Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 7 6. Semester ARBEITSBLATT 7 UMKEHRAUFGABEN ZUR KURVENDISKUSSION

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Franz Pohl
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1 ARBEITSBLATT 7 UMKEHRAUFGABEN ZUR KURVENDISKUSSION Bisher haben wir immer eine Funktion gegeben gehabt und sie anschließend diskutiert. Nun wollen wir genau das entgegengesetzte unternehmen. Wir wollen aus bestimmten Gegebenheiten heraus die Funktionsgleichung ermitteln. Sehen wir uns hier die Vorgangsweise gleich einmal an einem Beispiel an: Beispiel: Der Graph einer Polynomfunktion dritten Grades besitzt den Tiefpunkt T(/-) und den Wendepunkt W(/). Wie lautet der Funktionsterm? Lösung: Als Erstes ist die Rede von einer Polynomfunktion dritten Grades. Polynomfunktionen sind Funktionen, bei denen keinerlei x-werte im Nenner oder Wurzeln von x-werten auftreten. Sie sind also immer nach n n dem Rechengesetz = ax + bx rx + sx + t a, b,..., r, s, t R aufgebaut. Dies sind zum Beispiel die Funktionen: 3 = 3x x + 5x 7 = x 5x + x 3 Das diese Polynomfunktion nun dritten Grades ist, bedeutet, dass die 3 höchste Potenz von x 3 ist. Außer dem x können natürlich auch noch x, x und reine Zahlenwerte vorkommen. Außerdem können vor dem 3 x, x und x noch Zahlenwerte vorkommen. Benennen wir diese Formvariablen oder Konstanten aufsteigend alphabetisch. Unsere Funktionsgleichung muss also prinzipiell folgendes Aussehen haben: 3 = ax + bx x a, b, c, d R Worum es uns nun geht ist die Bestimmung der Konstanten a, b, c und d. Die erste Überlegung ist immer: Wie viele Konstante sind zu bestimmen? In unserem Beispiel sind es vier. Folglich brauchen wir genau so viele Gleichungen, um die Konstanten berechnen zu können. Erinnern sie sich an die Gleichungssysteme: Zwei Gleichungen mit zwei Variablen sind eindeutig lösbar; drei Gleichungen mit drei Variablen sind eindeutig lösbar u.s.w.. Merke: Man benötigt zum Ermitteln einer Funktionsgleichung mit n Konstanten genau n Gleichungen. Als zweiten Schritt können sie sofort die erste und zweite Ableitung der Funktion bilden (Dies aus dem Vorwissen heraus, dass diese meistens benötigt werden). Um die. Ableitung zu bilden differenzieren wir f(x), für die. Ableitung differenzieren wir f (x). Beachten Sie dabei, dass die Konstanten a,b,c,d in Wirklichkeit nur Zahlen sind, also als Faktor vor dem x stehen. Wir differenzieren nur nach dem x:

2 3 = ax + bx x f ' ( x) = 3ax + bx f ' ' ( x) = 6ax + b Nun kommt das Hauptproblem. Wie finde ich die vier Gleichungen? Die Antwort dazu liegt stets im Text. Wenn sie den Text durchlesen, so kommt als nächste Information, dass die Funktion den Tiefpunkt T(/-) besitzt. Dies müssen wir nun ausnützen. Zunächst einmal bedeutet dies, dass der Punkt T(/-) auf der Funktion liegt, das heißt, dass wir ihn in die Funktionsgleichung einsetzen dürfen. Allgemein können wir dies folgendermaßen anschreiben: Die Koordinaten von T sind ja x- und y-koordinate. Statt y können wir aber auch f(x) schreiben. T(/-) x f(x) Da nun T den x-wert hat ist für diesen Punkt der y-wert der Funktionswert an der Stelle. Wir schreiben dies als f(): T(/-) x f() Wir können also nun sagen, dass für T gilt, dass der Funktionswert an der Stelle gleich ist. Wir schreiben dies als erste Bedingung auf: I : f () = Die dazugehörige Gleichung erhalten wir nun, indem wir in unserer Funktionsgleichung f(x) für x = einsetzen und für f(x) = einsetzen: 3 f () = = a + b Wir erhalten: I : f () = : + c Damit haben wir nun ausgenützt, dass der Punkt T ein Punkt der Funktion ist. Außerdem ist T aber nun ein spezieller Punkt, er ist ein Tiefpunkt, also ein Extremwert. Dies bedeutet, dass die Funktion in diesem Punkt die Steigung Null haben muss. Die Steigung ist nichts anderes als die erste Ableitung. Der Punkt T ist an der Stelle x =. Folglich muss also f ()=0 sein. Damit haben wir nun unsere zweite Bedingung; II : f ' () = 0 Um die Gleichung zu erhalten, setzen wir also in die erste Ableitung für x = ein: f ' ( x) = 3ax + bx f ' () = 3a + b = 0

