Funktionenverständnis/ Potenzfunktionen

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1 Funktionenverständnis/ Potenzfunktionen 1 Funktionenverständnis durch Kenntnis von Potenzfunktionen: f(x)= a x n Unter Potenzfunktionen versteht man Funktionen, die allgemein in der Form f(x)= ax n geschrieben werden, also z.b. Funktionen wie f(x)= x oder f(x)= -4x 6 usw. Der Exponent kann auch 1 oder sein, so dass im Prinzip auch lineare Funktionen oder quadratische Funktionen darstellbar sind, aber auch jeder höhere Exponent wie, 4, usw sind denkbar. Man kann Gesetzmäßigkeiten erkennen, wie die Funktionsgraphen in Abhängigkeit des Exponenten n und des Vorfaktors a prinzipiell verlaufen und dadurch hilfreiche Kenntnisse erlangen, die einem bei späteren Betrachtungen von Hilfe sein können. 1) Klicke auf den folgenden Link, um auszuprobieren, welchen Einfluss der Vorfaktor a und der Exponent n auf den Verlauf des Funktionsgraphen haben. ) Stelle Gesetzmäßigkeiten zu dem Verlauf von Potenzfunktionen der Form f(x)= ax n auf. Berücksichtige dabei auf den Einfluss des Vorfaktors a und des Exponenten n und skizziere bitte jeweils einen entsprechenden Funktionsverlauf qualitativ: Vorfaktor a Exponent n Potenzfunktion z.b.: Verlauf eines Funktionsgraphen f 1 (x)= a >0 n = gerade f (x)= f (x)= a >0 n = ungerade f 4 (x)= f 5 (x)= f 6 (x)= a <0 n = gerade f 7 (x)= f 8 (x)= f 9 (x)= a <0 n = ungerade f 10 (x)= f 11 (x)= f 1 (x)= 1 Grafik by Datei: Fktn höh Ordn & Co _ 1-6 [email protected]

2 Funktionenverständnis/ Potenzfunktionen Übungen zu Potenzfunktionen und zum Funktionenverständnis 1) Skizziere folgende Funktionen qualitativ (ohne eine Wertetabelle anzulegen) a) a(x)= x 6 b) b(x)= -x c) c(x)= -x d) d(x)= -0,5x -4 e) e(x)= x + f) f(x)= x 5 - g) g(x)= -x 4 + h) h(x)= 1x 4 + ) Was kannst Du hinsichtlich des Vorfaktors a, des Exponenten n und des absoluten Gliedes b sagen, wenn Du die abgebildeten Graphen anschaust? Wie könnte die Funktion dann (ungefähr) lauten? Funktion Vorfaktor a Exponent n Absolut- Glied b f(x)=ax n +b z.b. a(x) a(x)= b(x) b(x)= c(x) c(x)= d(x) d(x)= 1 Grafik by Datei: Fktn höh Ordn & Co _ 1-6 [email protected]

3 Ordinate, Nullstellen & Skizze Ganzrationaler Funktionen Strategien zur Nullstellenbestimmung von Funktionen höherer Ordnung 1 Grafik by Datei: Fktn höh Ordn & Co _ 1-6 [email protected]

4 Ordinate, Nullstellen & Skizze Ganzrationaler Funktionen 4 Ordinate, Nullstellen & Skizze bei Funktionen höherer Ordnung Bestimme bitte von den folgenden Funktionen die Ordinate und die Nullstellen und fertige eine qualitative Skizze des Funktionsgraphen an, also eine Skizze, die zeigt, wie der Graph ungefähr verläuft. (Bonus: Gib jeweils die Linearfaktordarstellung an) Pflichtaufgaben Wahlaufgaben 1) f ( x) = x x 8x ) f ( x) = x 8x + 6x ) f ( x) = x + x +, 5x ) f ( x) = x x ) f ( x) = x + x 100 6) f( x) = x 5x + x + 8 7) f( x) = 0,5x 1,5x,5x + 4, 5 8) f( x) = x 5,5x 0,5x ) f( x) = x + 4x + x 18 10) f( x) = x 6x (5 Pkte) 1 (6 Pkte) (je 7 Pkte) (je 6 Pkte) Gute Internetlinks zum : Erklärt nochmals die Polynomdivision und stellt einen PolynomdivisionsRechner zur Verfügung. Ebenfalls generiert er Musteraufgaben mit ausführlicher Lösung! Eine Polynomdivision wird an einem Beispiel Schritt für Schritt erklärt. Weitere Beispielaufgaben mit Lösungen 1 Grafik by Datei: Fktn höh Ordn & Co _ 1-6 [email protected]

