Realschule Bayern C.C. BUCHNER

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1 Realschule Bayern Herausgegeben von Michael Kleine und Patricia Weiler Bearbeitet von Andreas Gilg, Michael Kleine, Evelyn Mühlbauer, Andreas Schüßler, Andreas Strobel, Katja Trost, Patricia Weiler, Simon Weiler C.C. BUCHNER

2 Mathe.Logo Realschule Bayern Herausgegeben von Michael Kleine und Patricia Weiler Mathe.Logo 10 II Bearbeitet von Andreas Gilg, Michael Kleine, Evelyn Mühlbauer, Andreas Schüßler, Andreas Strobel, Katja Trost, Patricia Weiler und Simon Weiler 1. Auflage, 1. Druck 015 Alle Drucke dieser Auflage sind, weil untereinander unverändert, nebeneinander benutzbar. Dieses Werk folgt der reformierten Rechtschreibung und Zeichensetzung. Ausnahmen bilden Tete, bei denen künstlerische, philologische oder lizenzrechtliche Gründe einer Änderung entgegenstehen. Die Mediencodes enthalten ausschließlich optionale Unterrichtsmaterialien; sie unterliegen nicht dem staatlichen Zulassungsverfahren. 015 C.C. Buchner Verlag, Bamberg Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlags. Das gilt insbesondere auch für Vervielfältigungen, Übersetzungen und Mikroverfilmungen. Hinweis zu 5 a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Redaktion: Georg Vollmer Layout und Satz: Wildner + Designer GmbH, Fürth Druck- und Bindearbeiten: PHOENIX PRINT GmbH ISBN

3 Inhalt 3 Mathematische Zeichen und Abkürzungen... 6 Grundwissen Quadratische Funktionen Die Normalparabel Gestreckte und gestauchte Parabeln Parallelverschiebung von Parabeln Die allgemeine Form y = a + b + c Aufstellen von Parabelgleichungen Funktionale Abhängigkeiten Quadratische Funktionen im Alltag Vermischte Aufgaben Das kann ich! Auf einen Blick Kreuz und quer Quadratische Gleichungen Reinquadratische Gleichungen Gemischtquadratische Gleichungen Lösungsformel für gemischtquadratische Gleichungen Systeme quadratischer Gleichungen Geometrische Betrachtungen von Parabeln und Geraden Vermischte Aufgaben Das kann ich! Auf einen Blick Kreuz und quer Berechnungen am Kreis Die Kreiszahl π Kreisbogen und Kreissektor Kreisring und Kreissegment Vermischte Aufgaben Themenseite: Bestimmung von π mit der Monte-Carlo-Methode Das kann ich! Auf einen Blick Kreuz und quer Quadratische Funktionen Beschreibe die Form des Bauwerks The Arch in St. Louis, Illinois, USA. Vereinfache die Darstellung des Bauwerks, indem die Form mithilfe einer Linie in einem Koordinatensystem dargestellt wird. Lege den höchsten Punkt des Bauwerks in den Koordinatenursprung. Kann es sich bei der vereinfachten Darstellung um den Graphen einer Funktion handeln? Begründe. Finde einen Term, dessen Graph eine ähnliche Form wie das Bauwerk beschreibt. Vergleiche den Term mit dem Term einer linearen Funktion. Was stellst du fest? Quadratische Gleichungen welche Eigenschaften quadratische Funktionen besitzen. wie man quadratische Funktionen darstellen kann. Problemstellungen aus dem Alltag mithilfe quadratischer Funktionen zu bearbeiten. Der arabische Mathematiker Al-Chwarizmi hat schon vor über 1000 Jahren ein Verfahren beschrieben, wie man quadratische Gleichungen lösen kann. Das Blatt zeigt das Beispiel für die Gleichung + 8 = 48. Beschreibe sein Vorgehen. Löse ebenso die Gleichungen: + 8 = 84 und + 4 = 1. Erkläre, warum Al-Chwarizmi auf diese Weise nur stets eine Lösung einer quadratischen Gleichung findet. + 8 = cm = 64 cm = 64 cm 48 cm ( + + ) = 4 cm quadratische Gleichungen auf verschiedene Arten zu lösen. die Lösung von quadratischen Gleichungen geometrisch zu interpretieren. Schnitte zwischen Parabeln und Geraden systematisch zu betrachten. Berechnungen 3 am Kreis Beim Kugelstoßen wird ausgehend vom Mittelpunkt des Stoßkreises (Durchmesser 13 cm) ein Feld unter einem Winkel von etwa 35 angetragen. Das Feld wird dabei von zwei Strecken und einem Kreisbogen begrenzt. Zeichne ein solches Feld im Maßstab 1 : 100 bis zu einer maimalen Wurfweite von 10 m in dein Heft. Alle m wird die Weite auf dem Feld markiert. Trage diese Weitenlinien in deine Zeichnung ein. Schätze die Länge aller Linien möglichst genau ab, die man zeichnen muss, um das Feld aus dem Heft in Realität zu zeichnen. Wie groß ist der Flächeninhalt des Feldes in der Realität? Zusammenhänge zwischen den Größen am Kreis mathematisch zu beschreiben. Größen am Kreis und an Kreisteilen zu berechnen. die Berechnungen an Kreisen und Kreisteilen für Anwendungen zu nutzen.

