2 Die Körper-Axiome. I. Axiome der Addition (A.1) Assoziativgesetz. Für alle x, y, z R gilt (x + y)+z = x +(y + z).

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1 17 Wir setzen in diesem Buch die reellen Zahlen als gegeben voraus. Um auf sicherem Boden zu stehen, werden wir in diesem und den folgenden Paragraphen einige Axiome formulieren, aus denen sich alle Eigenschaften und Gesetze der reellen Zahlen ableiten lassen. In diesem Paragraphen behandeln wir die sogenannten Körper-Axiome, aus denen die Rechenregeln für die vier Grundrechnungsarten folgen. Da diese Rechenregeln sämtlich aus dem Schulunterricht geläufig sind, und dem Anfänger erfahrungsgemäß Beweise selbstverständlich erscheinender Aussagen Schwierigkeiten machen, kann dieser Paragraph bei der ersten Lektüre übergangen werden. Mit R sei die Menge aller reellen Zahlen bezeichnet. Auf R sind zwei Verknüpfungen (Addition und Multiplikation) + : R R R, (x,y) x + y, : R R R, (x,y) xy, gegeben, die den sog. Körper-Axiomen genügen. Diese bestehen aus den Axiomen der Addition, der Multiplikation und dem Distributivgesetz, die wir der Reihe nach besprechen. I. Axiome der Addition (A.1) Assoziativgesetz. Für alle x, y, z R gilt (x + y)+z = x +(y + z). (A.2) Kommutativgesetz. Für alle x, y R gilt x + y = y + x. (A.3) Existenz der Null. Es gibt eine Zahl 0 R, so dass x + 0 = x für alle x R. (A.4) Existenz des Negativen. Zu jedem x R existiert eine Zahl x R, so dass x +( x)=0. O. Forster, Analysis 1, Grundkurs Mathematik DOI / _2, Springer Fachmedien Wiesbaden 2013

2 18 Folgerungen aus den Axiomen der Addition (2.1) Die Zahl 0 ist durch ihre Eigenschaft eindeutig bestimmt. Beweis. Sei 0 R ein weiteres Element mit x + 0 = x für alle x R. Dann gilt insbesondere = 0. Andrerseits ist = 0 nach Axiom (A.3). Da nach dem Kommutativgesetz (A.2) aber = 0 + 0, folgt 0 = 0, q.e.d. (2.2) Das Negative einer Zahl x R ist eindeutig bestimmt. Beweis. Sei x eine reelle Zahl mit x + x = 0. Addition von x von links auf beiden Seiten der Gleichung ergibt ( x)+(x+x )=( x)+0. Nach den Axiomen (A.1) und (A.3) folgt daraus (( x)+x)+x = x. Nach (A.2) und (A.4) ist ( x)+x = x +( x)=0, also (( x)+x)+x = 0 + x = x + 0 = x. Durch Vergleich erhält man x = x, q.e.d. (2.3) Es gilt 0 = 0. Beweis. Nach (A.4) gilt 0 +( 0) =0 und nach (A.3) ist = 0. Da aber das Negative von 0 eindeutig bestimmt ist, folgt 0 = 0. Bezeichnung. Für x,y R setzt man x y := x +( y). (2.4) Die Gleichung a + x = b hat eine eindeutig bestimmte Lösung, nämlich x = b a. Beweis. i) Wir zeigen zunächst, dass x = b a die Gleichung löst. Es ist nämlich a +(b a) =a +(b +( a)) = a +(( a)+b)=(a +( a)) + b = 0 + b = b + 0 = b, q.e.d. Dabei wurden bei den Umformungen die Axiome (A.1) bis (A.4) benutzt. ii) Wir zeigen jetzt die Eindeutigkeit der Lösung. Sei y irgend eine Zahl mit a + y = b. Addition von a auf beiden Seiten ergibt ( a)+(a + y)=( a)+b. Die linke Seite der Gleichung ist gleich (( a)+a)+y = 0 + y = y, die rechte Seite gleich b +( a)=b a, d.h. es gilt y = b a, q.e.d.

3 19 (2.5) Für jedes x R gilt ( x)=x. Beweis. Nach Definition des Negativen von x gilt ( x)+( ( x)) = 0. Andrerseits ist nach (A.2) und (A.4) auch ( x)+x = x +( x) =0. Aus der Eindeutigkeit des Negativen folgt nun ( x)=x. (2.6) Für alle x,y R gilt (x + y)= x y. Beweis. Nach Definition des Negativen von x + y ist (x + y)+( (x + y)) = 0. Addition von x auf beiden Seiten der Gleichung liefert y +( (x + y)) = x. Andererseits hat die Gleichung y+z = x für z die eindeutig bestimmte Lösung z = x y. Daraus folgt (x + y)= x y, q.e.d. II. Axiome der Multiplikation (M.1) Assoziativgesetz. Für alle x, y, z R gilt (xy)z = x(yz). (M.2) Kommutativgesetz. Für alle x, y R gilt xy = yx. (M.3) Existenz der Eins. Es gibt ein Element 1 R, 1 0, so dass x 1 = x für alle x R. (M.4) Existenz des Inversen. Zu jedem x R mit x 0 gibt es ein x 1 R, so dass xx 1 = 1. III. Distributivgesetz (D) Für alle x,y,z R gilt x(y + z)=xy + xz. Folgerungen aus den Axiomen II und III (2.7) Die Eins ist durch ihre Eigenschaft eindeutig bestimmt. (2.8) Das Inverse einer reellen Zahl x 0 ist eindeutig bestimmt. Die Aussagen (2.7) und (2.8) werden ganz analog den entsprechenden Aussagen (2.1) und (2.2) für die Addition bewiesen, indem man überall die Addition

