3 Primzahlen. j,... stets Primzahlen. 3.1 Satz. Jedes a > 1 ist als Produkt von Primzahlen darstellbar (Primfaktorzerlegung. n=1

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1 3 Primzahlen Die Zahl 1 hat nur einen positiven Teiler, nämlich 1. Jede Zahl a > 1 hat mindestens zwei positive Teiler: 1 und a. Definition. Eine Primzahl ist eine Zahl a > 1, welche nur die Teiler 1 und a hat. Beispiele. 2, 3, 5, 7, 11 sind Primzahlen. Im Folgenden ist der Buchstabe p den Primzahlen vorbehalten; ebenso bedeuten p 1, p 2,... oder p, p j, p j,... stets Primzahlen. 3.1 Satz. Jedes a > 1 ist als Produkt von Primzahlen darstellbar (Primfaktorzerlegung von a): a = p 1 p 2... p r = p n, r 1 Beweis. Für a = p ist die Aussage offenbar wahr. Wir beweisen 3.1 durch vollständige Induktion nach a. Induktionsbeginn. a = 2 ist eine Primzahl. Induktionsannahme. Sei a 3 und 3.1 bereits bewiesen für alle b mit 1 < b < a. Induktionsschluß. Ist a Primzahl, so ist 3.1 richtig für a. Sonst gibt es eine Zerlegung a = a 1 a 2 mit 1 < a 1 < a und 1 < a 2 < a. Nach Induktionsannahme haben a 1 und a 2 eine Primfaktorzerlegung; also gilt dies auch für a = a 1 a 2. Frage: Wieviele Primzahlen gibt es? 3.2 Satz. (Euklid) Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis. Es ist zu zeigen: Zu jeder endlichen Menge von Primzahlen kann man eine weitere Primzahl finden. Seien also r 1 paarweise verschiedene Primzahlen p 1... p r vorgegeben. Setze a := 1 + p 1... p r Dann ist a > 1 und p 1,..., p r sind keine Teiler von a (denn sonst wäre etwa p i ein Teiler von 1 = a p 1... p r, Widerspruch.) Nach 3.1 ist aber a durch 1

2 wenigstens eine Primzahl p teilbar. Diese kommt in der Menge {p 1,..., p r } nicht vor. 3.3 Regel. (a) Aus p a folgt (p, a) = 1 (b) Aus p ab folgt: p a oder p b. (c) Für q > 1 gelte: Aus q ab folgt q a oder q b. Dann ist q eine Primzahl. (d) Aus p a n folgt: p a n für mindestens ein n. (e) Aus p Beweis. p n folgt: p = p n für mindestens ein n. (a) p hat nur die positiven Teiler 1 und p und p a. Es folgt (p, a) = 1. } (b) p a = (a) (p, a) = = p b. p ab (c) Ist q > 1 keine Primzahl, so schreibt sich q nach 3.1 in der Form q = p r, p Primzahl, r 2. Also ist q q = pr und q > p, q > r. Es folgt q p und q r. (d) folgt aus (b) durch Induktion. (e) p p n (d) = p p n für ein n = p = p n, da p 1 und 1 und p n die einzigen positiven Teiler von p n sind. 3.4 Bemerkung. Wegen Regel 3.3(b) und (c) hätte man Primzahl auch so definieren können: Eine Zahl p > 1 heißt Primzahl, wenn gilt: Aus p ab folgt: p a oder p b. 3.5 Satz. Die Zerlegung jeder Zahl a > 1 in ein Produkt von Primzahlen ist (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig. 2

