Ganzzahlige Division mit Rest

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1 Modulare Arithmetik Slide 1 Ganzzahlige Division mit Rest Für a,b Æ mit a b gibt es stets eine Zerlegung von a der Form a = q b+r mit 0 r b 1. Hierbei gilt q = a b (salopp formuliert: b passt q-mal in a rein) und r = a q b ist der ganzzahlige Rest. Zum Beispiel gilt für a = 99 und b = 15: 99 = Somit: q = 6 und r = 9.

2 Modulare Arithmetik Slide 2 Schema des Euklidischen Algorithmus Berechnung des ggt(a 0,a 1 ) durch iterierte ganzzahlige Division mit Rest a 0 = q 1 a 1 +a 2 a 2 = q 1 a 1 +a 0 a 1 = q 2 a 2 +a 3 a 3 = q 2 a 2 +a 1 a i = q i+1 a i+1 +a i+2 a i+2 = q i+1 q i+1 a i+1 +a i a k 2 = q k 1 a k 1 +a k a k = q k 1 a k 1 +a k 2 a k 1 = q k a k Es gilt dann ggt(a 0,a 1 ) = ggt(a 1,a 2 ) = = ggt(a k 2,a k 1 ) = ggt(a k 1,a k ) = a k und a k = x i a i+1 +y i a i für geeignete x i,y i.

3 Modulare Arithmetik Slide 3 ggt als ganzzahlige Linearkombination Aus dem Schema des Euklidischen Algorithmus ergibt sich folgende rekursive Berechnung der x i,y i (zu Herleitung s. unten): x k 2 = q k 1 und y k 2 = 1 x i = y i+1 x i+1 q i+1 und y i = x i+1 berechnet werden. Insbesondere gilt: ggt(a 0,a 1 ) = a k = x 0 a 1 +y 0 a 0. Induktive Herleitung der Rekursionsformel: Aus a i+2 = q i+1 a i+1 +a i und a k = x i+1 a i+2 +y i+1 a i+1 ergibt sich a k = x i+1 ( q i+1 a i+1 +a i )+y i+1 a i+1 = (y i+1 q i+1 x i+1 ) a i+1 +x i+1 a }{{}}{{} i. =:x i =:y i

4 Modulare Arithmetik Slide 4 Beispiellauf zum erweiterten Euklidischen Algorithmus Zur Berechnung von ggt(392,252) erhalten wir mit a 0 = 392, a 1 = 252 unter Anwendung von x k 2 = q k 1 und y k 2 = 1 und die folgende Rechnung: x i = y i+1 x i+1 q i+1 und y i = x i+1 i a i a i+1 q i+1 = a i /a i+1 x i y i Test: 28 = ggt(392,252) = =

5 Modulare Arithmetik Slide 5 kgv-berechnung Invertieren modulo m Simultane Kongruenzen Restklassenringe Modulare Arithmetik Euler sche Funktion Sätze von Fermat und Euler

6 Modulare Arithmetik Slide 6 kgv-berechnung Aus den Primfaktorzerlegungen r a = i=1 p e i i und b = r i=1 mit ganzen Zahlen e i,f i 0 ergibt sich r ggt(a,b) = p min{e i,f i } i und kgv(a,b) = und somit i=1 p f i i a b = ggt(a,b) kgv(a,b). r i=1 p max{e i,f i } i Ein Algorithmus zur Berechnung des ggt liefert damit auch die Berechnung von ab kgv(a,b) = ggt(a,b).

7 Modulare Arithmetik Slide 7 (Multiplikative) Invertierbarkeit von zu m teilerfremden Zahlen Problemstellung: Gegeben a m mit ggt(a,m) = 1, finde b m mit ab 1 (mod m). Lösungsmethode: Bestimme mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus x,y mit Hieraus folgt: Setze b := x mod m. ax+my = ggt(a,m) = 1. 1 ax+my ax+0 ax (mod m).

8 Modulare Arithmetik Slide 8 Nicht-Invertierbarkeit von zu m nicht teilerfremden Zahlen Betrachte ein a m mit ggt(a,m) = d 2 und setze b = m d m \{0} und c = a d m. Dann gilt: a b a m d a m c m 0 (mod m) d Wegen a b 0 mit b 0 heißt a ein Nullteiler. Falls zusätzlich a 0, dann heißt a ein nicht-trivialer Nullteiler. Ein Nullteiler kann wegen kein Inverses x mit x a 1 besitzen. (x a) b x (a b) x 0 0 Schlussfolgerung: Ein kleinster Rest modulo m ist genau dann invertierbar, wenn er zu m teilerfremd ist.

9 Modulare Arithmetik Slide 9 Erfüllen simultaner Kongruenzen Problemstellung: Für paarweise teilerfremde m 1,...,m k und m = k i=1 m i finde x m mit x b 1 (mod m 1 ),...,x b k (mod m k ). Lösungsmethode: 1. Bestimme M i = m/m i und M i = M i mod m i für i = 1,...,k. Es gilt: ggt(m i,m i ) = ggt(m i,m i) = 1 und M i 0 (mod m j ) für alle j i. 2. Bestimme x i mit x i M i 1 (mod m i) für i = 1,...,k. Verwende hierzu den erweiterten Euklidischen Algorithmus oder Raten und Verifizieren. 3. Bestimme u i = x i M i mod m für i = 1,...,k. Es gilt: u i 1 (mod m i ) und u i 0 (mod m j ) für alle j i. 4. Bestimme die Lösung x = k i=1 u ib i mod m. Lösung in m ist eindeutig! Warum?

10 Modulare Arithmetik Slide 10 Chinesischer Restsatz Für paarweise teilerfremde m 1,...,m k und m = k i=1 m i gibt es für jede Wahl von b 1 m1,...,b k mk genau ein x m, das die simultanen Kongruenzen erfüllt. x b 1 (mod m 1 ),...,x b k (mod m k )

11 Modulare Arithmetik Slide 11 Beispiellauf zum Chinesischen Restsatz Für m 1 = 8,m 2 = 9,m 3 = 5 und m = m 1 m 2 m 3 = = 360 suchen wir nach einem x m, das die simultanen Kongruenzen x 7 (mod 8), x 1 (mod 9), x 3 (mod 5) erfüllt. Dazu gehen wir vor wie folgt: 1. M 1 = m 2 m 3 = 9 5 = 45,M 2 = m 1 m 3 = 8 5 = 40,M 3 = m 1 m 2 = 8 9 = 72. M 1 = 45 mod 8 = 5, M 2 = 40 mod 9 = 4, M 3 = 72 mod 5 = Wegen (mod 8), (mod 9) und (mod 5) gilt x 1 = 5, x 2 = 7 und x 3 = u 1 = 5 45 mod 360 = 225, u 2 = 7 40 mod 360 = 280, u 3 = 3 72 mod 360 = x = mod 360 = 343.

12 Modulare Arithmetik Slide 12 Eine Kollektion von abstrakten Rechenregeln 1. a,b,c M : (a+b)+c = a+(b+c) M, a M : 0+a = a+0 = a. 3. a M, a M : ( a)+a = a+( a) = a,b M : a+b = b+a. 5. a,b,c M : (a b) c = a (b c). 6. a,b,c M : a (b+c) = a b+a c und (b+c) a = b a+c a M, a M : 1 a = a 1 = a. 8. a,b M : a b = b a. 9. a M \{0}, a 1 M \{0} : a 1 a = a a 1 = 1. Hierbei steht M für (irgend-)eine Menge mit (irgendwie definierten) binären Operationen + und.

13 Modulare Arithmetik Slide 13 Gruppen, Ringe und Körper (M, +) ist eine (additive) Gruppe 1.,2.,3. (M, +) ist eine (additive) abelsche Gruppe 1.,2.,3.,4. (M,+, ) ist ein Ring 1.,...,6. (M,+, ) ist ein kommutativer Ring mit Einselement 1.,...,8. (M,+, ) ist ein Körper 1.,...,9. Beispiele für kommutative Ringe mit Einselement: (,+, ) und ( m,+, ). In ( m,+, ) ist für a 0 das additive Inverse a identisch mit m a: a+(m a) = m 0 (mod m). Beispiele für Körper: (É,+, ), (Ê,+, ) und (,+, ).

