7 Der kleine Satz von Fermat

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1 7 Der kleine Satz von Fermat Polynomkongruenz modulo p. Sei p eine Primzahl, n 0 und c 0,..., c n Z. Wir betrachten die Kongruenz ( ) c 0 + c 1 X c n 1 X n 1 + c n X n 0 mod p d.h.: Wir suchen alle x Z mit der Eigenschaft c 0 + c 1 x c n 1 x n 1 + c n x n 0 mod p Diese Zahlen nennt man die Lösungen von ( ). Nach 5.5 gilt: (1) Die Lösungsmenge ändert sich nicht, wenn man in ( ) die Koeffizienten c 0,..., c n ersetzt durch c 0,..., c n mit c i c i mod p. () Mit einer Lösung x 0 von ( ) ist auch jedes y mit y x 0 mod p eine Lösung von ( ). Also ist die Lösungsmenge von ( ) die Vereinigung von vollen Restklassen modulo p. Daher erklärt man: Definition. Die Anzahl der Lösungen von ( ) ist die Anzahl der Restklassen modulo p, deren Elemente ( ) lösen. (Diese ist auch gleich der Anzahl der Lösungen x 0 mit 0 x 0 < p.) 7.1 Satz. Ist p kein Teiler von c n, so hat ( ) höchstens n Lösungen. Beweis. Für n = 0 ist dies klar. Induktionsannahme. 7.1 ist richtig für n 1. Schluß von n 1 auf n. Angenommen ( ) habe n + 1 paarweise inkongruente Lösungen x 0, x 1,..., x n. Setze für x Z f(x) := c 0 + c 1 x c n x n. Es gilt dann (wie man nachrechnet) ) ( n f(x) f(x 0 ) = (x x 0 ) = (x x 0 )g(x), wobei g(x) ein Polynom der Form c i (x i 1 + x 0 x i x i 0 x + x i 1 0 ) i=1 g(x) = b 0 + b 1 X b n 1 X n 1 ist mit b n 1 = c n, p b n 1 Speziell gilt für X = x k, k = 1,..., n: (x k x 0 )g(x k ) = f(x k ) f(x 0 ) mod p, und nach Annahme ist 1

2 (x k x 0 ) 0 mod p. Also gilt p (x k x 0 )g(x k ), p x k x 0 = p g(x k ), d.h. die Kongruenz g(x) 0 mod p hat die n paarweise inkongruenten Lösungen x 1,..., x n. Dies widerspricht der Induktionsannahme. Also ist die Annahme falsch, daß ( ) n + 1 inkongruente Lösungen hat. Definition. Die zahlentheoretische Funktion ϕ : N\{0} N\{0} m Anzahl der zu m teilerfremden Zahlen b mit 1 b m heißt Eulersche ϕ Funktion. Beispiele. ϕ(1) = 1, ϕ() = 1, ϕ(3) =, ϕ(4) =, ϕ(5) = 4, ϕ(6) =, ϕ(7) = 6, ϕ(8) = 4, ϕ(9) = 6, ϕ(10) = 4, ϕ(11) = 10, ϕ(1) = 4,... Ist b a mod m, so gilt nach 5.6: (a, m) = (b, m). Insbesondere: Es gibt genau Restklassen modulo m, welche sämtlich aus zu m teilerfremden Zahlen bestehen. Sie heißen die primen Restklassen modulo m. Die übrigen Zahlen haben mit m einen Teiler t > 1 gemeinsam. Definition. Ein reduziertes Restsystem modulo m ist ein System von paarweise inkongruenten Zahlen mod m, welche zu m teilerfremd sind. Man erhält es aus einem vollständigen Restsystem modulo m, indem man alle Zahlen wegläßt, die mit m einen Teiler t > 1 gemeinsam haben. Beispiele. m = 6 : ist ein vollständiges Restsystem 1 5 ist ein reduziertes Restsystem m = 7 : ist ein vollständiges Restsystem ist ein reduziertes Restsystem Es soll nun gezeigt werden, daß ϕ multiplikativ ist. 7. Bemerkung. Ist a 1,..., a ein reduziertes Restsystem mod m und ist (a, m) = 1, so ist auch a 1 a,..., a a ein solches. Dies ergibt sich sofort aus 5.6.

