Grundlagen Trainingsheft mit einer Sammlung an Übungsaufgaben zu Gleichungen dritten bis fünften Grades. Datei Nr Friedrich W.

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1 Grundlagen Trainingsheft mit einer Sammlung an Übungsaufgaben zu Gleichungen dritten bis fünften Grades Datei Nr. 6 Friedrich W. Buckel Stand: 8. September 6 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK ALGEBRA Höhere Gleichungen

2 6 Gleichungen höheren Grades Vorwort In diesem Tet sind sehr viele Arten von Gleichungen höheren Grades aufgelistet. Wenn ein Leser nur wissen will, wie man einen bestimmten Gleichungstyp lösen kann, sollte er im Inhaltsverzeichnis den entsprechenden Punkt auswählen. Man muss hier nicht alles durcharbeiten. Allerdings sind für gewisse Gleichungen Grundlagen erforderlich, die man dann schon kennen sollte. Dazu gehören die Lösungsformeln für quadratische Gleichungen. Ich empfehle NUR die allgemeine Lösungsformel, die auch Mitternachtsformel genannt wird. Viele bevorzugen die p-q-formel, die bei einfachen Gleichungen schneller zum Ziel führt. Doch das kann ja nicht Ziel der Mathematik sein. Kompliziertere quadratische Gleichungen dagegen erden mit der p-q-formel sehr umständlich! Im Zuge der Stoff-Entrümpelung im Zuge des G8, fallen möglicherweise die Polynomdivision oder das Horner-Schema weg, so dass man ganz viele Gleichungen. und. Grades nicht mehr händisch lösen kann. Aber dafür arbeiten dann für uns die neuen Grafikrechner oder CAS-Rechner. Übersicht über die Tete zu quadratischen Gleichungen und ähnlichem Quadratische Gleichungen Sehr ausführlicher Tet Quadratische Gleichungen Tetaufgaben Quadratische Gleichungen Lernblatt: Das Wichtigste zum Lernen Quadratische Gleichungen Übungsaufgaben zu 5 Quadratische Gleichungen Lernprogramm! 6 Quadratische Gleichungen Quadratische Ergänzung, Übungsaufgaben 8 Gleichungen. und. Grades, die auf quadratische Gleichungen führen. Dies steht ausführlich in, hier Übungsaufgaben dazu Bruchgleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen. Übungsaufgaben zu 5 Wurzelgleichungen (die auf quadratische Gleichungen führen) 6 Übungsaufgaben zu 5 59 Reine Potenzgleichungen 6 Gleichungen höheren Grades 7 Diverse Gleichungen Methodentraining 7 Abiturtraining: Gleichungen aller Art 8 Behandlung von Gleichungen und Funktionen höheren Grades mit einem GTR. Hier werden viele weitere Gleichungen gelöst, dort aber bezogen auf Funktionen und deren Nullstellen.

3 6 Gleichungen höheren Grades Inhalt. Grundwissen über quadratische Gleichungen - Kurzwiederholung. Die allgemeine quadratische Gleichung und ihre Lösungsformel Die reduzierte quadratische Gleichung p p Und ihre Lösungsformel,, a b c b b ac a pq q. Vereinfachung quadratischer Gleichungen Rechentricks 5.. Spezialfall: Quadratische Gleichung ohne Absolutglied 7 Nullprodukt lösen 7.. Spezialfall: Reinquadratische Gleichungen 7. Wichtiges Hilfsmittel: Faktorisierung von Gleichungen 8. Zerlegung quadratischer Terme in Linearfaktoren 8. Abspaltung von Linearfaktoren 9. Reine Potenzgleichungen (.,. und. Grades). Gleichungen. Grades.. Spezialfall: Reine Gleichungen. Grades.. Spezialfall: Gleichungen. Grades ohne Absolutglied. Gleichungen. Grades mit Absolutglied jetzt muss man faktorisieren 5 5. Gleichungen. Grades Spezialfall: Reine Gleichungen. Grades Spezialfall: Biquadratische Gleichungen a b Spezialfall: Gleichungen. Grades ohne Absolutglied 9 5. Gleichungen. Grades mit Absolutglied jetzt muss man faktorisieren 6. Eine Gleichung 5. Grades 7. Aufgabenblatt Lösungen dazu 9-5

4 6 Gleichungen höheren Grades 5. Vereinfachung quadratischer Gleichungen - Rechentricks. Ist a=, benötigt man keinen Bruch, weil der Nenner wird: Beispiel 8 Die ausführliche Lösung sieht etwa so aus: Kurzlösung: , 8, Treten andere Brüche in der Gleichung auf, sollte man sie durch eine Multiplikation beseitigen: Beispiel 5 Wer keine Brüche haben will, multipliziert die Gleichung mit :, Man kann diese Gleichung natürlich auch mit dem Bruch a lösen: Beispiel 6, Die Lösung wird absolut schrecklich, wenn man mit diesen Zahlen rechnet: , 9 6 9, 9 9 Empfehlung: Brüche beseitigen durch Multiplikation mit 6: Jetzt entwickelt sich die Rechnung deutlich besser:,

5 6 Gleichungen höheren Grades 6. Manches Mal kann man durch eine Division kleinere Zahlen erzeugen: Beispiel Die Lösung wird absolut schrecklich, wenn man mit diesen Zahlen rechnet: ,...??? 6 6 Man muss erkennen, dass man die Gleichung bruchlos durch dividieren kann: 8 8 : Jetzt entwickelt sich die Rechnung deutlich besser:, Die Lösungen: 97 und 97 Beispiel 8: Hier ist a = und es gibt keine Zahl, durch die man die Gleichung dividieren könnte. Die Lösung sieht also so aus:, Das wird aufwändig, denn wer weiß schon, dass = ( 5 ) = = und 96 ist. Empfehlung: Dividiere die Gleichung durch und erzeuge damit den günstigen Koeffizienten a, dabei werden auch die anderen Zahlen kleiner: : 6 Damit hat man für die allgemeine Lösungsformel deutlich günstigere Zahlen und vor allem wird der Nenner a, so dass man keinen Bruch mehr benötigt., L , Wobei man im Kopf rechnet: und und

