QUADRATISCHE GLEICHUNGENN

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1 Schule Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg Thema Mathematik Arbeitsblatt A -.: Quadratische Gleichungen LehrerInnenteam m/ Mag Wolfgang Schmid Unterlagen QUADRATISCHE GLEICHUNGENN Definition: Eine Gleichung der Form a + b + c 0 a, b, c R a 0 quadratische Gleichung in einer Variablen. nennt man eine a) Gleichungen der Form a + c 0, d.h. b0 Beispiel: Wir isolieren den Ausdruck mit. / +8 / : Wir ziehen nun auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel. Dazu müssen wir uns aber das Wurzelziehen überlegen. noch näher Was bedeutet es, wenn wir zum Beispiel aus 9 die Quadratwurzel ziehen wollen ( 9 )? Die Gleichung gibt also an, dass wir eine Zahl suchen, die mit sich selbst multipliziert ergibt. Formal lösen wir diese Gleichung, indem wir einfach die Wurzel ziehen:. Die Wurzel aus ergibt. Dies ist aber nicht die einzige Lösung, da auch ( ) ( ) ergibt, ergo auch - eine Lösung ist. Streng genommen sind also die beiden obigen Gleichungen nicht äquivalent. Wir vereinfachen hier die Sache aber und sagen, dass die Quadratwurzel doppeldeutig ist, wir also eine positive und eine negative Lösung erhalten (Streng genommen ist dies falsch!!). Wir schreiben also: Eine Lösung schreibt man an als: (sprich: eins gleich drei )

2 Die weitere Lösung schreibt man: (sprich: zwei gleich minus drei ) In Kurzform schreibt man auch gerne: (sprich: eins zwei gleich ± plus minus drei ) Nun können wir die Lösungen für unser Beispiel angeben: / ± Merke: Die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl liefert stets zwei Lösungen, welche sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden. Was passiert aber, wenn wir die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ziehen wollen? Sehen wir uns an. Hinter diesem Ausdruck steht wieder die Frage, welche Zahl ergibt zum Quadrat -? Als Gleichung: ist kein Ergebnis, da. Auch - ist kein Ergebnis, da ( ) ( ). Folglich gibt es keine Lösung in R. Wir sagen, der Ausdruck ist nicht definiert. Es gibt keine Lösung. Merke: Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl kann in R nicht gezogen werden, sie ist nicht definiert. b) Gleichungen vom Typ a + b 0, d.h. c0 Beispiel: Wir heben heraus. ( + ) 0 Nun müssen wir uns wieder etwas allgemein überlegen. Wir haben nun zwei Ausdrücke, die miteinander multipliziert 0 ergeben müssen. Wir überlegen uns, wann das Produkt zweier Zahlen Null ergeben kann? Nur wenn eine der beiden Zahlen 0 ist, wird das Ergebnis 0. Beispiel: 0 3 0oder 0 0

3 Für unser Beispiel bedeutet dies, daß das Ergebnis der Multiplikation von mit + nur Null werden kann, wenn Null ist oder + Null ist. Die spaltet sich also in zwei Teilrechnungen, man nennt dies Fallunterscheidung. + ( ) / /: Wir erhalten also die beiden Lösungen 0 und. Merke: Das Produkt von Faktoren kann nur dann Null werden, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Beispiel: ( 5 + )( 3) ( + 3)( ) 0 Wir führen die Multiplikationen der Klammern durch Wir lösen die Klammer auf. ( ) Wir fassen entsprechende Ausdrücke zusammen. 3 0 Wir heben heraus. ( 3 ) 0 Indem wir den ersten Ausdruck Null setzen, erhalten wir eine Lösung. 0 Nun setzen wir den zweiten Ausdruck Null. 3 0 / + 3 / : 3 c) Gleichungen vom Typ a + b + c 0 Beispiel: 9 0 Zum Lösen derartiger Gleichungen benötigen wir eine neue Formel, welche Ihnen dann später noch erklärt werden wird:

4 abc-formel oder Große Lösungsformel für quadratische Gleichungen b ± b ac a + b + c 0,, a 0 a pq-formel oder kleine Lösungsformel für quadratische Gleichungen p p + p + q 0, ± ( ) q Wenn wir unsere Formel betrachten, ergibt sich also, dass a der Zahlenwert vor dem, b der Zahlenwert vor dem und c der Zahlenwert ohne ist. Bei unserem Beispiel sieht dies also folgendermaßen aus: Wir lösen nun die Gleichung, indem wir in die Lösungsformel einsetzen: a b -3 c -9 b ± b ac a ( 3) ± ( 3) ( 9) 3 ± Nun rechnen wir die Wurzel aus: 3 ± 8 3 ± 9 Nun erhalten wir eine Lösung, indem wir mit + rechnen und eine, wenn wir mit - rechnen: Wir erhalten also zwei unterschiedliche Lösungen. Dies ist aber nicht immer der Fall. Sehen wir uns folgendes Beispiel an: Beispiel: + 0

5 Wir bestimmen wieder a,b,c der Formel. Vor dem steht aber diesmal kein Zahlenwert. Deshalb denken wir uns eine dazu: + 0 Wir setzen wieder in unsere Formel ein: b ± a b - c b ac a ( ) ± ( ) ± 6 6 Wir rechnen die Wurzel aus: ± 0 ± 0 Da der Ausdruck unter der Wurzel 0 geworden ist werden nun beide Lösungen (Mit Plus und Minus gerechnet) ident. Wir erhalten also zwei Lösungen, die identisch sind. Man nennt dies eine Doppellösung. Nachdem die Lösungen aber gleich sind, haben wir formal lediglich eine Lösung. Noch ein dritter Fall ist möglich: Beispiel: Wir bestimmen wieder a,b,c der Formel: Wir setzen wieder in unsere Lösungsformel ein: b ± a 3 b - c 3 b ac a ( ) ± ( ) 3 3 ± Wir fassen die Wurzel zusammen:

6 ± 3 6 Nun müssten wir die Quadratwurzel ziehen. Diese müssten wir aber in diesem Beispiel aus einer negativen Zahl ziehen, was in R nicht möglich ist. Folglich gibt es in R also keine Lösung. L {} Der Ausdruck unter der Wurzel gibt also an, wie viele Lösungen wir erhalten. Folglich hat dieser auch seinen eigenen mathematischen Namen: Satz: Die Zahl D b - ac heißt Diskriminante der Gleichung a +b +c 0. > 0 Ist D 0, so hat die Gleichung Lösungen in R. < 0 0 Sehr praktisch ist auch die Satzgruppe von Vieta: Hat die Gleichung + p + q 0 in R zwei Lösungen, genannt und oder eine Doppellösung, so gilt: a) + p (Die Summe der beiden Lösungen ergibt den Koeffizienten vor dem -Glied. b) q (Das Produkt der beiden Lösungen ergibt den Wert ohne ) + p + q (Der Gleichungsterm lässt sich in Linearfaktoren c) ( ) ( ) zerlegen) Anmerkung: Beachten Sie bitte, dass bei der Anwendung des Satzes von Vieta vor dem unbedingt der Koeffizient stehen muss. Besonders wichtig an dieser Satzgruppe ist der Teil c). Beispiel: Berechne den fehlenden Koeffizienten und die zweite Lösung der Gleichung + p + q 0! Gegeben sei: p 7; 9 Teil a) des Satzes von Vieta lautet: + p Daraus können wir uns berechnen. Wir setzen ein und formen um: / +9

7 Wenn wir nun in den zweiten Teil des Satzes von Vieta einsetzen, können wir q ermitteln: q Wir setzen ein: 9 ( ) q q 8 Beispiel: Berechne die fehlenden Koeffizienten und die zweite Lösung der Gleichung a + b + c 0. Gegeben sei: a ; b 9;, 5 Wir setzen die bekannten Werte in die Gleichung ein: c 0 Da eine Lösung ist, muss es die Gleichung erfüllen. Also setzen wir für ein: c 0 Nun lässt sich c berechnen: c c c 0 c 8 Die Gleichung lautet also Um die zweite Lösung zu erhalten, lösen wir z.b. die Gleichung: Wir verwenden unsere Lösungsformel: 9 ± 8+ Wir berechnen die Wurzel: 9 ± 5 9 ± Wir spalten auf: