IT-Security. Teil 9: Einführung in algebraische Strukturen

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1 IT-Security Teil 9: Einführung in algebraische Strukturen

2 Literatur und Videos [9-1] [9-2] Forster, Otto: Algorithmische Zahlentheorie. 2. Auflage, Springer, 2015 [9-3] Teschl, Gerald; Teschl, Susanne: Mathematik für Informatiker. Band 1: Diskrete Mathematik und Lineare Algebra. 4. Auflage, Springer, 2013, Kapitel 3 [9-4] Socher, Rolf: Algebra für Informatiker. Carl Hanser, 2012 [9-5] Willems, Wolfgang: Codierungstheorie und Kryptographie. Birkhäuser, 2008 [9-6] Kurzweil, Hans: Endliche Körper. Verstehen, Rechnen, Anwenden. 2. Auflage, Springer,2007 [9-7] [9-8] [9-9]

3 Übersicht Gruppen Ringe Körper In der Kryptographie sind mathematische Verfahren interessant, die ähnlich der Arithmetik sind, aber doch vollkommen andere Ergebnisse erzeugen. Die "Gruppentheorie" bzw. die der abstrakten Rechenstrukturen sind daher ein guter Ausgangspunkt. 3

4 Definitionen und grundlegende Zusammenhänge I Z Menge der ganzen positiven und negativen Zahlen mit 0 N Menge der ganzen positiven Zahlen mit 0 N\{0} N ohne 0 Q Menge der Rationalen Zahlen R Menge der Reellen Zahlen 4

5 Definitionen und grundlegende Zusammenhänge II Zwei Operatoren Eine dyadische (binäre) Operation auf einer Menge sei. Diese Operation wird Addition genannt. Eine weitere dyadische Operation auf einer Menge sei. Diese Operation wird Multiplikation genannt. Wenn zwischen beiden nicht unterschieden werden soll, also wenn beide gemeint sind, wird dies mit bezeichnet. Etwas mit einem Namen zu versehen (Bezeichnen), heißt aber nicht, dass dieses Etwas auch das ist, was der Name ausdrückt! 5

6 Definitionen und grundlegende Zusammenhänge III Folgender Zusammenhang heißt Assoziativgesetz: (a b) c = a (b c) Dieses Gesetz bestimmt die beliebige Auswertungsreihenfolge hinsichtlich der Operation. Wenn folgender Zusammenhang besteht, dann gilt das Kommutativgesetz: a b = b a Und folgender Zusammenhang, dann Distributivgesetz: a (b c) = (a b) (a c) 6

7 Algebra I Eine Algebra = Rechenstruktur = ist ein Tripel bestehend aus einer Menge G mit endlich oder unendlich vielen Elementen beliebiger Art (hier) einem oder zwei dyadischen Operatoren definiert auf G (hier) einer Menge von Gesetzen (Regeln) Beispiel Menge 6 = {0,1} Assoziativgesetz Kommutativgesetz Operator definiert durch

8 Algebra II In der Mathematik werden Operatoren Verknüpfungen genannt. Wir betrachten hier nur Algebren mit Operatoren, deren Ergebnis wieder Teil der Menge G ist; diese Operatoren werden abgeschlossen genannt. Eine Algebra erfüllt die Bedingung der Abgeschlossenheit, wenn alle ihre Operatoren abgeschlossen sind. Bei endlichen Mengen kann eine 2-dimensionale Verknüpfungstabelle zur Definition der Operatoren benutzt werden. Bei unendlichen Mengen wird das Ergebnis der Operatoren mit einem Algorithmus definiert. Beispiele für Mengen: G = {9, :, ;, <} G = {2, 3, 5, 7, 11} G = {x 2,2*x 4 +1,3x 3 -x 2,x-5} 8

9 Halbgruppe Eine Halbgruppe liegt vor, wenn auf der Menge G eine Operation definiert ist, für die das Assoziativgesetz gilt und die abgeschlossen ist, also alle Ergebnisse in G liegen. Die Operation ist eine beliebige Verknüpfung auf G. Die Halbgruppe wird mit (G, ) bezeichnet. Beispiele für Halbgruppen: N mit der arithmetischen Addition: (N,+) N mit der arithmetischen Multiplikation: (N,*) Menge der geraden Zahlen und die Addition Menge der geraden Zahlen und die Multiplikation 9

