Arbeitsblatt 3. Übungsaufgaben. aus dem empfohlenen Heft: Sicher in die Oberstufe. Arbeitsheft nach dem mittleren Bildungsabschluss (Klett-Verlag)

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1 1 TERME UND IHRE UMFORMUNGEN Arbeitsblatt Übungsaufgaben aus dem empfohlenen Heft: Sicher in die Oberstufe. Arbeitsheft nach dem mittleren Bildungsabschluss (Klett-Verlag) Schuljahr 017/18 Johannes Born Seite 1/1

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3 aus meiner alten Schule: Ketteler-Kolleg und Abendgymnasium Mainz Brückenkurs-online Theorie & Übungen Thema : Grundlegende Termumformungen Einführungstext Die Begriffe Variable und Term Wenn Sie sich in Übung zum Thema Bruchrechnung nicht verrechnet haben, dann konnten Sie erkennen, dass sich in jeder Zeile dasselbe Ergebnis ergibt. An die Stelle des Symbols konnten Zahlen eingesetzt werden. In der Mathematik verwendet man zweckmäßiger Buchstaben, z. B. a, x oder y, als Platzhalter. Man bezeichnet sie als Variablen. Eine Variable kann man sich als eine Art Speicher vorstellen, der Zahlen aufnimmt. Man verwendet ihn, wenn man in einer Rechnung offen halten will, welche Zahl gemeint ist. Die Rechnungen der oben erwähnten Übung lassen sich mit der Variablen x daher in folgender Form darstellen: x x bzw. x ( x ) bzw. ( x ) bzw. ( x 1) ( x ). Eine solche Verbindung von Zahlen, Rechenzeichen und Variablen zu einer Rechenvorschrift, wie etwa x x nennt man einen Term. Innerhalb eines Terms ersetzt ein bestimmter Buchstabe immer dieselbe Zahl. Warum dieser Kunstgriff? Umformungen zu gleichwertigen Termen Innerhalb des ersten Jahres der Einführungsphase des Kollegs werden Sie auf eine Fülle lohnenswerter Aspekte von Variable und Term stoßen, wenn z. B. die Abhängigkeit einer messbaren Größe von einer anderen Größe in möglichst allgemeiner und präziser Form ausgedrückt werden soll. Lassen Sie sich überraschen... Einen Aspekt konnten Sie allerdings bereits in Übung zum Thema Bruchrechnung (s. o.) erfahren: Egal, welche Werte Sie für den Platzhalter einsetzen, die genannten vier Terme haben jeweils den gleichen Zahlenwert als Ergebnis. Man nennt die vier Terme gleichwertig und setzt dann vereinbarungsgemäß ein Gleichheitszeichen dazwischen: x x = x ( x ) = ( x ) = ( x 1) ( x ). Kennt man nun Rechenschritte bzw. Regeln, die uns zeigen, wann zwei Terme gleichwertig sind ohne immer wieder Zahlenwerte für die Variablen einzusetzen dann spart man sich viel Zeit, und man ist auch zu allgemeingültigen Aussagen und Prognosen in der Lage. In oben erwähnter Übung hätte man nämlich nicht jede Spalte berechnen müssen, wenn man bereits vorher die Gleichwertigkeit der Terme hätte erkennen können. Solche Rechenschritte bzw. Regeln nennt man Termumformungen. Wie Sie richtig erahnen, ist es an der Zeit, die wichtigsten Regeln im Umgang mit Termen und auch zugehörige Bezeichnungen kennen zu lernen: Vereinbarungen und Bezeichnungen Das Multiplikationszeichen Werden zwei Zahlen miteinander multipliziert, setzt man dazwischen den Malpunkt. Bei der Verwendung von Variablen hat man vereinbart, dieses Multiplikationszeichen wegzulassen, wenn Missverständnisse auszuschließen sind. Statt x x kann man x x und statt x ( x ) kürzer x ( x ) schreiben, aber nicht 5 anstelle von 5! Schuljahr 017/18 Johannes Born Seite /1