6 6 Gleichungen höheren Grades 7.. Spezialfall: Quadratische Gleichung ohne Absolutglied: Methode: a b () Immer wenn das Absolutglied fehlt, also c = ist, kann man ausklammern. Dann entsteht hier ab. Das ist ein Nullprodukt. Da ein Produkt nur dann wird, wenn einer der Faktoren ist, folgt hier stets. Die Klammer führt dann zur zweiten Lösung: Beispiel 9 Beispiel b a 5 ausklammern: (Nullprodukt) 5. Faktor:. Faktor: 5 Lösungsmenge: L ; L ;.. Spezialfall: Reinquadratische Gleichungen: Methode: isolieren: a c () Man isoliert, so dass eine Gleichung der Form Ist k, folgt daraus, k. Ist k, folgt daraus - Ist k hat die Gleichung keine Lösung. Beispiel Beispiel k entsteht. Die Wurzel ziehen: 8 Keine Lösung, da < ist. Betrag auflösen:, Lösungsmenge: L L Hinweis:

7 6 Gleichungen höheren Grades 8 Wichtiges Hilfsmittel: Faktorisierung von Gleichungen. Zerlegung quadratischer Terme in Linearfaktoren Beispiel Lösung der Gleichung:, Aus 5 folgt 5 und aus Daraus bildet man das Produkt: Zum Verständnis: Probe: Ergebnis: Beispiel erhält man ( ) 5 Die Lösungszahlen 5 und - werden also jeweils von subtrahiert. Das ergibt zwei Klammerfaktoren, deren Produkt der Gleichungsterm ist. Durch Ausmultiplizieren dieses Produktes kann man die Probe machen: ( )( ) = = -- 5 Dies ist genau der Term der Ausgangsgleichung! Die Probe stimmt also. Die Gleichung 5 hat die Lösungsmenge L= { 5 ; - }. Sie lässt sich daher in Produktform schreiben: ( 5 )( + ) =. Wir haben also den Term 5 ( 5)( ) --5 in Linearfaktoren zerlegt: Lösung der Gleichung:, 8 Daher kann man die Gleichung auch in Produktform schreiben: ( )( ) ( ) - + = = -- Jetzt muss man beachten, dass der Koeffizient von etra dazu geschrieben werden muss, sonst wird die Gleichung falsch! Beispiel 5 Lösung der Gleichung:, R Da diese quadratische Gleichung keine Lösung hat, kann man den zugehörigen Term auch nicht in Linearfaktoren zerlegen!

8 6 Gleichungen höheren Grades 9. Abspaltung von Linearfaktoren Information! Beispiel 6 Beispiel 7 Was wir in. an quadratischen Gleichungen gesehen haben, kann man bei jeder Gleichung durchführen: Wenn sie eine Lösung besitzt, kann man ihren Gleichungsterm so zerlegen, dass der Faktor auftritt. Das nennt man Abspaltung des Linearfaktors. Dazu gibt es bei Gleichungen höheren als. Grades zwei manuelle Methoden:. Polynomdivision. Horner-Schema Bei CAS-Rechnern verwendet man dazu den Befehl PropFrac. Der Sinn dieser Faktorisierung besteht darin, die Gleichung in ein Nullprodukt zu verwandeln. Jeder Faktor soll dann eine Lösung liefern. Die Gleichung 5 hat die Lösung, was man durch Probieren feststellen kann. Damit weiß man, dass der Gleichungsterm den Linearfaktor enthält. Spaltet man ihn ab, erhält man die Produktdarstellung 5, also ein Nullprodukt. Der. Faktor liefert die quadratische Gleichung 5, aus der man dann die restlichen beiden Lösungen berechnen kann. L ; 7 ; 5 (siehe.) Insgesamt erhält man dann die Lösungsmenge Man sieht also, dass man durch diese Faktorisierung, also Abspaltung von Linearfaktoren eine Chance bekommt, weitere Lösungen zu finden. Liegt eine Gleichung. Grades vor, wird man zuerst zwei Lösungen finden müssen, damit man zwei Linearfaktoren abspalten kann. Der dritte Faktor liefert dann wieder eine quadratische Gleichung, deren Lösungen man berechnen kann. 5 6 Man muss durch Probieren die Lösungen und finden bzw. bestätigen. Spaltet man beide z. B. durch Polynomdivision ab, erhält man den quadratischen Restfaktor 6 8. Insgesamt hat man dann die Gleichung so faktorisiert: 68 L ; ; ; Daraus erhält man am Ende die Lösungsmenge In den Abschnitten, und 5 werden dazu Beispiele zu Gleichungen.,. und 5. Grades gezeigt. Wie man sehen wird, gibt es aber in jedem Fall auch einfache Gleichungen, deren Lösung man auch ohne diese Methode der Linearfaktor-Zerlegung berechnen kann.

9 6 Gleichungen höheren Grades. Reine Potenzgleichungen Darunter versteht man in der einfachsten Art Gleichungen der Form: n c. Um die Lösungsmenge überblicken zu können, verwenden wir die graphische Darstellung von Potenzfunktionen (Siehe Tet 85):. Fall: Die Gleichung c stellt die Berechnung der Schnittstellen der Parabel mit der Geraden y = c dar. Wenn c > ist, gibt es zwei Schnittstellen, die symmetrisch zur y-achse liegen. Berechnung: c c Betrag auflösen c, Beispiele (siehe Abbildung): a) Erklärungen: Abkürzung: b ), L, L Man muss beachten, dass. Viele lassen die zweite Zeile weg und schreiben: b ), L, L Dies geht nur dann in Ordnung, wenn man Befehl weglässt! Wenn man ihn anschreibt und wie eben die zweite Zeile weglässt, begeht man streng genommen zwei Fehler: Der. Fehler: (das gilt nur für positive!, daher gilt allgemein Der. Fehler: (sondern ) ) c) d) hat nur eine Lösung: hat keine Lösung, weil die Parabel nicht unter der -Achse verläuft wie die Gerade L L y