3 7.3 Lemma. Seien a > 0, b > 0 und (a, b) = 1. Durchläuft x ein vollständiges Restsystem mod b und y ein vollständiges Restsystem mod a, so durchläuft ax + by ein vollständiges Restsystem mod ab. Beweis. Zu zeigen: Die ab Zahlen ax+by sind paarweise inkongruent modulo ab, wenn x und y vollständige Restsysteme mod b bzw. mod a durchlaufen; M.a.W.: Aus ax 1 + by 1 ax + by mod ab folgt x 1 x mod b und y 1 y mod a. Bew.: ax 1 + by 1 ax + by mod ab = a 1 x 1 + by 1 ax + by mod b = ax 1 ax mod b. Wegen (a, b) = 1 folgt nach 5.6: x 1 x mod b. Analog zeigt man y 1 y mod a. 7.4 Lemma. Das Lemma 7.3 bleibt richtig, wenn man darin vollständig durch reduziert ersetzt. Beweis. Nach dem Beweis von 7.3 ist noch zu zeigen: (x, b) = (y, a) = 1 (ax + by, ab) = 1 = : Sei d := (x, b) > 1 : d x und d b = d ax + by und d ab = (ax + by, ab) d > 1. Analog folgt (ax + by, ab) > 1 aus (y, a) > 1. = : Sei (x, b) = (y, a) = 1. Zu zeigen: (ax + by, ab) = 1 Angenommen die Primzahl p teilt (ax + by, ab) = p ab. Wir können annehmen, daß p a. } Aus p ax + by und p a folgt p by = p y Wegen (a, b) = 1 und p a folgt p b p a und p y widerspricht aber (y, a) = 1. Aus 7.3 und 7.4 ergibt sich 7.5 Korollar. Seien a > 0, b > 0 und (a, b) = 1. Dann ist ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) ϕ ist also eine multiplikative Funktion. Zur Berechnung von ϕ(a) müssen wir also nur noch ϕ(p n ), n 1, p Primzahl kennen. 7.6 Satz. Für a = p n, n 1 ist ϕ(p n ) = p n (1 1 p ) 3

4 Beweis. Für k N = {1,,..., p n } gilt offenbar: (k, p n ) 1 p k k {1 p, p, 3 p,..., p n 1 p} =: M M hat p n 1 Elemente; also besteht N\M aus p n p n 1 Elementen und N\M = {x 1 x p n und (x, p n ) = 1}, d.h. ϕ(p n ) = Anzahl der Elemente von N\M = p n p n 1 = p n (1 1). p 7.7 Korollar. Sei a > 1 und a = p e p er r, r 1, e ρ 1 die kanonische Zerlegung von a. Dann ist ϕ(a) = a r ) (1 1pρ ρ=1 Beweis. Da die Zahlen p e 1 1,..., p er r rekursiv aus 7.5 paarweise teilerfremd sind, ergibt sich Wegen 7.6 gilt daher ϕ(a) = p e 1 1 (1 1p1 ) ϕ(a) = ϕ(p e 1 1 )... ϕ(p er r )... p er r ) (1 1pr = a r ) (1 1pρ ρ=1 7.8 Der kleine Satz von Fermat. Sei m > 1. Dann gilt (a, m) = 1 a 1 mod m Beweis. = : Sei a 1 mod m. Dann ist nach = (1, m) = (a, m), also auch (a, m) = 1. = : Sei (a, m) = 1 und a 1,..., a ein reduziertes Restsystem mod m. Dann ist nach 7. auch aa 1,..., aa ein solches. Nach 5.6 folgt: a (aa n ) a n 1 a n mod m, also a n mod m. Kürzen ergibt a 1 mod m. (Kürzen ist nach 5.6 wegen (a 1... a, m) = 1 erlaubt.) Mit ϕ(p) = p 1 ergibt sich 4

