Inhaltsverzeichnis VB 2003

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1 VB Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Die Integralrechnung Die Stammfunktion Wie kommt man zur Stammfunktion am Beispiel der Potenzfunktion Beispiele für Stammfunktionen: Beispiele mit Wurzelfunktionen Beispiele für die Wurzel im Nenner Stammfunktion von / Wie berechnet man nun aus der Stammfunktion die Fläche unter einer Funktion?.Die Stammfunktion suchen.mit dem Integral die Fläche errechnen Erklärung: Beispiel zur Flächenberechnung Vertauschen der Integrationsgrenzen Die Fläche zwischen zwei Funktionen 7 Schritt : 7 Schritt : 7 Beispiel für die Fläche zwischen Funktionen Schritt : Schritt : Beispiel für die Fläche zwischen Funktionen und Tangente Schritt : Bestimmen der Tangentenfunktion Schritt : Den nächsten Berührpunkt bestimmen. Schritt : Nullstellen der Funktion bestimmen Schritt : Integrieren Schritt : Beträge addieren Berechnen von Rotationskörpern Was ist ein Rotationskörper? Volumenberechnung mit der Integralrechnung Weiteres Beispiel mit einer anderen Funktion 6 Das Volumen eines Bechers 7 Das Volumen eines Faßes 8 Wichtige Stammfunktionen - -

2 VB Die Integralrechnung Die Stammfunktion Integrieren ist die Umkehrung vom differenzieren! Um die Fläche unter einer Funktion bis zur -Achse zu errechnen, benötigt man die Stammfunktion einer Ausgangsfunktion. Ausgangsfunktion f Die Stammfunktion der Ausgangsfunktion, ist die Funktion deren. Ableitung die Ausgangsfunktion ergibt. Oder anders gesagt: leitet man die Stammfunktion ab, ergibt sich die Ausgangsfunktion Wie kommt man zur Stammfunktion am Beispiel der Potenzfunktion.Schritt: Der Eponent wird um erhöht.. Schritt: Der neue Eponent ist als Nenner zur Potenz zuzufügen.. Schritt: Die Konstante c die beim differenzieren wegfällt, muss wieder zur Stammfunktion dazu. c kann jede natürliche Zahl sein. Darum gibt es unendlich viele Stammfunktionen.Schritt : Die Stammfunktion wird durch F dargestellt..schritt: Leitet man die Stammfunktion wieder ab, muss die Ursprungsfunktion rauskommen. n a F n c f Stammfunktion F.Ableitung der Stammfunktion Beispiele für Stammfunktionen: F ' Ausgangsfunktion f sin F cos c f F c 8, F c c f - - 6

3 VB Beispiele mit Wurzelfunktionen f Die Wurzel in eine Potenz verwandeln. f f Eponent erweitern und teilen f f 8 Kürzen und zurück zur Wurzel F c Beispiele für die Wurzel im Nenner f Die Wurzel in eine Potenz verwandeln. f f Eponent erweitern und teilen f f Kürzen und zurück zur Wurzel f c Stammfunktion von / f F ln c / ist zwar gleich, aber mit der Regel für Potenzen von oben käme ein falsches Ergebnis raus, nämlich: f c Selbst wenn man die Division durch Null übersieht, entspricht immer also einer Konstanten die beim Ableiten wieder wegfallen würde. Da wir aus der Differentialrechnung aber wissen, dass die Ableitung von fln - f / ist, und die Integration genau das Gegenteil vom Ableiten ist, kennen wir die Lösung. - -

4 VB Wie berechnet man nun aus der Stammfunktion die Fläche unter einer Funktion? f Von der Funktion rechts, soll die Fläche im Intervall von bis errechnet werden orange Fläche..Die Stammfunktion suchen f F.Mit dem Integral die Fläche errechnen d 8, Die Fläche im Intervall von bis ist, groß. Erklärung: d Gesprochen: Integral von bis über f von d. Das Integralzeichen ist eine Erweiterung des Summenzeichens Σ mit den Intervallgrenzen. hier von bis d bedeutet, dass die Anzahl der Rechtecke unter der Funktion, deren Breite eigentlich ist unendlich hoch ist. Da die Breite dann gegen geht spricht man von d. Dazwischen steht die Randfunktion f. hier Ist die Stammfunktion von f in eckigen Klammern mit den Intervallgrenzen. Setzt man nun in die Stammfunktion für die größere Intervallgrenze hier ein, erhält man die Fläche von bis unter der Randfunktion blau und rot zusammen. Setzt man die linke Grenze hier ein erhält man die Fläche von bis blaue Fläche. Man muss nun nur noch von der großen Fläche die kleine abziehen und erhält die Fläche zwischen und rote Fläche 8, - -

5 VB Beispiel zur Flächenberechnung f Berechne die Fläche im Intervall von, bis orange Fläche..Die Stammfunktion suchen f F c.mit dem Integral die Fläche errechnen, d,,,,8 Die Fläche im Intervall von, bis ist,8 groß. Vertauschen der Integrationsgrenzen Soll die Fläche unter einer Funktion in einem Intervall gesucht werden bei dem die obere Grenze kleiner ist als die Untere gilt der Satz: b a a b Man tauscht also einfach die Grenzen und negiert das Integral. - -

