Seite. quadratischen Funktionen berechnen? dies erkläre ich dir gleich. + = 0, = 2 ± 1. 2 / = 0 : 2 :2, damit allein steht

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1 Thema: Quadratische Funktionen Ich kann die Nullstellen quadratischen Funktion berechnen durch LE 2.1 Seite 6 Für die LE 2 solltest du dir maximal 180 Minuten schulische Lernzeit einplanen. Den Rest solltest du zu Hause bearbeiten! Notiere Dir Beginn, Ende und Dauer Deiner Bearbeitungszeit! Beginn Ende: Bearbei : Datum, Uhrzeit Datum, Uhrzeit itungszeit: Wie kann ich die Nullstellen von quadratischen Funktionen berechnen? Die Nullstellen von quadratischen Funktionen kannst du immer mit der bekannten p-q-formel berechnen. Alternativ kannst du auch die sogenannte abc-formel verwenden. Auf diese wird hier aber nicht eingegangen. Unter bestimmten Umständen kannst du die Nullstellen auch mit Hilfe des Umformens oder des Ausklammerns berechnen. Auch dies erkläre ich dir gleich. Berechnung der Nullstellen mit der p-q-formel Die p-q-formel lautet + + = 0, = 2 ± 1. 2 / Beispiel: Berechne die Nullstellen von = Du rechnest = = 0 : 2 :2, damit allein steht = 0 somit ist = 3 und = 5; dies setzt du in die rechte Seite der p-q- Formel ein:, = - ±. - / 10 dies tippst du in deinen Taschenrechner und erhältst: = 5; = 2.

2 Funktionen LE 2.1 Seite 7 Berechnung der Nullstellen durch Umformen oder mit der p-q-formel Wenn bei einer quadratischen Funktion = 0 ist, kannst du die Nullstellen durch Umformen oder mit der p-q-formel berechnen. Beispiel: Berechne die Nullstellen von = Wenn du die p-q-formel anwenden möchtest rechnest du = = 0 : = 0 dann ist = 0 und = 27; einsetzen in die p-q-formel, = 3 ±. 3 / 27 eintippen in den Taschenrechner = 3; = 3 WENN = 0 ist, gibt es allerdings einen leichteren und weniger fehleranfälligen Weg als die p-q- Formel. Du kannst die Nullstellen durch Umformen berechnen: Du rechnest = = = 27 : 3 = 9 ± 4 = 3; = 3 (Beachte: Beim Wurzelziehen gibt es IMMER ZWEI Ergebnisse - ein Positives und ein Negatives!) Achtung: Umformen wird nur gelingen, wenn schon in der Ausgangsfunktion Null ist. Ansonsten nicht! Welche der beiden Möglichkeiten du wählst bleibt dir überlassen. Eine von beiden reicht.

3 Funktionen LE 2.1 Seite 8 Berechnung der Nullstellen durch Ausklammern oder mit der p-q-formel Wenn bei einer quadratischen Funktion = 0 ist, kannst du die Nullstellen mit der p-q-formel oder durch Ausklammern berechnen. Beispiel: Berechne die Nullstellen von = Wenn du die p-q-formel anwenden möchtest rechnest du = = 0 : = 0, = ±. / 0 dann ist = 2 und = 0; einsetzen in die p-q-formel eintippen in den Taschenrechner = 0; = = = 0 hier kannst du x ausklammern = 0 ist erfüllt für = 0 oder = 0 = 0 oder = 0 = 12 6 = 12 : 6 = 2 = 0; = 2 WENN = 0 ist, gibt es allerdings einen leichteren und weniger fehleranfälligen Weg als die p-q- Formel. Du kannst die Nullstellen durch Ausklammern berechnen: = 0 Achtung: Ausklammern wird nur gelingen, wenn schon in der Ausgangsfunktionn Null ist. Ansonsten nicht! Welche der beiden Möglichkeiten du wählst bleibt dir überlassen. Eine von beiden reicht.

4 Funktionen LE 2.1 Seite 9 Gibt es immer zwei Nullstellen? Ganz klar: NEIN! zwei Nullstellen eine (doppelte) Nullstelle keine Nullstelle Hier ein Beispiel für eine Funktion mit zwei Nullstellen: = =! = 0 : = 0, = - ±. - / 10 = 5; = 2. Hier ein Beispiel für eine Funktion mit einer doppelten Nullstelle: = =! = 0 : = 0, = 2 ± = 2 ± 0 = 2; = 2.

5 Funktionen LE 2.1 Seite 10 Hier ein Beispiel für eine Funktion ohne Nullstellen: = =! = 0 : = 0, = 2 ± = 2 ± 2 aus einer negativen Zahl kann keine Wurzel gezogen werden hat keine Nullstellen.

