Algebra Zusammenfassung

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1 Algebra Zusammenfassung Jan Arends 1 Die Menge der ganzen Zahlen 1.1 Die Rechenstruktur Z 1.2 Teilbarkeit Division mit Rest Seien a Z b N: q Z r N 0 : a = b q + r mit 0 r < b Modulo Alternative Schreibweisen: Division ohne Rest a = r(m) a = m q + r m a r Ess gilt für b 0 b a q Z : a = b q a b(m) a = m q + b Korollar 1.2 Seiten a, b, c, d, x, y Z: Aussage Bemerkung a) 0 a nur dann, wenn a = 0 b) a 0 Für a Z: 0 a = 0 c) 1 a und a a triviale Teiler, a 1 = a, a a = 1 d) a b b c a c Transitivität e) a b c d ac bd f) ca cb a b Kürzungsregel (Für c 0) g) a b a c a xb + yc Linearkombinationsregel h) a b a b + c a c i) a = bc + d b a = b d j) a b, b a = a = b a = b k) bc a = b a c a Restklassen Äquivalenzrelation 1

2 1.3 Größter gemeinsamer Teiler Das Lemma von Bézout - Linearkombination Seien a, c Z. Dann gilt x, y Z : ax + by = (a, b) (a, b) = 1 x, y Z : ax + by = 1 Die Koeffizienten x, y Z erhält man mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus Berechnung des GGTs Euklidischer Algorithmus Anhand von Primfaktorzerlegung Erweiteter euklidischer Algorithmus Linearkombination (s.o.) Modularen Inversen Zum Berechnen von: 2 Gruppen Definition Gruppenaxiome Sei A(M, ). Falls G: abgeschlossen = algebraischestruktur a, b M : a b M assoziativ = Halbgruppe a, b, c M : (a b) c = a (b c) Einselement = Monoid Inverse = Gruppe Kommutativ = zusatzabelsch G endlich = ord G = G die Ordnung von G (Gruppenordnung). Sei a G und e das Einselement von G. Dann heißt die Ordnung von a in G. ord G (a) = min{k N a k = e} a M : a e = e a = a a M a 1 M : a a 1 = a 1 a = e a, b M : a b = b a 2.1 Untergruppen < a >= {a 1, a 2,..., a n} wobei a n+1 = a(m). Der einfachhalthalber: Jeweils Vorgänger mit a multiplizieren. Untergruppenkriterium Sei G = (M, )und U M. Dann ist G U eine Untergruppe von G genau dann. wenn gilt: a, b, G U, dann ist auch a 1 b G U bzw. a b 1 G U 2

3 Zyklische Gruppen Gdw. a :< a >= G.a heißt Generator. Zyklische Gruppen sind abelsch. 2.2 Faktorisierung von Gruppen Nebenklassen Sei G = (M, ) Gruppe, U M und G U Untergruppe von G sowieso a G Linksnebenklasse: a G U Rechtsnebenklasse: G U a a heißt Repräsentant der Nebenklasse. Gilt a G : a G U = G U a, dann heißt G U Normalteiler von G (automatisch, wenn Operator kommutativ). Außerdem: Nebenklassen sind unabhängig vom Repräsentaten. Faktorgruppen Sei G U Normalteiler von G. Dann bildet G/G U bzw. G/ < a > mit: (a G U ) U (b G U ) = (a b) G U die sog. Faktorgruppe. Am einfachsten dann Verknüpfungstafel aufstellen. Satz von Lagrange (Ausschnitt) Nebenklassen sind entweder identisch oder disjunkt. Die Nebenklassen legen eine Äquivalenzrelation und damit eine Partition auf G fest. Alle Links- und alle Rechtsnebenklassen haben dieselbe Anzahl an Elementen, nämlich die der Untergruppe. Die Ordnungen von Untergruppen sind also immer Teiler der Gruppenordnung. Funktionen/Abbildungen Total: x A y B Injektivität: Jedes Element der Zielmenge hat höchstens ein Urbild. Surjektivität: Jedes Element der Zielmenge hat mindestens ein Urbild. Bijektivität: Abbildung ist total, injektiv und surjektiv Gruppenhomomorphismus Seien G 1 = (M 1, 1 ) und G 2 = (M 2, 2 ) zwei Gruppen sowie ϕ : G 1 G 2 eine Abbildung. ϕ heißt (Gruppen-)Homomorphismus von G 1 nach G 2, falls ϕ total ist a,b G1 die Strukturgleichung ϕ(a 1 b) = ϕ(a) 2 ϕ(b) erfüllt ist. Isomorphismus falls ϕ bijektiv, d.h.: injektiv surjektiv Schreibweise: G 1 = G2 3

