Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8 3. Semester ARBEITSBLATT 8 TEXTAUFGABEN ZU LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN AUFGABEN ZU ZAHLEN

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1 ARBEITSBLATT 8 TEXTAUFGABEN ZU LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN AUFGABEN ZU ZAHLEN Prinzipiell kennen wir die Vorgangsweise beim Lösen von Textaufgaben bereits. Neu ist hingegen, dass wir nun immer zwei Variable (meist x und y benannt) haben. Damit sich aber die zwei Variablen eindeutig berechnen lassen benötigen wir auch zwei Gleichungen, sprich zwei Bedingungen. Merke: Damit zwei Variablen eindeutig festgelegt sind, benötigt man zwei Gleichungen. Beispiel: Vermindert man das Siebenfache einer Zahl um das Dreifache einer anderen Zahl, so ergibt sich 17. Die Summe der beiden Zahlen ist 1. Berechne die beiden Zahlen. Zuerst legen wir die Variablen fest. Hier haben wir es laut Angabe mit zwei verschiedenen Zahlen zu tun, wir nennen die erste Zahl x, die Zweite y: 1. Zahl x 2. Zahl y Als Nächstes geben wir die Grundmenge an. Für beide Zahlen gibt es keinerlei Einschränkungen, es dürfen also beliebige Werte sein. Beide Zahlen dürfen reelle Zahlen sein. Man gibt dies folgendermaßen an: G = R R Die erste Angabe bezieht sich dabei auf die Variable x, die zweite Angabe auf die Variable y. Nun müssen wir unsere Gleichungen finden: Die erste Zeile sagt uns, dass das Siebenfache der ersten Zahl um das Dreifache der zweiten Zahl vermindert 17 ergibt. Wir erhalten also als 1. I : 7 x = 17 Als zweite Bedingung wird uns gesagt, dass die Summe der beiden Zahlen 1 beträgt. Wir erhalten: II :x + y = 1 Damit erhalten wir also folgendes Gleichungssystem: 1

2 I : 7x = 17 II : x+ y = 1 Nun müssen wir dieses Gleichungssystem lösen. Welches Verfahren wir dabei verwenden ist egal. Ich wende das Eliminationsverfahren an: I : 7x = 17 II : x+ y = 1 / 3 I : 7x = 17 II : 3x + 3y = x = 270 /: 10 Wir addieren die beiden Gleichungen. x = 27 Zur Berechnung von y setze ich x in die zweite Gleichung ein: 27 + y = 1 / 27 y = 1 Überprüfen Sie, ob die berechneten Lösungen von der Grundmenge zugelassen sind und ob vom Text her auch diese Werte gefragt werden. Falls ja, geben Sie eine Antwort an: Die Zahlen lauten 1 und 27. Übung: Übungsblatt 8; Aufgaben Beispiel: In einer zweiziffrigen Zahl ist die Zehnerziffer das Dreifache der Einerziffer. Vertauscht man die beiden Ziffern der Zahl, so erhält man eine Zahl, die um 36 kleiner ist als die erste Zahl. Berechne die erste Zahl. Diese Aufgaben mit dem Stellenwert kommen Ihnen hoffentlich noch bekannt vor. Wer also Schwierigkeiten hat, nehme bitte die alten Unterlagen zur Hand und suche die entsprechenden Kapitel. Wir haben hier eine zweiziffrige Zahl. Wir nennen also die Ziffer an der Zehnerstelle x und die Ziffer an der Einerstelle y. Die Zahl ist also folgendermaßen aufgebaut: Zahl xy Die umgekehrte Zahl sieht logischerweise also folgendermaßen aus: Vertauschte Zahl yx Wir veranschaulichen dies mittels einer Tabelle: Zehnerziffer Einerziffer Zahl x y Vertauschte Zahl y x 2