5 7.9 Korollar. Für p a ist a p 1 1 mod p. Also gilt a p a mod p für jedes a Z Satz von Wilson. (p 1)! 1 mod p. M.a.W.: (p 1)! + 1 ist ein Vielfaches von p. Beweis. Betrachte das Polynom p 1 f(x) := X p 1 1 (X m) m=1 Es ist von der Form f(x) = c 0 + c 1 X d p X p. Betrachte die Polynomkongruenz ( ) c 0 + c 1 X c p X p 0 mod p Nach 7.9 gilt für a {1,,... p 1} : f(a) = a p mod p, d.h.: ( ) hat p 1 Lösungen. Nach 7.1 kann das nur sein, wenn c i 0 mod p für i = 0, 1,..., p. Nun gilt aber c 0 = f(0) = 1 p 1 ( m) = 1 ( 1) p 1 (p 1)! m=1 Also ist 1 ( 1) p 1 (p 1)! mod p. Für p 3 ist p ungerade, also ( 1) p 1 = 1 und daher ( 1) (p 1)! mod p Es gilt auch ( 1)! 1 mod, da 1 1 mod Satz. Sei d ein positiver Teiler von p 1. Dann hat die Kongruenz X d 1 mod p genau d Lösungen. Beweis. Sei e N mit de = p 1. Nach der Formel für die geometrische Reihe ist X p 1 1 = ( X d 1 ) ( 1 + X d + ( X d) ( X d ) e 1 ) = ( X d 1 ) g (X) Wegen (X d ) e 1 = X d(e 1) ist g(x) ein Polynom vom Grad d(e 1). Es folgt 5

6 (1) g(x) 0 mod p hat höchstens d(e 1) Lösungen (7.1) () X p mod p hat genau ϕ(p) = p 1 Lösungen (7.8) a löst X p mod p = p a p 1 1 = (a d 1)g(a) = p a d 1 oder p g(a) = a löst X d 1 0 mod p oder a löst g(x) 0 mod p. Also gilt (3) a ist Lösung von X p mod p = a ist Lösung von g(x) 0 mod p oder von X d 1 0 mod p. Aus (1) bis (3) folgt: X d 1 0 mod p hat mindestens p 1 d(e 1) Lösungen. Aber p 1 d(e 1) = d und nach 7.1 gilt auch (4) X d 1 0 mod p hat höchstens d Lösungen. 7.1 Korollar. Sei p 3. Dann hat X p 1 1 mod p genau p 1 Lösungen, nämlich die Restklassen von 1,,..., ( p 1 ). Beweis. (a ) p 1 a p 1 1 mod p für a 0 mod p nach 7.8. Nach 7.11 ist noch zu zeigen: 1,,..., ( p 1 ) sind paarweise inkongruent modulo p. Angenommen es existieren a, b mit 1 a < b p 1 mit a b mod p. Dann ist (p a) ( a) a mod p und die Kongruenz X a mod p hat die drei Lösungen a, b und p a, wobei im Widerspruch zu 7.1. p > p a p p 1 = p + 1 > b > a 1, 7.13 Korollar. Sei p 3. Die Kongruenz X 1 mod p hat eine Lösung (das ist ein x mit p x + 1), wenn p 1 mod 4 und keine Lösung, wenn p 3 mod 4. Beispiele. 3 3 mod 4 : , = 5, also gibt es kein x N mit x 1 mod mod 4 : = 5 1 mod mod 4 : 13 6 = mod mod 4 : Nach 7.13 gibt es kein x N mit 7 x + 1, d.h. x 1 mod 7 6

7 Beweis von 7.13 Ist a 1 mod p, so ist nach 7.8 ( 1) p 1 a p 1 1 mod p Dann muß ( 1) p 1 = 1 sein, da 1 1 mod p für p 3. Es folgt: p 1 ist gerade, d.h. 4 p 1, d.h. p 1 mod 4. Ist umgekehrt p 1 mod 4, so ist ( 1) p 1 1 mod p und daher 1 a mod p mit 1 a p 1 nach 7.1. Wir haben also gesehen: Zusatz. Ist p 1 mod 4, so gibt es ein a mit 1 a p 1, so daß a 1 mod p Teilersummenformel. Für alle m 1 gilt ϕ(d) = m d m d 1 Beweis. Nach 7.5 ist ϕ multiplikativ. Nach Satz 4.4 ist dann auch φ(m) = ϕ(d) multiplikativ, ebenso wie χ(m) = m. d m d 1 Es genügt daher, 7.14 für Primzahlpotenzen p n, n 1 zu beweisen. Es ist ϕ(1) = 1 und ϕ(p k ) = p k p k 1 für 1 k n. Daher ist φ(p n ) = ϕ(1) + ϕ(p) ϕ(p n 1 ) + ϕ(p) = 1 + (p 1) (p n 1 p n ) + (p n p n 1 ) = p n 7