4 Potenzen Um an Übersicht und Zeit zu gewinnen, schreibt man ein Produkt aus mehreren gleichen Termen als sogenannte Potenz (s. Thema 1 Bruchrechnung ): Beispiele: a a a a a xy x y y y, aber (xy) xy xy xy ( x y) ( x y)( x y) Übrigens ist auch das Produkt eine verkürzte Schreibweise, und zwar für die Summe gleicher Summanden: schreibt man kürzer als. Summe contra Produkt Tauchen eine Summe und ein Produkt innerhalb eines Terms gleichzeitig auf, so nennt man den gesamten Term entweder eine Summe oder aber ein Produkt, je nachdem, welche Rechenart zuletzt auszuführen ist. Dabei sind die Vorfahrtsregeln (Klammer vor Potenz vor Punktrechnung vor Strichrechnung) zu beachten. Beispiele: 8 x 11 ist eine Summe, da zuletzt addiert wird, z. B. für x : ( x 11) ist ein Produkt, da zuletzt multipliziert wird, z. B. für x : 8 ( 11) ( 8x 11)(8x 11) ist ein Produkt, da zuletzt multipliziert wird, z. B. für x : ( 8 11) (8 11) ( 11) ( 11) Übersicht grundlegender Termumformungen Da die Variablen nur als Platzhalter für Zahlen stehen, müssen die Regeln für Terme den Gesetzmäßigkeiten für rationale Zahlen entspringen. So kann man leicht die Richtigkeit einer Termumformung widerlegen: Beispiel: Die Termumformung x x x ist falsch, da für x die linke Seite 6, die rechte Seite aber 8 ergibt. Gesetze Neben der Regel Klammer vor Potenz vor Punktrechnung vor Strichrechnung (s. Thema Bruchrechnung ), die selbstverständlich auch für Terme ihre Gültigkeit behält, gibt es zwei Eigenschaften von Zahlen, die man im Alltag intuitiv richtig verwendet: Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) für Addition und Multiplikation Summanden in Summen sowie Faktoren in Produkten dürfen vertauscht werden. Dies besagt, dass es egal ist, ob man + oder umgekehrt + addiert. Entsprechendes gilt für die Multiplikation, nicht aber z. B. für die Subtraktion, denn = 1, während = 1 ergibt. Beispiele: x y y x x y y x x ( x y) ( x y) x ( y x) x Im letzten Beispiel wird das Kommutativgesetz der Multiplikation im ersten Schritt, das Kommutativgesetz der Addition im zweiten Schritt genutzt. Schuljahr 017/18 Johannes Born Seite /1

