Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 2. Semester ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT BRUCHTERMEN. 1. Kürzen von Bruchtermen

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1 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3. Semester ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT BRUCHTERMEN 1. Kürzen von Bruchtermen Zunächst einmal müssen wir klären, was wir unter einem Bruchterm verstehen. Definition: Einen Bruch, bei dem im Nenner eine Variable vorkommt, nennt man einen Bruchterm. Beispiele: 1 r y + y ; ; r y 3 Wenn wir nun Bruchterme kürzen wollen, so gilt dasselbe wie bei normalen Zahlenbrüchen: Zähler und Nenner dürfen durch denselben Ausdruck dividiert werden. Beachten Sie dabei auch, dass sie auch die Division von Potenzen mit gleicher Basis durchführen können: 4 Beispiel: Wir können entweder den Zähler und den Nenner durch dividieren, oder aber wir sagen: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Eponenten subtrahiert: 4 1 Sind im Zähler oder im Nenner allerdings Additionen oder Subtraktionen vorhanden, so kann man nicht so einfach kürzen. Merke: Kürzen darf man lediglich, wenn Zähler und Nenner in Produkte zerlegt sind. Zum Zerlegen von Termen in Produkte kennen wir zwei Möglichkeiten: durch Herausheben Anwenden der binomischen Formeln 4 Beispiel: Vereinfache: 4 3 1

2 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3. Semester Anmerkung 3 4 Beachte: 4 dürfen wir hier nicht 4 kürzen, da im Zähler eine Subtraktion vorkommt. Wir können allerdings den Zähler durch Herausheben von in ein Produkt von Ausdrücken zerlegen. ( ) Nun können wir kürzen Beispiel: Vereinfache: ( + 4)( 4) 4( 4) Direkt kürzen dürfen wir nicht, da sowohl im Zähler als auch im Nenner Subtraktionen vorkommen. Der Zähler entspricht aber der binomischen Formel a b ( a + b)( a b). Im Nenner können wir 4 herausheben. Nun können wir -4 kürzen. Übungen: Übungsblatt 3; Aufgaben 1-15

3 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3. Semester. Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen Auch hier gelten natürlich dieselben Rechengesetze wie bei Zahlenbrüchen: Ist also der Nenner gleich, so müssen wir lediglich die Zähler addieren und Subtrahieren Beispiel: Vereinfache: Da der Nenner gleich ist können wir die beiden Terme auf einen Bruchstrich schreiben. 4 + ( + 3) Die Klammer wurde hier nur + vollständigkeitshalber gemacht. Wichtig ist aber das sich das Plus vor dem zweiten Bruch auf den gesamten Zähler bezieht. Da a- ber ein Plus vor einer Klammer nichts bewirkt kann man hier die Klammer auch gleich weglassen Nun fassen wir den Zähler noch + zusammen Beispiel: Vereinfache: ( 3 ) Da die Nenner wieder gleich sind, können wir wieder alles auf einen gemeinsamen Bruchstrich schreiben. Hier ist nun die Klammer vor dem zweiten Ausdruck unbedingt notwendig: Das Minus bezieht sich ja auf den gesamten Ausdruck und ändert daher alle Vor- und Rechenzeichen. Nun lösen wir die Klammer auf. 3

4 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3. Semester Wir fassen den Zähler noch zusammen. Übungen: Übungsblatt 3; Aufgaben 16-0 Was tun wir nun aber, wenn die Nenner der Brüche unterschiedlich sind? Natürlich ebenfalls dasselbe, wie bei Zahlenbrüchen: Wir bringen die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, am besten auf den kleinsten gemeinsamen Nenner. 1 3 Beispiel: Vereinfache: Der kleinste gemeinsame Nenner lautet hier 1. Also bringen wir alle Ausdrücke auf diesen Nenner. Wir müssen also den ersten Bruch mit 4, den zweiten Bruch mit erweitern Diese Zeile wird natürlich normalerweise nicht angeschrieben Nun können wir wieder alles auf einen gemeinsamen Bruchstrich schreiben Wir fassen den Zähler zusammen Übungen: Übungsblatt 3; Aufgaben 1 - Natürlich können auch kompliziertere Ausdrücke im Nenner auftauchen: + Beispiel: Vereinfache: 1 4

5 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3. Semester ( )( 1) ( )( 1) + 1 ( + )( ) ( 1)( ) ( )( 1) ( + )( ) ( )( 1) + ( ) ( )( 1) + 6 ( )( 1) 6 1 ( )( 1) Auch wenn hier die Nenner verdächtig ähnlich aussehen, sind sie dennoch ganz unterschiedlich, wie bei Zahlen z.b. die Nenner 5 und 3. Den gemeinsamen Nenner finden wir also, indem wir die beiden Nenner multiplizieren. Er lautet also ( )( 1). Folglich müssen wir den ersten Bruch mit -1, den zweiten mit +1 erweitern. Nun schreiben wir die beiden Brüche auf einen gemeinsamen Bruchstrich. Nun fassen wir den Zähler zusammen. Wir multiplizieren jeweils die beiden Binome. Den Nenner lassen wir vorerst noch als Produkt stehen. Wir können ja noch hoffen, dass wir später kürzen können! Nun lösen wir noch die Klammer auf. Wir fassen den Zähler zusammen. Wir können nicht mehr kürzen. Also fassen wir den Nenner noch zusammen nach der Formel a + b a b a b ( )( ) Übungen: Übungsblatt 3; Aufgaben 3-4 Indem wir die Nenner also einfach multiplizieren, finden wir immer einen gemeinsamen Nenner. Nur leider nicht immer den kleinsten. Ist es bei Zahlen noch tolerierbar, wenn man nicht den kleinsten gemeinsamen Nenner findet, so ist dies leider bei Bruchtermen unheimlich wichtig: Also überlegen wir uns zunächst einmal bei einem Zahlenbeispiel, wie man den kleinsten gemeinsamen Nenner finden kann: 5