4 20 durch die Multiplikation, die Null durch die Eins und das Negative durch das Inverse ersetzt. (2.9) Für alle a,b R mit a 0 hat die Gleichung ax = b eine eindeutig bestimmte Lösung, nämlich x = a 1 b =: b a =: b/a. Beweis. i) x = a 1 b löst die Gleichung, denn a(a 1 b)=(aa 1 )b = 1 b = b 1 = b. ii) Zur Eindeutigkeit. Sei y eine beliebige Zahl mit ay = b. Multiplikation der Gleichung mit a 1 von links ergibt a 1 (ay)=a 1 b. Die linke Seite der Gleichung kann man unter Anwendung der Axiome (M.1) bis (M.4) umformen und erhält a 1 (ay)=y, woraus folgt y = a 1 b, q.e.d. (2.10) Für alle x,y,z R gilt (x + y)z = xz + yz. Beweis. Unter Benutzung von (M.2) und (D) erhalten wir (x + y)z = z(x + y)=zx + zy = xz + yz, q.e.d. (2.11) Für alle x R gilt x 0 = 0. Beweis. Da = 0, folgt aus dem Distributivgesetz x 0 + x 0 = x (0 + 0)=x 0. Subtraktion von x 0 von beiden Seiten der Gleichung ergibt x 0 = 0. (2.12) Für x,y R gilt xy = 0 genau dann, wenn x = 0 oder y = 0. (In Worten: Ein Produkt ist genau dann gleich null, wenn einer der Faktoren null ist.) Beweis. Wenn x = 0 oder y = 0, so folgt aus (2.11), dass xy = 0. Sei nun umgekehrt vorausgesetzt, dass xy = 0. Falls x = 0, sind wir fertig. Falls aber x 0, folgt aus (2.9), dass y = x 1 0 = 0, q.e.d. (2.13) Für alle x R gilt x =( 1)x. Beweis. Unter Benutzung des Distributivgesetzes erhält man x +( 1) x = 1 x +( 1) x =(1 1) x = 0 x = 0, d.h. ( 1)x ist ein Negatives von x. Wegen der Eindeutigkeit des Negativen folgt die Behauptung. (2.14) Für alle x,y R gilt ( x)( y)=xy.

5 21 Beweis. Mit (2.13), sowie dem Kommutativ- und Assoziativgesetz erhält man ( x)( y)=( x)( 1)y =( 1)( x)y =( ( x))y. Da ( x)=x wegen (2.5), folgt die Behauptung. (2.15) Für alle reellen Zahlen x 0 gilt (x 1 ) 1 = x. (2.16) Für alle reellen Zahlen x 0, y 0 gilt (xy) 1 = x 1 y 1. Die Regeln (2.15) und (2.16) sind die multiplikativen Analoga der Regeln (2.5) und (2.6) und können auch analog bewiesen werden. Allgemeines Assoziativgesetz Die Addition von mehr als zwei Zahlen wird durch Klammerung auf die Addition von jeweils zwei Summanden zurückgeführt: x 1 + x 2 + x x n :=(...((x 1 + x 2 )+x 3 )+...)+x n. Man beweist durch wiederholte Anwendung des Assoziativgesetzes (A.1), dass jede andere Klammerung zum selben Resultat führt. Analoges gilt für das Produkt x 1 x 2... x n. Allgemeines Kommutativgesetz Sei (i 1,i 2,...,i n ) eine Permutation (d.h. Umordnung) von (1,2,...,n). Dann gilt x 1 + x x n = x i1 + x i x in, x 1 x 2... x n = x i1 x i2... x in. Dies folgt durch wiederholte Anwendung der Kommutativgesetze (A.2) bzw. (M.2) sowie der Assoziativgesetze. Aus dem allgemeinen Kommutativgesetz kann man folgende Regel für Doppelsummen ableiten: n m i=1 j=1 a ij = m n j=1 i=1 Denn nach Definition gilt n m i=1 j=1 a ij = a ij. ( m j=1a 1 j ) + ( m ) ( m ) 2 j nj j=1a j=1a