10 Monoid Eine Halbgruppe (G, ) wird Monoid genannt, wenn sie bezüglich ein neutrales Element besitzt. Ein neutrales Element e liegt dann vor, wenn für jedes Element aus G bezüglich folgende Bedingung erfüllt ist: Mit a,e G gilt: a e = e a = a Bitte beachten, dass damit nicht das Kommutativgesetz gilt. Beispiele für Monoide: N mit der arithmetischen Addition: (N,+) mit e=0 Menge der geraden Zahlen und die Addition mit e=0 N mit der arithmetischen Multiplikation: (N,*) mit e=1 (6, ) mit e=0 siehe oben 10

11 Erkennen des neutralen Elementes I Beispiel Beispiel Das neutrale Element ist visuell an der Gleichheit der Werte mit der Beschriftung der Spalte bzw. Reihe erkennbar. 11

12 Erkennen des neutralen Elementes II Beispiel Beispiel Eine einheitliche (systematische) Beschriftung macht das Erkennen des neutralen Elements leichter. 12

13 Merkregel für Monoid Der Wortbestandteil "Mono" weist auf Eins hin, Eins ist das neutrale Element bezüglich der Multiplikation. Halbgruppe Abgeschlossenheit Assoziativgesetz Monoid + Neutrales Element 13

14 Gruppe I Eine Monoid (G, ) wird Gruppe genannt, wenn (fast) alle Werte aus G bezüglich ein inverses Element besitzen. Ein inverses Element a -1 existiert, wenn für jedes Element a aus G bezüglich mit e als neutralem Element folgende Bedingung erfüllt ist: Mit a, e G gilt: a a -1 = e (Addition) Mit a, e G\{0} gilt: a a -1 = e (Multiplikation) Beispiele für Gruppen: Z mit der arithmetischen Addition: (Z,+) mit e=0 Das inverse Element zu a wird hier als -a bezeichnet. (6, ) mit e=0 und 0-1 =0 und 1-1 =1 siehe oben Z mit der arithmetischen Multiplikation: (Z,*) mit e=1 ist keine Gruppe. Warum? 14

15 Bemerkungen I a -1 ist keine Potenz mit dem Wert -1; das -1 kennzeichnet lediglich die Eigenschaft des Inversen von a. Achtung: a -1 ist das inverse Element bzgl., a a -1 = 0. Achtung: a -1 ist das inverse Element bzgl., a a -1 = 1. 0 und 1 sind hier Symbole für Elemente der Grundmenge; es sind nicht die Zahlen 0 und 1 aus der normalen Arithmetik. Natürlich können die Zahlen aus der normalen Arithmetik die Grundmenge G ausmachen, dann, aber nur dann sind 0 und 1 die üblichen Zahlen 0 und 1. Wenn die Addition bedeutet, wird das inverse Element von a auch als -a bezeichnet. -a ist aber nicht -1*a. Etwas mit einem Namen zu versehen (Bezeichnen), heißt aber nicht, dass dieses Etwas auch das ist, was der Name ausdrückt! 15

16 Bemerkungen II Warum wird mit inversen Elementen gearbeitet, anstatt mit der Subtraktion oder Division? Ganz einfach: weil für Subtraktion und Division das Assoziativgesetz nicht gilt. Beispiel : (10-5) 2 = (5-2) = 7 Beispiel 16 : 8 : 2: (16 : 8) : 2 = 1 16 :(8 : 2) = 4 16

17 Kommutative/Abelsche Gruppe I Eine Gruppe (G, ) wird kommutative Gruppe oder abelsche Gruppe genannt, wenn für alle Werte aus G bezüglich das Kommutativgesetz gilt. Benannt zu Ehren des Norwegischen Mathematikers Niels Henrik Abel Wenn die Werte in der Verknüpfungstabelle symmetrisch zur 45 - Achse sind, gilt das Kommutativgesetz (bei der "richtigen" Beschriftung der Reihen und Spalten) Beispiel Menge 6 = {0,1} Assoziativgesetz Kommutativgesetz Operator definiert durch