6 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3. Semester Beispiel: Wir suchen also die kleinste Zahl, die ein Vielfaches von 4, 6 und 30 ist. Dazu zerlegen wir jede Zahl in kleinstmögliche Produkte: Nun benötigen wir jede vorkommende Zahl für das kleinste gemeinsame Vielfache genau so oft, wie sie maimal vorkommt: Die kommt in 4 -mal, in 6 und 30 je 1-mal vor, also benötigen wir sie -mal. Die 3 kommt in 4 nie, in 6 und 30 je 1-mal vor, also benötigen wir sie 1-mal. Die 5 kommt in 4 und 6 nie, in 30 1-mal vor, also benötigen wir sie 1-mal. Das kleinste gemeinsame Vielfache lautet also: wäre also bei unserem Beispiel der kleinste gemeinsame Nenner. Wenn wir uns die Zerlegung von 60 anschauen erkennen wir auch, dass jeder einzelne Nenner darin vorkommt, aber keine Zahl zuviel ist: Genau dasselbe Schema wenden wir auch bei Bruchtermen an. Wir zerlegen jeden Nenner möglichst gut in Produkte. Jeder einzelne Ausdruck muss dann genau so oft vorkommen, wie er maimal in den einzelnen Termen vorkommt. Merke: Für den kleinsten gemeinsamen Nenner muß jeder einzelne Ausdruck genau so oft vorkommen, wie er maimal in den einzelnen Termen vorkommt Beispiel: Gib den gemeinsamen Nenner an: Jeder Ausdruck kommt genau 1- mal vor. Der gemeinsame Nenner lautet also ( )( ) Beispiel: Gib den gemeinsamen Nenner an: ( + ) Auch hier kommt jeder einzelne Ausdruck maimal 1-mal vor, d.h. der gemeinsame Nenner lautet ebenfalls: ( )( ) 6

7 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3. Semester Beispiel: Gib den gemeinsamen Nenner an: + ( )( ) ( ) Hier kommt der Term +3 im 1. Nenner -mal vor, folglich benötigen wir diesen -mal. Die anderen Ausdrücke kommen 1-mal vor. Der ge meinsame Nenner lautet also: ( ) ( ) Übungen: Übungsblatt 3; Aufgaben 5-6 Folgender Lösungsweg ergibt sich also: Alle Nenner möglichst gut in Produkte zerlegen (Herausheben, Binomische Formeln) Kleinsten gemeinsamen Nenner feststellen Alle Terme auf den gemeinsamen Nenner erweitern Alles auf einen gemeinsamen Bruchstrich schreiben Zähler zusammenfassen Überprüfen, ob man noch kürzen kann (Herausheben, Binomische Formeln) Gegebenenfalls Nenner vereinfachen Beispiel: REICHEL 4; Seite 60; Nr. 63 c z z z 1 4 z + 4 z z 1 ( z + )( z ) ( z + ) ( z ) ( z + )( z ) ( z ) ( z 1)( z ) z z z ( z + )( z ) + ( z 1)( z ) ( z + )( z ) ( z z z + ) ( z + )( z ) + z + z + z ( z + )( z ) + 3z ( z + )( z ) 7 Nenner zerlegen: der 1. Nenner entspricht einer binomischen Formel. Beim. Nenner können wir herausheben. Gemeinsamen Nenner feststellen: Dieser lautet hier: ( z + )( z ) Wir erweitern alle Brüche auf diesen Nenner. Wir schreiben alles auf einen gemeinsamen Bruchstrich. Zähler vereinfachen: Wir führen im Zähler die Multiplikationen durch. Klammer auflösen. Zähler zusammenfassen. Überprüfen, ob man kürzen kann: Wir könnten zwar im Zähler z he-

8 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3. Semester z + 3z z ( 4) rausheben, erhielten also z ( z + 3). Wir können aber hier nicht kürzen. Nenner vereinfachen: Beispiel: REICHEL 4; Seite 60; Nr. 66 a r s r s Nenner zerlegen. rs + s r + rs rs r s r s Auf gemeinsamen Nenner bringen. s( r + s) r ( r + s) rs r r s s ( r s)( r + s) Zähler vereinfachen rs r + s r r s rs s rs ( ) ( r s ) ( r + s) r ( r + s) rs( r + s) ( r + s)( r s) rs( r + s) + s r s Der Zähler kann wieder zerlegt werden. r s rs r+s kürzen. Übungen: Übungsblatt 3; Aufgaben 7-9 8