10 6 Gleichungen höheren Grades. Fall: Die Gleichung c stellt die Berechnung der Schnittstellen der Kurve y mit der Geraden y = c dar. Wenn c > ist, gibt es zwei Schnittstellen, die symmetrisch zur y-achse liegen. Berechnung: c c Betrag auflösen c, Beispiele (siehe Abbildung): a) b ), 6 6, 6 L 6 L Erklärungen: Man muss beachten, dass Abkürzung:. Viele lassen die zweite Zeile weg und schreiben:, b ) 6, 6 L L 6 Dies geht nur dann in Ordnung, wenn man Befehl weglässt! Wenn man ihn anschreibt und wie eben die zweite Zeile weglässt, begeht man streng genommen zwei Fehler: c) Der. Fehler: Der. Fehler: (das gilt nur für positive!, daher gilt allgemein (sondern ) d) hat nur eine Lösung: hat keine Lösung, weil die Kurve nicht unter der -Achse verläuft wie die Gerade L L ) y

11 6 Gleichungen höheren Grades. Fall: Die Gleichung c stellt die Berechnung der Schnittstellen der Kurve y mit der Geraden y = c dar. Es gibt für jeden Wert von c genau eine Schnittstelle. Bei der Berechnung muss man negative c anders behandeln: Berechnung für c Berechnung für c < : 8 8, L L Beispiele siehe Abbildung! Bei einer negativen Zahl muss man auf die richtige Schreibweise achten: Folgende Schreibweise ist falsch: 8 8 Denn für alle Wurzelarten gilt: Der Radikand darf keine negative Zahl sein. Leider hat man die Taschenrechner so programmiert, dass sie dennoch 8 berechnen, zur Freude der Schüler. Aufschreiben darf man es dennoch nicht. Übersicht Lösung der Potenzgleichung n =c. Für gerades n: Für c besitzt diese Gleichung Lösungen. Für c besitzt diese Gleichung die Lösung. Für c besitzt diese Gleichung keine Lösung.. Für ungerades n: Für jedes reelle c gibt es genau eine Lösung. Man achte auf die Schreibweise bei negativem c!

12 6 Gleichungen höheren Grades. Gleichungen. Grades.. Spezialfall: Reine Gleichungen. Grades - Siehe Abschnitt Beispiel 8 8 Beispiel 9 Es gibt eine Lösung: 8 Lösungsmenge L = { } Umformen: Lösung: Achtung: Falsch ist: Laut Definition darf der Radikand jeder Wurzel nie negativ sein. Leider berechnen manche Taschenrechner aber auch dies. Lösungsmenge L 5

13 6 Gleichungen höheren Grades.. Spezialfall: Gleichungen. Grades ohne Absolutglied Beispiel 5 Diese Gleichung hat kein Absolutglied, weshalb man ausklammern kann: 5 Man erhält ein Nullprodukt: Wissen: Ein Produkt wird genau dann, wenn einer der Faktoren wird:. Faktor : =. Faktor: mit 5 Lösungsmenge: L = { ; - 5;7}, 7 5 Anmerkung: Jetzt kann man die Gleichung sogar in ein Produkt aus drei Linearfaktoren zerlegen: Beispiel Beispiel ausklammern:. Faktor: (Nullprodukt). Faktor:, Lösungsmenge: L = { ;; - } ausklammern:. Faktor: (als doppelte Lösung). Faktor: Lösungsmenge: L = { ;}

14 6 Gleichungen höheren Grades 5. Gleichungen. Grades mit Absolutglied - Jetzt muss man faktorisieren Beispiel : 5 Ziel: Wie in. beschrieben worden ist, muss man nun eine Lösung durch Probieren finden. Dies ist die Zahl. Dann kann man den Linearfaktor ( ) abspalten. Das Ergebnis ist die Produktform der Gleichung: Durchführung: 5 Aus der. Klammer folgt eine quadratische Gleichung mit den Lösungen 7 und - 5. Damit kennen wir alle Lösungen der Gleichung! Probe für die Zahl : =, also ist eine Lösung der Gleichung. Es folgt nun die Abspaltung des Linearfaktors.. Methode: Ausklammern des Linearfaktors ( ) durch Polynomdivision ( 5) : ( ) 5 Zwischenergebnis: 5 5 Die Methode der Polynomdivision wird in 6 ausführlich besprochen und erklärt.. Methode: Ausklammern des Linearfaktors ( ) durch das Horner-Schema = Hinweis: In der. Zeile stehen die gegeben Koeffizienten. Darunter die rote, Vertikal wird addiert, schräg mit der Lösungszahl multipliziert. Das Horner-Schema wird sehr ausführlich in der Datei 85 besprochen. Die Ergebniszahlen gehören zum Divisionsergebnis (Ohne die blaue.): Bestimmung der Lösungen: 5 Der. Faktor liefert die bekannte Lösung:. Der. Faktor liefert die restlichen Lösungen: 5 7, 5 L ; 7 ; 5 Lösungsmenge:

15 6 Gleichungen höheren Grades 6 Beispiel 7 6. Schritt: Finden einer Probierlösung. Die Probe stimmt für = - : =. Schritt: Ausklammern von : Dringende Empfehlung: Der fehlende Summand mit sollte mit dem Koeffizienten ergänzt werden. Dies vermeidet häufig auftretende Fehler. Dann geht man von dieser Gleichung aus: ( 5 6) : ( ) 6 9 ( ) 6 5 (6 ) 9 6 (9 6) 76. Methode: Polynomdivision:. Methode: Horner-Schema: ( 7 6) : ( ) Als Ergebnis dieser Division können wir den Gleichungsterm in zwei Faktoren zerlegen: ( 7 6) ( )( 6) ( )( 6). Faktor: ergibt = - (schon bekannte Probierlösung) 5. Faktor: 6 mit, L ; ; Lösungsmenge: Beispiel Schritt: Finden einer Probierlösung. Die Probe stimmt für =.. Schritt: Abspalten des Linearfaktors ( ):. Methode: Polynomdivision:. Methode: Horner-Schema: Faktorisierung der Gleichung: ( )( 6 9). Faktor: ergibt (schon bekannte Probierlösung)., Faktor: Lösungsmenge: =- = , L ;