5 Nullstellen von Fktn. höh. Ordn. bestimmen - Horner Schema - 5 Das Horner Schema (Alternative zur Polynomdivision) Der englische er William George Horner (um 1800) hat ein einfaches Rechenschema aufgestellt, mit dem sich zu bestimmten x-werten, die zugehörigen f(x), also y-werte berechnen lassen. Mit der Funktion f( x) = x 5x 6x + 9 baut sich das Horner Schema wie folgt auf: 1) In die erste Zeile, werden die Koeffizienten (=Vorzahlen) der geordneten x-werte (zuerst x³, dann x² usw.) geschrieben. ) In die zweite Zeile, wird zunächst nur am Anfang eine Null geschrieben. ) In die dritte Zeile, wird zunächst vorne der x-wert hingeschrieben, mit dem man das Horner Schema rechnen möchte (hier: x 1=1) 4) Jetzt beginnt die Rechnung, und zwar immer so, dass man vertikal () addiert und diagonal () mit dem x-wert multipliziert. aus z.b. f( x) = x 5x 6x + 9 folgt: Horner Schema: f x 1 = =f(1) Re st Restfunktion ( x) = x x 9 Dann weiter mit p/q-formel, also 0 = x x 9 usw. Der Wert, der bei der letzten Addition herauskommt, ist der f(x)-wert (=y-wert) zu dem gerechneten x-wert. In unserem Beispiel ist x 1 =1 und der y-wert = 0! das heißt, dass bei x=1 eine Nullstelle vorliegt! 5) Wenn die letzte Addition eine Null als Ergebnis hat, geben die vorderen Zahlen der Ergebniszeile die Koeffizienten der Restfunktion an. Die Restfunktion ist der Teil einer Funktion, den man als Ergebnis bei einer Polynomdivision erhält. Z.B. bei einer Polynomdivision von f( x) x 5x 6x + 9 = durch den Linearfaktor (x-1) erhält man: Beispiel: ( x 5x 6x + 9) : ( x 1) ( x x ) x 6x ( x + x) 9x + 9 ( 9x + 9) 0 = x x 9 Restfunktion! f Rest(x) 6) Die Restfunktion f Rest (x) ist eine Funktion zweiter Ordnung (d.h. eine Parabel). Also können die beiden weiteren Nullstellen z.b. mit der p/q-formel bestimmt werden. 7) Abschließend werden der Vollständigkeit halber nochmals alle drei Nullstellen (N 1 (x 1 /0) ; N (x /0) ; N (x /0) ) aufgelistet. Datei: Fktn höh Ordn & Co _ 1-6 [email protected]

6 Nullstellen von Fktn. höh. Ordn. bestimmen - Horner Schema - 6 Übungen zur Vertiefung 1) Bestimme bitte die Nullstellen folgender Funktionen: a) Zunächst mit Hilfe der Polynomdivision b) Kontrolliere dann mit Hilfe des Horner Schemas 1) f( x) = x 5x 6x + 9 ) f( x) = x 5x + x + 8 ) f( x) = 4x + 16x x 1 4) ** f( x) = 4x 1x 8 5) ** f( x) = x 4,5x 1,5 x f x = 5x 6) ** ( ) 1 7) *** f( x) = x ) *** f( x) = 1,5x (Erläuterung: **= mitdenken! ***=gut mitdenken! ;) ) Stelle bitte eine Funktion dritten Grades auf, die a) deiner Meinung nach leicht zu lösen ist b) deiner Meinung nach schwer zu lösen ist. Erstelle zu beiden Aufgaben eine Musterlösung (idealerweise digital ;). Bei der Lösung kannst du entweder die Polynomdivision anwenden oder das Horner Schema (welches Verfahren dir sympathischer ist). Gib bitte beide Aufgaben mit Musterlösung bei mir ab. (Es wird damit ein Übungsblatt mit Muster-Aufgaben erstellt) Lösungen: zu 1) 1) N1( 1,5 0) ; N ( 1 0) ; N ( 0) ) N ( 1 0) ; N ( 0) ; N ( 4 0) 1 ) N1( 1 0) ; N ( 1,5 0) ; N (,5 0) 4) N ( 1 0) ( doppelte Nullstelle) ; N ( 0) 1 / = 5) N1( 1,5 0) ; N ( 0 0) ; N ( 0) 6) N ( ) 1 / / 0 0 ( = dreifache Nullstelle ) 7) N1 / / ( 0) ( = dreifache Nullstelle) 8) N1 / / ( 1,6 0) ( = dreifache Nullstelle) Datei: Fktn höh Ordn & Co _ 1-6 [email protected]