Rechnen mit Quadratwurzeln

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1 9. Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 9 Rechnen mit Quadratwurzeln Die Quadratwurzel aus a ist diejenige nichtnegative Zahl aus R, deren Quadrat wieder a ergibt. a nennt man Radikand. Man schreibt dafür a und es gilt ( a) = a Für beliebige rationale Zahlen a gilt: a = a Multiplikationsregel: Für beliebige a, b ε Q 0 + gilt: a b = a b 3 5 = 5 Divisionsregel: Für beliebige a Q 0 +, b ε Q + gilt: a b = a b 75 3 = 75 3 = 5 = 5 Summen und Differenzen dürfen nicht gliedweise radiziert werden! !!! - -

2 9. Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 9 Binomische Formeln Zur Erleichterung beim Multiplizieren gleicher bzw. ähnlicher Summen verwendet man die Binomischen Formeln:. Binomische Formel: (a + b)² = a² + ab + b² Plus Formel a) (3a + b)² = 9a² + 3a b + 6b² = 9a² + ab + 6b². Binomische Formel: ( a b)² = a² - ab + b² Minus Formel b) (3a b)² = 9a² - 3a b + 6b² = 9a² - ab + 6b² 3. Binomische Formel: (a + b) (a b) = a² b² Plus Minus Formel c) (3a + b) (3a b) = 9a² - 6b² d) 9a² 6a + = (3a ) = 3a - -

3 9.3 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 9 Quadratische Funktionen Definition und Regeln Die Funktion f: x ax + bx + c heißt allgemeine quadratische Funktion und ihr Graph ist eine Parabel. y 5 Der Graph der Funktion f: x a(x x S ) + y S ist eine Parabel mit Scheitel S (x S y S ). f(x) = x² 3 g(x) = -(x,5)² + Diese Form des Funktionsterms nennt man auch Scheitelpunktform, weil der Scheitel daraus direkt abgelesen werden kann. Auswirkungen des Koeffizienten a auf den Graph der Funktion: Für a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet, für a < 0 nach unten geöffnet x Für a > ist die Parabel enger, für a < weiter als die Normalparabel f(x) = x² Scheitelbestimmung durch quadratische Ergänzung: f(x) = -x² + x = -(x² - 6x + 9-9) - = = -(x² - 6x + 9) + 8 = -(x 3)²

4 9. Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 9 Quadratische Gleichungen Definition und Regeln Die allgemeine Gleichung ax² + bx + c = 0 (a 0; a, b, c R) besitzt keine Lösung, wenn D < 0 genau eine Lösung, wenn D = 0 a) x² + 7x + 3 = 0 D = 7² - 3 = 5 zwei verschiedene Lösungen x / = 7± 5 = 7±5 = { 0,5 3 zwei Lösungen, wenn D > 0 wobei D = b² - ac die Diskriminante der quadratischen Gleichung ist. b) x² + x + 39 = 0 D = ² - 39 = - < 0 keine Lösung Für die Lösung gilt: x / = b ± b² ac a (Mitternachtsformel, Lösungsformel) c) x² + x + = 0 D = ² - = 0 eine Lösung x = x = ±0 = - -

5 9.5 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 9 Satzgruppe des Pythagoras In einem rechtwinkligen Dreieck mit rechtem Winkel bei C gelten C folgende Sätze: b. Höhensatz: h a In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe flächengleich dem Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten: A q c p B h² = p q. Kathetensatz: In einem rechtwinkligen Dreieck ist jedes Kathetenquadrat flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt: a² = c p und b² = c q 3. Satz des Pythagoras/ Hypotenusensatz: In jedem rechtwinkligen Dreieck haben die Quadrate über den Katheten den gleichen Flächeninhalt wie das Quadrat über der Hypotenuse: a² + b² = c² - 5 -

6 9.6 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 9 Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck Ankathete Gegenkathete Zusammenhänge: cos(90 α) = sin(α) sowie tan α = sin α cos α (sin α) + (cos α) = (Trigonometrischer Pythagoras) α Hypotenuse Besondere Werte: Es wird definiert: Sinus α = Gegenkathete Hypotenuse Cosinus α = Ankathete Hypotenuse Tangens α = Gegenkathete Ankathete α sin α 0 = 0 cos α = 0 = 3 = 3 = = 3 = 3 = = 0 = 0 tan α nicht definiert - 6 -

7 9.7 Grundwissen Mathematik Stochastik Klasse 9 Mehrstufige Zufallsexperimente Pfadregeln: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu diesem Ereignis gehören. Aus einer Urne mit zwei roten und drei blauen Kugeln werden nacheinander Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Baumdiagramm: ROT BLAU 3 ROT BLAU ROT BLAU Ergebnisraum Ω = { RR, RB, BR, BB} P(RR) = 5 = 0 = 0 ; P(BB) = 3 5 = 6 0 = 3 0 P(zwei verschiedene Kugeln) = P(RB) + P(BR) = = = 0 =

8 9.8 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 9 Potenzen mit rationalen Exponenten Festlegung: a n n = a und a m n n = a m a) = 8 c) = ( 7) = 9 = b) 6 = ( 6) = Es gelten weiterhin die Potenzgesetze (siehe Karte 7.): Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert/ dividiert, indem man die Exponenten addiert/ subtrahiert = = 9 = 3 bzw. 3 6 = 3 ( 6 ) = = Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert/ dividiert, indem man die Basen multipliziert/ dividiert und den Exponent beibehält = (9 ) 6 = 36 6 bzw. 7 3 = (7: 3) = 9 = 3 Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten miteinander multipliziert und die Basis beibehält. (9 3) 3 = = 9 = 3 Addieren und Subtrahieren gleichartiger Terme wie gehabt 7x 5 3x 5 + x 5 9x 5 = x 5 7x 5-8 -