Algebraische Strukturen

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1 Algebraische Strukturen Eine kommutative Gruppe (G, ) ist eine Menge G, auf der eine Verknüpfung (ein zweistelliger Operator) deniert ist (d. h. zu a, b G ist a b G deniert), welche bestimmten Regeln genügt (den Gruppenaxiomen): (G1) a b = b a für alle a, b G, (G2) (a b) c = a (b c) für alle a, b, c G, (G3) Es gibt ein neutrales Element: n G mit n a = a n = a für alle a G, (G4) Zu jedem a gibt es ein Inverses i(a) G mit a i(a) = i(a) a = n. Bemerkung: Allgemein spricht man von einer Gruppe, wenn (G2), (G3) und (G4) erfüllt sind. Ist zusätzlich (G1) erfüllt, so spricht man von einer kommutativen (oder abelschen) Gruppe. algebra.pdf, Seite 1

2 Beispiele für Gruppen (Z, +), (Q, +) und (R, +) sind abelsche Gruppen mit neutralem Element n = 0 und Inversen i(a) = a. (Q \ {0}, ), (R \ {0}, ) und ({±1}, ) sind abelsche Gruppen mit neutralem Element 1 und Inversen i(a) = 1 a. Die Menge aller Drehungen im dreidimesionalen Raum bildet mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung eine (nichtkommuatative) Gruppe. Ist M eine Menge, so bildet die Menge aller bijektiven Abbildungen von M nach M bezüglich der Komposition eine (i. A. nicht abelsche) Gruppe. Das neutrale Element ist die identische Abbildung f (x) = x, das Inverse i(f ) ist die inverse Abbildung f 1. Die Menge aller m nmatrizen bildet mit der Matrizenaddition eine abelsche Gruppe. Die Menge aller invertierbaren n nmatrizen bildet mit der Matrizenmultiplikation eine (nicht abelsche) Gruppe. algebra.pdf, Seite 2

3 Z m ist Gruppe Z m bildet mit der Addition modulo m eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 und Inversen i(a) = m a. Zu m 2 bildet die Menge der teilerfremden Restklassen Z m = {a Z m : ggt(a, m) = 1} bildet mit der Multiplikation modulo m als Verknüpfung eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 1. i(a) ist hier das modulare Inverse von a modulo m. Die Eulersche PhiFunktion ϕ(m) gibt die Anzahl der Elemente von Z m an. Beispiele Z 4 = {1, 3} ϕ(4) = 2 Für die Verknüpfung gilt beispielsweise 3 3 = 9 mod = 3. Z 5 = {1, 2, 3, 4} ϕ(5) = 4 und Z 6 = {1, 5}. algebra.pdf, Seite 3

4 Weitere Beispiele Z 10 = {1, 3, 7, 9} ϕ(10) = 4. Hier gilt beispielsweise 3 9 = 7 und 3 7 = 1. Es folgt, dass 3 und 7 zueinander invers sind (d. h. 3 1 = 7 und 7 1 = 3). Man erhält die Multiplikationstabelle Z 60 = {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59} ϕ(60) = 16 mit z. B = 143 mod 60 = 23. Aus = 481 = 1 (mod 60) folgt, dass 13 und 37 zueinander invers sind. algebra.pdf, Seite 4

5 Ringaxiome Ein Ring (R, +, ) ist eine abelsche Gruppe (R, +) mit einer zweiten Verknüpfung, die folgende Bedingungen erfüllt: (M2) (a b) c = a (b c) (Assoziativgesetz der Multiplikation) (M3) Es gibt ein neutrales Element der Multiplikation 1 G mit 1 a = a 1 für alle a G (D1) a (b + c) = a b + a c (D2) (b + c) a = b a + c a (Distributivgesetze) Gilt zusätzlich das Kommutativgesetz der Multiplikation (M1) a b = b a, so spricht man von einem kommutativen Ring. algebra.pdf, Seite 5

6 Beispiele (Z, +, ), (Q, +, ) und (R, +, ) sind kommutative Ringe. (Z m ) ist mit Addition und Multiplikation kommutativer Ring. mod m ein Die Menge aller n nmatrizen bildet einen (nicht kommutativen) Ring. Die Menge aller Polynome über R (oder über Z 2 ) bildet einen kommutativen Ring. Fazit In einem kommutativen Ring können die Grundrechenarten plus, minus und mal mit den gängigen Rechenregeln durchgeführt werden. Division ist jedoch in der Regel nicht allgemein möglich. algebra.pdf, Seite 6

7 Körperaxiome Ein kommutavier Ring (K, +, ) ist ein Körper, wenn zusätzlich zu (G1)(G4), (D1)(D2) und (M1)(M3) gilt (M4) Jedes a K mit a 0 (wobei 0 das neutrale Element der Addition bezeichnet) hat ein multiplikatives Inverses a 1 mit a a 1 = a 1 a = 1 Beipsiele Q und R (und die komplexen Zahlen C) sind Körper, nicht jedoch Z. Die Galoiskörper GF(2 n ) sind Körper mit endlich vielen Elementen. algebra.pdf, Seite 7

8 Endlicher Körper Z p Ist p eine Primzahl, so ist ggt(a, p) = 1 für jedes a mit 1 a p 1, d. h. es ist Z p = Z p \ {0} = {1, 2,..., p 1}. Also hat jedes a 0 in Z p eine multiplikatives Inverses. Somit ist Z p ein Körper. Beispiel p = 7 Man erhält die Multiplikationstabelle Daraus können die multiplikativen Inversen abgelesen werden: = 1, 2 1 = 4, 3 1 = 5, 4 1 = 2, 5 1 = 3, 6 1 = 6. algebra.pdf, Seite 8

9 Lineare Gleichungen lassen sich in einem Körper durch elementare Umformungen auösen, z. B. a x + b = c a x = c b x = a 1 (c b), wobei b das Inverse von b bezüglich der Addition bezeichnet. Beispiel in Z 7 3x + 6 = 1 3x = 1 6 = 2 x = = 5 2 = 3 4x + 5 = 2(x + 4) 4x + 5 = 2x = 2x + 1 2x + 4 = 0 2x = 3 x = = 4 3 = 5 algebra.pdf, Seite 9

10 Beispiel in Z 17 Gesucht x Z 17 mit 9(x + 7) = 14x + 16: 9(x + 7) = 14x x + 12 = 14x = (14 9)x 13 = 5x x = = 7 13 = 6 Bei der ersten Umformung wurde benutzt 9(x + 7) = 9 x = 9x + 12 in Z 17, am Ende wurde benutzt, dass 7 das modulare Inverse zu 5 in Z 17 ist, was beispielsweise mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus bestimmt werden kann (alternativ durch die Beobachtung 5 7 = 35 = ). algebra.pdf, Seite 10