6 Funktionen LE 2.1 Seite 11 Übungen: Teste Dein Wissen! - Bearbeite mindestens so viele Aufgaben, wie unten angegeben! Berechne die Nullstellen der folgenden Funktionen. Verwende das angegebene Verfahren. Aufgabe 1: Umformen (bearbeite mindestens 4 Aufg.) a)* = 4 b)* = 9 c)* = 16 d)* = 9 e)* = : ; Aufgabe 2: Ausklammern (bearbeite mindestens 3 Aufg.) a)* = + b)** = 2 4 c)** = 2 15 d)** = e)** = < f)** = 3 12 g)** = 2 ;= : h)** = i)** = 0,5 + 8 Aufgabe 3: p-q-formel (bearbeite mindestens 3 Aufg.) a)* = b)** = c)** = 0,5 + 0,5 6 d)** = + = < e)*** = - 2 f)*** = 4 4

7 Funktionen LE 2.1 Seite 12 Lösungen Aufgabe 1 Aufgabe 2 a) = 2; = 2 a) = 0; = 1 b) = 3; = 3 b) = 0; = 2 c) = 4; = 4 c) = 0; = 7,5 d) = ; = d) = 0; = 20 e) = : - ; = : - e) = 0; = f) = 2; = 2 g) = > : ; = > : h) keine Lösung -> keine Nullstellen i) keine Lösung -> keine Nullstellen Aufgabe 3 a) = 2; = 2 b) = 2; = 5 c) = 4; = 3 d) = ; = 9 e) keine Lösung -> keine Nullstellen f) = 2; = 2 (doppelte Nullstelle)

8 Funktionen LE 2.2: Ich kann die Bedeutung der Diskriminante erklären. Was ist die Diskriminante und welche Bedeutung hat sie? Seite 13 Die Diskriminante ist der Teil der p-q-formel, der auf der rechten Seite unter der Wurzel steht (hier rot eingefärbt): + + = 0, = 2 ± 1. 2 /? =. /? stehtt für Diskriminante Wie du an den Beispielen oben bestimmt schon erkannt hast gilt: Wenn? ( 0, dann hat zwei Nullstellen. (Also wenn unter der Wurzel eine positive Zahl steht.) Wenn? = 0, dann hat einee (doppelte) Nullstelle. (Also wenn unter der Wurzel 0 (Null) steht.) Wenn? ) 0, dann hat keine Nullstelle. (Also wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht.) Was hat es mit einer doppelten Nullstelle auf sich? Eine doppelte Nullstelle hast du, wenn du in der p-q-formel unter der Wurzel 0 (Null) herausbekommst. Nach der p-q-formel rechnest du jetzt = 0 = und = + 0 =. Wie du siehst, bekommst du zwei mal das gleiche Endergebnis und somit eine doppelte Nullstelle. Dies ist zum einen für die Linearfaktordarstellung relevant (zur Linearfaktordarstellung siehe nächster Abschnitt): /A /A Zum anderen ist es für die Skizze der Funktion relevant: Bei einer doppelten Nullstelle berührt der Graph die x-achse nur, schneidet sie aber nicht. Außerdem sind bei doppelten Nullstellen und x-koordinate des Scheitelpunktes identisch.

9 Funktionen LE 2.3: Ich kann die Linearfaktordarstellung einer quadratischen Funktion bilden. Seite 14 Was ist die Linearfaktordarstellung der quadratischen Funktion und wie kann ich sie bilden? Die Linearfaktordarstellung ist eine weitre Darstellungsform für quadratische Funktionen, die es neben der Normalform gibt. Sie wird nach folgendem Muster gebildet: =. Dabei sind und die Nullstellen der Funktion. Beispiel: Gegeben ist die Funktion = Die Nullstellen sind = 5 und = 2 (zur Überprüfung kannst du dies mit der p-q-formel ja einmal selbst ausrechnen). Du liest aus der Normalform (Ausgangsfunktion) noch den Vorfaktor ab ( = 2) und setzten alles ein: = mit = 2; = 5; = 2 = 2B 5C 2 = Vereinfacht: Das Vorzeichen der Nullstellen muss für die Linearfaktordarstellung umgedreht werden. Der Vorfaktor wird unverändert aus der Normalform übernommen. Wenn dir umgekehrt die Linearfaktordarstellung gegeben wird, kannst du die Nullstellen ohne Rechnung ganz einfach ablesen. Beispiel: = 0, Die Nullstellen der Funktion sind = 4 und = 3. Achte darauf, dass du beim Ablesen der Nullstellen das Vorzeichen wieder umdrehst! Wozu braucht man die Linearfaktordarstellung überhaupt? Während du aus der Normalformm ohne große Mühe den y-achsenabschnitt ablesen kannst, kannst du aus der Linearfaktordarstellung ohne große Mühe die Nullstellen ablesen. Durch einfaches Ausmultiplizieren kannst du die Linearfaktordarstellung wieder in die Normalform überführen. = 0, = 0, = 0,5 12 = 0,5 + 0,5 + 6 Wenn du in der Lage bist zwischen den einzelnen Darstellungsformen zu wechseln, kommst du also schnell an Informationen über die Funktion.

10 Funktionen LE 2.3 Seite 15 Ich kann die Linearfaktordarstellung einer quadratischen Funktion bilden. Übungen: Teste Dein Wissen! - Bearbeite mindestens so viele Aufgaben, wie unten angegeben! 1) Bilde die Linearfaktorform und berechne daraus die Normalform. (bearbeite mind. 3 Aufg.) a) * = 2; = 3; = 2 b) * = 4; = 0,5; = 3 c) * = ; = 4; = d) * = 9 ; = 8; = - e) ** = = 3 ; = 1 2) Lies die Nullstellen ab und gib sie an. (bearbeite mind. 3 Aufg.) a)* = b)* = c)** = 2 6 d)* =. / + 5 < e)** = :> - =-. /. + / -> 9; 9> Lösungen: Aufgabe 1 a) = = b) = 3 4 0,5 = 3 > + 6 c) = 0,5 4 0,5 = 0,5 ; d) = = e) = = 6 9 Aufgabe 2 a) = 2; = 1 b) = 4; = 3 c) = 0; = 6 d) = ; = 5 e) = - 9; ; = =- 9>