18 Kommutative/Abelsche Gruppe II Beispiele für abelsche Gruppen: Z mit der arithmetischen Addition: (Z,+) mit e=0 Das inverse Element zu a wird hier als -a bezeichnet. (6, ) mit e=0 und 0-1 =0 und 1-1 =1 Beispiel Menge 6 = {0,1} Assoziativgesetz Kommutativgesetz Operator definiert durch

19 Zusammenfassung Halbgruppe Abgeschlossenheit Assoziativgesetz Monoid Gruppe Abelsche Gruppe + Neutrales Element + Inverses Element + Kommutativgesetz 19

20 Ring I Eine algebraische Struktur mit zwei Operatoren (G,, ) wird Ring genannt, wenn (G, ) eine abelsche Gruppe ist (G, ) eine Halbgruppe ist das Distributivgesetz für alle a,b,c G gilt: a (b c) = (a b) (a c) (a b) c = (a c) (b c) Für gilt nicht die Kommutativität und es gibt auch kein inverses Element, für beides schon. Beispiele für einen Ring: Z mit der arithmetischen Addition: (Z,+,*) mit e=0 für + Das inverse Element zu a wird hier als -a bezeichnet. 20

21 Ring II Die Operation (Abelsche Gruppe) wird als Addition bezeichnet. Häufig wird diese Operation auch mit + bezeichnet. Die Operation (Halbgruppe) wird als Multiplikation bezeichnet. Häufig wird diese Operation auch mit * bezeichnet bzw. weggelassen, also statt a*b wird ab geschrieben. Das neutrale Element bzgl. der (Addition) wird Nullelement bezeichnet und als 0 geschrieben. Das in Ringen nicht vorhandene neutrale Element bzgl. der (Multiplikation) wird als Einselement bezeichnet und als 1 geschrieben. 21

22 Gruppe II Begriffliche Ergänzung Eine Gruppe bezüglich einer Addition wird additive Gruppe genannt, besitzt 0 als neutrales Element und -a (mit a G) als inverses Element. Eine Gruppe bezüglich einer Multiplikation wird multiplikative Gruppe genannt, besitzt 1 als neutrales Element und a -1 (mit a G\{0}) als inverses Element. 22

23 Ring mit Eins Ein Ring mit zwei Operatoren (G,, ) wird Ring mit Eins genannt, wenn (G, ) ein Monoid ist, also zusätzlich noch ein neutrales Element bzgl. der Multiplikation besitzt. Das neutrale Element bzgl. wird 1 genannt daher der Name Ring mit Eins. Beispiel für einen Ring mit Eins: Z mit der arithmetischen Addition: (Z,+,*) mit e=0 für + und e=1 für * Das additive inverse Element zu a wird hier als -a bezeichnet. 23

24 Kommutativer Ring Ein Ring mit zwei Operatoren (G,, ) wird kommutativer Ring genannt, wenn neben den Eigenschaften eines Rings das Kommutativgesetz für die Multiplikation gilt. Damit gilt das Kommutativgesetz für die Addition und für die Multiplikation. Beispiel für einen kommutativen Ring: Z mit der arithmetischen Addition: (Z,+,*) Das additive inverse Element zu a wird hier als -a bezeichnet. 24

25 Körper Ein Ring mit Eins (G,, ) wird Körper genannt, wenn (G\{0}, ) eine abelsche Gruppe ist. Oder anders: Eine algebraische Struktur ist dann ein Körper, wenn beide Operatoren jeweils eine kommutative Gruppe bilden (ohne {0} bei ) und wenn das Distributivgesetz gilt. Wenn mit a,e G a a -1 = e gilt, dann muss {0} aus G für die Definition von entfernt werden, daher (G\{0}, ). Beispiele für Körper: (Q,+,*) mit der "normalen Arithmetik" (R,+,*) mit der "normalen Arithmetik" (6,, ) ist XOR und ist die arithmetische Multiplikation 25

26 Körper - Beispiel Beispiel Menge 6 = {0,1} Assoziativgesetz Kommutativgesetz Distributivgesetz Operator definiert durch e=0 Operator definiert durch Dieser Körper wird auch als (Z 2,+,*) bezeichnet e=1 26

27 Bemerkung Bezeichnungen der Art (Z 2,+,*) sind so gemeint, dass zur Konstruktion der Struktur für das arithmetische + benutzt wird, für das arithmetische * benutzt wird, und alle Werte mit modulo 2 behandelt werden. Analoges gilt für (Z m,+,*), wobei hier mit modulo m gerechnet wird. 27

