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1 Check-1 (1/8) erstellt: (WUL); zuletzt geändert: (WUL)

2 Nullstellen Nullstellen Die Punkte einer Funktion die die x-achse durchstoßen oder berühren nennt man Nullstellen. Sie haben meist eine besondere Bedeutung. Daher bestimmen oder berechnen wir sie. Beispiel: In einem Fass lagern 120L Wasser. Pro Sekunde laufen 40L aus einem Hahn ab. Nach wie vielen Sekunden ist das Fass leer? Die vereinfachte lineare Funktion lautet: Am Graphen kann ich ablesen, wann kein Wasser mehr im Fass ist, wann also 0 Liter verbleiben. Dies passiert bei, also nach 3 Sekunden. Die Nullstelle liegt bei a) 1. Bestimme graphisch die Nullstellen der folgenden abgebildeten Funktionen und finde die Werte für x und y. b) c) bei bei bei a) 2. Bestimme graphisch die Nullstellen der folgenden abgebildeten Funktionen b) c) (2/8) erstellt: (WUL); zuletzt geändert: xx.xx.2017 (xxx)

3 Merksatz 1: Nullstellen von Geraden Eine lineare Funktion (eine Gerade) hat genau einen Schnittpunkt mit der x-achse und damit genau eine Nullstelle. Nur wenn die Steigung 0 ist, kann es sein, dass entweder unendlich viele Nullstellen vorhanden sind (Gerade liegt auf der x-achse) oder keine Nullstelle vorhanden ist (Gerade liegt parallel zur x-achse). Merksatz 2: Nullstellen von Parabeln Eine quadratische Funktion kann maximal zwei Schnittpunkte mit der x-achse und damit zwei Nullstellen haben. Liegt im Sonderfall der Scheitelpunkt genau auf der x-achse besitzt die Funktion einen Schnittpunkt (einen Berührungspunkt). Liegt die Parabel entweder nur oberhalb oder nur unterhalb der x-achse gibt es keinen Schnittpunkt. Nullstellen Rechnerisch ermitteln Übung an der Geraden Die Nullstellen einer Funktion liegen immer bei. Setze in die Funktion ein, um den x-wert der Nullstelle zu berechnen. Beispiel: gegebene Funktion: bei Nullstellen gilt: Null setzen: Wie groß muss x sein? Umformen: Es gibt eine Lösung: Ergebnis: +8 :2 Die Funktion hat eine Nullstelle: mit und 3. Bestimme rechnerisch die Nullstellen der folgenden Funktionen a) b) c) d) Nussknacker: (erst so weit wie möglich vereinfachen) (3/8) erstellt: (WUL); zuletzt geändert: xx.xx.2017 (xxx)

4 Nullstellen einer Parabel rechnerisch ermitteln Zur Berechnung von Nullstellen bei Parabeln beginnen wir genauso wie bei Geraden: Die Nullstellen einer Funktion liegen immer bei. Setze in die Funktion ein, um den oder die x-werte der Nullstellen zu berechnen. Durch Umformen erhältst du die möglichen Lösungen für x. Beispiel: gegebene Funktion: Bei Nullstellen gilt: Null setzen: Wie groß muss x sein? Umformen ACHTUNG: Beide Lösungen betrachten! (Siehe Check-2) +8 :2 1.Fall 2.Fall Ergebnis: Die Funktion hat zwei Nullstellen: mit und mit und -5 Erste Lösung -5 Zweite Lösung 4. Bestimme rechnerisch die Nullstellen der folgenden Funktionen a) b) c) d) Sonderfälle: e) f) (4/8) erstellt: (WUL); zuletzt geändert: xx.xx.2017 (xxx)

5 Lösen quadratischer Gleichungen Normalform Liegt eine quadratische Gleichung nicht in der Scheitelpunktform vor, so können wir sie nicht über das Ziehen einer Wurzel direkt umformen und lösen. Oft liegen diese Gleichungen dann ähnlich der Normalform vor. Beispiel: Um mögliche Werte für x herauszufinden hilft es die linke Hälfte der Gleichung erst in die Scheitelpunktform umzuformen. Erkenne eine der binomischen Formeln und ergänze die Klammer. Binomische Formeln: a ab b (a b) a ab b (a b) a b (a b)(a b) Bestimme nun weiter auf gewohntem Wege die möglichen Lösungen für x. Fall 1: Fall 2: 5. Löse auf gleichem Wege die folgenden quadratischen Gleichungen g) h) i) (5/8) erstellt: (WUL); zuletzt geändert: xx.xx.2017 (xxx)

6 Quadratische Ergänzung Wenn Ich keine binomische Formel erkennen kann, so muss ich mir meinen Term zu einer binomischen Formel ergänzen und den Fehler sofort wieder korrigieren. Wir ergänzen mit +4 zu einem Binom und können dann ersetzen: Jetzt löse ich wie gewohnt: x x 4 (x ) Fall 1: Fall 2: 6. Löse die quadratische Gleichung mit Hilfe der quadratischen Ergänzung Fall 1: Fall 2: Quadratische Ergänzung p-q-formel (6/8) erstellt: (WUL); zuletzt geändert: xx.xx.2017 (xxx)

7 Eine quadratische Gleichung liegt oft in der Normalform vor: Solange in der Gleichung aber gleichzeitig und vorkommt, kann sie nicht gelöst werden. Um trotzdem mögliche Werte für herauszufinden, also die Gleichung zu lösen, hilft es die linke Hälfte der Gleichung mit der quadratischen Ergänzung erst in die Scheitelpunktform umzuformen. Dies können wir nun mit unserer Fallunterscheidung lösen: Dieser Weg funktioniert für alle Gleichungen der Form: Wir rechnen die quadratische Ergänzung also nur EINMAL mit p und q und dürfen die Formel dann immer anwenden: ( war im Beispiel 10, war im Beispiel 9) Herleitung Formel + - Die beiden Lösungen für unterscheiden sich nur um ein Vorzeichen: Diese Formel heißt p-q-formel. (7/8) erstellt: (WUL); zuletzt geändert: xx.xx.2017 (xxx)

8 Bei einem Volleyballspiel konnte die Flugbahn mit der Gleichung: beschrieben werden. Wo berührt der Ball den Boden? Zum Lösen der Aufgabe müssen die Nullstellen der Funktion bestimmt werden. Dazu setzen wir und formen mit einem Schritt um, damit die Gleichung identisch mit der p-q- Formel aufgestellt ist: Beispiel Üben Daraus folgt: und Wir nutzen die p-q-formel, um 2 Lösungen für x zu bekommen: 7. Löse durch Anwendung der p-q-formel die folgenden quadratischen Gleichungen j) k) l) m) (8/8) erstellt: (WUL); zuletzt geändert: xx.xx.2017 (xxx)