Neben der Addition tritt nun die Multiplikation als weitere Struktureigenschaft

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1 Kapitel 3 Rationale Zahlen 31 Die rationalen Zahlen (Körper, Abzählbarkeit) Was ist mit der Gleichung z q = w in Z? Für gegebene z, w Z ist diese Gleichung in der Menge der ganzen Zahlen im Allgemeinen nicht lösbar, was die Einführung einer Division motiviert Man erweitert Z auf die Menge der rationalen Zahlen 1 (auf die Menge der Brüche) { Q := q : q = m } n = m n 1, m Z, n N Die algebraische Struktur der rationalen Zahlen Neben der Addition tritt nun die Multiplikation als weitere Struktureigenschaft auf: Als algebraische Struktur sind die rationalen Zahlen versehen mit den beiden Verknüpfungen Addition und Multiplikation ein so genannter Körper Besonders zu beachten ist dabei, dass die Eigenschaften bzgl der beiden Verknüpfungen nicht nur getrennt voneinander betrachtet werden Zusätzlich ist das Zusammenspiel zwischen Addition und Multiplikation 1 Auch die rationalen Zahlen werden hier nur heuristisch eingeführt 57

2 58 Kapitel 3 Rationale Zahlen im dritten Punkt der folgenden Definition geregelt Definition 31 Körper Eine Menge K versehen mit zwei Verknüpfungen,,+ und,, heißt Körper (K,+, ), falls: i) K ist bzgl der Addition + eine kommutative Gruppe mit neutralem Element (Nullelement) 0 ii) K {0} ist bzgl der Multiplikation eine kommutative Gruppe mit neutralem Element (Einselement) 1 iii) Für alle a, b, c aus K gilt das Distributivgesetz a (b + c) = a b + a c }{{} V ereinbarung: P unkt vor Strichrechnung Bemerkungen i) Die Addition rationaler Zahlen unterscheidet sich natürlich nicht von der ganzer Zahlen Dies spiegelt sich im ersten Teil der Definition wider ii) Bezüglich der Multiplikation ist die Gruppeneigenschaft auf K {0} erfüllt In einem Körper existiert insbesondere kein multiplikatives Inverses zum Nullelement (bzgl der Addition definiert) Einfacher ausgedrückt: Man darf nicht durch Null teilen iii) Das inverse Element ˆq einer rationalen Zahl q wird als q 1 = 1 q bezeichnet (Schreibweise: z q 1 = z q = z/q) Die eindeutige Lösung der Gleichung z q = w (zu gegebenen z, w) ist q = w/z Typische Beispiele anderer Körper sind die reellen und die komplexen Zahlen, weitere Beispiele werden in den Übungen zu diesem Kapitel vorgestellt

3 Kapitel 3 Rationale Zahlen 59 Die kurze Diskussion der Ordnungsrelation aus Kapitel 21 überträgt sich unmittelbar auf Q Wie das Beispiel der komplexen Zahlen belegen wird, gilt das aber nicht für jeden Körper Q als abzählbare Menge Jede natürliche Zahl ist auch eine rationale Zahl Da die Umkehrung falsch ist, enthält Q mehr Elemente als N oder Z Dennoch ist Q nicht qualitativ größer als N, was mithilfe des Begriffes abzählbar präzisiert wird Wie es der Name besagt, kann eine abzählbare Menge durchnummeriert werden, dh jedes Element erhält eine eindeutige Nummer und kann anhand dieser Nummer eindeutig identifiziert werden Definition 32 Abzählbare Menge Eine Menge A heißt abzählbar (unendlich), falls eine bijektive Abbildung existiert Φ : N A Wie eine solche Abbildung im Falle der rationalen Zahlen aussehen kann (Φ ist ja in keiner Weise eindeutig bestimmt), ist in Tabelle 31 schematisiert Ausgehend von der 0 folgt man der Pfeilen und gibt dabei jedem Bruch eine Nummer Bei dieser Prozedur werden jedoch die rot eingefärbten Brüche nicht mitgezählt, da sie bereits als dieselbe rationale Zahl mit einer lediglich anderen Bruchdarstellung vorgekommen sind Man vergewissere sich, dass tatsächlich alle Brüche in dem Schema erfasst sind

