χ a : N + {0, 1, 1} {( a χ a (n) = χ a (n ). ψ(mn) < ψ(m)ψ(n).
|
|
- Julius Waltz
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 September 007, Zahlentheorie 1 a) Formulieren Sie das quadratische Reziprozitätsgesetz einschließlich der Definitionen der Legendre- und Jacobi-Symbole. b) Für a Z \ {0} definieren wir durch χ a (n) = χ a : N + {0, 1, 1} {( a ) falls ggt(n, a) = 1 n 0 sonst. Zeigen Sie, dass für n, n mit n n (mod 4 a ) gilt χ a (n) = χ a (n ). c) Finden Sie die kleinste Zahl N a, so dass χ a (n) = χ a (n ) für n n (mod N a ) in den Fällen a = 1, 3,,. September 007, Zahlentheorie Sei m 1 eine natürliche Zahl. Sei ψ(m) die Maximalordnung eines Elements von (Z/mZ) = R (m). a) Zeigen Sie, dass gilt: ψ(m) ϕ(m) (m 1). b) Sei p eine Primzahl, k 1. Bestimmen Sie ψ(p k ). c) Für m, n > ; m, n teilerfremd zeigen Sie, dass gilt ψ(mn) < ψ(m)ψ(n). Kommentar vom Hiwi: Mit Maximalordnung ist die maximale Ordnung, also das Maximum über die jeweils auftretenden Ordnungen gemeint. 1
2 März 007, Zahlentheorie 1 Sei p Z eine Primzahl, Z/pZ der Körper der Reste modulo p; a, b, c Z/pZ, dabei a 0. a) Wie viele Elemente hat das Bild der quadratischen Funktion ϕ : Z/pZ Z/pZ, x ϕ(x) = ax + bx + c? b) Hat die quadratische Gleichung ax + bx + c = 1 für den Fall p = 61, a = 1, b =, c = 38 Lösungen? März 007, Zahlentheorie Seien m, n N natürliche Zahlen, d = ggt(m, n) der größte gemeinsame Teiler. a) Zu zeigen: Jede genügend große natürliche Zahl der Form r d, r N, kann in der Form rd = α m + β n mit α, β N {0} geschrieben werden. b) Finden Sie eine Lösung (α, β) wie oben im Fall m = 9, n = 31, r = 901, d = 1. September 006, Zahlentheorie 1 (und Kryptographie 1) a) Formulieren und begründen Sie den euklidischen Algorithmus. b) Lösen Sie 95x + 43y = 1 in ganzen Zahlen x, y. c) Finden Sie eine Lösung von 35x + 55y + 77z = 3, x, y, z ganze Zahlen 0.
3 September 006, Zahlentheorie a) Zu zeigen: Jede sechsstellige Zahl der Form abcabc ist durch 7, 11 und auch durch 13 teilbar. b) Zu zeigen, dass (k Ziffern), k, keine Quadratzahl ist. (Hinweis: Betrachten Sie Reste mod l, l geeignet) März 006, Zahlentheorie 1 a) Definieren Sie den Begriff multiplikative Funktion. Zeigen Sie, dass die Eulerfunktion ϕ und die Funktion σ (für n N sei σ(n) die Summe der Teiler von n) multiplikative Funktionen sind. b) Zeigen Sie, dass für eine Primzahl p N und k N gilt. σ(p k )ϕ(p k ) = p k (1 1 p k+1) c) Folgern Sie die Existenz einer positiven Zahl C R so, dass für alle n N n C < ϕ(n)σ(n) < n gilt. Kommentar vom Hiwi: In c) sei n > 1 oder ersetze in diesem Fall das zweite <-Zeichen durch ein -Zeichen. März 006, Zahlentheorie Zeigen Sie: a) Ist das Produkt mn zweier teilerfremder natürlicher Zahlen n, m eine Quadratzahl, dann sind auch n und m Quadratzahlen. b) Zu drei paarweise teilerfremden natürlichen Zahlen a, b, c mit geradem b, welche die Gleichung a + b = c erfüllen, gibt es natürliche Zahlen u, v mit a = u v, b = uv, c = u + v. 3
4 September 005, Zahlentheorie 1 a) Sei p eine ungerade Primzahl und a eine ganze, nicht durch p teilbare Zahl. Zeigen Sie, dass die Kongruenz x a (mod p ) genau dann lösbar ist, wenn a quadratischer Rest modulo p ist, und dann genau zwei Lösungen modulo p besitzt. b) Entscheiden Sie, ob die Kongruenzen bzw. x 8 (mod 89) x 4 8 (mod 89) lösbar sind und bestimmen Sie gegebenenfalls die Lösungen. September 005, Zahlentheorie Zeigen Sie: a) n 3 = n (n+1) 4 für n N. b) Ist p eine ungerade Primzahl und schreibt man (p 1) 3 als gekürzten Bruch, so ist der Zähler durch p teilbar. März 005, Zahlentheorie 1 (und Algebra-Zahlentheorie ) a) Sei R = {x Q: es gibt m, n > 0 mit m 3 n x Z}. Zeigen Sie, dass R ein Ring ist. b) Zeigen Sie, dass R ein Hauptidealring ist. Beschreiben Sie die Ideale. c) Zeigen Sie, dass die Einheitengruppe R von R zu Z/Z Z Z isomorph ist. 4
5 März 005, Zahlentheorie Zu zeigen für die Eulersche ϕ-funktion a) Sind d, n N, d teilt n = ϕ(d) teilt ϕ(n). b) Für n gilt: d N, d n, (d, n)=1 d = n ϕ(n). c) Sei ϕ(n) mod 4. Dann folgt: n = p a oder n = p a mit p Primzahl. September 004, Zahlentheorie 1 Seien a, b, c ganze Zahlen, die der Gleichung a + b = c genügen, so ist wenigstens eine der drei Zahlen durch 3 und eine durch 5 teilbar. September 004, Zahlentheorie a) Seien m, n 1 natürliche Zahlen. Sei S = {mk + nl k, l Z}; sei d = Min{s S s > 0}. Zeigen Sie, dass d der größte gemeinsame Teiler von m und n ist. b) Seien m und n wie oben. Sei S = {mk nl k, l 1, mk > nl}. Zeigen Sie, dass Min S wieder der größte gemeinsame Teiler von m und n ist. c) Sei m = , n = Zeigen Sie, dass m und n teilerfremd sind. Zeigen Sie auch, dass weder m noch n eine Primzahl ist. Zeigen Sie, dass der Rest, wenn m durch n geteilt wird, gleich ist. März 004, Zahlentheorie 1 a) Berichten Sie über die Theorie der Primitivwurzeln. b) Wie viele Primitivwurzeln (mod 7) gibt es? Wie viele (mod 6)? 5
6 c) Schreiben Sie alle Restklassen (mod 7) auf, die teilerfremd zu 7 sind. Auf diesem Weg finden Sie alle Lösungen der Kongruenz x 6 + y 6 = (mod 7). (Geben Sie die möglichen Werte von X = x 6 und Y = y 6 an; für die verschiedenen X, Y geben Sie die entsprechenden x, y an.) März 004, Zahlentheorie a) Für eine ungerade Primzahl p und a teilerfremd zu p zeigen Sie, dass, wenn x a (mod p) lösbar ist, dann ist auch für alle k 1 ebenfalls lösbar. x a (mod p k ) b) Ist die Aussage von a) richtig, wenn die Bedingung a teilerfremd zu p weggelassen wird? Ist die Aussage richtig für p gerade? Begründen Sie ihre Antworten. c) Zeigen Sie, dass die Kongruenz (x 13)(x 17)(x 1) 0 (mod m) für alle m lösbar ist. Gibt es ganzzahlige Lösungen von September 003, Aufgabe 1 (x 13)(x 17)(x 1) = 0? a) Formulieren Sie den kleinen Fermatschen Satz und den Wilsonschen Satz. b) Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie, dass 1 (p 1) ( 1) p 1 1 p 1 ( 1) p 1 ( p 1! p 1 1 ) (mod p). c) Ist p eine Primzahl mit p 3 (mod 4), so gilt p 1! ±1 (mod p). Berechnen Sie die Werte von p 1! (mod p) für die ersten 6 Primzahlen dieser Art. Kommentar vom Hiwi: In b) sei p. 6
7 September 003, Aufgabe a) Definieren Sie die Eulersche ϕ-funktion. b) Beweisen Sie die Multiplikativität dieser Funktion. c) Für welche natürlichen n gilt ϕ(n) = ϕ(3n)? September 003, Aufgabe 3 Seien p und q = p 1 Primzahlen. a) Welche Zahlen kommen als Ordnungen in der primen Restklassengruppe modulo p für a, p a, in Frage? b) Zeigen Sie im Fall p 3 (mod 4): ist keine Primitivwurzel modulo p, so ist eine Primitivwurzel modulo p. c) Beweisen Sie im Fall p 3 (mod 8), dass eine Primitivwurzel modulo p ist. März 003, Aufgabe 1 a) Welche ganzen Zahlen n lassen sich darstellen in der Form n = x y mit x, y Z? b) Zeigen Sie, dass jede ganze Zahl n eine Darstellung mit x, y, z Z hat. März 003, Aufgabe n = x + y z Für n N sei σ(n) die Summe aller positiven Teiler von n. Zeigen Sie a) σ(n) ist multiplikativ, b) σ(p k ) = pk+1 1 p 1 für p prim, k N, c) σ(n) ist genau dann ungerade, wenn n oder n eine Quadratzahl ist. 7
8 März 003, Aufgabe 3 a) Formulieren Sie das Quadratische Reziprozitätsgesetz. Für eine von und 5 verschiedene Primzahl p folgern Sie, dass ( 5 p) = 1 genau dann gilt, wenn p 1 (mod 5) oder p 4 (mod 5). b) Es sei F n, n 0 die (Fibonacci-)Folge, die durch F 0 = 1, F 1 = 1 und F n+ = F n+1 + F n für n 0 definiert wird. Es sei p eine Primzahl und p 1 (mod 5). Zeigen Sie, dass es a, a (mod p) und c (mod p) gibt mit F n c(a n+1 a n+1 ) (mod p). (Die Restklasse von c wird durch c(a a ) 1 (mod p) bestimmt.) September 00, Aufgabe 3 Es sei f(x) = 0 15 x + 31x a) Hat f(x) 0 (mod 7) eine Lösung? b) Hat f(x) 0 (mod 31) eine Lösung? c) Hat f(x) = 0 eine ganzzahlige Lösung? September 00, Aufgabe 4 Seien a, m, n natürliche Zahlen, a > 1. Man zeige: a) Ist d ein gemeinsamer Teiler von m, n, so ist a d 1 ein gemeinsamer Teiler von a m 1 und a n 1. b) Ist m > n und r der Rest von m bei Division durch n, so ist ein gemeinsamer Teiler von a m 1 und a n 1 auch Teiler von a r 1. c) Es gilt ggt(a m 1, a n 1) = a ggt(m,n) 1 September 00, Aufgabe 5 a) Definieren Sie die Möbius-Funktion µ(n). b) Folgern Sie aus dieser Definition, dass { 1 für n = 1 µ(d) = 0 für n > 1 gilt. d n 8
9 c) Sei F n (x) = d n µ(d)x d und n = p l 1 a... p l k k die Primfaktorzerlegung von n. Zeigen Sie, dass sich F n (x) durch die Rekursion f 1 (x) := x x p 1 f j (x) := f j 1 (x) f j 1 (x p j ), (1 < j k) zu berechnet. F n (x) = f k (x) Frühjahr 00, Aufgabe 3 a) Zeigen Sie, dass N! K!(N K)! := ( N K) ganz ist (0 K N). (K )! (K )! b) Zeigen Sie, dass (K 1) und K ganz sind, und K!(K 1)! K!(K 1)! schließen Sie daraus, dass (K )! für K 1 ebenfalls ganz ist. K!(K 1)! c) Zeigen Sie, dass die Taylorentwicklung von (1 x) 1 um x = 0 lautet: 1 1 x 1 8 x 1 16 x x (K )! K 1 K!(K 1)! xk... Folgern Sie, dass die Nenner der Taylorkoeffizienten sämtlich Potenzen von sind. Frühjahr 00, Aufgabe 4 Sei p eine Primzahl. a) Erklären Sie das Legendre-Symbol ( r p) und zeigen Sie ( )( ) ( ) r s rs = p p p für ganze Zahlen r, s, die 0 und teilerfremd zu p sind. b) Zeigen Sie, dass 1 quadratischer Rest mod p für jede Primzahl p 1 mod 4 ist. c) Ermitteln Sie, ob 646 ein quadratischer Rest mod 419 ist. 9