4 4 Inhalt 4 Trigonometrie Sabrina will die Höhe der Türme des Bamberger Doms gegenüber dem Domplatz bestimmen. Sie hat eine genau 50 m lange Drachenschnur dabei. Den Winkel zum Dom misst sie mit einem Winkelmesser. Ermittle die eingezeichnete Höhe des Doms. Bestimme den Winkel, unter dem Sabrina den Domturm aus einer Entfernung von 100 m sehen würde. Wie weit ist Sabrina vom Dom entfernt, wenn sie die Spitze des Turms unter einem Winkel von 70 sieht? 57 Winkelmaße und Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens zu berechnen. Zusammenhänge zwischen Sinus, Kosinus und Tangens zu beschreiben und zu nutzen. trigonometrische Funktionen zu bearbeiten und trigonometrische Gleichungen zu lösen. Winkelmaße und Seitenlängen in beliebigen Dreiecken zu berechnen. den Flächeninhalt von Dreiecken mithilfe von Winkelmaßen zu berechnen. 5 6 Raumgeometrie Welche Form hat dieses Aquarium? Schätze, wie viel Wasser sich im Aquarium befindet. Wie kann man die Füllmenge für das Aquarium ausrechnen? Wie viel Quadratmeter Glas müssen bei einer Reinigung geputzt werden? Unterscheidet sich die Größe der Glasfläche innen und außen? wie man die Oberfläche von Prismen, Zylindern, Kegeln, Pyramiden und Kugeln bestimmt. wie man das Volumen dieser Körper bestimmt. wie man die Oberfläche und das Volumen von zusammengesetzten Körpern bestimmt. Weitere Funktionen In der Medizin werden Bakterienkulturen in Schalen gezüchtet, um beispielsweise neue Medikamente zu entwickeln oder zu erproben. Dabei betrachtet man das Wachstum der Bakterien unter optimalen Vermehrungsbedingungen. Ein bestimmter Bakterienstamm vergrößert die von ihm bedeckte Fläche jeden Tag um 15 %. Zu Beginn einer Messung nehmen die Bakterien auf einer Petrischale eine Fläche von 0, cm ein. Erstelle eine Wertetabelle für die ersten sieben Tage des Wachstums. Stelle den Zusammenhang zwischen Zeit und Flächeninhalt grafisch dar. Die Schale hat einen Durchmesser von 90 mm. Schätze den Zeitpunkt, an dem die Bakterienkultur die ganze Schale bedeckt. 4 Trigonometrie Zusammenhänge am rechtwinkligen Dreieck Sinus, Kosinus und Tangens im Alltag Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis Sinus, Kosinus und Tangens untersuchen Trigonometrische Funktionen Besondere Winkelmaße für Sinus, Kosinus und Tangens Berechnungen in beliebigen Dreiecken der Sinussatz Berechnungen in beliebigen Dreiecken der Kosinussatz Vertiefung: Flächeninhalt von beliebigen Dreiecken Vermischte Aufgaben Das kann ich! Auf einen Blick Kreuz und quer Raumgeometrie Oberfläche von Prisma und Zylinder Oberfläche von Pyramide und Kegel Volumen von Prisma und Zylinder Volmen der Pyramide Volumen des Kegels Volumen der Kugel Oberfläche der Kugel Funktionale Abhängigkeiten Raumgeometrie und Trigonometrie Vermischte Aufgaben Themenseite: Zylinder und Kegel Das kann ich! Auf einen Blick Kreuz und quer Weitere Funktionen Funktionen der indirekten Proportionalität Eponentialfunktionen Vermischte Aufgaben Das kann ich! Auf einen Blick Kreuz und quer Funktionen der indirekten Proportionalität zu erkennen und zu nutzen. Eponentialfunktionen und ihre Eigenschaften zu beschreiben. Wachstums- und Abnahmeprozesse durch Eponentialfunktionen zu untersuchen.