28 Zusammenfassung Halbgruppe Monoid Gruppe + Neutrales Element + Inverses Element Addition Abelsche Gruppe Ring Ring mit Eins Körper + Kommutativgesetz + Distributivgesetz + Neutrales Element + Inverses Element Halbgruppe Monoid Gruppe Abelsche Gruppe + Neutrales Element + Inverses Element Multiplikation + Kommutativgesetz 28

29 Modulare Arithmetik Vertiefende Wiederholung Mit m N\{0} als Modul sei Z m = {0,1,2,3,,m-1} Dies ist die Menge der ganzzahligen Reste bei der Division durch m als Repräsentanten der Restklassen. Mit m N\{0} als Modul sei Z m* = {x {1,2,3,,m-1} ggt(x,m)=1} Dies ist eine Teilmenge von Z m, wobei für jedes Element ein bzgl. der Multiplikation ( ) inverses Element existiert. Wenn m eine Primzahl ist, dann ist Z m = Z p = Z m * ohne die 0. 29

30 Modulare Arithmetik Beispiel I Operator in Z e=0 Operator in Z e=1 Ist Z 5 ein Ring? ein Ring mit Eins? ein Körper? 30

31 Modulare Arithmetik Beispiel II Operator in Z 8 * Operator in Z 8 * Und wie kommen diese Zahlen zustande? 1, 3, 5, 7? * Ist Z 8 ein Ring? ein Ring mit Eins? ein Körper? 31

32 Und was ist das? I Operator in {,,, } Ist das eine Halbgruppe? ein Monoid? eine Gruppe? 32

33 Und was ist das? II Operator in {,,, } Operator in Z 5 \{0} e=1 Ist das eine Halbgruppe? ein Monoid? eine Gruppe? 33

34 Beispiele für Gruppen Additive Gruppe (Z,+) Additive Gruppe (Z m,+) Multiplikative Gruppe (Z p \{0},*) Multiplikative Gruppe (Z m *,*) 34

35 Beispiele für Ringe Ganze Zahlen (Z,+,*) Restklassenring (Z m,+,*) Gerade Zahlen ({0,2,4,6,..,2*n},+,*) 35

36 Galois Field (GF) Endlicher Körper = finite field = Galois Field = Körper mit einer Grundmenge aus endlich vielen Elementen Abkürzung: GF(n) oder ^n, wobei n die Anzahl der Elemente ist Diese Körper werden zu Ehren von Evariste Galois so genannt. Es gilt nun folgender Satz: Es gibt zu den Primzahlenpotenzen p m (mit m>0) endliche Körper mit p m Elementen. Also gibt es für alle 2er-Potenzen einen Körper. Ein weiterer Satz: Alle endlichen Körper mit der derselben Anzahl von Elementen sind zueinander isomorph. Also gibt es für alle 2er-Potenzen jeweils nur einen Körper. 36

37 GF(4) I Es wird mit Hilfe von Z 4 ein Körper konstruiert: Operator in (Z 4,, ) Operator in (Z 4,, ) Ist das ein endlicher Körper (Galois Field)? Nein. Warum? 37

38 GF(4) II Es gibt einen kleinen Test in Form einer Bedingung, die alle Körper erfüllen müssen (Integritätsbereich): Wenn a*b = 0 dann a = 0 oder b = 0. Operator in (Z 4,, ) *2 = 0 38

39 GF(4) III Ein weiterer Test betrifft die Inversen: Ein inverses Element bzgl. der Multiplikation existiert, wenn in jeder Reihe und jeder Spalte eine 1 vorkommt (ohne 0). Ein inverses Element bzgl. der Addition existiert, wenn in jeder Reihe und jeder Spalte eine 0 vorkommt. Operator in (Z 4,, ) Hier fehlt die 1 39

40 GF(4) IV Operator in (^4,, ) Operator in (^4,, ) Ist das ein endlicher Körper (Galois Field)? Ja, das ist der einzige. Ein Körper muss ja existieren, da 4 eine 2er-Potenz ist. Aber wie dieser konstruiert wird, wird später erklärt. 40

41 Nach dieser Anstrengung etwas Entspannung... Ja, der Gipfel ist erreicht jedenfalls für heute. 41