10 September 001, Aufgabe 3 a) Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen n, für die das Produkt ihrer Teiler n ergibt: d = n. d n b) Sei p eine Primzahl. Verallgemeinern Sie Ihr Resultat in a) auf den Fall d = n p. September 001, Aufgabe 4 d n Sei p > eine Primzahl. Beweisen Sie: a) Die Quadrate x mod p ohne die Nullklasse bilden bezüglich der Multiplikation eine Untergruppe der Ordnung p 1 und vom Index in der multiplikativen Gruppe von Z/pZ. b) Die Quadrate x mod p (einschließlich der Nullklasse) bilden keine Untergruppe in der additiven Gruppe von Z/pZ. c) Jede Restklasse mod p ist Summe von zwei Quadraten, d. h. zu jedem ganzen a gibt es ganze Zahlen x und y mit a x + y mod p. d) Stellen Sie jede Restklasse mod 7 als Summe von zwei Quadraten dar. März 001, Aufgabe 4 a) Formulieren Sie das quadratische Reziprozitätsgesetz (einschl. Ergänzungssätze) für das Jacobi-Symbol. Erklären Sie alle nötigen Begriffe. b) Seien a, b Z, a, b ungerade, b ±1, a > b, ggt(a, b) = 1. Zeigen Sie, dass es ein k Z gibt, so dass folgende Aussagen gelten (i) a kb < b (ii) a kb 1 (mod ). c) Sei [ a b] definiert für a, b Z, a, b ungerade mit ggt(a, b) = 1. Wir setzen voraus, dass Folgendes gilt: (1) [ a b] = [ b a ] 10
11 () [ ] [ a b = a ] b falls a a (mod b). Zeigen Sie: [ a b] = [ 1 1]. Kommentar vom Hiwi: In c) soll [ a b] nicht die Gaußklammer darstellen, sondern ein Symbol, das abhängig von seinen zwei Einträgen definiert ist wie genau, ist unbekannt und egal, bekannt sind nur die beiden Eigenschaften (1) und (). März 001, Aufgabe 5 Wie viele Nullen treten am Ende der Dezimal- bzw. Dualdarstellung von 100! auf? Welches sind die letzten beiden Ziffern von 3 53 in der Dezimaldarstellung? März 001, Aufgabe 6 Seien a, b teilerfremde ganze Zahlen. Zeigen Sie, dass jede Strecke der Länge a + b auf der Geraden ax + by = 1 einen Punkt (x, y) mit ganzzahligen Koordinaten enthält. September 000, Aufgabe 7 Seien a, b, c und m ganze Zahlen. Geben Sie mit Beweis Kriterien dafür an, dass folgende Kongruenzen lösbar sind: a) ax b mod m b) ax + by c mod m c) Entscheiden Sie, ob das Kongruenzsystem { 3x + 5y 1 mod 15 x + 7y 3 mod 14 eine Lösung in ganzen Zahlen x, y hat und berechnen Sie gegebenenfalls eine Lösung. 11
12 September 000, Aufgabe 8 Sei n N Produkt paarweise verschiedener, ungerader Primzahlen und sei a Z mit (a, n) = 1. a) Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind: (i) Die Kongruenz x a mod n ist lösbar. (ii) Für alle Primteiler p von n gilt ( a p) = 1. b) Entscheiden Sie, ob x a mod 105 für a = 19, 5, 79 lösbar ist und konstruieren Sie gegebenenfalls eine Lösung. März 000, Aufgabe 7 a) Bestimmen Sie die quadratischen Reste modulo 3, 5 und 8. b) Erfüllen die ganzen Zahlen a, b, c die Gleichung a + b = c, (1) so zeige man, dass 3, 4 und 5 das Produkt abc teilen. c) Man folgere, dass nicht alle drei Zahlen a, b, c, die (1) genügen, Primzahlen sein können. März 000, Aufgabe 8 Beweisen Sie unter Benutzung des Fundamentalsatzes der elementaren Zahlentheorie folgende Irrationalitätsaussagen für reelle Zahlen: a) Ist m N keine k-te Potenz, so ist k m irrational. b) Sind m und n quadratfreie natürliche Zahlen 1, so ist m + n irrational. c) Die Menge {log p p Primzahl} ist linear unabhängig über Q. September 1999, Nachschreibeklausur, Aufgabe 5 Man berechne den größten gemeinsamen Teiler von 59 und 511. Wie viele Lösungen modulo 511 hat die Kongruenz Man bestimme alle diese Lösungen. 59x 385 (mod 511)? 1
13 September 1999, Nachschreibeklausur, Aufgabe 6 Sei p eine Primzahl. Man zeige ( ) p p n für n = 1,,..., p 1 und folgere für ganzzahliges a. (a + 1) p a p + 1 (mod p) September 1999, Aufgabe 7 Sei n eine natürliche Zahl und p eine Primzahl, die n nicht teilt. Beweisen Sie: a) Ist p = x + ny mit x, y N lösbar, so ist ( ) n p = 1. b) Ist p = x + 5y, x, y N, so ist p 1, 3, 7 oder 9 mod 0. c) Keine der Zahlen m 3 oder 7 mod 0 lässt sich in der Form m = x + 5y, x, y N darstellen. Kommentar vom Hiwi: In b) sei p 5. September 1999, Aufgabe 8 a) Geben Sie eine Definition der Möbius-Funktion µ an. Beweisen Sie aus Ihrer Definition, dass gilt: { 1 für n = 1 µ(d) = 0 für n > 1 d n b) Sei c N und sei f eine Funktion auf {0, 1,..., c 1}. Zeigen Sie, dass gilt: f(x) = µ(d) f(x) d c 0 x c ggt(x,c)=1 0 x c x 0 mod d c) Beweisen Sie, dass für die Eulersche ϕ-funktion gilt: ϕ(n) = d n µ(d) n d 13