16 6 Gleichungen höheren Grades 7 Beispiel 6 7. Schritt: Finden einer Probierlösung. Die Probe stimmt für = -.. Schritt: Abspalten des Linearfaktors ( + ):. Methode: Polynomdivision:. Methode: Horner-Schema: ( ) ( 7 ):( ) 5 Beispiel 7 5 (5 ) ( ) Das Ergebnis ist in beiden Fällen die Zerlegung der Gleichung in Produktform: ( )( 5 ). Faktor: d. h. (schon bekannte Probierlösung). Faktor: 5 mit, L. Die Gleichung hat also nur eine Lösung: R Kommen Brüche in einer Gleichung vor, sollte man erst deren Hauptnenner bestimmen, und dann die Gleichung damit multiplizieren. So verschwinden die Brüche und die Rechnung gestaltet sich wesentlich einfacher. Die Lösungsmenge wird dadurch nicht verändert. Also hier: Mal 8! Schritt: Finden einer Probierlösung. Die Probe stimmt für =.. Schritt: Abspalten des Linearfaktors ( -):. Methode: Horner-Schema. Methode: Polynomdivision = Zwischenergebnis: ( )(9 6) ( ) : ( ) 9 6 (9 7 ) Faktor: (schon bekannt). Faktor: Lösungsmenge: L ; ; , =- 5

17 6 Gleichungen höheren Grades 8 5. Gleichungen. Grades Zuerst die Gleichungen. Grades, die man ohne Linearfaktorabspaltung direkt lösen kann. 5.. Spezialfall: Reine Gleichungen. Grades Siehe Abschnitt! Beispiel 8 Beispiel 9 Beispiel d. h. (denn = 6) L, 6 5. Biquadratische Gleichungen WISSEN: Beispiel, 9 L 8 (nicht möglich) L Eine Gleichung der Form a b c heißt biquadratisch. Durch die Substitution u = entsteht daraus eine quadratische Gleichung für u. Im Grunde handelt es sich um eine quadratische Gleichung für. (a) mit der Substitution: = u u, u u9 9 (b) ohne Substitution Rücksubstitution: Aus = folgt, Aus u = folgt = also, Aus u = -6 folgt = -6 also R Lösungsmenge: L Aus = - 6 folgt R Man erkennt, dass die Methode mit weniger Schreibaufwand verbunden ist. (Siehe Seite ff. Dort auch viele Übungsbeispiele)

18 6 Gleichungen höheren Grades Spezialfall: Gleichungen. Grades ohne Absolutglied Beispiel Beispiel Beispiel Diese Gleichung wird durch Ausklammern von so faktorisiert, dass ein quadratischer Restfaktor übrig bleibt, wodurch man sofort alle Lösungen bekommt.. Faktor: = liefert die doppelte Lösung = 66. Faktor: mit, (doppelte Lösung) L ; Lösungsmenge : Zuerst Multiplikation mit : Ausklammern von :. Faktor: = liefert die doppelte Lösung =.. Faktor: Lösungsmenge: L ; ; Zuerst Multiplikation mit :, 6 6 Ausklammern von :. Faktor: (dreifache Lösung).. Faktor: 6 6 Lösungsmenge: L ; 6

19 6 Gleichungen höheren Grades 5. Gleichungen. Grades mit Absolutglied Jetzt muss man faktorisieren Beispiel Liegt eine solche Gleichung. Grades vor, wird man zuerst zwei Lösungen finden müssen, damit man zwei Linearfaktoren abspalten kann. Der dritte Faktor liefert dann wieder eine quadratische Gleichung, deren Lösungen man berechnen kann.. Schritt: Entdecken der Probierlösung =.. Schritt: Abspaltung des Linearfaktors ( ) durch Polynomdivision: 5 6 : Die erste Division liefert: 7 8 : Man benötigt eine weitere Abspaltung, weil noch der Grad vorhanden ist. Die nächste Probierlösung sucht man in der großen Klammer und findet = -. Also klammert man aus der großen Klammer durch eine weitere Polynomdivision (+) aus (rechter Kasten). Ergebnis: geht über in Man sollte dies verkürzen und sofort durch beide Linearfaktoren dividieren also durch : Ergebnis: 68 Die ersten beiden Klammern liefern die schon bekannten Lösungen und Schritt: Nullstellen des quadratischen Terms: führt zu, 6 8 Lösungsmenge: L { ;; ; } 5 6 : 68 ( ) 6 (6 6 ) (8 8 6) Hinweis: Auf der nächsten Seite wird gezeigt, wie man anstelle der Polynomdivision das einfachere Horner-Schema durchführt.

20 6 Gleichungen höheren Grades Zweifaches Horner-Schema:. Schritt: Division von 5 6 durch (-) = Zwischenergebnis: ( )( 7 8). Schritt: Entdecken der zweiten Probierlösung = -. Man setzt das Horner-Schema für den Klammerterm. Grades an und verwendet dazu die Zahl -. Damit erreicht man zweierlei. Entsteht am Ende die Zahl, dann weiß man, dass - eine Nullstelle (Lösung) ist, und gleichzeitig erhält man die Koeffizienten für die Polynomdivision: = - Zwischenergebnis: ( )( 6 8) Zusammengesetzt erhält man das doppelte Horner-Schema: = = Ergebnis: In der Datei 85 wird ein verkürztes doppeltes Horner-Schema gezeigt.

