RECHNEN MIT VARIABLEN UND BINOMISCHE FORMELN

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1 RECHNEN MIT VARIABLEN UND BINOMISCHE FORMELN Addition und Subtraktion mit Variablen Es dürfen nur Ausdrücke mit gleichen Variablen addiert oder subtrahiert werden. a und a² sind auch unterschiedliche Variablen. Vielleicht hilft es dir, die Ausdrücke (alles was mit + oder - getrennt ist = Ausdruck) einzukreisen. Bei der Addition müssen beim Ergebnis die Buchstaben gleich sein, nur die Zahl davor ändert sich. Bsp.: 3a² + 6a² = 9a² Der Buchstabe a² bleibt gleich. 4x + 2y z + 3x + 1x² + x = 12x + 2y z + 1x² Hier gilt die Regel Minus und Minus ergibt Plus nicht, diese gilt nur bei einer Multiplikation/Division, oder wenn die Vorzeichen direkt hintereinander (also ohne Zahl dazwischen) stehen. Eine Additions-/Subtraktions-Rechnung kann man sich am besten mit Geld vorstellen bedeutet: man hat 3 Euro Schulden, muss weitere 7 Euro hergeben => noch mehr Schulden, also -11. Hier kann logischerweise nicht +11 herauskommen, denn das würde bedeuten, man hat nun 11 Euro am Konto = = = = +7 Bei der Malrechnung: Regel ++ => +, -- => +, -+ => -, +- => - gilt: (-3)*(-4) = +12 (-3)*(+4) = -12 (+3)*(-4) = -12 (+3)*(+4) = +12 Multiplikation und Division mit Variablen und Potenzen Multiplizieren und Dividieren darf man immer. Es müssen die Variablen nicht gleich sein. Gleiche Variablen dürfen mit Hochzahlen zusammengefasst werden, auch die Zahlen werden zusammengefasst (einfach multipliziert). Hier kommen die Potenzregeln (Potenz = Buchstabe oder Zahl mit einer Hochzahl) zur Anwendung. Bei der Multiplikation werden die Hochzahlen gleicher Variablen addiert. Bei der Division werden die Hochzahlen gleicher Variablen subtrahiert. Wird eine Hochzahl nochmals hoch genommen, so werden beide Hochzahlen multipliziert. 4x * 2y * 3x * 1x² = 4*2*3*1*x*x*x²*y = 24*x 4 *y x 4 * x 3 = x 7 x 4 x³ = x1 (x³) 4 =x 12 x 4 + x³ = VERBOTEN x 4 - x³ = VERBOTEN Achtung: -(1)² = -1 (-1)² = 1-1² = -1 Das ² bezieht sich nur auf die Zahl oder Klammer Sonst gelten die allgemeinen mathematischen Rechenregeln, nämlich: Klammerregeln Plus vor Klammer: Vorzeichen in der Klammer ändern sich nicht. Minus vor Klammer: Vorzeichen in der Klammer ändern sich. Achtung: Diese Regeln gelten nur, wenn kein Mal direkt vor oder hinter der Klammer steht, sonst gilt die Regel des hineinmultiplizierens.

2 Hineinmultiplizieren: Der Faktor (Zahl oder x, der außerhalb der Klammer mit Mal dabei steht) wird mit jedem Ausdruck (was oben eingeringelt wurde, also alles was mit Plus oder Minus getrennt wird), multipliziert. a * ( 2x - 3y + 4z ) = a*2x a*3y + a*4z = 2ax 3ay + 4az Werden 2 Klammern multipliziert, so multipliziert man jeden Ausdruck mit jedem. ( 2x - 3y + 4z ) * ( 3a - 8b + 1c ) = 2x*3a + 2x*(-8b) + 2x*1c - 3y*3a 3y*(-8b) 3y*1c + 4z*3a + 4z*(-8b) + 4z*1c = 6ax 16bx + 2cx 9ay + 24by 3cy + 12az 24az + 4cz Beispiel 1: x + (3x-2) => x + 3x - 2 = 4x - 2 Beispiel 2: x - (3x-2) => x - 3x + 2 = -2x + 2 Beispiel 3: x*(3x-2) => x*3x x*2 = 3x² - 2x Beispiel 4: 36 - (3x-2)*x => 36-(3x²-2x) => 36-3x² + 2x Verbindung der 4 Grundrechenarten zuerst die Rechnungen in den Klammern wenn die Rechnungen in der Klammer nicht lösbar sind dann die Klammern auflösen (laut Klammerregeln) dann die Punktrechnungen * und : dann die Strichrechnungen + und KLAPUSTRI-Regel Bei mehreren Klammern, zuerst immer die inneren, dann die äußeren, bei mehreren Plus-, Minus-, Mal- oder Dividiertrechnungen von links nach rechts rechnen. Bsp.: 27a + (c + 3b) - [6a - (12b + 3c)] + 4a * (a - 2a + b) = 27a + c + 3b - [6a - 12b - 3c] + 4a * (3a + b) = 27a + c + 3b - 6a + 12b + 3c + 12a² + 4ab = 21a + 1b + 8c + 12a² + 4ab Zuerst die Klammern ausrechnen, wenn s nicht geht, auflösen) nur gleiche zusammenfassen Herausheben Kommt eine Zahl oder ein Buchstabe in mehreren Ausdrücken (eingeringelten) vor, so kann man diesen herausheben. Man kann auch nur Teile von Zahlen herausheben, z.b. aus 6 die Zahlen 3 oder 2, oder aus 10 die Zahlen oder 2. Herausheben darf man allerdings nur dann, wenn in allen Ausdrücken die herausgehobene Zahl oder der herausgehobene Buchstabe vorkommt. Hebt man den kompletten Ausdruck heraus, so bleibt 1 übrig (Bsp. 3). Bsp.: 2ab a 2 = a*(2b-a) 4c x = 4*(c²+3x) 4x + 8x² = 4x*(1+2x) 2x 3 = x*(x-??) Hier darf man nicht herausheben, da x nicht in beiden vorkommt.

3 Binomische Formeln Es gibt drei Binomische Formeln, innerhalb der Klammer stehen immer 2 Ausdrücke (bi=2). Die Binomischen Formeln sollen das Klammerausmultiplizieren beschleunigen. Allerdings gelten diese nur, wenn die beiden Ausdrücke in beiden Klammern gleich sind. Die Formeln lauten: (a+b) * (a+b) = (a+b)² = a² + 2ab + b² (a-b) * (a-b) = (a-b)² = a² - 2ab + b² (a+b) * (a-b) = a² - b² Wenn du die Binomischen Formeln nicht auswendig weißt, kannst du die Ergebnisse auch durch Klammerausmultiplizieren herleiten. (a+b) ² = (a+b) * (a+b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² Man kann also Binomische Formeln auf 2 verschiedene Varianten lösen: Entweder man schreibt statt dem ² die Klammer mit sich selbst multipliziert nochmals auf und multipliziert dann die beiden Klammern aus (wie im Kästchen oben) oder man lernt das Binomische-Formel-Schema auswendig, dieses funktioniert wie folgt: Das Ergebnis von ( + )² und von ( - )² besteht immer aus 3 Teilen, das Ergebnis vom ( + )*( - ) besteht aus 2 Teilen. Achtung: bei der ersten Formel werden zwei +, bei der zweiten ein -, dann ein + und bei der dritten Formel wird ein Minus als Vorzeichen verwendet. Im ersten Teil wird der erste Ausdruck in der Klammer (im Bild die a) zum Quadrat genommen. Im dritten Teil wird der zweite Ausdruck in der Klammer (im Bild die -3b) zum Quadrat genommen. Im zweiten Teil multipliziert man den ersten Ausdruck in der Klammer mit dem zweiten (also a * -3b) und multipliziert das Ergebnis (also -1ab) noch mit 2. Variante mit - Variante mit + Variante mit + und -