14 März 1999, Aufgabe 7 a, b, c seien ganze Zahlen. a und b seien 0. a) Formulieren Sie ein Kriterium für die Lösbarkeit der Gleichung ax + by = c in ganzen Zahlen x und y. b) Beweisen Sie: Besitzt ax+by = c eine Lösung x 0, y 0 Z, so besitzt die Gleichung unendlich viele Lösungen x, y Z. c) Beweisen Sie: 13x + 57y = 531 ist in ganzen Zahlen lösbar. Geben Sie (mit Begründung) alle Lösungen x, y Z an. d) Besitzt die Gleichung aus c) auch Lösungen in positiven ganzen Zahlen, also mit x, y N? März 1999, Aufgabe 8 a) Definieren Sie das Jacobi-Symbol und formulieren Sie das Reziprozitätsgesetz nebst Ergänzungssätzen für das Jacobi-Symbol. b) Sei b eine ungerade natürliche Zahl und a eine zu b prime ganze Zahl. Beweisen Sie: Ist ( a b) = 1, so ist a kein quadratischer Rest mod b. c) Berechnen Sie die Jacobi-Symbole ( a 455) für a = 111, 113, 114. d) Entscheiden Sie, welche der a aus c) quadratische Reste mod 455 sind. Ältere Aufgaben Es waren in den 4 Stunden jeweils nur Aufgaben zu bearbeiten, die einzelnen Aufgaben waren umfangreicher. September 1998, Aufgabe 1 Sei p eine ungerade Primzahl. a) Beweise: Es gibt eine natürliche Zahl a mit ( a p) = 1. Im folgenden sei q die kleinste natürliche Zahl mit ( q p) = 1 b) Berechne q für p = 37, 47 und 71. Beweise die folgenden Eigenschaften von q: c) q ist eine Primzahl. 14
15 d) Ist k eine natürliche Zahl mit (k 1)q < p < kq, so ist ( kq p ) = 1. e) Für k = 1,..., q 1 gilt: ( kq p ) = 1. Folgere: q < p + 1. März 1996, Aufgabe 1 a) Warum ist eine Zahl n 1 mod 4 nicht als Summe zweier Quadrate darstellbar? b) Warum ist eine Zahl n 1 mod 8 nicht als Summe von 3 Quadraten darstellbar? c) n besitze eine Darstellung der Form n = a + b mit ggt(a, b) = 1. Dann besitzt n keinen Primteiler p 3 mod 4. d) Stelle die Zahlen 99, 159 und 0 als Summe von möglichst wenigen Quadraten dar. Begründen Sie, warum Sie mindestens so viele Quadrate benötigen. Frühjahr 1995, Aufgabe a) Man berechne die Jacobi-Symbole ( ) ( und 58 b) Sind die Kongruenzen lösbar? 105 x 46 bzw. 58 (mod 105) c) Besitzt die Primzahl p eine Darstellung p = x + 3y mit x, y N, so liegt p in einer der Restklassen 5 oder 11 (mod 4). September 1993, Aufgabe 3 Zu der natürlichen Zahl m existiere eine Primitivwurzel g mod m. a) Für welche n N ist g n wieder Primitivwurzel mod m? b) Wieviel inkongruente Primitivwurzeln mod m gibt es? c) Man zeige, daß das Produkt aller Primitivwurzeln aus einem Restsystem mod m kongruent 1 mod m ist, falls m 3, 4. Kommentar vom Hiwi: Ergänze in c) noch m )
16 März 199, Aufgabe a) Man formuliere und beweise den Kleinen Fermatschen Satz. b) Sei p eine von und 5 verschiedene Primzahl. Man zeige, daß unendlich viele Zahlen 9, 99, 999,... von p geteilt werden, ebenso unendlich viele der Zahlen 11, 111, 1111,... c) Welches sind die letzten beiden Ziffern von 7 3 im Zehnersystem? März 1991, Aufgabe Sei f(x) = x n +a n 1 x n a 0 mit a i Z und sei p k eine Primzahlpotenz, k 1. a) Man beweise: Ist w Z eine Lösung von f(x) 0 mod p k und f (w) 0 mod p, so ist v w f(w) f (w) mod p k+1 eine Lösung von f(x) 0 mod p k+1. b) Man bestimme alle Lösungen von x 3 + x mod
Probabilistische Primzahltests
Probabilistische Primzahltests Daniel Tanke 11. Dezember 2007 In dieser Arbeit wird ein Verfahren vorgestellt, mit welchem man relativ schnell testen kann, ob eine ganze Zahl eine Primzahl ist. Für einen
MehrAnhang I zur Vorlesung Kryptologie: Elementare Zahlentheorie
Anhang I zur Vorlesung Kryptologie: Elementare Zahlentheorie von Peter Hellekalek Fakultät für Mathematik, Universität Wien, und Fachbereich Mathematik, Universität Salzburg Tel: +43-(0)662-8044-5310 Fax:
MehrZahlentheorie. Daniel Scholz im Winter 2006 / 2007. Überarbeitete Version vom 7. September 2007.
Zahlentheorie Daniel Scholz im Winter 2006 / 2007 Überarbeitete Version vom 7. September 2007. Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung und Grundlagen 4 1.1 Einleitung............................. 4 1.2 Zahlensysteme..........................
Mehr2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik
Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 57 2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Uhr: Stunden mod 24, Minuten mod 60, Sekunden mod 60,... Rechnerarithmetik: mod 2 w, w {8, 16, 32,
Mehr11. Primfaktorzerlegungen
78 Andreas Gathmann 11 Primfaktorzerlegungen Euch ist sicher aus der Schule bekannt, dass sich jede positive ganze Zahl a als Produkt a = p 1 p n von Primzahlen schreiben lässt, und dass diese Darstellung
MehrKongruenzrechnung. 2 Kongruenzrechnung 7 2.1 Rechnenregeln Addition und Multiplikation... 7 2.2 Rechenregeln bzgl. verschiedener Moduln...
Kongruenzrechnung Inhaltsverzeichnis 1 Einführung und Definitionen 2 1.1 Einige Beispiele aus dem Alltag..................... 2 1.2 Kongruenzrechnung im Alltag und Rechenproben........... 3 1.3 Kongruenzen
MehrElementare Zahlentheorie (Version 1)
Elementare Zahlentheorie (Version (Winter Semester, 2005-6 Zur Notation N ist die Menge der natürlichen Zahlen:, 2, 3, 4, 5,... und so weiter. Z ist die Menge aller ganzen Zahlen:..., 4, 3, 2,, 0,, 2,
MehrQ(n) = n 0 +n 1 +n 2 +...+n k.