21 6 Gleichungen höheren Grades Beispiel Schritt: Entdecken der Probierlösungen = - und =. Schritt: Division durch. Methode: Polynomdivision. Methode: Doppeltes Horner-Schema: durch ( ) ( 7 6) : ( ) (5 5 ) 6 ( 6) Faktorisierung der Gleichung: 7 6 Restliche Lösungen: = = 5 - wird zu 5 Die Lösungsmenge: L, ; ;; 5 Beispiel 7 6 Man findet als ganzzahlige Lösung nur = -. Da man jedoch zwei Probierlösungen benötigt, um am Ende auf einen quadratischen Term zu kommen, überprüfen wir, ob diese Lösung - sogar als 6 9 : doppelte Lösung auftritt. Daher versuchen wir eine Polynomdivision durch Die Faktorisierung der Gleichung ergibt: 6 Restliche Lösungen: ( 6) : ( 6 9) 6 ( 6 9 ) 6 ( 6 6 5) 6 ( 6) mit:, 5 5 L ; 5; 5 Lösungsmenge: Ohne das Aufspüren der Tatsache, dass eine doppelte Lösung der Gleichung ist, findet man die Lösungsmenge nicht!

22 6 Gleichungen höheren Grades 6 Ein Beispiel für eine Gleichung 5. Grades Beispiel 5 Nach den jetzt gemachten Erfahrungen muss man damit rechnen, dass man drei Probierlösungen finden muss, dann wird das Horner-Schema dreimal sukzessive durchgeführt, so dass am Ende ein quadratischer Term übrig bleibt. Doch es gibt auch Überraschungen.. Schritt: Entdecken der ersten Probierlösung = und Abspaltung des Faktors mit Polynomdivision ( 5 ) : ( ) ( ) ( ) ( ) Zwischenergebnis:.Schritt: Berechnung der restlichen Lösungen aus dem Faktor: oder Horner-Schema = - - Diese biquadratische Gleichung wird durch die Substitution u = zur quadratischen Gleichung: u u u, 8 7 Rücksubstitution: Aus u = = folgt:, Ergebnis: Die Lösungsmenge ist L ; Die Gleichung u = = - hat dagegen keine reelle Lösungszahl., wobei eine doppelte Lösung ist.

23 6 Gleichungen höheren Grades. a). a) 7. Aufgabenblatt Bestimme die Lösungsmengen folgender Gleichungen: Gleichungen. Grades 56 b) c) 5 d) c). a) c). a) 5 b) 8 8 b) 5 d) = b) - = c) + 5- = d) e).. a) c).. a) c) = Gleichungen. Grades mit direkter Lösung 6 b) 9 b). a) 8 b) c) = d) 5 e) 5 8

24 6 Gleichungen höheren Grades 5 Gleichungen. Grades mit Probierlösung [ in eckigen Klammern ] Aufgabe. Die Lösungen werden fast alle mit dem Horner-Schema durchgeführt. a) 75 [-] b) c) d) 8 [] 7 [] (Auch Polynomdivision) [-] e) 5 [-] f) g) h) i) j) k) l) m) n) [ = [] 5 ] (Auch Polynomdivision) [-] (Auch Polynomdivision) [] [] [] 9 [-] = [-] (Auch Polynomdivision) [] a) Die Kurve mit der Gleichung 76 der Gleichung y.5 Anwendungsaufgaben: 9 y= - -- hat die Gerade mit zur Tangente. Der Berührpunkt ist B. 9 In welchem Punkt schneiden sich Tangente und Kurve (noch einmal)? (Vorwissen dazu: Eine Berührstelle ist eine Lösung der Schnittgleichung.) b) Wo schneiden sich die Kurve K: c) (Analogie-Aufgabe zu a) y= - + und die Gerade y=? 8 = , Tangente in ( ) Kurvengleichung: y 6 9 y= Wo schneiden sich Tangente und Kurve? B ist

25 6 Gleichungen höheren Grades 6. a) c). a) c) e) g). a) c) e) g) Gleichungen. Grades mit direkter Lösung b) 5 8 b) 7 d) 9 f) - - = h) 9 6 b) = d) f) h) Gleichungen. Grades mit Probierlösungen [ in eckigen Klammern ]. a) 6 5 [;] b) [ ist doppelte Lösung] c) [ ; - ] d) 5 9 [ - ist doppelte Lösung ] e) f) g) h) i) j) k) l) m) = [ - ist doppelte Lösung ] [ ; - ] 5 56 [ ; - ] auch Pol.Div = [ ; - ] [-] 6 [ ; - ] [ ; - ] [] Lösung auch mit Polynomdivision [ ; -]

26 6 Gleichungen höheren Grades 7 Gleichungen 5. Grades 5. a) 5 5 b) + = 5 6 c) d) = 5 5 e) 5. a) c) e) b) 6 d) = = Gleichungen 5. Grades mit Probierlösungen [ in eckigen Klammern ] a) b) c) = [ - ] [ - ] 5 6 [ ]

27 6 Gleichungen höheren Grades 8

28 6 Gleichungen höheren Grades 9 Aufgabe. a) Lösungen zu den quadratischen Gleichungen 56, b), c) , 98 L L = { ; -6} 6 9, 5 L ; 5 6 d) 6, R L Aufgabe. a) 5 6;, 6 L 6 b) R L c) 8 6, L Aufgabe. a) 8 8 L ; 8 b) = oder - =- = L 8 ; 5 c) L ; Bei dieser Gleichung darf nicht durch dividiert werden, sonst geht die Lösung = verloren!!! d) 5 ( ) = und 5 5 L ; 9 Aufgabe. a) - = b) - = c) + 5- = = = 8, = = ( - 6) = = 8 =, = - 7 = ;6 = 8 L = ; -7 d) L { } L { } { } = e) ìï = = =í ï ï ïî - L = 5 ;-, { } { 5 5 5; 5} L = + - ( ) 6 9 9

29 6 Gleichungen höheren Grades Lösungen zu den Gleichungen. Grades Aufgabe. a) 6 6 L = { } L = {- } b) c) Aufgabe. a) b) c) L = {-} { ; } 9 9 L = (denn die Klammer wird nie Null: Aufgabe. a) 9 6, b) { } L =, ) 8 R 5 5 und 58, R ; c) = ergibt = d) 8 L = { ;} { ;6; 8} L = ( ) = ergibt = und, = ÏR 5 ergibt (6 5) 6 mit =,, R e) 5 ergibt und mit ; L = { ; ;- } L = { } , L = { } L = { }