3 Gerechnet wird nun aber mit dem Wert der Zahlen. Dazu überlegen wir uns dies noch einmal an einem konkreten Beispiel. Wir haben eine zweiziffrige Zahl, welche an der Zehnerstelle eine 2 an der Einerstelle die Zahl 5 hat. Um den Wert dieser Zahl zu bekommen, muss man die Ziffer an der Zehnerstelle stets mit 10 multiplizieren, die Ziffer an der Einerstelle wird mit 1 multipliziert = 25 Nun führen wir dies mit unseren beiden Zahlen durch: Zehnerziffer Einerziffer Zahlenwert Zahl x y 10x + y Vertauschte Zahl y x 10y + x Nun müssen wir noch die Grundmenge angeben. X und y dürfen hier lediglich Ziffern sein, also ganzzahlige Werte zwischen 0 und 9. G = { 0, 12,,.., 9} { 0, 12,,..., 9} Nun können wir uns den Gleichungen widmen: Im Text steht, dass die Zehnerziffer das Dreifache der Einerziffer ist. Beachten Sie, dass wir hier wirklich von den Ziffern reden. Der Gleichungsansatz lautet also: Zehnerziffer der Zahl = 3 (Einerziffer der Zahl) Wir setzen die entsprechenden Variablen ein und haben unsere erste I : x = 3y Für die zweite Gleichung haben wir folgende Bedingung laut Text: Die vertauschte Zahl ist um 36 kleiner als die ursprüngliche Zahl. Beachten Sie, dass hier vom Wert der Zahl gesprochen wird. Wir haben also folgenden Gleichungsansatz: (Vertauschte Zahl)+36=Zahl Wir setzen den entsprechenden Zahlenwert ein und haben die zweite II : 10y + x + 36 = 10x + y Bevor wir das Gleichungssystem lösen, können wir die zweite Gleichung noch etwas umformen. Wir bringen alle x und y auf eine Seite, den Zahlenwert auf die andere Seite: II : 10y + x + 36 = 10x + y / 10x 10 y 9x + 36 = y / y 9y 9x + 36 = 0 / 36 9 y 9x = 36 /: 9 II : y x = Wir erhalten also folgendes Gleichungssystem: I : x = 3y II : y x = Nun lösen wir dieses Gleichungssystem. Ich wähle hier das Einsetzverfahren. Die erste Gleichung sagt bereits aus, dass x dasselbe wie 3y ist, folglich setze ich in der zweiten Gleichung statt x 3y ein: II : y = 3

4 2y = /: ( 2) y = 2 Zur Berechnung von x setze ich das bekannte y in die erste Gleichung ein: x = 3 2 = 6 Von der Grundmenge werden beide Lösungen zugelassen. Um die gewünschte Zahl zu bekommen setze ich wieder in die Angabe ein. Wir haben festgelegt, dass die Zahl die Form xy haben soll. Folglich bekommen wir als Die Zahl lautet 62. Übung: Übungsblatt 8; Aufgaben Aufgaben aus der Zinsenrechnung Beispiel: Von zwei Kapitalien, die zusammen 7000 S betragen, ist das Erste zu 5%, das Zweite zu % angelegt. Die jährlichen Zinsen des ersten Kapitals sind um 100 S kleiner als die jährlichen Zinsen des Zweiten. Berechne die beiden Kapitalien. Wir legen wieder die Variablen fest: 1. Kapital x 2. Kapital y Da beide Kapitalien positive Werte sein müssen, gilt folgende Grundmenge: + + G = R R Für die erste Gleichung sagt uns der Text, dass die beiden Kapitalien zusammen 7000 S betragen Wir erhalten also als erste I :x + y = 7000 Die zweite Bedingung ist, dass die jährlichen Zinsen des ersten Kapitals um 100 S kleiner als jene des Zweiten sind. Wir haben also folgenden Gleichungsansatz: (Zinsen 1.Kapital) = (Zinsen 2. Kapital) Nun müssen wir noch die jeweiligen Zinsen ausdrücken. Erinnern Sie sich bitte, dass 1% nur ein Hundertstel bedeutet. Da das erste Kapital zu 5% 5 verzinst wird, betragen die Zinsen also x, jene des zweiten Kapitals y. Nun können wir diese Ausdrücke in unseren Gleichungsansatz einsetzen und haben dann die zweite