6 VB Die Stammfunktion bei Verketteten Funktionen Wenn die innere Ableitung eine Konstante ist f Gesucht ist die Fläche von bis. orange Fläche. Die Stammfunktion muss aus der äußeren Funktion gebildet und dann noch durch die Ableitung der inneren geteilt werden. Innere Ableitung.Die Stammfunktion suchen F c f.durch die innere Ableitung teilen F 6 c c. Mit dem Integral die Fläche ausrechnen. d , Die Fläche von bis ist,7-6 -

7 VB Die Fläche zwischen zwei Funktionen Angenommen wir haben zwei Funktionen.. f. g Zwischen diesen Funktionen gibt es eine Fläche gelb, die es zu berechnen gilt. Hier nun die Vorgehensweise: Schritt : Wir bestimmen die Schnittpunkte der beiden Funktionen, in dem wir die Funktionen gleichsetzen. Dann bringen wir alles auf eine Seite, um so eine quadratische Gleichung zu bekommen. Diese Funktion nennt man Differenzfunktion. Die beiden Lösungen dieser Gleichung sind: - Und das sind auch die Integrationsgrenzen unserer Aufgabe. Schritt : Nun berechnen wir die Fläche unter g orange und ziehen sie von der Fläche unter f gelb plus orange ab. Fläche Fläche f d g d Wobei f g genau die Differenzfunktion von oben ist. A f g d Also ist die Fläche: A d 8, - 7 -

8 VB Das Ergebnis ist zwar negativ, ist aber dennoch richtig. Das liegt an der Tatsache, dass wir oben die Differenzfunktion zufällig gebildet haben. Hätten wir alles auf die rechte Seite gebracht und mit dieser Funktion weiter gerechnet, käme, raus. Also einfach den Betrag bilden! Die Fläche zwischen den Funktionen ist also, - 8 -

9 VB Beispiel für die Fläche zwischen Funktionen Die zwei Funktionen sind jetzt. f rote Kurve. g blaue Kurve Zwischen diesen Funktionen gibt es eine Fläche gelb, die es zu berechnen gilt. Schritt : Wir bestimmen die Schnittpunkte der beiden Funktionen, in dem wir die Funktionen gleichsetzen. Wieder bringen wir alles auf eine Seite, und bekommen dadurch eine Funktion. Grades. Das ist unsere Differenzfunktion. Als nächstes klammern wir aus und erhalten Da die Gleichung ist, wenn oder der Klammerausdruck ist Ist eine Nullstelle Der Rest ist wieder eine Quadratische Gleichung. Die beiden Lösungen dieser Gleichung sind: -, Also sind die Integrationsgrenzen unserer Aufgabe. X- X X Schritt : Die Aufgabe muss nun in zwei Teile gegliedert werden, weil ein Teil der Fläche links der Y-Achse und ein Teil rechts davon liegt. Wir rechnen also erst von bis und dann von bis und bilden aber gleich die Beträge der Integrale um zur Gesamtfläche zu kommen. Die Differenzfunktion ist Wir müssen also die zwei Teilflächen, die jeweils als ein Integral angesehen werden können, addieren. A d d Die beiden Integrale links und rechts der Y-Achse werden mit ihren Beträgen addiert! [ 8] [ 8 ] 8 Die Fläche zwischen den Funktionen ist also 8 - -

10 VB Beispiel für die Fläche zwischen Funktionen und Tangente Bestimmen Sie die Fläche zwischen der Funktion f und der Tangente im Punkt /, im Intervall bis zum nächsten Berührpunkt der Tangente und der Funktion. Schritt : Bestimmen der Tangentenfunktion Die Steigung der Tangente wird durch die erste Ableitung im Punkt / bestimmt. f f ' 6 Einsetzen des Punktes f ' f ' Die Steigung der Tangente im Punkt / beträgt also Weil eine Tangente eine Gerade ist, gilt für sie die allgemeine Geradengleichung f m c f Da die Tangente durch den Ursprung, geht, hat sie eine Steigung von und keinen Achsenabschnitt c. Schritt : Den nächsten Berührpunkt bestimmen. Durch Gleichsetzen der Funktion und der Tangente und Auflösen nach, können die Kreuzungspunkte bestimmt werden. Da ein Berührpunkt der Tangente und der Funktion im Punkt / liegt, vereinfachen wir die Funktion durch Polynomdivision durch den Linearfaktor - : - -

11 VB ist eine quadratische Funktion, die wir mit der ABC-Formel auflösen. A -/ B C A C A B B ± / Die Funktion hat also die Nullstellen und, wobei eine doppelte Nullstelle ist. Daraus schließen wir, dass der nächste Berührpunkt der Funktion und der Tangente bei liegt. Also liegt die zu Integrierende Fläche zwischen und Schritt : Nullstellen der Funktion bestimmen Eine Nullstelle der Funktion ist offensichtlich. Da sie kein Absolutglied besitzt, ist die erste Nullstelle im Ursprung. Wir führen wieder eine Polynomdivision durch: : ist wieder eine quadratische Funktion mit A -/ B C - A C A B B ± /, 6 6,7 6 Die Funktion f hat also die Nullstellen, - -

