Erfolg im Mathe-Abi 2014

Transkript

1 Gruber I Neumann Erfolg im Mathe-Abi 2014 Prüfungsaufgaben Hessen Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen

2 Vorwort Vorwort Dieses Übungsbuch ist speziell auf die Anforderungen des zentralen Mathematik-Abiturs im Grundkurs abgestimmt und enthält Übungsaufgaben auf Prüfungsniveau aus allen Gebieten, sowie die Original-Prüfungsaufgaben. Der blaue Tippteil Hat man keine Idee, wie man eine Aufgabe angehen soll, hilft der blaue Tippteil in der Mitte des Buches weiter: Zu jeder Aufgabe gibt es dort Tipps, die helfen, einen Ansatz zu finden, ohne die Lösung vorwegzunehmen. Wie arbeitet man mit diesem Buch? Am Anfang befinden sich die Aufgaben aus den drei Themenbereichen Analysis, Lineare Algebra/ Analytische Geometrie und Stochastik. Die Aufgaben sind in der Regel in ihrer Schwierigkeit gestaffelt. In der Mitte des Buches befindet sich der blaue Tippteil mit Denk- und Lösungshilfen. Die Lösungen mit ausführlichem Lösungsweg bilden den dritten Teil des Übungsbuchs. Hier findet man die notwendigen Formeln, Rechenverfahren und Denkschritte sowie sinnvolle alternative Lösungswege. Das Stichwortverzeichnis befindet sich auf Seite 102, am Ende des Lösungsteils. MeinMatheAbi.de Als Ergänzung zum Buch finden Sie im Internet unter nicht nur weitere Abituraufgaben, sondern auch Lernkarten, Taschenrechneranleitungen zu verschiedenen Taschenrechnertypen, Videotutorials und ein Forum, das die Vorbereitung auf die Prüfung erleichtert. Einige Übungsaufgaben sind als Musterbeispiele für die Abiturprüfung von öffentlichen Stellen veröffentlicht worden. Die Urheber- und Nutzungsrechte für diese Aufgaben liegen bei dem jeweiligen Kultusministerium bzw. Landesinstitut. Die Tipps und die Lösungen hierzu stammen wie bei allen anderen Aufgaben von den Autoren. Allen Schülerinnen und Schülern, die sich auf das Abitur vorbereiten, wünschen wir viel Erfolg. Helmut Gruber und Robert Neumann

3 Vorwort Die Abiturprüfung Seit 2007 werden die Mathematikaufgaben für die schriftliche Abiturprüfung in Hessen zentral gestellt. Dabei gibt es das sogenannte «Abschlussprofil», welches ergänzend zum Lehrplan die grundlegenden Anforderungen für die Prüfung auflistet: Analysis Differentialrechnung und Integralrechnung Differenzenquotient, Ableitung an einer Stelle Ableitungsregeln: Summenregel, Produktregel, Kettenregel (lineare Verkettung) Ableitungsfunktionen und ihre geometrischen Deutungen Untersuchungen von Funktionen und ihrer Graphen: Symmetrie zur y-achse, Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung, Nullstellen, relative und absolute Extremalpunkte, Wendepunkte, Monotonieverhalten, Krümmungsverhalten Tangentengleichungen Bestimmung von Funktionen zu vorgegebenen Bedingungen Extremwertaufgaben Bestimmtes Integral, Stammfunktion, Summen- und Faktorregel Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Berechnung des Inhalts eines begrenzten Flächenstücks Integration durch lineare Substitution Auswahl der Funktionsklassen Ganzrationale Funktionsscharen mit Parameter Exponentialfunktionen mit Parameter Einfache rationale Funktionen Einfache trigonometrische Funktionen Lineare Algebra/Analytische Geometrie Vektoren Geraden und Ebenen Parameter- und Koordinatendarstellung von Gerade und Ebene im Raum Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum

4 Vorwort Skalarprodukt, Betrag eines Vektors, Winkel zweier Vektoren Abstandsbestimmungen (außer bei windschiefen Geraden) Schnittwinkel von Geraden und Ebenen im Raum Anwendungen des Skalarproduktes Lineare Gleichungssysteme: Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme, Lösungsverfahren, Lösungsmenge Stochastik Ergebnis und Ereignis: Relative Häufigkeit, Empirisches Gesetz der großen Zahlen, Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, Laplace-Wahrscheinlichkeit Berechnen von Laplace-Wahrscheinlichkeiten: Geordnete Stichprobe (mit und ohne Zurücklegen), Ungeordnete Stichprobe (ohne Zurücklegen) Baumdarstellungen, Pfadregeln (Summen- und Produktregel) Bedingte Wahrscheinlichkeit (Baumdarstellung), Unabhängigkeit von zwei Ereignissen Bernoulli-Kette, Binomialverteilung, Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsgröße, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Einseitiger und zweiseitiger Hypothesentest (nur mittels Binomialverteilung) Annahmebereich, Ablehnungsbereich, Fehler erster und zweiter Art