4 Demnach kann man auch die rechte Seite (ausgerechnete Form) der Binomischen Formeln auf die linke (Klammerform) bringen. Hierzu muss man sich zuerst überlegen, die die rechte Form zustande kommt. Betrachten wir das erste Beispiel mit 9+4a+81a². Hier kommt die 9 aus 3² und der Ausdruck 81a² aus (9a)² zustande. Wenn man also hoch 2 rechnen muss, um die rechte Seite zu ermitteln, so muss man genau das Gegenteil (also Wurzel) rechnen, um von der rechten Seite auf die linke zu kommen. 4x² + 12x + 9 => 1. Formel, Wurzel aus 4x² = 2x, Wurzel aus 9 = 3 => 4x² + 12x + 9 = (2x+3)² 16 40y + 2y² => 2. Formel, Wurzel aus 16 = 4, aus 2y² = y => 16 40y + 2y²= (4-y)² 64x²-16 => Nur 2 Ausdrücke => 3. Formel, Wurzel aus 64x² = 8x, aus 16 = 4 => (8x+4)(8x-4) Negative Hochzahlen Negative Hochzahlen können als positive geschrieben werden, wenn man sie unterhalb des Bruchstrichs schreibt. Stehen sie von vornherein bereits unterhalb eines Bruchs, so werden sie nach oben geschrieben (einfach immer auf die andere Seite => Vorzeichen der Hochzahl ändert sich). Sobald ein Plus oder Minus in der Rechnung steht, darf man diesen Trick nicht mehr anwenden. a 3 = 1 a 3 8 = 1 8 6*a 3 = 6 a 3 (3a) 2 = 1 x = a3 a 3 3 w 2 x y 3 z 4 = x 3 z 4 y 3 w² x x 3 +w 2 x 1 (3a) 2 y 3 z 4 = wergen dem + oben verboten Hat ein gesamter Bruch eine negative Hochzahl, so wird einfach dessen Kehrwert gebildet, die Hochzahl wird dadurch positiv. ( 4 x 2 y z y 1 z ) 3 : ( 3 x 1 y x 2 z 1)2 =( 3 1 y 1 z 4 x 2 y z 1)3 ( x2 z 1 3 x 1 y )2 = ( z x2 z 1 4 y 3 y )3 ( x2 x 3 y z )2 =( z³ x6 z³ 12 3 y 6 ) (2 x4 x² 9 y² z² )=( 2 z6 x y 8 z² )=(2 z4 x y 8 ) Wurzeln Auch Wurzeln können als Hochzahlen geschrieben werden. Ein x beispielsweise kann auch als x 1 2 geschrieben werden, da das x in der Klammer keine Hochzahl und somit die Hochzahl 1 hat. Die 2 kommt daher, dass vor jeder Wurzel immer eine Zahl stehen muss (die wievielte Wurzel es ist), und eine normale Wurzel ist immer eine Quadratwurzel (2-te Wurzel). Die x 8 kann auch als x 8 geschrieben werden. Somit kann man auch Wurzeln multiplizieren, wenn das gleich in der Wurzel steht. Beispiel: x* x 8 = x 1 2*x 8 = x10*x = x oder wieder als Wurzel geschrieben: x 21 Man kann auch Wurzeln erweitern, indem man die Hochzahl mit der Zahl vor der Wurzel mit einer bestimmten Zahl multipliziert. Haben Wurzeln die gleiche Vorzahl (also die gleichvielte Wurzel) und werden diese multipliziert bzw. dividiert, so kann man die Wurzeln zusammenfassen. Demnach kann man Wurzeln auch kürzen (Vorzahl mit Hochzahl). x* x 8 = x * x 8 = x x 8 = x 13 6 x = x 8 9 = x 4

5 Sind mehrere Wurzeln ineinander, so werden die Vorzahlen multipliziert und alles unter eine Wurzel geschrieben (Rechnung oben rechts). Partielles Wurzelziehen Partielles Wurzelziehen bedeutet, dass man aus einem Teil innerhalb der Wurzel diese zieht und den restlichen Teil unter der Wurzel lässt. Man versucht die Zahl in Teile zu zerlegen, aus denen man die Wurzel ziehen kann. Im unteren Beispiel kann man zwar aus 26 keine Wurzel ohne Kommastellen ziehen, wenn man 26 aber auf 4*6 aufteilt, kann man aus 4 die Wurzel ziehen. 26 = 4 6 = 4 6 = 2* 6 Logarithmus Den Logarithmus verwendet man immer dann, wenn man die Hochzahl sucht, also z.b. bei 2 x =. Falls die Grundzahl (Basis) gesucht wird, muss man die Wurzel ziehen. x 4 4 = => x=. Es gibt zwei Logarithmen am Taschenrechner, nämlich den Log und den Ln. Welchen man für die folgenden Schritte verwendet ist vollkommen egal. 1 Beginnend schreibt man vor beiden Seiten ein log oder ln. 2 Dann darf man die Hochzahl vor den Logarithmus schreiben. 3 Nun bringt man den bearbeiteten Logarithmus auf die andere Seite 2 x = 1 ln(2 x ) = ln() 2 x*ln(2) = ln() :ln(2) 3 x = ln() 8 2 x 4 =4 :8 => 2 x 4 = 0, 1 log(2 x 4 ) = log(0,) 2 (x-4)*log(2) = log(0,) :log(2) 3(x-4) = log(0,) log(2) => x = log(0,) log(2) + 4 Logarithmusregeln Werden zwei Logarithmen addiert, so kann man beide in einen Logarithmus zusammenfassen und die Inhalte multiplizieren. Beim Subtrahieren werden sie in einem dividiert. Umgekehrt gilt es natürlich genauso. log(4x) + log(3x) = log(4x*3x) = log(12x²) log(4x) - log(3x) = log( 4x 3x ) = log(4 3 ) ln(2) ln(6) = ln(3*2) = ln(3) + ln(2) ln(6) = ln(12:2) = ln(12) - ln(2) Falls ein Logarithmus in dieser Form dasteht, kann man ihn einfach umschreiben: log 2 16 = x => 2 x = 16 und löst den die wie oben mit den Punkten 1-4 beschrieben. Hier noch kurz der Unterschied zwischen ln oder log. Wie oben beschrieben, ist es vollkommen egal, welchen der beiden Logarithmen man vor beiden Seiten schreibt. Der Unterschied besteht darin, dass ln das Gegenteil von e hoch ist, während log das Gegenteil von 10 hoch ist. Falls in einer Rechnung e vorkommt, macht es mehr Sinn, wenn man den ln nimmt, denn ln(e) kürzt sich weg. Aber man könnte auch genauso gut den log verwenden, dann kann man aber nicht kürzen.