5 Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) für Addition und Multiplikation Soll etwa der Preis von drei Warengegenständen addiert werden, so spielt es keine Rolle, welche zwei Preise man zuerst auswählt und addiert, um dann den dritten Preis hinzuzunehmen. Beispiele: ( x y) z x ( y z) ( x y) z x( y z) ( x ) x ( ) 5( x 1)( x ) 5( x 1) ( x ) 5 ( x 1)( x ) Zusammenfassen Glieder einer Summe oder einer Differenz, die sich ausschließlich in den Zahlfaktoren unterscheiden, kann man addieren bzw. subtrahieren, indem man die Zahlfaktoren addiert bzw. subtrahiert. Beispiele: 7x x 10x 1 x y x y x y 1 x y x y 1x y 10 x 5yx 7yx 7yx 1 yx 7xy Im letzten Beispiel lassen sich die Glieder yx und yx nicht zusammenfassen, genauso wie Sie den Flächeninhalt 5m und die Streckenlänge 5m nicht vergleichen und addieren können. y Minusklammer Steht ein Minuszeichen vor einer Klammer, so kann man die Klammer weglassen, wenn man gleichzeitig die Vorzeichen der Summanden in der Klammer ändert: aus + wird und aus wird +. Beispiele: ( a 5b) a 5b 5a (7b c) 5a 7b c x ( x x ) x x x x x Ausmultiplizieren Wird eine Summe (sie steht dann in einer Klammer) mit einem Faktor multipliziert, so kann man die Klammer auflösen, indem man jedes Glied der Klammer mit dem Faktor multipliziert. Die Rechenzeichen + und werden nach den Vorzeichenregeln bei der Multiplikation rationaler (insbesondere negativer) Zahlen bestimmt (s. Thema 1 Bruchrechnung ). Beispiele: 5x(y 7) 5x y 5x 7 15xy5x a b( a b ) ( a b) ( a) ( a b) (b ) a b 1a b ( 7y x 1) y 7y x y y Übrigens kann ein Minus vor einer Klammer (s..) als Multiplikation mit (1) aufgefasst werden. Man löst daher eine Minusklammer auf, indem man jedes Glied der Klammer mit (1) multipliziert. Ausklammern In Umkehrung zum Ausmultiplizieren kann man Faktoren, die in allen Summanden einer Summe stecken, vor eine Klammer setzen: Beispiele: 1x 8y (x y) Die Zahl steckt als Faktor sowohl in der Zahl 1 als auch in der Zahl 8. In der Klammer verbleibt dann 1x : = x bzw. 8y : = y. a b a 6a a a a bb a a a a a a a 15x 0xy5x 5x(x y 1) ( ab a ) Schuljahr 017/18 Johannes Born Seite 5/1

6 Zwei Klammern in einem Produkt Eine Summe kann man mit einer weiteren Summe multiplizieren, indem man jedes Glied (also jeden Summanden) der ersten Summe mit jedem Glied der zweiten Summe multipliziert: Beispiele: ( a b)( c d) ac ad bc bd ( x 5)( y ) xy x 5y 0 ( x 8y)(x xy) x x x xy 8y x 8y xy 6x x y xy 8xy Diese Regel kann man sich übrigens herleiten, indem man zweimal hintereinander ausmultipliziert (s..): ( a b)( c d) 1. x Ausmultiplizieren ( a b) c ( a b) d. x Ausmultiplizieren ac bc ad bd Kombination der Regeln in weiteren Aufgaben Eine Beispielaufgabe: ( 9x)(9x ) ( x) 9x In welcher Reihenfolge führt man die Termumformungen aus, um alle Klammern aufzulösen? Zunächst sollte man sich die Struktur des Terms vergegenwärtigen: Der Term ist eine Summe, bestehend aus den beiden Summanden ( 9x)(9x ) ( x) und 9x. Der erste dieser beiden Summanden besteht aus den gleichwertigen Faktoren ( 9x), ( 9x ) und ( x). Die Regel Punkt- vor Strichrechnung verlangt, zunächst die drei Faktoren auszumultiplizieren. Aufgrund des Assoziativgesetzes ist es dabei egal, welche zwei der drei Faktoren man zuerst ausmultipliziert. Beginnt man mit den ersten beiden, so erhält man die erste der im folgenden dargestellten Varianten. Vergessen Sie dabei nicht die Minusklammer: Am sichersten gehen Sie so vor, dass Sie die Minusklammer solange mitführen, bis alle Multiplikationen ausgeführt sind. ( 9x) (9x ) ( x) 9x Regel führt zu: = (18x 81x 18x) ( x) 9x Regel führt zu: = (81x ) ( x) Regel führt zu: = ( 16x 8x) Regel führt zu: = 16 x 8x Regel führt zu: = 171 x 8x 9x 9x 9x Beginnt man beim Ausmultiplizieren mit den beiden letzten Faktoren innerhalb des ersten Summandes, so gelangt man zu demselben Ergebnis: ( 9x) (9x ) ( x) Regel führt zu: = ( 9x) ( 18x x) Regel führt zu: = ( 6x 8x 16x 6x ) Regel führt zu: = ( 16x 8x) Regel führt zu: = 16 x 8x Regel führt zu: = 171 x 8x 9x 9x 9x 9x 9x Schuljahr 017/18 Johannes Born Seite 6/1

