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1 7. Hypothesentests Ausgangssituation: Man muss sich zwischen 2 Möglichkeiten (=Hypothesen) entscheiden. Diese Entscheidung soll mit Hilfe von Beobachtungen ( Stichprobe ) getroffen werden. Die Hypothesen betreffen entweder - den Wert eines Parameters der Grundgesamtheit oder z.b. - im Durchschnitt ist ein Maßkrug auf dem Oktoberfest immer mit 1 Liter gefüllt - die durchschnittliche Auslastung einer Maschine liegt über 90% - die Streuung eines neu entwickelten Maschine ist geringer als die einer herkömmlichen Maschine - die Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße z.b. - die Ankunft von Kunden an einer Autowaschanlage ist gleichverteilt - am Montagen passieren doppelt so viele Unfälle wie an den anderen Wochentagen - der Spielwürfel ist fair, d.h. jede Zahl kommt gleichhäufig vor. Den Schluss von n Beobachtungen (also der Stichprobe) auf die Gestalt der Verteilungsfunktion bzw. den Wert des Parameters (also auf die Grundgesamtheit) nennt man statistische Inferenz. Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1

2 Beispiel (s.skript): Für n=52 Kunden wird der Zeitabstand des Eintreffens an einer Autowaschanlage beobachtet: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 2

3 Weitere mögliche (stetige) Verteilungen Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 3

4 Hypothesen Beispiel 1 "Autowaschanlage" Der Zeitabstand zwischen dem Eintreffen zweier Kunden ist gleichverteilt Der Zeitabstand zwischen dem Eintreffen zweier Kunden ist nicht gleichverteilt. H0 : H 1 : Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 4

5 Beispiel 2 "Auslastung einer Maschine" H 0 : H 1 : Beispiel 3 "Füllung Maßkrug auf dem Oktoberfest" H0 : H 1 : Beispiel 4 "Streuung neue <-> herkömmliche Maschine" H0 : H 1 : Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 5

6 Beispiel 5 "Unfälle am Montag" H 0 : H 1 : Beispiel 6 "Fairer Spielwürfel" H 0 : H1 : Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 6

7 Hypothesen allgemein H 0 : H 1 : Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 7

8 7.2 Grundprinzip von Hypothesentests am Beispiel des zweiseitigen Test auf einen Parameter 1. Schätzung des unbekannten Parameters auf Basis der Beobachtungen -> 2. Wahl einer geeigneten Teststatistik T, die den Abstand von zu misst: 3. Vergleich der Teststatistik T mit einem kritischen Wert : Entscheidung für H0 Entscheidung gegen H0 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 8

9 Fehler ersten und zweiter Art Da die Beobachtungen vom Zufall abhängen, kann eine Entscheidung zwischen den beiden Hypothesen nie mit 100% Sicherheit getroffen werden. Dabei können 2 unterschiedliche Fehler gemacht werden: Fehler 1. Art: Es wird gegen H 0 entschieden, obwohl H 0 gilt Fehler 2. Art: Es wird für H 0 entschieden, obwohl H 1 gilt Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 9

10 Ziel: Problem: Vorgehen: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 10

11 Bedeutung des Signifikanzniveaus: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 11

12 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 12

13 Fehler 2. Art Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 13

14 Zusammenhang Hypothesentests <-> Toleranzintervall 1. Berechnung des Toleranzintervall zur Sicherheit für den unbekannten Parameter : 2. Entscheidung: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 14

15 7.3 Chi-Quadrat-Test zur Verteilungsprüfung Diskrete Verteilungen Beispiel: Ist ein Würfel gleichmäßig? H0 : H1 : Stichprobe: 60x Werfen des Würfels: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 15

16 Allgemein gilt: Wir lehnen H 0 nicht ab, falls Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 16

17 Verallgemeinerung: X: diskrete Zufallsgröße a 1, a 2... a k : P 0 : Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 17

18 Falls P 0 von Parametern abhängt: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 18

19 2. Berechnung der Teststatistik (=Testgröße) Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 19

20 3. Bestimmung des kritischen Wertes Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 20

21 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 21

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23 Beispiel "Würfel": H 0: Augenzahlen sind gleichverteilt, d.h P(X=i) =1/6 für i=1,...6 H 1: Augenzahlen sind nicht gleichverteilt Teststatistik: Kritischer Wert: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 23

24 7.3.2 Modellierung stetiger Verteilungen durch Histogramme X: stetige Zufallsgröße Vorgehen: Einteilung der Daten in Klassen Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 24

25 Klasseneinteilung Anzahl der Klassen: Klassenbreite: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 25

26 Klasseneinteilung Histogramm Annahme: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 26

27 Schätzung der Parameter der Normalverteilung aus der Stichprobe: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 27

28 7.3.3 Chi-Quadrat-Test zur Verteilungsprüfung stetiger Zufallgrößen Hypothesen: Erwartete Häufigkeiten (bei angenommener Verteilung F 0 ) ai o : obere Grenze der i-ten Klasse ai u : untere Grenze der i-ten Klasse Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 28

29 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 29

30 Beispiel "Zufällige Dauer von Telefongesprächen": H 0 : H 1 : Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 30

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33 Teststatistik: Kritischer Wert: Entscheidung: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 33

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35 Allg. für beidseitige Tests 1. Schätzen des unbekannten Parameters aus den Beobachtungen (hier: schätzen des Erwartungswertes durch das arithmetische Mittel) 2. Berechnen der Teststatistik bei beiseitigem Test Betrag 3. Kritischer Wert (daher auch t-test auf Mittelwert genannt) Entscheidung: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 35

36 Einseitige Tests: Teststatistik: Achtung: bei einseitigem Test kein Betrag Kritischer Wert und Entscheidung: b) c) Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 36