12 VB,, 6,7 Machen wir eine Skizze mit der Tangente Schritt : Integrieren Da wir nicht über Nullstellen hinweg integrieren dürfen, müssen wir drei Integrale mit den Intervallen: bis,, bis 6,7 6,7 bis Und weil wir zwischen zwei Funktionen Integrieren bilden wir die Differenzfunktion von: f und f f f Die Stammfunktion von f ist F Also lösen wir drei Integrale:.., 6,7, d d, 6,7, - -

13 VB. 6,7 6,7 d. FE d 8,7,77,8,,,,. FE d 7,6 8,7,7 77,68,, 6,7 6,7 6,7, 6,7,. FE d 6,,7 77,7 7 6,7 6,7 6,7 6,7 6,7 Schritt : Beträge addieren 8,7 7,6 6, 8, FE Die Fläche zwischen der Funktion und der Tangente im Intervall [,] beträgt 8, Flächeneinheiten - -

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15 VB Berechnen von Rotationskörpern Nachdem wir nun wissen wie man Flächen zwischen Funktionen errechnen kann, gehen wir zum nächsten Schritt über: Dem Volumen von Rotationskörpern. Was ist ein Rotationskörper? Stellen wir uns eine Fläche vor die um die X-Achse rotiert und dabei einen Körper ergibt. Fangen wir einfach an: Gegeben sei die Funktion f Wir wissen, dass die Funktion eine Ursprungsgerade mit einer Steigung von, ist. Jetzt stellen wir uns vor, die Fläche der Funktion, im Intervall von bis, rotiert um die X-Achse. Es entsteht ein Kegel mit dem Radius und der Höhe. Der Körper sieht etwa so aus: Die Formel für die Volumenberechnung, die wir alle kennen, ist ja bekanntlich: V r Π h, 6,7 Volumenberechnung mit der Integralrechnung Man kann sich jetzt natürlich fragen warum man dafür die Integralrechnung benötig, wenn es doch auch einfacher geht. Der Grund ist der, dass die Randfunktion natürlich wieder jede beliebige Form annehmen kann. Die Herleitung der Integralformel zur Volumenberechnung von Rotationskörpern spare ich mir. mal wieder Wer sich dafür interessiert kann ja in ein gutes Mathebuch schauen. V b Π f a d Man setzt einfach die Funktion ins Quadrat und Multipliziert das Integral mit Pi. - -

16 VB Für unser Beispiel gilt also: V Π d Π d Π V Π Π Π 6, 7VE Das Ergebnis stimmt! Weiteres Beispiel mit einer anderen Funktion Gegeben sei: f Gesucht ist das Volumen des Rotationskörpers von bis. V Π Π Π,6VE Π Der Körper sieht so aus: - 6 -

17 VB Das Volumen eines Bechers Gegeben ist die Funktion f Gesucht ist das Volumen des Rotationskörpers von bis. V Π Π Π Π 7Π 8,VE Π [,,] Der Körper sieht so aus: - 7 -

18 VB Das Volumen eines Faßes Gesucht ist das Volumen eines Fasses von m Höhe und den Radien cm an den Enden und cm in der Mitte. Die Randfunktion muss eine nach unten geöffnete Parabel sein wie hier in der Zeichnung. Die Funktionsbeschreibung dieser Parabel kann über die Scheitelpunktform leicht erstellt werden. Allgemein gilt: f a, Die Werte in dm Die - gibt bekanntlich die Verschiebung des Scheitelpunktes in Richtung an und die, in y Richtung. Das Minuszeichen vor dem Streckungsfaktor a ist notwendig, um eine nach unten geöffnete Parabel zu erhalten. Fehlt nur noch der Faktor a. Setzt man jedoch in die Formel einen bekannten Punkt ein, kann man a errechnen. Der Punkt ist /,. also f a,, a,,,, Die gesuchte Funktion ist also f, Der Einfachheit halber stellen wir die Gleichung in die Normalform um: f,,, Den Faktor, ausklammern: Das Binom auflösen Vereinfachen Den Faktor wieder einklammern f, 87, f, 87, f, 6, f,,, - 8 -

19 VB Jetzt müssen wir nur noch den Rotationskörper im Intervall von bis ausrechnen. Π,,, d Π,6,6 Π,6 Π,, Π 8 6,,,,67Π, 6, 6,, Volumeneinheiten 6, d 7,8 Liter Das Fass hat ein Volumen von 7,8 Liter Und so sieht es etwa aus - -

20 VB Wichtige Stammfunktionen Funktion f a Stammfunktion F ln ln a n n n n a b a b a n Kettenregel: Potenzregel anwenden große Klammer und durch innere Ableitung teilen. a a sin cos cos sin ln ln ln a ln a ln ln a ln e a e a n e tan ln a e e a a ln a e a ln a ln a Kettenregel: Potenzregel anwenden und durch innere Ableitung teilen. Dann vereinfachen. cos arctan - -