4 Automorphismus Isomorphismus auf sich selbst: G = G Kerne von Homomorphismen Sei ϕ : G 1 G 2 Homomorphismus. Der Kern von ϕ enthält alle Elemente von G 1, die auf das Einselement von G 2 abgebildet werden: Kern(ϕ) = {x G 1 ϕ(x) = e 2 } Kern(ϕ) = 1 ϕ ist injektiv. 3 Ringe, Integritätsbereiche und Körper 3.1 Ringe Die alg. Struktur R = (M, 1, 2 ) heißt Ringe, falls (M, 1 ) abelsche Gruppe (M, 2 ) Halbgruppe Distributivgesetze erfüllt sind: a,b,c M : a 2 (b 1 c) = (a 2 b) 1 (a 2 c) (b 1 c) 2 a = (b 2 a) 1 (c 2 a) Sonstige Eigenschaften 2 kommutativ = kommutativer Ring (M, 2 ) Monoid = Ring mit Einselement Bsp: (Z m, +, ) der ganzen Addition und Multiplikation bildet kommutativen Ring mit Einselement. (M, 1 ) ein abelsches Monoid und (M, 2 ) ein Monoid = Semiring Einheiten R Ring, a R (multiplikativ) invertierbar = Einheit. R ist die Menge aller Einheiten von R. R Ring mit Einselement = R bildet (multiplikative) Gruppe, die sog. Einheitsgruppe. Nullteiler Sei R ein Ring, a R mit a 0. b R a b = 0 = Nullteiler in R. Enthält R keine Nullteiler = R nullteilerfrei. Bsp: Besitzen Nullteiler: Z 4, Z 6, Z 8, Z 14 4

5 3.2 Integritätbereich Ring mit folgenden Eingeschaften: kommutativ nullteilerfrei Bsp: Z 2, Z 3, Z 5, Z Körper A = (M, 1, 2 ) ist ein Körper, falls: (M, 1 ) abelsche Gruppe mit Einselement e 1, (M {e 1 }, 2 ) abelsche Gruppe mit Einselement e 2, Distributivgesetz gilt: a,b,c M : a 2 (b 1 c) = a 2 b 1 a 2 c Alternativ: Körper Sei A = (M, 1, 2 ) ein Ring. Falls (M {e 1 }, 2 ) abelsche Gruppe dann ist R ein Körper. Beispiele: (Q, +, ), (R, +, ) Korollar: Sei K Körper, dann ist K = K 0 Jeder Körper ist ein Integritätsbereich nullteilerfrei 3.4 Sätze von Euler und Fermat Eulersche ϕ-funktion Korollar 3.7: a) Es ist ϕ(m) = {a Z m (a, m) = 1} b) Für p P : ϕ(p) = p 1 ϕ : N N : ϕ(m) = ord Z m = Z m Korollar 3.8: Sei p P, α N, α 2, dann gilt ϕ(p α ) = p α 1 (p 1) Sei a = c b und c und b teilerfremd, dann gilt: ϕ(a) = ϕ(b c) = ϕ(b) ϕ(c) Weitere Beobachtung: Ergebnis von ϕ ist immer eine gerade Zahl. Satz von Euler a Z m : a ϕ(m) = 1(m) 5

6 Kleiner Satz von Fermat Sei p P a F p : a p 1 = 1(p) Äquivalent dazu: a m = a(m) Korollar: a) Sei p P und a N = 1, dann ist a p 1 = 1(p) b) Sei n N und a N mit (a, b) = 1 und a n 1 1(n), dann ist n / P 3.5 Polynome 4 Erweiterung endlicher Körper 5 Modulare Arithmetik 5.1 Algorithmus, der aus dem Chinesischen Restsatz resultiert Bedingung: gewählte Module müssen paarweile teilerfremd sein, also (m i, m j ) = Lineares Kongruenzgleichungssystem aufstellen x = a 1 (m 1 ) x = a 2 (m 2 )... x = a n (m n ) 2. Produkt M = m 1 m 2... m n der Moduln und M i = M m i berechnen 3. Inversen b i der M i modulo m i bestimmen b 1 M 1 = 1(m 1 ) b 2 M 1 = 1(m 2 )... b n M n = 1(m n ) 4. Gleichung lösen x = a 1 b 1 M 1 + a 2 b 2 M a n b n M n 6