7 Thema : Grundlegende Termumformungen Übungen Sie finden zu jeder im Einführungstext beschriebenen Termumformung zunächst Übungen, in der Sie lediglich die Lücken auszufüllen haben, so dass Ihnen die Vorgaben die Aufgaben erleichtern. Zur Korrektur reichen Sie bitte nur jeweils die Lösungswege der eingerahmten Aufgaben ein. Zusammenfassen a) 18 7x 9x 1 x + b) 5 x x 7y x x + y c) 5 a b,5ab 7,ab,a b b ab a d) x x x x x x e) x x 0,x x 0, Fassen Sie nun selbst zusammen: f) x + x x x 9 x i) xyz x yz x y z xyz x yz g) y y 6 y y j) 1 b 5b 6b b 7b b h) a b b ab a b 6b k) 5 t s t 7 s 1 1 s Minusklammer a) x (y z) x y z b) a (a ) a a c) a ( b c) ( d b) a b c d d) a ( b ( c d)) a b c d e) (8x 5y ) (y x ) x Lösen Sie nun selbst die Klammern auf, und fassen Sie anschließend zusammen: Achten Sie in j) und k) auf die Potenzen und die Regel Punkt- vor Strichrechnung. f) ( 18x ) ( x 1) i) xy ( 7y xy x) ( x y xy) g) 8a (6b c ) (7b c ) j) h) y ( x x x x ) ( x x x x ) x 9x ((y z ) ( x y )) z k) ( xy) z ( xyz) ( x yz x y z) 5 Schuljahr 017/18 Johannes Born Seite 7/1

8 Ausmultiplizieren a) x (y 8) xy x b) ( b b ) b b b c) x y (5x y 1) x y 6 d) (y y ) ( y) e) ( y ) x (x y) y y x x y + x Multiplizieren Sie nun selbst aus: f) x( y) i) ( ab a b) ( ab) g) x( x x) j) 6(7 y x) x(1 y) h) x y( x y) k) a( b c) ab( a b) c( a b ) Ausklammern a) 7 x 7y ( x y) b) 18 y 5xy ( 185x) c) 6a a ( a 1) d) 15 yz 5y z 15y x z (z 5y yx ) e) x x x x ( x x x ) Klammern Sie nun selbst aus, und zwar jeweils so weit wie möglich: f) 18x 7y i) 65xy 9yz 10y g) ab abc j) h) x x k) 8xy z 1 y z 0 x y z 5 1a b 8a b 7a Zwei Klammern in einem Produkt a) ( x y)( a b) xa + xb b) ( x x )( x x ) x x + c) ( x y)( y x ) xy + d) ( a b)( a b) a 5 ab b e) (1 x )(x y xy) y x x y Lösen Sie nun selbst die Klammern auf, und fassen Sie anschließend zusammen: f) ( x y)( x y) i) ( xy yz)( x z) g) ( 5x y)(x y) j) (xy x y)(16 xy) h) (m n )(7m 5n) k) ( y y )( y y ) Schuljahr 017/18 Johannes Born Seite 8/1

9 Kombination der Regeln in weiteren Aufgaben Eine Beispielaufgabe: x = x ) = = = = x ( 5( x x )(x x ) Punkt- vor Strichrechnung beachten: Das Assoziativgesetz gestattet (z. B.) zunächst das 5( x x ) (x x Ausmultiplizieren der 5 (zunächst ohne Berücksichtigung des Vorzeichens.) ) (x x ) Punkt-vor Strichrechnung beachten: Zwei Klammern in einem Produkt auflösen (einschließlich zusammenfassen), wobei zunächst die Minusklammer bleibt. x ) Auflösen der Minusklammer x Schließlich wird zusammengefasst. Lösen Sie nun selbst die Klammern auf, und fassen Sie anschließend zusammen: a) 5(1 x) (18x) g) y y ( y y ) b) 5(1 x) (18x) h) ( y y )( y y ) c) 5(1 x)(18 x) i) y ( y y) y 1 d) 5(1 x)(18x) j) a b)(a b ) ( 9 6 e) 5 (1 x)(18 x) k) x ( x y) 6x y f) ( 1 x)(1 x) (18x)(18 x) l) xy ( y 7 y x x ) x x y Schuljahr 017/18 Johannes Born Seite 9/1