5 Vorwort Der Ablauf der Abiturprüfung Im Abitur sind, neben einer mathematischen Formelsammlung und einem Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung, entweder ein wissenschaftlicher Taschenrechner (TR), ein grafikfähiger Taschenrechner (GTR) oder ein Computer-Algebra-System (CAS) erlaubt. Tabellen zur Stochastik werden vor der Prüfung zur Verfügung gestellt. Die Schule erhält für jeden Kurs einen Aufgabensatz (angepasst an den Taschenrechnertyp). Die Schülerin/ der Schüler wählt vor der Prüfung aus den zur Verfügung gestellten Aufgaben jeweils eine Aufgabe aus: Analysis Lineare Algebra / Analytische Geometrie Stochastik Die Abiturprüfung besteht also aus drei Teilaufgaben: Einer Analysisaufgabe, einer Aufgabe der Analytischen Geometrie und einer Stochastikaufgabe. Die Prüfungszeit beträgt 180 Minuten.

6 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis 1 Ganzrationale Funktion Mountainbike Ganzrationale Funktion Swimmingpool Ganzrationale Funktion Kurve 4. Grades Exponentialfunktion Jod Exponentialfunktion Bakterien Exponentialfunktion Ventile Exponentialfunktion Funktionenschar Trigonometrische Funktion Sonnenschein Trigonometrische Funktion Luftvolumen der Lunge Lineare Algebra / Analytische Geometrie 10 Geometrie Turm Geometrie Pyramide Geometrie Würfel Geometrie Würfelstumpf Geometrie Geradenschar Geometrie Zelt Geometrie Solarzellen Stochastik 17 Stochastik Glücksspiel Stochastik Handys Stochastik Sommerfest Stochastik Roboter Stochastik Glücksspiel Tipps Lösungen Stichwortverzeichnis Abituraufgaben Abituraufgaben Abituraufgaben

7 1. Ganzrationale Funktion Mountainbike Analysis 1 Ganzrationale Funktion Mountainbike Tipps ab Seite 33, Lösungen ab Seite 46 Eine kleine Firma stellt Mountainbikes her. Bei einer Monatsproduktion von x Mountainbikes entstehen Fixkosten in Höhe von 5000 Euro und variable Kosten V(x) (in Euro), die durch folgende Tabelle modellhaft gegeben sind: x V(x) a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion 2. Grades V(x) sowie der monatlichen Herstellungskosten H in Abhängigkeit von x. Skizzieren Sie den Graph von H für 0 x 200 in ein geeignetes Koordinatensystem. Bei welcher Produktionszahl sind die variablen Kosten fünfmal so hoch wie die Fixkosten? b) Alle monatlich produzierten Mountainbikes werden zu einem Preis von 450 Euro pro Stück an einen Händler verkauft. Geben Sie den monatlichen Gewinn G in Abhängigkeit von x an und skizzieren Sie den Graph der Gewinnfuktion in das vorhandene Koordinatensystem. Bei welchen Produktionszahlen macht die Firma Gewinn? Wie hoch ist der maximale Gewinn pro Monat? c) Durch große Konkurrenz auf dem Markt muss die Firma den Preis pro Mountainbike senken. Um wie viel Prozent vom ursprünglich erzielten Preis ist dies höchstens möglich, wenn pro Monat 90 Mountainbikes produziert werden und der Gewinn mindestens 2000 Euro betragen soll? 11

8 Tipps 3. Ganzrationale Funktion Kurve 4. Grades Tipps Analysis 1 Ganzrationale Funktion Mountainbike a) Verwenden Sie für die variablen Kosten V den Ansatz V(x) = ax 2 + bx + c, setzen Sie die gegebenen Daten ein und lösen Sie das entstandene Gleichungssystem. Die Herstellungskosten setzen sich aus den Fixkosten und den variablen Kosten zusammen. Setzen Sie V(x) = und lösen Sie die Gleichung. b) Berechnen Sie den Verkaufserlös und ermitteln Sie den Gewinn durch Subtraktion der Herstellungskosten vom Erlös. Bestimmen Sie die Nullstellen der Gewinnfunktion und überlegen Sie, für welche x-werte die Gewinnfunktion positiv ist. Den maximalen Gewinn erhalten Sie mit Hilfe der 1. Ableitung der Gewinnfunktion. c) Berechnen Sie die Herstellungskosten für 90 Mountainbikes und den Erlös für diese in Abhängigkeit vom neuen Preis p; da der Gewinn mindestens 2000 Euro betragen soll, ist eine Ungleichung aufzustellen und nach p aufzulösen. Bestimmen Sie die Differenz vom neuen Preis p zum ursprünglichen Preis sowie die prozentuale Abweichung. 2 Ganzrationale Funktion Swimmingpool a) Wenn Wasser weder zu- noch abläuft, müssen Sie die Zulaufrate Null setzen. Die Zeitpunkte maximalen Zu- bzw. Abflusses erhalten Sie durch Berechnung der Hochbzw. Tiefpunkte des Graphen der Zulaufratenfunktion und Betrachtung der Werte am jeweiligen Intervallrand. b) Den Wasserstand nach 3 Stunden erhalten Sie, indem Sie eine Funktion w(t) aufstellen, die die Wassermenge zum Zeitpunkt t angibt. Diese erhalten Sie als Stammfunktion von f unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung (Wassermenge zu Beginn). Alternativ können Sie auch die Wassermenge, die zu Beginn im Pool ist, bestimmen und die zugeflossene Wassermenge durch Integration berechnen und dazu addieren. Die Höhe des Wasserstands am Ende des gesamten Vorgangs erhalten Sie, indem Sie die vorhandene Wassermenge durch die Grundfläche des Pools teilen. Die maximale Wassermenge kann sich jeweils nur am Ende einer Zuflussphase im Pool befinden. Überlegen Sie, wie sich die Wassermenge über das angegebene Zeitintervall hinaus entwickeln würde. 3 Ganzrationale Funktion Kurve 4. Grades a) Verwenden Sie aufgrund der Achsensymmetrie den Ansatz: f (x) = ax 4 +bx 2 +c und setzen Sie die gegebenen Daten ein; sie erhalten ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten. 33

9 1. Ganzrationale Funktion Mountainbike Lösungen Lösungen Analysis 1 Ganzrationale Funktion Mountainbike a) Da die variablen Kosten V durch eine ganzrationale Funktion 2. Grades beschrieben werden sollen, gilt für V der Ansatz: V(x) = ax 2 + bx + c. Aus den gegebenen Daten erhält man folgende Gleichungen: I V(0) = 0 II V(2) = 306 III V(6) = 954 bzw. I a b 0 + c = 0 II a b 2 + c = 306 III a b 6 + c = 954 Dies führt zu: I c = 0 II 4a + 2b = 306 III 36a + 6b = 954 Multipliziert man Gleichung II mit 3 und subtrahiert davon Gleichung III, so ergibt sich: 24a = 36 a = 1, 5. Setzt man a = 1, 5 in Gleichung II ein, so erhält man: 4 1,5 + 2b = 306 b = 150. Außerdem ist auch V(10) = 100a + 10b = 1650 erfüllt. Somit werden die variablen Kosten V beschrieben durch: V(x) = 1,5x x. Die monatlichen Herstellungskosten H setzen sich aus den Fixkosten und den variablen Kosten V zusammen: H(x) = V(x) = 1,5x x Wenn die variablen Kosten V(x) fünfmal so hoch wie die Fixkosten (5000 e) sein sollen, muss gelten: V(x) = bzw. 1,5x x = x 1 88,44 und x 2 188,44. Bei einer Produktion von 88 Mountainbikes sind die variablen Kosten fünfmal so hoch wie die Fixkosten. 46

10 Lösungen 1. Ganzrationale Funktion Mountainbike b) Den monatlichen Gewinn G erhält man, indem man die Herstellungskosten H vom Erlös E subtrahiert. Da ein Mountainbike für 450 e an den Händler verkauft wird, gilt für den Erlös E bei x produzierten Mountainbikes: E(x) = 450 x G(x) = E(x) H(x) = 450x (1,5x x )= 1,5x x Die Firma macht Gewinn, wenn G(x) positiv ist, d.h. die Produktionszahlen zwischen den Nullstellen von G liegen, da der Graph von G eine nach unten offene Parabel ist. G(x) = 0 führt zu 1,5x x 5000 = 0 x 1 18,4 und x 2 181,6. Die Firma macht Gewinn, wenn mehr als 18 und weniger als 182 Mountainbikes hergestellt werden. Den maximalen Gewinn erhält man durch Berechnung des Maximums von G durch Nullsetzen der 1. Ableitung: G (x) = 3x = 0 x = 100. Da G bei x = 100 das Vorzeichen von + nach wechselt, handelt es sich um ein Maximum. Setzt man x = 100 in G(x) ein, so erhält man: G(100) = 1, = Bei einer Produktion von 100 Mountainbikes pro Monat beträgt der maximale Gewinn e. c) Wenn pro Monat 90 Mountainbikes produziert werden, betragen die Herstellungskosten H(90) = 1, = Ist p der Preis für ein Mountainbike, so beträgt der Erlös E = 90 p. Da der Gewinn mindestens 2000 e betragen soll, muss gelten: 90p p 362,78. Der Preis für ein Mountainbike kann also höchstens um , 78 = 87, 22 e gesenkt werden. Da 87, ,194 = 19,4 %, also kann der ursprünglich erzielte Preis um höchstens 19,4 % gesenkt werden. 47