30 6 Gleichungen höheren Grades. Gleichungen. Grades mit Probierlösung [ in eckigen Klammern ] a) b) c) 75 [ = - ] Ausklammern mittels Horner-Schema: = d.h. = - ist eine Lösung. 8 [ = ] Ausklammern mittels Horner-Schema: = -6 d.h. = ist eine Lösung. 7 [ = ] Ausklammern mittels Horner-Schema: = - - d.h. = ist eine Lösung. Lösung durch Polynomdivision: 7 Bekannte Lösung: =. Ausklammern des Faktors (-) durch Polynomdivision: ( 7 ):( ) ( ), Zwischenergebnis: 5 Restliche Lösungen L ; 5 ; Lösungsmenge:, Zwischenergebnis: 6 Restliche Lösungen 5 L ; ist eine doppelte Lösung! Lösungsmenge: Zwischenergebnis: Restliche Lösungen 6 5, 5 L ; 5 Lösungsmenge: Produktform der Gleichung: Restliche Lösungen 6 5, 5 Lösungsmenge: L ; 5

31 6 Gleichungen höheren Grades d) 6 8 [ = - ] e) f) Ausklammern mittels Horner-Schema: = - d.h. = - ist eine Lösung. 5 [ = - ] Ausklammern mittels Horner-Schema: = - - d.h. = - ist eine Lösung. 6 5 [ = ] Ausklammern mittels Horner-Schema: = d.h. = ist eine Lösung. Ausklammern des Faktors ( ) durch Polynomdivision: (6 5):( ) 6 8 (6 8 ) 8 5 ( 5) (8 ) Produktform der Gleichung: Zwischenergebnis: Restliche Lösungen 66, L - ist dreifache Lösung! 6 8 Zwischenergebnis: Restliche Lösungen 9, R L Lösungsmenge: Zwischenergebnis: 6 8 Restliche Lösungen 6 8 : L ; ;, 5 Lösungsmenge:

32 6 Gleichungen höheren Grades g) h) = = [ = ] Ausklammern mittels Horner-Schema: d.h. Î L 5 [ = -] Ausklammern mit Horner-Schema: = - -7 d. h. L Ausklammern des Faktors (+) durch Polynomdivision: Produktform der Gleichung: ( )( 7 ) Restliche Lösungen: , i) Horner-Schema mit = : Produktdarstellung der Gleichung Es folgt ( 5 ) : ( ) 7 ( 8 ) 7 5 ( 7 8) 8, ( ) 6 L ;; Also gilt (-)( - + ) = mit 6- ìï, = = =í ï 6 6 ïïî Ergebnis: L = { ;; } Also gilt mit ( )( 7 ) , L ;; =

33 6 Gleichungen höheren Grades j) ergibt: k) l) Laut Aufgabe soll = eine Lösung sein. Nachweis und Ausklammern von ( ) mittels Horner-Schema: - - Produktform der Gleichung Weitere Lösungen:, L= ; mit der gegebenen Lösung =. Horner-Schema: -9 Produktform der Gleichung: Weitere Lösungen L ;; , 9 ergibt: Probierlösung: = - : Ausklammern von mittels Horner-Schema: Weitere Lösungen: 6 6 5, L ;5

34 6 Gleichungen höheren Grades 5 m) + -- = 8 n) = Eine Probierlösung ist = -. Daher kann man den Linearfaktor (+) ausklammern, entweder durch Polynomdivision oder mit dem Horner-Schema: ( ):( + ) = ( + ) ( ) = Beide liefern diese Produktdarstellung: ( )( ) ì Die zweite Klammer liefert, = = =í ï ï- ïî L ; ; ( 8-8) 6 9 Man kann die Lösung = finden. Ausklammern von ( - ) durch Horner-Schema: = Also folgt ( - )(- + - ) = mit N Einzige Lösung ist daher = : L. =- 9 R Wie man sieht, hat diese Funktion nur eine Nullstelle, eben!!!

35 6 Gleichungen höheren Grades 6 Aufgabe.5: Anwendungen a) Die Kurve mit der Gleichung Lösung 76 der Gleichung y 9 y= - -- hat die Gerade mit zur Tangente. Der Berührpunkt ist B. 9 In welchem Punkt schneiden sich Tangente und Kurve (noch einmal)? (Vorwissen dazu: Eine Berührstelle ist eine Lösung der Schnittgleichung.) Schnittgleichung: - -- = Bekannte doppelte Lösung ist die Berührstelle -. Ausklammern von mit dem doppelten Horner-Schema : ergibt 9 Die gesuchte Schnittstelle ist somit Ergebnis: S9. 9 Ausklammern mit dem verkürzten S doppelten Horner-Schema: 6 9 mit mit y 6 S

36 6 Gleichungen höheren Grades 7 b) Wo schneiden sich die Kurve K: y= - + und die Gerade y=? 8 Lösung Schnittgleichung: Ordnen: Probierlösung ist =. - + = = = Ausklammern des Linearfaktors ( ) durch: Polynomdivision oder Horner-Schema: = - - -( + ) ( 6 ):( ) ( 8) ( -) - -- = mit den weiteren Lösungen Man erhält( )( ), = ì6 = = =í ï. ï- ïî Die drei Schnittpunkte ergeben sich daher zu W( ); S ( 6 ); S ( ) - -.

37 6 Gleichungen höheren Grades 8 c) (Analogie-Aufgabe zu a) Lösung Kurvengleichung: y 6 9 y= Wo schneiden sich Tangente und Kurve? Schnittgleichung: = , Tangente in ( ) = B ist Geordnet: = Die Berührstelle ist eine bekannte doppelte Lösung dieser Gleichung. Daher kann man den Linearfaktor ( ) zweifach ausklammern. Anwendung des doppelten Horner-Schemas: = = - Beide Verfahren liefern die Produktform: ( -) ( - + ) = Also ist die gesuchte Lösung (letzte Klammer): =. Der Schnittpunkt ist daher S ( 7) -. Anwendung des verkürzten doppelten Horner-Schemas: Mit ( - ) = ( -+ ) folgt:

38 6 Gleichungen höheren Grades 9 Lösungen zu den Gleichungen. Grades Aufgabe. a), L = = { } { } b) 8 6 c) oder so: Aufgabe. a) b) c) d) =, 8 R L, also 8 = doppelte Lösung, = d.h., = dreifache Lösung, = doppelte Lösung, 7 5, L ; L ; ergibt L ;, also 9 9 e) L ;, = ist doppelte Lösung;, f) g) = ist doppelte Lösung;, R - - = = und ( ) = ist doppelte Lösung. Restliche Lösungen aus ( ) ( ) 7 7 ( ) 6+, = = = = 5 h) L L 5 7 L ;; -- 6 = -- 6 = : L ; doppelte Lösung (Berührung) 5, 9 5 L ; ; 5

39 6 Gleichungen höheren Grades Aufgabe.: Biquadratische Gleichungen! Lösungen ohne Substitution. Stattdessen wird die biquadratische Gleichung als quadratische Gleichung für aufgefasst. a) b) c) d) e) Aus = 6 folgt, aus = folgt, L ; Aus = 96 folgt, L ; aus = - 6 folgt keine reelle Zahl. - - = 6!!! = = = 8 =í ìï ïî - Aus = folgt, = = Aus = - folgt Ï R L = { } Aus = folgt:, Aus = folgt:, L ; Aus =, = = = 9 Aus = - 6 folgt, R L

40 6 Gleichungen höheren Grades f) g) h) !!! Aus Aus Aus 8, 8 Aus, R. L 8 9 also wird L, 8, 8 ; 8 ; L 8

41 6 Gleichungen höheren Grades Aufgabe.: Gleichungen. Grades mit Probierlösungen a) 6 5 b) c) Bestätigung der Probierlösungen = und = und Ausklammern der Linearfaktoren ( ) und ( ): Doppeltes Horner-Schema: = = - -5 Bestätigung, dass eine doppelte Lösung ist und Ausklammern von Doppeltes Horner-Schema: = = [ ; - ] Bestätigung der Lösungen und und Ausklammern von Doppeltes Horner-Schema: Zur Polynomdivision siehe nächste Seite. Zwischenergebnis: 5 Restliche Lösungen 7, 5 L ;;7; 5 Lösungsmenge: : : Zwischenergebnis: Restliche Lösungen 6 5, 5 L ; 5 Lösungsmenge: Zwischenergebnis: 8 Restliche Lösungen 9, R L ; Lösungsmenge:

42 6 Gleichungen höheren Grades Wenn man bei Gleichungen. Grades zwei Linearfaktoren ausklammern muss, dann sollte man dies in einem Schritt tun, und nicht zwei Divisionen nacheinander durchführen. Umständliche Methode mit zwei Divisionen:. Schritt: Zuerst Division durch ( ): : Schritt: Dann Division durch ( + ): Endergebnis: 8 Zwischenergebnis: Es geht jedoch schneller, wenn man die beiden Linearfaktoren zusammenrechnet und dann die beiden Divisionen auf einmal durchführt: Ergebnis: : ( ) ( 8) bzw. 8 8 ( ) ( ) ( 5 6) 5 6 :

43 6 Gleichungen höheren Grades d) e) f) Bestätigung, dass - eine doppelte Lösung ist und Ausklammern von : Doppeltes Horner-Schema: = = 5 Bestätigung, dass - eine doppelte Lösung ist und Ausklammern von Doppeltes Horner-Schema: mit, Doppeltes Horner-Schema: Zwischenergebnis: 9 Restliche Lösungen 97 9, - ist also dreifache Lösung! Lösungsmenge: L ; Zwischenergebnis: ( + ) ( ) = Restliche Lösungen 6 6-8, = ÏR Lösungsmenge: L Zwischenergebnis: ( )( )( 8 ) Restliche Lösungen:, , 5 L ; 5 : Lösungsmenge

44 6 Gleichungen höheren Grades 5 g) 5 56 mit = ; = - Doppeltes Horner-Schema: Polynomdivision durch h) - Zwischenergebnis: Restliche Lösungen:, 5 6 R L ; = mit = und = - Doppeltes Horner-Schema zum Ausklammern von ( - ) und (+): i) 6 8 Weil das Absolutglied fehlt, wird zuerst ausgeklammert, was = als erste Nullstelle ergibt. Zugleich beseitigt man die Brüche durch Multiplikation mit : ( ) = Weitere Nullstelle ist = -, also wird man aus dem Klammerterm ( + ) abspalten: Horner-Schema: Produktdarstellung: Restliche Lösungen: 8 Aus = 8 folgt Lösungsmenge: L ; : 8 ( 5 56) : ( ) ( ) 5 ( ) 56 ( 56) Zwischenergebnis:, 8 ( )( ) ( - ) = Restliche Lösungen: = = ìï, í ïî - Lösungsmenge: L ; ; ;

45 6 Gleichungen höheren Grades 6 j) d.h. 66 () Probierlösung sind und -, was man mit Horner-Schema oder durch Einsetzen beweisen kann. Ausklammern von mit dem doppelten Horner-Schema zu () Verwendung des verkürzten doppelten Horner-Schemas für Eperten: (Siehe 85) k) Produktform: Die Gleichung hat keine reellen Lösungen, also folgt L ; Probierlösung sind und -, was man mit Horner-Schema oder Einsetzen beweisen kann. Ausklammern von mit dem doppelten Horner-Schema zu (): Verwendung des verkürzten doppelten Horner-Schemas für Eperten: (Siehe 85). Produktdarstellung der Gleichung: Weitere Lösungen aus Also sind und Lösungsmenge: L ; :, sogar doppelte Lösungen der Gleichung:

46 6 Gleichungen höheren Grades 7 l) also = (*) Einzige angegebene Lösung ist =. Da wir auf einen quadratischen Term kommen müssen, müssen wir entweder eine weitere Nullstelle finden oder zeigen, dass sogar eine doppelte Lösung ist. Dies zeige ich, indem ich das Horner-Schema entweder doppelt anwendet oder doppelt verkürzt.. Methode:. Methode: Vereinfachtes Doppeltes Horner-Schema: Doppeltes Horner-Schema: Ausklammern von ( - ) = ( -6+ 9) = = Das Ergebnis beider Rechnungen ist ( -) ( + + ) = wobei die Koeffizienten des quadratischen Klammerterms aus der jeweils untersten Zeile des Horner-Schemas stammen. - - Weitere Lösungen: + + = mit = ÏR. Es gibt also nur die (doppelte) reelle Lösung =. Lösungsmenge: L Zum Vergleich Polynomdivision: Zuerst die hintereinander doppelt ausgeführte Division: ( 7):( ) 9 ( ) ( ) ( 9) 9 7 ( 9 7) = f( ) Die einzige Probierlösung, die man für die Gleichung = finden kann ist nochmals die Zahl (damit wird zu einer doppelten Lösung!). Erneute Polynomdivision durch den Faktor ( - ): Also kann man durch Ausklammern die Gleichung so schreiben: ( )( 9) Die zweite Klammer soll nun weitere Nullstellen liefern. Da sie. Grades ist, braucht man auch hier eine Probierlösung, so dass ein weiterer Linearfaktor ausgeklammert werden kann.

47 6 Gleichungen höheren Grades 8 ( 9):( ) ( ) ( 6) 9 ( 9) Das Ergebnis dieser Division ist ( 9) ()( ) Nehmen wir die erste Ausklammerung dazu, dann hat Gleichung unsere Nullstellengleichung diese Form: ( )( )( ) Nun die verkürzte doppelte Division durch ( - ) = ( ) ( 7):( 6 9) Die meisten finden, dass daneben die Arbeit mit dem Horner-Schema einfacher ist.

48 6 Gleichungen höheren Grades 9 m) = Durch Probieren kann man etwa diese Lösungen finden: und -. Abspaltung der Linearfaktoren ( - ) und ( + ) : Doppeltes Horner-Schema: =- = Ergebnis: ( + )( - )( --) = Abspaltung des quadratischen Faktors ( )( ) ( - + = -- ) und durch das vereinfachte doppelte Horner-Schema: Interessanterweise sollte man entdecken, dass der restliche quadratische Term nochmals genau dasselbe Produkt ( - - ) = ( -)( + ) ist, also kann man so darstellen: ( + ) ( - ) = Lösungsmenge: L ;

49 6 Gleichungen höheren Grades 5 Aufgabe 5. a) b) Lösungen zu den Gleichungen 5. Grades 5 d.h. ist vierfache Lösung ist die zweite aber einfache Lösung. L = { ;} (5) = ist somit vierfache Lösung, = -5. L = { ; -5} c) 5 d) e) ( 5) = ist dreifache Lösung. Aus ( 5) folgt { ; 5} L = - + = 5 5 ( ) =,,, { ; } L = 5 5!! 5 5,9 5, ist dreifache Lösung Aus folgen die restlichen Lösungen:,, 5, L = { ; - 5}

50 6 Gleichungen höheren Grades 5 Aufgabe 5. a) b) c) d) e) 5 8!! ergibt ist die erste Lösung. Aus 5 (biquadratische Gleichung) folgt: 8 mit 5 8, und,5 und ausklammern ergibt ist die erste Lösung. Aus R : L = { ; } (biquadratische Gleichung) folgt: L = { } 8 R 5 6 und ausklammern ergibt ( - + 8) =. Faktor: =. Faktor: 8 (biquadratische Gleichung) 6 6 mit R 6 L = 5 7 Einzige Lösung ist somit = mit { } - + = 7 ergibt ( 8 8). Faktor: =. Faktor: ( 8 8) (biquadratische Gleichung) 8 mit 9 doppelte Lösung. Daraus folgt, L = ;; = 6 ergibt: 5 = { } 5 ( ). Faktor: =. Faktor: (biquadratische Gleichung) mit 6 88 R 6 Einzige Lösung ist also =: L = { }

51 6 Gleichungen höheren Grades 5 Aufgabe 5. a) = Probierlösung ist. Bestätigung durch das Horner-Schema, das zugleich die Faktorisierung liefert: b) = Zerlegung in ein Produkt: ( + )( -8-8) =. Faktor: (schon bekannt). Faktor: ( -8-8) = (biquadratische Gleichung) mit ìï = = =í ï ïî - Aus = folgt, = = und aus = - folgt Ï R Lösungsmenge: L = {-; } 5 66 Angegebene Lösung ist = -. Beweis durch das Horner-Schema, das zugleich die Ausklammerung des Linearfaktors ( + ) ermöglicht: Produktdarstellung der gegebenen Gleichung: 6 Dieses Nullprodukt führt zu. Faktor:. Faktor: 6. (biquadratische Gleichung) 5 mit Aus, Aus,5 R. L = -; Lösungsmenge { }

52 6 Gleichungen höheren Grades 5 c) Angegebene einzige Lösung ist =. Wenn man keine weitere Lösung findet, bleibt nur die Hoffnung, dass eine dreifache Lösung ist, so dass eine Reduktion auf einen quadratischen Term möglich wird. Anwendung des dreifachen Horner-Schemas: Und tatsächlich ergibt sich dreimal die Null als letzte Zahl, damit ist gezeigt, dass = dreifache Nullstelle von f ist, und folglich kann man den Linearfaktor ( - ) dreimal ausklammern (abspalten). Das Restprodukt bilden wir aus den Zahlen der letzten Reihe: ( ) ( ) = Restliche Lösungen: = = = mit N Lösungsmenge L = { ; 5}»{ ; -,58;,58 } 5