5 5 x II : = y Bevor wir das Gleichungssystem lösen. Vereinfachen wir noch die zweite 5x y II : = / 100 5x = y / 5x = 0 / Wir erhalten also folgendes Gleichungssystem: I : x + y = 7000 Ich löse dieses System mittels des Eliminationsverfahrens: I : x + y = 7000 / I : x + y = Wir addieren die Gleichungen 9 x = /: 9 x = 2000 Zur Berechnung von y setze ich in die erste Gleichung ein: y = 7000 / 2000 y = 5000 Die beiden Kapitalien betragen 2000 und 5000 Schilling. Übung: Übungsblatt 8; Aufgaben Mischungsaufgaben Beispiel: Mischt man l einer Spiritussorte mit 8l einer anderen Spiritussorte, so erhält man 75%igen Spiritus; mischt man hingegen 8l der ersten Sorte mit l der Zweiten, so erhält man nur 70%igen Spiritus. Berechne, wie viel % Alkohol jede der beiden Sorten enthält. Auch hier sei zunächst einmal auf frühere ähnliche Aufgaben verwiesen. Also, gegebenenfalls nachschauen. Wir legen zunächst einmal wieder unsere Variablen fest: Prozentsatz 1. Sorte x Prozentsatz 2. Sorte y 5

6 Nun überlegen wir uns zunächst einmal die erste Angabe durch: Mischt man l einer Spiritussorte mit 8l einer anderen Spiritussorte, so erhält man 75%igen Spiritus. Um hier eine Gleichung ansetzen zu können müssen wir folgende grundlegende Überlegung durchführen. Was bedeutet es, wenn wir zum Beispiel 0l 80%igen Spiritus habe: Wir könnten dies so interpretieren, dass 80% von diesen 0l reiner Alkohol wären, hier also 32l. Wenn wir aber nun zwei verschiedene Spiritussorten zusammenschütten, so wird diese reine Alkoholmenge einfach addiert. Stellen wir unsere bekannten Werte der ersten Angabe mittels einer Tabelle dar: Menge Prozentsatz Alkoholmenge 1. Sorte x x x = 2. Sorte 8 y y 8y 8 = Mischung = Da sich wie gesagt die reine Alkoholmenge der Mischung aus der Summe der reinen Alkoholmengen der einzelnen Sorten ergibt, erhalten wir folgenden Gleichungsansatz: (Alkoholmenge 1. Sorte)+(Alkoholmenge 2. Sorte)=(Alkoholmenge Mischung) Nun setzen wir die entsprechenden Ausdrücke ein und haben unsere erste I : x + y = 100 Wir vereinfachen diese Gleichung sofort: x 8y 900 I : + = / I : x + 8y = 900 /: I : x + 2 y = 225 Für die zweite Gleichung gehen wir die zweite Textangabe entsprechend durch: Mischt man hingegen 8l der ersten Sorte mit l der Zweiten, so erhält man nur 70%igen Spiritus. Wir stellen den Zusammenhang wieder mittels einer Tabelle dar: Menge Prozentsatz Alkoholmenge 1. Sorte 8 x x 8x 8 = 2. Sorte y y y = Mischung = Die zweite Gleichung lautet also entsprechend: 6

7 8 80 II : x + y = 100 Wir vereinfachen die 8x y 80 II : + = / x + y = 80 /: II : 2 x + y = 210 Wir haben also folgendes Gleichungssystem zu lösen: I : x + 2y = 225 II : 2x + y = 210 Ich wähle wieder das Eliminationsverfahren: I : x + 2y = 225 / ( 2) II : 2x + y = 210 I : 2x = 50 II : 2x + y = 210 = 20 /:( 3) y = 80 Wir addieren die Gleichungen Ich setze in die erste Gleichung zur Berechnung von y ein: x = 225 / 160 x = 65 Die erste Sorte ist 65%iger, die zweite Sorte 80%iger Alkohol. Übung: Übungsblatt 8; Aufgaben