4 60 Kapitel 3 Rationale Zahlen /2 1/2 0/2 1/2 2/2 3/2 2/3 1/3 0/3 1/3 2/3 3/2 Tabelle 31: Q ist abzählbar Bei dieser Art der Nummerierung der rationalen Zahlen hat nach der Tabelle 31 etwa der Bruch 2/3 die Nummer 7 Zusammenhang mit Dezimalzahlen? Es gilt beispielsweise = 05, 1 3 = 0333 = 03, 1 6 = 016, 8 7 = Analoges ist auch im Allgemeinen richtig: Jede rationale Zahl lässt sich als abbrechende oder periodische Dezimalzahl schreiben und umgekehrt stellt jede abbrechende oder periodische Dezimalzahl eine rationale Zahl dar Sind rationale Zahlen aber auch eindeutig als Dezimalzahl darstellbar? Die Antwort ist nein, was die Beispiele belegen 1 2 = 05 = 049, 9 20 = 045 = 0449 Verlangt man von der Dezimaldarstellung aber zusätzlich, dass sie nicht abbricht, so erhält man die Charakterisierung Q = {nicht-abbrechend periodische Dezimalzahlen} 2 Eine systematischer Untersuchung der Dezimaldarstellung folgt nach der Diskussion von Zahlenreihen

5 Kapitel 3 Rationale Zahlen Übungsaufgaben zu Kapitel 3 Aufgabe 1* Es sei M die Menge M = {0, 1} versehen mit den Verknüpfungen + und, die über folgende Verknüpfungstabellen definiert seien: sowie Verifizieren Sie anhand der Tabellen, dass (M, +, ) ein Körper ist Aufgabe 2 i) * In der Menge R 2 = R R sei die Addition komponentenweise und die Multiplikation wie folgt erklärt: (a) (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) = (x 1 y 1 + x 2 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ); (b) (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) = (x 1 y 1 x 2 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ) Handelt es sich jeweils um einen Körper? ii) Es sei n N fixiert In der Menge Q 2 = Q Q sei die Addition komponentenweise und die Multiplikation wie folgt erklärt: (q 1, q 2 ) (p 1, p 2 ) = (q 1 p 1 nq 2 p 2, q 1 p 2 + q 2 p 1 ) Handelt es sich um einen Körper? Aufgabe 3* Zeigen Sie, dass die Vereinigung abzählbarer Mengen abzählbar ist

6 62 Kapitel 3 Rationale Zahlen Lösungshinweise zu den Übungsaufgaben Aufgabe 1 (vgl Aufgabe 1, Kapitel 24) Nach den Tabellen ist beispielsweise sowie Das additive Inverse der 1 ist wegen = = 1 und 1 1 = = 0 die 1 selbst, das multiplikative Inverse der 1 ist ebenfalls die 1, die gleichzeitig das neutrale Element bzgl der Multiplikation ist Auf diese Weise werden sukzessive alle Regeln verifiziert Aufgabe 2 i) Als Einselement kommt in beiden Fällen nur (1, 0) infrage (a) Zu gegebenem (x 1, x 2 ) R 2 ergibt sich als Kandidat für das multiplikative Inverse 1 x 2 1 (x 1, x 2 ) x2 2 Für 3 x 1 = ±x 2 existiert also kein multiplikatives Inverses und es handelt sich nicht um einen Körper (b) Hier ist der Kandidat 1 x (x 1, x 2 ) x2 2 für das multiplikative Inverse definiert, falls x 1 und x 2 nicht beide verschwinden, dh für alle (x 1, x 2 ), die nicht gleich dem Nullelement sind 3 Notation: x 1 = ±x 2 bedeutet x 1 = x 2 oder x 1 = x 2

7 Kapitel 3 Rationale Zahlen 63 Alle anderen Regeln können leicht nachgerechnet werden es handelt sich um einen Körper 4 Aufgabe 3 5 Es seien A 1, Φ 1 und A 2, Φ 2 zwei abzählbare Menge bzw bijektive Abbildungen nach Definition 32 Zu A = A 1 A 2 betrachtet man beispielsweise Φ: N A, { Φ1 (m) für n = 2m 1 mit einem m N (n ungerade); Φ(n) = Φ 2 (m) für n = 2m mit einem m N (n gerade) 4 Tatsächlich ist mit dieser Multiplikation der Körper der komplexen Zahlen C eingeführt 5 Es gilt sogar: Die abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen ist abzählbar

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