilfsmittel verwendet werden. Mathematik Abiturprüfung 2014 Prüfungsteil A Arbeitszeit: 90 Minuten Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen keine Hilfsmittel verwendet werden. Zu den Themengebieten Analysis, Stochastik und Geometrie

Mehr

Mathematik Name: Klausur Nr.6 K1 Punkte: /30 Note: Schnitt:

Mathematik Name: Klausur Nr.6 K1 Punkte: /30 Note: Schnitt: K1 Punkte: /30 Note: Schnitt: 0.1.18 Pflichtteil (etwa 40 min) Ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen abgegeben sein, ehe der GTR und die Formalsammlung verwendet

Mehr

Aufgabe 1.1. Aufgabe 1.2. Aufgabe 1.3. FernUNI Hagen WS 2002/03. Mathematik II für WiWi s (Kurs 0054) Mentorin: Stephanie Schraml

Aufgabe 1.1. Aufgabe 1.2. Aufgabe 1.3. FernUNI Hagen WS 2002/03. Mathematik II für WiWi s (Kurs 0054) Mentorin: Stephanie Schraml FernUNI Hagen WS 00/0 Aufgabe 1.1 Berechnen Sie jeweils die 1. Ableitung der Funktion f: 1- a) f() = e 1+ e + b) f() = (+) Aufgabe 1. Von einer Funktion f ist bekannt: (1) f ist ein Polynom. Grades ()

Mehr

Kurvendiskussion. Mag. Mone Denninger 10. Oktober Extremwerte (=Lokale Extrema) 2. 5 Monotonieverhalten 3. 6 Krümmungsverhalten 4

Kurvendiskussion. Mag. Mone Denninger 10. Oktober Extremwerte (=Lokale Extrema) 2. 5 Monotonieverhalten 3. 6 Krümmungsverhalten 4 Mag. Mone Denninger 10. Oktober 2004 Inhaltsverzeichnis 1 Definitionsmenge 2 1.1 Verhalten am Rand und an den Lücken des Definitionsbereichs............................ 2 2 Nullstellen 2 3 Extremwerte

Mehr

Rechnen mit Vektoren, analytische Geometrie

Rechnen mit Vektoren, analytische Geometrie Dr. Alfred Eisler Rechnen mit Vektoren, analytische Geometrie Themenbereich Vektorrechnung, analytische Geometrie Inhalte Eingabe von Vektoren Rechnen mit Vektoren Normalvektoren im R 2 Vektorielles Produkt

Mehr

Differentialrechnung

Differentialrechnung Kapitel 7 Differentialrechnung Josef Leydold Mathematik für VW WS 205/6 7 Differentialrechnung / 56 Differenzenquotient Sei f : R R eine Funktion. Der Quotient f = f ( 0 + ) f ( 0 ) = f () f ( 0) 0 heißt

Mehr

a) Im Berührungspunkt müssen die y-werte und die Steigungen übereinstimmen:

a) Im Berührungspunkt müssen die y-werte und die Steigungen übereinstimmen: . ANALYSIS Gegeben ist die kubische Parabel f: y = x 3 6x + 8x + a) Die Gerade g: y = k x + berührt die Parabel an der Stelle x = x 0 > 0. Bestimmen Sie den Parameter k. b) Berechnen Sie den Inhalt der

Mehr

Tutorium Mathematik ITB1(B), WI1(B)

Tutorium Mathematik ITB1(B), WI1(B) Tutorium Mathematik ITB(B), WI(B) Aufgabenblatt D Differenzialrechnung Prof Dr Peter Plappert Fachbereich Grundlagen Die Aufgaben dieses Aufgabenblattes sollen ohne die Benutzung von Taschenrechnern bearbeitet

Mehr

b) Kettenregel anwenden 1 8x + 3sin(x) f '(x) = ( 8x 3( sin(x) )) 2 4x 3cos(x) 2 4x 3cos(x) b) [2P]

b) Kettenregel anwenden 1 8x + 3sin(x) f '(x) = ( 8x 3( sin(x) )) 2 4x 3cos(x) 2 4x 3cos(x) b) [2P] Mathematik Name: Lösungen Nr. K Punkte: /3 Note: Schnitt: 7..3 Pflichtteil (etwa 40 min) Ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen abgegeben sein, ehe der GTR und die

Mehr

Zusammenfassung und Übungsblatt zu Steckbriefaufgaben

Zusammenfassung und Übungsblatt zu Steckbriefaufgaben Seite von 7 Bei einer Steckbriefaufgabe werden bestimmte Eigenschaften eines Funktionsgraphen vorgegeben und gesucht ist die Gleichung der Funktion, deren Graph die gewünschten Eigenschaften hat. Ans WBG

Mehr