25 2 Kongruenzen Mit Hilfe der hier definierten Kongruenz können Aussagen über Teilbarkeit einfacher formuliert und bewiesen werden, und man erhält eine Differenzierung der Zahlen, die bezüglich einer
MehrLenstras Algorithmus für Faktorisierung
Lenstras Algorithmus für Faktorisierung Bertil Nestorius 9 März 2010 1 Motivation Die schnelle Faktorisierung von Zahlen ist heutzutage ein sehr wichtigen Thema, zb gibt es in der Kryptographie viele weit
MehrDer Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Proseminar: Das BUCH der Beweise Fridtjof Schulte Steinberg Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin 29.November 2012 1 / 20 Allgemeines Pierre de Fermat
MehrAufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008
Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin 1 Hausaufgaben vom 12.09.2007 Zahlentheorie 1 Aufgabe 1.1 Berechne die (quadratischen)
MehrRSA Verfahren. Kapitel 7 p. 103
RSA Verfahren RSA benannt nach den Erfindern Ron Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman war das erste Public-Key Verschlüsselungsverfahren. Sicherheit hängt eng mit der Schwierigkeit zusammen, große Zahlen
MehrElementare Zahlentheorie
Elementare Zahlentheorie Prof. Dr. L. Kramer WWU Münster, Sommersemester 2009 Vorlesungsmitschrift von Christian Schulte zu Berge 27. Juli 2009 Inhaltsverzeichnis 1 Primzerlegung 3 1.1 Grundlagen.............................................
MehrDivision Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema
Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x
MehrPrimzahltests G abor SAS 2002-2008
Primzahltests Gábor SAS 2002-2008 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung und Geschichte 4 1.1 Der Primzahlbegriff.......................... 4 1.2 Sieb von Eratosthenes........................ 5 1.3 Feststellung
MehrOft kommt es darauf an, Potenzen a n mod m zu berechnen. Dabei kann n eine sehr groÿe Zahl sein.
Oft kommt es darauf an, Potenzen a n mod m zu berechnen. Dabei kann n eine sehr groÿe Zahl sein. 3 1384788374932954500363985493554603584759389 mod 28374618732464817362847326847331872341234 Wieso kann ein
MehrAlgebra. Patrik Hubschmid. 8. Oktober 2013
Algebra Patrik Hubschmid 8. Oktober 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Fortführung der Gruppentheorie 7 1.1 Sylowsätze.................................... 7 3 Vorwort Dieses Skript zur Vorlesung Algebra im Wintersemester
MehrEinführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv
MehrVorlesung. 1 Zahlentheorie in Z. Leitfaden. 1.1 Teilbarkeit. Angela Holtmann. Algebra und Zahlentheorie. (natürliche Zahlen ohne die Null)
Algebra und Zahlentheorie Vorlesung Algebra und Zahlentheorie Leitfaden 1 Zahlentheorie in Z Bezeichnungen: Z := {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} (ganze Zahlen) und N := {1, 2, 3,...} (natürliche Zahlen
MehrZahlentheoretische Grundlagen der Public-Key Kryptographie und deren Behandlung im Mathematikunterricht
Zahlentheoretische Grundlagen der Public-Key Kryptographie und deren Behandlung im Mathematikunterricht Erik Einhaus Schriftliche Hausarbeit im Fach Mathematik Referent: Prof. Dr. Michael Hortmann Korreferent:
MehrEuklidischer Algorithmus, Restklassenring und seine Struktur, Chinesischer Restklassensatz
Tobias Kraushaar Kaiserstr. 178 44143 Dortmund Matr.- Nr.: 122964 Euklidischer Algorithmus, Restklassenring und seine Struktur, Chinesischer Restklassensatz 1. EINLEITUNG... 2 2. HAUPTTEIL... 3 2.1. Der
MehrMathematische Grundlagen der Kryptographie. 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe. Stefan Brandstädter Jennifer Karstens
Mathematische Grundlagen der Kryptographie 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe Stefan Brandstädter Jennifer Karstens 18. Januar 2005 Inhaltsverzeichnis 1 Ganze Zahlen 1 1.1 Grundlagen............................
MehrKapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe
Kapitel 4 Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform 4.1 Euklidische Ringe Die Ringe der ganzen Zahlen, Z, sowie Polynomringe über Körpern, K[X], wobei K ein Körper ist, haben die folgenden Gemeinsamheiten:
Mehr8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz
O Forster: Prizahlen 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz 81 Definition Sei eine natürliche Zahl 2 Eine ganze Zahl a heißt uadratischer Rest odulo (Abkürzung QR, falls die Kongruenz x 2 a od eine Lösung
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Informatik Medieninformatik Wirtschaftsinformatik Wirtschaftsingenieurwesen
MehrPrimzahltests für Mersenne-Primzahlen
Primzahltests für Mersenne-Primzahlen Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar zur Computeralgebra im WS 2010/2011 bei Frau Prof. Dr. G. Nebe, RWTH Aachen Michael H. Mertens Matrikelnummer: 289246 Inhaltsverzeichnis
Mehrvom ggt zu gpg Lars Fischer 1 30.05.2012 Die Mathematik von RSA Lars Fischer Intro Mathematik RSA Anhang 1 lars.scher (bei) gmx-topmail.
von Beweis von vom ggt zu gpg 1 30.05.2012 1 lars.scher (bei) gmx-topmail.de Inhaltsverzeichnis von Beweis 1 Einführung 2 von Rechnen mit n Beispiele & Regeln Der gröÿte gemeinsame Teiler Der euklidische
MehrZusatztutorium, 25.01.2013
Zusatztutorium, 25.01.2013 David Müßig muessig[at]mi.fu-berlin.de http://page.mi.fu-berlin.de/def/tutorium/ WiSe 12/13 1 Der Homomorphiesatz Der Homomorphiesatz scheint für viele eine Art rotes Tuch zu
MehrDas RSA-Kryptosystem
www.mathematik-netz.de Copyright, Page 1 of 12 Das RSA-Kryptosystem Um dieses Dokument verstehen zu können benötigt der Leser nur grundlegende Kenntnisse der Algebra und ein gewisses mathematisches Verständnis.