10 Zur Lösungskontrolle: Zu Ihrer Kontrolle: Die Lösungen der umrahmten Aufgaben (ohne auszufüllende Lücken) finden Sie hier in ungeordneter Reihenfolge. Wenn Sie die zugeordneten Buchstaben in die richtige Reihenfolge bringen, so ergibt sich ein Lösungssatz. ab(1 c) 1 x R a b 5b ab E xy 8y L t s E a ab b N y U y y y V ab 6ac a b b c E x x G 5 1b b b y z(x y z 5x z) U x x 9 V 1y (5x z 8) R xyz 5x yz x y z L 8x E x ( x ) P x x E 1 1x x R a b 6a b 5 y y T 19 x R 8x O y I 9(x y) R xy 6y! y 6 I x y F y x xy D x xy B x y 8x y I x y z x yz x 15x E x 15x B 10 x 17 xy y U x y 5xyz yz G 8m 0m n 1mn 15n N 8a b c F 7a (a b a b 1) E x G 10 x y z O xy x y 8x y x y S Lösungssatz: Aufgabe 1f 1g 1h 1i 1j 1k f g h i j k f g h i j k f g Buchstabe h i j k 5f 5g 5h 5i 5j 5k 6a 6b 6c 6d 6e 6f 6g 6h 6i 6j 6k 6l Schuljahr 017/18 Johannes Born Seite 10/1

11 weitere wiederholende Übungen Aufgabe 1: Berechnen Sie! a) (s + u)(s u) = b) ( t)( + t) = c) (a + )(a ) = d) (x 9)(x + 9) = e) (5x y)(5x + y) (x + y)(x y) = f) (6z 7r)(6z + 7r) (z + 5r)(z 5r) = g) r (s + 6r)(s 6r) = h) (a 7b)(a + 7b) 8a(b + a = i) x (x 5z)(x + 5z = j) 9k(k 5) (6k + 1)(6k 1 = k) b (b + c) = l) 16r + (r ) = m) (a 8) (9a 6) = n) a (a ) = o) 5u (5u ) = p) (s 5) (s + 6) = q) (a + b) (a + b)(a b) = r) (s u)(s + u) (u + s) = s) (6r 5) (6r 5)(6r + 5) = t) (8x + 6y). (8x 6y) (6x + 8y) = Aufgabe : Berechnen Sie A B und A B! a) A = x, B = 7 x b) A = 5r + 7s, B = 5r 7s c) A = 6k, B = ( + k) d) A = xy, B = (x y) Aufgabe : Stellen Sie den Flächeninhalt der Figur auf zwei verschiedene Weisen dar: durch Zerlegung in Teilfiguren und durch Umschreiben eines Quadrats. Zeigen Sie durch Umformung, dass die beiden Terme gleich sind. Schuljahr 017/18 Johannes Born Seite 11/1

12 Aufgabe : Stellen Sie den Flächeninhalt der grauen Fläche dar und vereinfachen Sie den Ausdruck! Aufgabe 5 : Faktorisieren Sie soweit wie möglich! a) x 6 x y + y = b) x + 5x + 5 = c) a + 1 a = d) 1 pq q + p = e) a 9 = f) 16 x = g) y 5z = h) 9r 16s = i) 9t = j) 6a 1 = k) 1 z = l) 81a 9c = Schuljahr 017/18 Johannes Born Seite 1/1