5 5 7 Abschlussprüfungsaufgaben Abschlussprüfung Funktionen Abschlussprüfung Ebene Geometrie Abschlussprüfung Raumgeometrie Das kann ich ohne Hilfsmittel! Auf einen Blick Stichwortverzeichnis Bildnachweis Abschlussprüfungs- 7 aufgaben Welche Themenbereiche hast du in dieser Jahrgangsstufe kennengelernt? Ordne sie jeweils einem der drei Gebiete zu: Funktionen, Ebene Geometrie, Raumgeometrie. An welche Formeln und Lösungsverfahren erinnerst du dich? welche Aufgabentypen dich in der Abschlussprüfung erwarten. wie Lösungen zu Abschlussprüfungsaufgaben aussehen. das Hilfsmittel grafikfähiger Taschenrechner bei der Lösung sinnvoll einzusetzen.

6 6 Mathematische Zeichen und Abkürzungen Menge der natürlichen Zahlen mit Null Menge der ganzen Zahlen Menge der rationalen Zahlen Menge der reellen Zahlen Grundmenge Lösungsmenge leere Menge {a; b; c} aufzählende Form der Mengendarstellung Menge mit den Elementen a, b und c { } beschreibende Form der Mengendarstellung; Menge aller (der vereinbarten Grundmenge), für die gilt [; y] abgeschlossenes Intervall [; y[, ]; y] halboffene Intervalle ]; y[ offenes Intervall a (absoluter) Betrag von a (3 4) geordnetes Zahlenpaar M 1 M Produktmenge: M 1 Kreuz M T 1, T, Terme und zugleich oder auch daraus folgt äquivalent; genau dann, wenn f, g Funktionen ist zugeordnet, hat als Bild, wird abgebildet auf f 1 Umkehrfunktion zu f f () Funktionsterm ungefähr gleich = ( ) gleich (nicht gleich) kongruent zu entspricht ( ) größer als (größer als oder gleich) ( ) kleiner als (kleiner als oder gleich) X () Element von (nicht Element von) O ( ) echte Teilmenge von (Teilmenge von) Y geschnitten mit y vereinigt mit a k Potenzschreibweise; a hoch k a Quadratwurzel aus a P ( y) Punkt P mit den kartesischen Koordinaten und y g, h,... Geraden d (P; g) Abstand des Punktes P von der Gerade g PQ Gerade durch P und Q [PQ Halbgerade durch Q mit dem Anfangspunkt P [PQ] Strecke mit den Endpunkten P und Q PQ Länge der Strecke [PQ] k (M; r) AB ( Kreislinie mit Mittelpunkt M und Radius r positiv orientierter Kreisbogen vom Punkt A zum Punkt B ASB Winkel mit Scheitel S und Schenkeln [SA und [SB, auch Maß dieses Winkels α, β, γ,... Winkelbezeichnungen, Winkelmaße m [AB] Mittelsenkrechte der Strecke [AB] w α Winkelhalbierende des Winkels α A Flächeninhalt V Rauminhalt, Volumen u Umfangslänge r Radius eines Kreises d Durchmesser eines Kreises LE, FE, VE Längen-, Flächen-, Volumeneinheit senkrecht auf, orthogonal zu parallel zu sin Sinus cos tan a Kosinus Tangens Pfeil von P (Fuß) nach Q (Spitze); Vektor, dessen Vertreter der Pfeil Vektor a Betrag des Vektors a ( a b ) Vektor mit den Koordinaten a und b in Matrischreibweise a b Matri c d a b c d zweireihige Determinante a b a b + Summe der Vektoren und k a _ m z R Produkt aus Vektor a und Zahl k arithmetisches Mittel Modalwert Zentralwert Spannweite ist