6 22 und m n j=1 i=1 =(a 11 + a a 1m )+...+(a n1 + a n a nm ) ( n ) ( n ) ( n ) a ij = i1 + i im i=1a i=1a i=1a =(a 11 + a a n1 )+...+(a 1m + a 2m a nm ). Es kommen also in beiden Fällen alle nm Summanden a ij, 1 i n, 1 j m, vor, nur in anderer Reihenfolge. Allgemeines Distributivgesetz Durch wiederholte Anwendung von (D) und Folgerung (2.10) beweist man Potenzen ( n )( m x i i=1 j=1 y j ) = n m i=1 j=1 x i y j. Ist x eine reelle Zahl, so werden die Potenzen x n für n N durch Induktion wie folgt definiert: x 0 := 1, x n+1 := x n x für alle n 0. (Man beachte, dass nach Definition auch 0 0 = 1.) Ist x 0, so definiert man negative Potenzen x n,(n > 0 ganz), durch x n :=(x 1 ) n. Für die Potenzen gelten folgende Rechenregeln: (2.17) x n x m = x n+m, (2.18) (x n ) m = x nm, (2.19) x n y n =(xy) n. Dabei sind n und m beliebige ganze Zahlen und x,y reelle Zahlen, die 0 vorauszusetzen sind, falls negative Exponenten vorkommen. Wir beweisen als Beispiel die Aussage (2.19) und überlassen die anderen dem Leser als Übung. a) Falls n 0, verwenden wir vollständige Induktion nach n. Der Induktions- Anfang n = 0 ist trivial.

7 23 Induktions-Schritt n n + 1. Unter Verwendung des Kommutativ- und Assoziativgesetzes der Multiplikation erhält man x n+1 y n+1 = x n xy n y = x n y n xy = IV (xy) n xy =(xy) n+1, q.e.d. b) Falls n < 0, ist m := n > 0 und x n y n = x m y m =(x 1 ) m (y 1 ) m. Nach a) gilt (x 1 ) m (y 1 ) m =(x 1 y 1 ) m, also unter Benutzung von (2.16) x n y n =(x 1 y 1 ) m =((xy) 1 ) m =(xy) m =(xy) n, q.e.d. Bemerkung. Eine Menge K, zusammen mit zwei Verknüpfungen + : K K K, (x,y) x + y, : K K K, (x,y) xy, die den Axiomen I bis III genügen, nennt man Körper. In jedem Körper gelten alle in diesem Paragraphen hergeleiteten Rechenregeln, da zu ihrem Beweis nur die Axiome verwendet wurden. Beispiele. R, Q (Menge der rationalen Zahlen), und C (Menge der komplexen Zahlen, siehe 13) bilden mit der üblichen Addition und Multiplikation jeweils einen Körper. Dagegen ist die Menge Z aller ganzen Zahlen kein Körper, da das Axiom von der Existenz des Inversen verletzt ist (z.b. besitzt die Zahl 2 Z in Z kein Inverses). Ein merkwürdiger Körper ist die Menge F 2 = {0,1} mit den Verknüpfungen und Die Körper-Axiome können hier durch direktes Nachprüfen aller Fälle verifiziert werden. F 2 ist der kleinst-mögliche Körper, denn jeder Körper muss mindestens die Null und die Eins enthalten. In F 2 gilt = 0. Also kann man die Aussage nicht mithilfe der Körper-Axiome beweisen. Insbesondere kann man allein aufgrund der Körper-Axiome die natürlichen Zahlen noch nicht als Teilmenge der reellen Zahlen auffassen. Hierzu sind weitere Axiome erforderlich, die wir im nächsten Paragraphen behandeln.

8 24 AUFGABEN 2.1. Man zeige: Es gelten die folgenden Regeln für das Bruchrechnen (a, b, c, d R, b 0, d 0): a) a b = c genau dann, wenn ad = bc, d b) a b ± c ad ± bc =, d bd c) a b c d = ac bd, a b d) c = ad, falls c 0. d bc 2.2. Man beweise die Rechenregel (2.17) für Potenzen: x n x m = x n+m,(n,m Z, x R, wobei x 0 falls n < 0 oder m < 0). Anleitung. Man behandle zunächst die Fälle (1) n 0, m 0, (2) n > 0 und m = k mit 0 < k n, und führe den allgemeinen Fall auf (1) und (2) zurück Seien a ik für i, k N reelle Zahlen. Man zeige für alle n N n n k k=0 i=0 a ik = n n i i=0 k=0 a ik = n m m=0 k=0 a m k,k Es sei N := N { }, wobei ein nicht zu N gehöriges Symbol ist. Auf N führen wir zwei Verknüpfungen N N N, (a,b) a + b, N N N, (a,b) a b, wie folgt ein: i) Für a, b N sei a + b bzw. a b die übliche Addition bzw. Multiplikation natürlicher Zahlen. ii) a + = + a = für alle a N. iii) 0 = 0 = 0 und a = a = für alle a N {0}. Man zeige, dass diese Verknüpfungen auf N die Körperaxiome (A.1), (A.2), (A.3), (M.1), (M.2), (M.3) und (D), aber nicht (A.4) und (M.4) erfüllen.

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