7 5.2 Modulare Addition und Multiplikation 5.3 Effizientes Protenzieren b e (m) 1. Exponenten in Binärdarstellung umwandeln. Länge n feststellen 2. Faktoren a i, 0 i < n mitels wiederholten Quadrieren berechnen. Alles modulo m a 0 = b 20 = b 1 = b a 1 = b 21 = b 2 = b b a 2 = b 22 = b 4 = b 2 b 2 a 3 = b 23 = b 8 = b 4 b 4. a n = b 2n = b... = b 2k 1 b 2k 1 3. Produkt der a i berechnen, bei denen das i in der Binärdarstellung des Exponenten auf 1 gesetzt sind. Am einfachsten: Schrittweise bei gleichzeitiger Reduktion. 6 Primzahlen und Primzahltests Pseudoprimzahl Ist m N P mit (2, m) = 1 und 2 m = 2(m) Pseudoprimzahl. Anders ausgedrückt also Zahlen, bei denen der Fermat-Test prim? ausgeben würde, es aber keine Primzahlen sind. Andere Basen auch möglich: Dann pseudoprim zur Basis a. Carmichael-Zahlen Eine zusammengesetze Zahl m N, m 3 heißt Carmichel-Zahl für alle Basen a mit (m, a) = 1 der Fermat-Test prim? ausgibt. Fermat-Test m soll untersucht werden: Wähle (zufällig) a Z mit (a, m) = 1. Gilt: a m 1 = 1(m) bzw. a m = a(m) Ja prim? ansonsten Nein nicht prim!! Miller-Rabin Seien m N (die zu untersuchende Zahl). Bestimme s und d anhand Zerlegung, sodass gilt m 1 = 2 s d gilt mit s als größt möglichen Wert. b Z m ist die vorgegebene Basis. Ermittel Anzahl Elemente in b-sequenz und stell ggf. Exponenten auf Bilde die b-sequenzen. Angefangen bei b d kann man daraufhin immer das Ergebnis quadrieren. Letzes Element der b-sequenzen ist b 2s d 7

8 7 Kryptographie 8 Vektorräume Anzahl Elemte im Vektorraum über K mit K = k und dim(v) = n ist: V = k n Lin. Unabhängigkeit Verschiedene Möglichkeiten zur Prüfung: 1. Schnellste Lösung: Man sieht, dass sich ein Vektor aus den anderen erzeugen lässt. Dann lin. unab. 2. Falls eine quadratische Matrix erzeugt werden kann und Determinate 0, dann lin. unab. 3. Prüfe, ob für jede Linearkombination der Vektoren gilt: λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ n v n = 0 D.h. LGS aufstellen und auflösen. λ 1, λ 2, λ n = 0 Menge an Vektoren U V durch welche jeder Vektor im Raum darge- Erzeugendensystem stellt werden kann: Span U = V Basis Erzeugendensystem mit linear unabhängigen Vektoren Lösung für einen Ergebnisvektor ist eindeutig ( ) ( ) 1 0 Standardbasen: Z.b. für R 2 :, 0 1 Dimension Unterraum U 0 Die Anzahl Basisvektoren ist die Dimension des Vektorraums: dim(v) U V Bedingungen: a, b U : a + b U - Abgeschlossen λ K, a U : λa U - Linearkombination wieder im Unterraum 8.1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Matrixmultiplikation Die Anzahl an Spalten von A muß mit der Anzahl an Zeilen von B übereinstimmen. Die Matrixmultiplikation ist assoziativ, aber im allgemeinen nicht kommutativ. Lineare Abbildung falls 8

9 Zeilenreduktion Elementaroperationen: C(i, j) : Vertauschen der Zeilen i und j M(i, α) Multiplikation aller Elemente von Zeile i mit dem α-fachen S(i, j, α) Addition aller Elemente von Zeile i mit den α-fachen der Elemente der j-ten Zeile Für eine Matrix in Zeilenstufenform gelten folgende drei Eigenschaften: 1. Das erste von Null verschiedene Element einer Zeile ist 1. Dieses Element heißt Pivot oder Pivotelement 2. Das Pivotelement in Zeile i + 1 steht rechts von dem in Zeile i. 3. Alle Spaltenelemente oberhalb eines Pivots sind Null. Rang einer Matrix einer Matrix. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen- bzw. Spaltenvektoren Invertierbarkein von Matrixen Gdw die Determinate ungleich Null ist. Gaußsches Eliminationsverfahren Zum Lösem von LGS in Matrixform. 1. Erweiterte Koeffizientenmatrix (A b) aufstellen. 2. Zeilenreduktionen anwenden bis Einheitsmatrix eingebaut ist 3. Rang bestimmen 4. Anhand dessen kann man feststellen, ob LGS keine: rang(a b) > rang(a) (bedeutet, dass in der b-spalte steht ein Pivot) eine eindeutige: rang(a b) = rang(a) = n oder mehrdeutige Lösungen: rang(a b) = rang(a) < n hat. 5. Dimension feststellen: dim() = n rang(a). Nun weiß man die Anzahl Basisvektoren. 6. Wähle allgemeine λ Lösung (?!) 9