3 Wir erhalten die Gleichung: 0 = a Unsere zweite Bedingung lautet also: II : f ' () = 0 : 0 = a Merke: Bei einem Extremwert kann man zwei Informationen ausnützen: Er muss ein Punkt der Funktion sein und die erste Ableitung muss in ihm Null sein. Damit haben wir den Punkt T ausgenützt. Wenn wir im Text weiterlesen bekommen wir die Information, dass die Funktion außerdem den Wendepunkt W(/) besitzt. Hier können wir nun als dritte Bedingung ausnützen, dass auch der Punkt W auf der Funktion liegt, wir ihn also in f(x) einsetzen dürfen. Es muss also der Funktionswert an der Stelle x = sein. Formal geschrieben ist dies unsere dritte Bedingung: III : f () = Wir setzen in die Funktion für x = ein: 3 = ax + bx x 3 f () = a + b = und erhalten die Gleichung: = a + b Unsere dritte Bedingung lautet also: III : f () = : = a + b Damit haben wir ausgenützt, dass der Punkt W auf der Funktion liegt. Weiters haben wir aber noch die Information, dass der Punkt W ein Wendepunkt ist. Dies bedeutet, dass in W die zweite Ableitung Null sein muss. Da der Wendepunkt an der Stelle x = liegt, muss also die zweite Ableitung an der Stelle gleich Null sein. Wir schreiben dies als vierte Bedingung auf: IV : f ' ' () = 0 Um die dazugehörige Gleichung zu erhalten, setzen wir also in f (x) für x = ein: f ' ' ( x) = 6ax + b f ' ' () = 6a + b = 0 Wir erhalten: IV : f ' ' () = 0 : 0 = 6a + b Merke: Bei einem Wendepunkt kann man zwei Informationen ausnützen: Er muss ein Punkt der Funktion sein und die zweite Ableitung muss in ihm Null sein. Nun haben wir vier Gleichungen mit vier Unbekannten. Dies bedeutet, dass wir ein lösbares Gleichungssystem haben. Ich schreibe zunächst einmal alle vier Gleichungen noch einmal untereinander: I : + c II : 0 = a 3