MehrKleiner Satz von Fermat
Kleiner Satz von Fermat Satz Kleiner Satz von Fermat Sei p P. Dann gilt a p a mo p für alle a Z. Wir führen zunächst eine Inuktion für a 0 urch. IA a = 0: 0 p 0 mo p. IS a a+1: Nach vorigem Lemma gilt
MehrPrimzahlzertifikat von Pratt
Primzahlzertifikat von Pratt Daniela Steidl TU München 17. 04. 2008 Primzahltests in der Informatik "Dass das Problem, die Primzahlen von den Zusammengesetzten zu unterscheiden und letztere in ihre Primfaktoren
MehrLineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der
MehrWas bisher geschah Kryptographische Systeme (M, C, K, e, d) Verfahren: symmetrisch klassisch: Verschiebechiffren (Spezialfall Caesar-Code)
Was bisher geschah Kryptographische Systeme (M, C, K, e, d) Verfahren: symmetrisch klassisch: Verschiebechiffren (Spezialfall Caesar-Code) Multiplikative Chiffren monoalphabetische Substitutions-Chiffren:
MehrModul Diskrete Mathematik WiSe 2011/12
1 Modul Diskrete Mathematik WiSe 2011/12 Ergänzungsskript zum Kapitel 4.2. Hinweis: Dieses Manuskript ist nur verständlich und von Nutzen für Personen, die regelmäßig und aktiv die zugehörige Vorlesung
MehrAUFGABEN ZUR KRYPTOLOGIE
AUFGABEN ZUR KRYPTOLOGIE Aufgabe 1 Der folgende Geheimtext ging hervor aus der Verschlüsselung eines deutschen Klartexts mit einem monoalphabetischen Chiffrierungsverfahren. nyv syv svdvu yst vyuv sglmdv
Mehr1. Modulare Arithmetik
1. Modulare Arithmetik Dreizehn Jahre lang hatten die Briten und Franzosen geglaubt, die Enigma- Verschlüsselung sei nicht zu knacken, doch nun schöpften sie Hoffnung. Die polnischen Erfolge hatten bewiesen,
MehrTeilbarkeit von natürlichen Zahlen
Teilbarkeit von natürlichen Zahlen Teilbarkeitsregeln: Die Teilbarkeitsregeln beruhen alle darauf, dass man von einer Zahl einen grossen Teil wegschneiden kann, von dem man weiss, dass er sicher durch
MehrKarlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. Stefan Kühnlein Dipl.-Math. Jochen Schröder Einführung in Algebra und Zahlentheorie Übungsblatt 2 Aufgabe 1 (4 Punkte) Seien
MehrEinführung in die Zahlentheorie und algebraische Strukturen
Einführung in die Zahlentheorie und algebraische Strukturen Wintersemester 2012/2013 Universität Bayreuth Michael Stoll Inhaltsverzeichnis 1. Wiederholung: Gruppen, Ringe, Körper 2 2. Teilbarkeitslehre
Mehr(2) (x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n)(y 2 1 + y 2 2 + + y 2 n) = z 2 1 + z 2 2 + + z 2 n
Über die Komposition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen 1. (Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 1898, S. 309 316.)
MehrKap. 8: Speziell gewählte Kurven
Stefan Lucks 8: Spezielle Kurven 82 Verschl. mit Elliptischen Kurven Kap. 8: Speziell gewählte Kurven Zur Erinnerung: Für beliebige El. Kurven kann man den Algorithmus von Schoof benutzen, um die Anzahl
MehrGF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1)
GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) Im Kapitel 2.1 wurde bereits gezeigt, dass die endliche Zahlenmenge {0, 1, 2, 3} q = 4 nicht die Eigenschaften eines Galoisfeldes GF(4) erfüllt. Vielmehr
Mehr2.2 Nebenklassen, Normalteiler und Faktorgruppen
Algebra I c Rudolf Scharlau, 2002 2012 61 2.2 Nebenklassen, Normalteiler und Faktorgruppen Bei der Konstruktion der Restklassengruppe Z/mZ hatten wir auf der Gruppe Z mit Hilfe einer Untergruppe mz eine
MehrDie Mathematik von RSA
Die Mathematik von RSA Eine Arbeit von Yimin Ge (yimin.ge@chello.at) August 2005 Inhaltsverzeichnis 0 Vorwort 2 1 Prinzip der Einwegverschlüsselung 3 2 Zahlentheoretische Grundlagen 4 2.1 Teilbarkeit und
MehrPraktikum Diskrete Optimierung (Teil 11) 17.07.2006 1
Praktikum Diskrete Optimierung (Teil 11) 17.07.2006 1 1 Primzahltest 1.1 Motivation Primzahlen spielen bei zahlreichen Algorithmen, die Methoden aus der Zahlen-Theorie verwenden, eine zentrale Rolle. Hierzu
MehrZuammenfassung: Reelle Funktionen
Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,
MehrFaktorisieren mit dem Quadratischen Sieb
Faktorisieren mit dem Quadratischen Sieb Ein Beitrag zur Didaktik der Algebra und Kryptologie Ralph-Hardo Schulz und Helmut Witten Eines der zur Zeit schnellsten Verfahren zur Faktorisierung ganzer Zahlen
MehrWintersemester 2005/2006 Gedächtnisprotokoll der mündlichen Prüfung
Wintersemester 2005/2006 Gedächtnisprotokoll der mündlichen Prüfung Ulrich Loup 24.03.2006 Prüfungsstoff: Alegebra I, Analysis IV, Graphentheorie I Prüfer: Prof. Dr. Wilhelm Plesken Protokollant: Dipl.