14 Modulare Arithmetik Slide 14 Prime Restklassen In gibt es multiplikative Inverse a 1 nur für a {1, 1}. In m hingegen sind genau die zu m teilerfremden kleinsten Reste invertierbar. Wir definieren: m = {a m x m : a x 1 (mod m)} = {a m ggt(a,m) = 1} Bemerkung ( m, ) ist eine (multiplikative) abelsche Gruppe genannt die Gruppe der primen Restklassen. Folgerung: Für eine Primzahl p gilt p = p \{0}. Somit ist ( p,+, ) ein Körper.

15 Modulare Arithmetik Slide 15 Beispiel: Prime Restklassen modulo 9 Die Multiplikationstafel für 9 = {1,2,4,5,7,8} sieht aus wie folgt: Es gilt:: (mod 9). Also sind 3 und 6 in 9 nicht-triviale Nullteiler.

16 Modulare Arithmetik Slide 16 Algebraische Struktur der Restklassenringe Für paarweise teilerfremde m 1,...,m k und m = k i=1 m i ist Abbildung h : m m1 mk, gegeben durch h(a) = (a mod m 1,...,a mod m k ), eine Bijektion und erfüllt die Homomorphiebedingung h(a+b) = h(a)+h(b) und h(a b) = h(a) h(b), d.h., die Ringe ( m,+, ) und ( m1 mk,+, ) sind isomorph (strukturgleich): ( m,+, ) ( m1 mk,+, ). Analog liefert h eingeschränkt auf m einen Gruppenisomorphismus: ( m, ) ( m 1 m k, ).

17 Modulare Arithmetik Slide 17 Modulare Arithmetik Ansatz Sei m = k i=1 m i für paarweise teilerfremde m i (zum Beispiel die Primzahlpotenzen der Primfaktorzerlegung von m). Rechnen modulo m 1,...,m k (kleine Zahlen) ist leichter als Rechnen modulo m (große Zahlen). Führe also die Rechnung modulo der m i aus und übertrage das Ergebnis mit Hilfe des Chinesischen Restsatzes in m. Beispiel: m = 360 = Um mod 360 zu berechnen, nutze eine Hilfsabbildung h : und gehe vor wie folgt: h (199 mod 8,199 mod 9,199 mod 5) = (7,1,4), 217 h (217 mod 8,217 mod 9,217 mod 5) = (1,1,2). 2. (7,1,4) (1,1,2) = (7,1,3) in (7,1,3) h (Hierzu s. den früheren Beispiellauf zum chinesischen Restsatz.)

18 Modulare Arithmetik Slide 18 Die Euler sche Funktion Die Funktion ϕ, gegeben durch ϕ(m) := m, heißt Euler sch. Für eine Primzahl p gilt ϕ(p) = p 1. Da die nicht zu p teilerfremden Zahlen in p r gerade die Zahlen 0,p,2p,...,(p r 1 1)p sind (p r 1 viele), gilt ϕ(p r ) = p r p r 1 = (p 1)p r 1. Für m mit Primfaktorzerlegung m = k i=1 pr i i ergibt ( sich wegen m, ) p r ( 1 1 p m k, ): k ϕ(m) = k k ϕ(p r i i ) = (p i 1)p r i 1 i=1 i=1 i.

19 Modulare Arithmetik Slide 19 Der kleine Satz von Fermat Satz (Fermat): n 2 ist genau dann eine Primzahl, wenn die Bedingung erfüllt ist. a n \{0} : a n 1 1 (mod n)

20 Modulare Arithmetik Slide 20 Der Satz von Euler Satz (Euler): Für alle n 2 und alle a n gilt a ϕ(n) 1 (mod n). Folgerung: Bei einer Potenz modulo n mit einer Basis aus n darf man im Exponenten modulo ϕ(n) rechnen. Beispiel: Bei Rechnungen modulo 13 dürfen wir zur Basis 7 im Exponenten modulo 12 rechnen: mod (mod 13).