4 III : = a + b IV : 0 = 6a + b Das Prinzip des Lösens solcher Gleichungssysteme ist uns bereits bekannt. Wir müssen mittels des Eliminationsverfahrens jeweils die Anzahl der Variablen so lange reduzieren, bis wir eine Variable berechnen können. Beachten Sie dabei, dass wir z.b. zum Berechnen von drei Unbekannten wir drei Gleichungen benötigen u.s.w. Wir müssen also immer darauf achten, dass wir genügend Gleichungen haben. Wenn wir unser obiges Gleichungssystem betrachten, so fällt auf, dass wir die Variable d aus den Gleichungen I und III eliminieren können: I : + c III : = a + b / ( ) I : + c III : = a b c d + V : 3 = 7a + 3b Damit haben wir nun drei Gleichungen mit drei Variablen (Die Gleichungen II, IV und V). Wenn wir diese betrachten, so fällt auf, dass wir aus den Gleichungen II und V das c eliminieren können: II : 0 = a V : 3 = 7a + 3b / ( ) II : 0 = a V : 3 = 7a 3b c + VI : 3 = 5a + b Damit haben wir nun zwei Gleichungen mit zwei Variablen (Die Gleichungen IV und VI). Aus diesen beiden eliminiere ich nun das b: IV : 0 = 6a + b VI : 3 = 5a + b / ( ) IV : 0 = 6a + b VI : 6 = 0a b 6 = a Nun haben wir eine Gleichung, aus der wir uns das a berechnen können. 6 = a / : ( ) 6 3 a = = Nun können wir in die anderen Gleichungen zurück einsetzen, um uns b, c, und d zu berechnen. Ich suche zunächst eine Gleichung, in der außer a nur eine Variable vorkommt. Ich nehme die Gleichung VI: VI : 3 = 5a + b Wir setzen a ein: = + b / 9 b =

5 Nun suchen wir uns eine Gleichung, in der außer a und b nur eine weitere Variable vorkommt. Ich wähle die Gleichung II: II : 0 = a Wir setzen a und b ein: 0 = 8 8 c = 0 Für d setze ich in die Gleichung III ein: III : = a + b Wir setzen a, b, c ein: 3 9 = / + 3 d = 5 Damit können wir die Funktion angeben: = x x + 5 Noch ein weiteres Beispiel dazu: Beispiel: Der Graph einer Polynomfunktion dritten Grades besitzt den Hochpunkt H(0/5), den Schnittpunkt N(-/0) mit der x-achse und den Punkt P(- /). Wie lautet die Funktionsgleichung? Lösung: Eine Polynomfunktion dritten Grades lautet wieder allgemein: 3 = ax + bx x a, b, c, d R Da wir wieder vier Variable haben, müssen wir auch vier Gleichungen finden. Ich bilde zunächst einmal gleich die beiden Ableitungen von f(x): 3 = ax + bx x f ' ( x) = 3ax + bx f ' ' ( x) = 6ax + b Zunächst einmal ist der Hochpunkt H ein Punkt der Funktion. Ich kann ihn also in die Funktionsgleichung f(x) einsetzen. Da H die Koordinaten (0/5) hat, muss also der Funktionswert an der Stelle Null gleich 5 sein: I : f (0) = 5 : 5 = d Da hier x = 0 war, bekommen wir als Gleichung sofort die Information, dass d = 5 ist. Als Zweites nützen wir aus, dass H ein Hochpunkt ist, das heißt, dass die erste Ableitung an der stelle x = 0 Null sein muss: II : f ' (0) = 0 : 0 = c Als dritte Information wissen wir, dass die Funktion durch den Punkt N(- /0) geht, dieser also auf der Funktion liegt: III : f ( ) = 0 : 0 = 8a c 5

6 Nachdem c und d bereits bekannt sind, können wir diese Gleichung gleich durch einsetzen dieser Werte vereinfachen: III : f ( ) = 0 : 0 = 8a + 5 Als letzte Information wissen wir, dass auch der Punkt P(-/) auf der Funktion liegen soll. Wir setzen ihn in die Funktion ein: IV : f ( ) = : = a + b c Wir setzen wieder c und d ein: IV : f ( ) = : = a + b + 5 Aus den Gleichungen III und IV lässt sich nun auch noch a und b berechnen: III : 0 = 8a + 5 IV : = a + b + 5 / ( ) III : 0 = 8a + 5 IV : 6 = a b 0 6 = a 5 / + 5 = a / : ( ) a = Nun setzen wir wieder zurück ein. Ich wähle die Gleichung IV: = + b + 5 / 5 = + b / 5 b = Die Funktionsgleichung lautet also: 3 5 = x x + 5 Übung: Übungsblatt 7; Aufgaben

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