MehrDas RSA-Verfahren. Armin Litzel. Proseminar Kryptographische Protokolle SS 2009
Das RSA-Verfahren Armin Litzel Proseminar Kryptographische Protokolle SS 2009 1 Einleitung RSA steht für die drei Namen Ronald L. Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman und bezeichnet ein von diesen Personen
MehrFerienakademie 2001: Kryptographie und Sicherheit offener Systeme. Faktorisierung. Stefan Büttcher stefan@buettcher.org
Ferienakademie 2001: Kryptographie und Sicherheit offener Systeme Faktorisierung Stefan Büttcher stefan@buettcher.org 1 Definition. (RSA-Problem) Gegeben: Ò ÔÕ, ein RSA-Modul mit unbekannten Primfaktoren
MehrElementare Kryptographie
Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut für Mathematik Elementare Kryptographie Kai Gehrs gehrs@mupad.de Paderborn, 9. Juli 2007 Inhaltsverzeichnis Grundlagen:
Mehr01321 Mathematische Grundlagen der Kryptograe Vorbereitung auf die mündliche Prüfung Bei Prof. Unger
01321 Mathematische Grundlagen der Kryptograe Vorbereitung auf die mündliche Prüfung Bei Prof. Unger 1 Kryptograe im Allgemeinen Was ist Kryptographie? Kryptograe ist der sichere Nachrichtentransfer über
MehrRandomisierte Primzahltests Paul Gamper
Randomisierte Primzahltests Paul Gamper Seminar im Wintersemester 2006/07 Probability and Randomization in Computer Science 07.02.2007, Aachen 1 Abstract Nach einer Einführung, in der ich kurz auf die
MehrRinge. Kapitel 3. 3.1 Abelsche Gruppen, Ringe und Moduln
Kapitel 3 Ringe Gruppen- und Ringstrukturen sind uns schon in den verschiedensten Zusammenhängen begegnet. In diesem Kapitel wollen wir einige wichtige Klassen von Ringen im Hinblick auf Anwendungen in
MehrDiskrete Strukturen. Wilfried Buchholz. Skriptum einer 3-std. Vorlesung im Sommersemester 2009 Mathematisches Institut der Universität München
Disrete Struturen Wilfried Buchholz Sriptum einer 3-std. Vorlesung im Sommersemester 2009 Mathematisches Institut der Universität München 1 Vollständige Indution Wir setzen hier das System Z = {..., 2,
Mehr7 Rechnen mit Polynomen
7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn
MehrTechnische Informatik - Eine Einführung
Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Fachbereich Mathematik und Informatik Lehrstuhl für Technische Informatik Prof. P. Molitor Ausgabe: 2005-02-21 Abgabe: 2005-02-21 Technische Informatik - Eine
MehrErgänzungen zur Analysis I
537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.
MehrModerne mathematische Verfahren in der Kryptographie unter Anwendungsaspekten
Moderne mathematische Verfahren in der Kryptographie unter Anwendungsaspekten Wissenschaftliche Hausarbeit im Rahmen des ersten Staatsexamens für das Amt des Studienrates vorgelegt von Torsten Brandes
MehrGleichungen und Ungleichungen
Gleichungen Ungleichungen. Lineare Gleichungen Sei die Gleichung ax = b gegeben, wobei x die Unbekannte ist a, b reelle Zahlen sind. Diese Gleichung hat als Lösung die einzige reelle Zahl x = b, falls
Mehr5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56
5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken................................. 55 5. Erklärungen zu den Beweistechniken............................ 56 Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten
MehrKryptographie: Verteidigung gegen die dunklen Künste in der digitalen Welt
Kryptographie: Verteidigung gegen die dunklen Künste in der digitalen Welt Prof. Dr. Rüdiger Weis Beuth Hochschule für Technik Berlin Tag der Mathematik 2015 Flächendeckendes Abhören Regierungen scheitern
MehrElemente der Analysis II
Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel
MehrEinführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen
Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:
MehrSchulmathematik und Algorithmen der Computeralgebra
Schulmathematik und Algorithmen der Computeralgebra Prof. Dr. Wolfram Koepf Universität Kassel http://www.mathematik.uni-kassel.de/~koepf Tag der Mathematik 13. Dezember 2008 Universität Passau Überblick
MehrAnalysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 2015/16 Prof. Dr. M. Hinze Dr. P. Kiani Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lösungshinweise zu Blatt 2 Aufgabe 1: (12 Punkte) a) Beweisen
MehrComputeralgebra in der Lehre am Beispiel Kryptografie
Kryptografie Grundlagen RSA KASH Computeralgebra in der Lehre am Beispiel Kryptografie Institut für Mathematik Technische Universität Berlin Kryptografie Grundlagen RSA KASH Überblick Kryptografie mit
MehrDLP. Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de ALZAGK SEMINAR. Bremen, den 18. Januar 2011. Fachbereich Mathematik und Informatik 1 / 27
DLP Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de Fachbereich Mathematik und Informatik ALZAGK SEMINAR Bremen, den 18. Januar 2011 1 / 27 Inhaltsverzeichnis 1 Der diskrete Logarithmus Definition
MehrDie Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,
MehrEs gibt einen Algorithmus, der mit polynomialem Aufwand auskommt.
3 Primzahltests Eine Frage ist zur Durchführbarkeit des RSA-Verfahrens noch zu klären: Gibt es überhaupt Möglichkeiten, die für die Schlüsselerzeugung nötigen Primzahlen zu finden? Die Antwort wird lauten:
MehrVorbereitendes Material Mathematikturnier 2011: Restklassen und Kryptographie
Vorbereitendes Material Mathematikturnier 2011: Restklassen und Kryptographie Vorwort Dieses Jahr ist Kryptographie das Thema des Nachmittagswettbewerbs Sum of Us innerhalb des Mathematikturniers. Dieser
Mehr2. Diophantische Gleichungen
2. Diophatische Gleichuge [Teschl05, S. 91f] 2.1. Was ist eie diophatische Gleichug ud wozu braucht ma sie? Def D2-1: Eie diophatische Gleichug ist eie Polyomfuktio i x,y,z,, bei der als Lösuge ur gaze
Mehr3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper
32 Andreas Gathmann 3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper Wir haben bisher von den reellen Zahlen nur die Körpereigenschaften, also die Eigenschaften der vier Grundrechenarten ausgenutzt
MehrSeminar: Lösen Spezieller Gleichungen Wintersemester 2009/2010 Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter Betreuer: Stephen Enright-Ward
Seminar: Lösen Spezieller Gleichungen Wintersemester 2009/2010 Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter Betreuer: Stephen Enright-Ward Ort und Zeit: Dienstag, 14-16 Uhr, SR 127 Inhalt: Wir wollen uns in diesem
MehrAnhang IV zur Vorlesung Kryptologie: Public-Key Kryptographie
Anhang IV zur Vorlesung Kryptologie: Public-Key Kryptographie von Peter Hellekalek Fakultät für Mathematik, Universität Wien, und Fachbereich Mathematik, Universität Salzburg Tel: +43-(0)662-8044-5310
MehrBrückenkurs Mathematik, THM Friedberg, 15 19.9.2014
egelsammlung mb2014 THM Friedberg von 6 16.08.2014 15:04 Brückenkurs Mathematik, THM Friedberg, 15 19.9.2014 Sammlung von Rechenregeln, extrahiert aus dem Lehrbuch: Erhard Cramer, Johanna Neslehová: Vorkurs
Mehr7 Der so genannte chinesische Restsatz
7 Der so genannte chinesische Restsatz Der Chinese Sun Tsu stellte, so wird berichtet, in seinem Buch Suan-Ching ua die folgende Aufgabe: Wir haben eine gewisse Anzahl von Dingen, wissen aber nicht genau
MehrÜbungsbuch Algebra für Dummies
...für Dummies Übungsbuch Algebra für Dummies von Mary Jane Sterling, Alfons Winkelmann 1. Auflage Wiley-VCH Weinheim 2012 Verlag C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 3 527 70800 0 Zu Leseprobe
MehrPrimzahlen im Schulunterricht wozu?
Primzahlen im Schulunterricht wozu? FRANZ PAUER, FLORIAN STAMPFER (UNIVERSITÄT INNSBRUCK) 1. Einleitung Eine natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler hat. Im Lehrplan der Seundarstufe
Mehr3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung
3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.
MehrAlgebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Algebraische Kurven Vorlesung 26 Die Schnittmultiplizität Es seien zwei ebene algebraische Kurven C,D A 2 K gegeben, die keine Komponente gemeinsam haben. Dann besteht
MehrPaul-Klee-Gymnasium. Facharbeit aus der Mathematik. Thema: Asymmetrische Verschlüsselungsverfahren. am Beispiel des RSA-Kryptosystems
Paul-Klee-Gymnasium Facharbeit aus der Mathematik Thema: Asymmetrische Verschlüsselungsverfahren am Beispiel des RSA-Kryptosystems Verfasser : Martin Andreas Thoma Kursleiter : Claudia Wenninger Abgegeben
MehrMathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen
Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen
MehrRepetitionsaufgaben: Lineare Gleichungen
Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben: Lineare Gleichungen Zusammengestellt von Hannes Ernst, KSR Lernziele: - Lineare Gleichungen von Hand auflösen können. - Lineare Gleichungen mit Parametern
MehrRSA Primzahlen zur Verschlüsselung von Nachrichten
RSA Primzahlen zur Verschlüsselung von Nachrichten Anton Schüller 1 Ulrich Trottenberg 1,2 Roman Wienands 2 Michael Koziol 2 Rebekka Schneider 2 1 Fraunhofer-Institut Algorithmen und Wissenschaftliches
MehrEntscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?
Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum
Mehrax 2 + bx + c = 0, (4.1)
Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die
MehrAutomatentheorie und Kryptologie. Computer und Mediensicherheit, FHS Hagenberg
Jürgen Ecker Automatentheorie und Kryptologie Computer und Mediensicherheit, FHS Hagenberg Skriptum zu den Vorlesungen in den Wintersemestern 2002/2003 und 2003/2004 und im Sommersemester 2003 ii Inhaltsverzeichnis
MehrCodierungstheorie, Vorlesungsskript
Codierungstheorie, Vorlesungsskript Irene I. Bouw Sommersemester 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Codes 2 1.1 Einführung.............................. 2 1.2 Eigenschaften linearer Codes....................
MehrRSA Verfahren. Ghazwan Al Hayek Hochschule für Technik Stuttgart. 2. November 2008
RSA Verfahren Ghazwan Al Hayek Hochschule für Technik Stuttgart 2. November 2008 1 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 1.1. Übersicht 1.2. Private-Key-Verfahren 1.3. Public-Key-Verfahren 1.4. Vor/ Nachteile
Mehrx 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt
- 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +
Mehr11. Das RSA Verfahren und andere Verfahren
Chr.Nelius: Kryptographie (SS 2011) 31 11. Das RSA Verfahren und andere Verfahren Eine konkrete Realisierung eines Public Key Kryptosystems ist das sog. RSA Verfahren, das im Jahre 1978 von den drei Wissenschaftlern
MehrInhaltsverzeichnis Einführung Klassische Kryptosysteme Public-Key Kryptosysteme
INHALTSVERZEICHNIS INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis 0 Einführung 4 0.1 Hauptaufgaben der Kryptografie................................... 4 0.2 Grundprinzip (Shannon, Kerckhoff).................................
MehrProbabilistische Primzahlensuche. Marco Berger
Probabilistische Primzahlensuche Marco Berger April 2015 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 4 1.1 Definition Primzahl................................ 4 1.2 Primzahltest...................................
MehrProseminar: Electronic Commerce und Digitale Unterschriften Public-Key-Kryptographie
Proseminar: Electronic Commerce und Digitale Unterschriften Public-Key-Kryptographie Ziele der Kryptographie 1. Vertraulichkeit (Wie kann man Nachrichten vor Fremden geheim halten?) 2. Integrität (Wie
MehrRekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt
Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung
MehrMinimale Darstellungen, Kommutator- und Fixräume, projektive Geometrie
Notation Die in dieser Arbeit verwendete Notation ist im Wesentlichen Standard, so wie sie beispielsweise in [As] zu nden ist. Einige Abweichungen hiervon, Klarstellungen und zusätzliche Notationen (sofern
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder
MehrNicht-archimedische Zahlen
Skript zur Vorlesung Nicht-archimedische Zahlen Wintersemester 2012/13 Frankfurt am Main Prof. Dr. Annette Werner Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Nicht-archimedische Absolutbeträge 2 3 Bälle und Topologie
MehrEinleitung Shor s Algorithmus Anhang. Thomas Neder. 19. Mai 2009
19. Mai 2009 Einleitung Problemstellung Beispiel: RSA Teiler von Zahlen und Periode von Funktionen Klassischer Teil Quantenmechanischer Teil Quantenfouriertransformation Algorithmus zur Suche nach Perioden
Mehr