3 Beweis. Es genügt zu zeigen: Aus a = r p n = r p n mit p 1 p 2... p r und p 1 p 2... p r folgt: r = r und p n = p n für alle n, 1 n r. Beweis durch Induktion nach a. Induktionsbeginn. Für a = 2 muß offenbar r = r = 1 und p 1 = p 1 = 2 sein. Induktionsannahme. Sei a > 2 und die Behauptung bereits bewiesen für 2, 3,..., a 1. Induktionsschluß. Ist a eine Primzahl, so ist r = r = 1 und p 1 = p 1 = a, denn a hat keine echten Teiler (dies sind die von ±1 und ±a verschiedenen Teiler). Andernfalls sind r > 1 und r > 1 und p 1 r p n, p 1 p n. Nach 3.3(e) gibt es dann n, m mit p 1 = p n und p 1 = p m. Wegen p 1 p n = p 1 p m = p 1 folgt p 1 = p 1. Wegen 1 < p 1 < a folgt 1 < a p 1 = r p n = p n =: a < a, also 1 < a < a n=2 n=2 Wende die Induktionsannahme an auf a und erhalte r = r und p n = p n für 2 n r. p 1 = p 1 wurde bereits gezeigt. Damit ist alles bewiesen. Man kann in der Primfaktorzerlegung noch gleiche Faktoren zusammenfassen und erhält: 3.6 Korollar. Jede Zahl a > 1 besitzt genau eine Zerlegung a = p m 1 1 p m p mr r, p 1 < p 2 <... p r ; m ρ 1 für ρ = 1,..., r. (Wir sprechen auch von der kanonischen Zerlegung von a.) 3

4 3.7 Bemerkung. Sei a = r p mn n sind die gesamten positiven Teiler von a die Zahlen die kanonische Zerlegung von a > 1. Dann p ln n, wobei 0 l n m n für 1 n r. Insbesondere besitzt a genau r (m n + 1) verschiedene positive Teiler. Beweis. Offenbar sind die angegebenen Zahlen Teiler von a; sie sind nach 3.6 paarweise verschieden; also stimmt die Anzahlaussage, falls a keine weiteren positiven Teiler hat. Ist nun d a, also a = dq, so gehen in d und in q nur Primzahlen auf, die auch in a aufgehen. Also gilt d = p ln n, q = n = p ln+kn n = dq = a = p mn n. Wegen der Eindeutigkeit der Zerlegung folgt m n = l n + k n. Also ist 0 l n = m n k n m n für n = 1,... r. Wenn die Primfaktorzerlegungen von a 1, b 1 schon vorliegen, so läßt sich (a, b) leicht bestimmen, ohne den euklidischen Algorithmus zu bemühen. 3.8 Satz. Seien p 1,... p r die verschiedenen Primteiler von ab, a > 1 und b > 1. Dann kommen auch in den Zerlegungen von a bzw. b höchstens die Primzahlen p 1,..., p r vor. Schreibe: Dann gilt: a = p l p lr r, b = p m p mr r, l n 0, m n 0. (a) (a, b) = p Min(l 1,m 1 ) 1... pr Min(lr,mr) (b) kgv (a, b) = p Max(l 1,m 1 ) 1... p Max(lr,mr) r Beweis. 4

5 (a) Nach dem Beweis von 3.7 sind die positiven Teiler von a bzw. b die Zahlen n, 0 k n l n für alle 1 n r, bzw. n, 0 k n m n für alle 1 n r. Die gemeinsamen positiven Teiler von a und b sind also die Zahlen n mit 0 k n Min(l n, m n ) für alle 1 n r Die größte dieser Zahlen ist offenbar p Min(ln,mn) n. (b) folgt aus (a) und der Formel kgv (a, b) (a, b) = ab, denn Min(l n, m n ) + Max(l n, m n ) = l n + m n. Der größte gemeinsame Teiler von mehr als zwei Zahlen. Bezeichnung. Sind die Zahlen a 1,..., a r (r 1) nicht alle 0, so wird ihr größter gemeinsamer Teiler mit (a 1,..., a n ) bezeichnet. δ = (a 1,..., a r ) ist also die größte ganze Zahl mit δ a 1,..., δ a r 1 und δ a r. 3.9 Satz. Seien a 1 > 0,..., a r > 0, r 2. Dann gilt (a) (a 1,..., a r ) = ((a 1,..., a r 1 ), a r ) (b) Jeder gemeinsame Teiler von a 1,..., a r teilt (a 1,... a r ). Beweis. (Induktion nach r). Für r = 2 ist (a) trivial und (b) gilt nach 2.4. Induktionsannahme. Sei r 3, (a) und (b) bewiesen für alle k mit 2 k r 1. Induktionsschluß. Ist t gemeinsamer Teiler von a 1,..., a r, so auch von a 1,..., a r 1. Nach Induktionsannahme (b) ist daher t ein Teiler von (a 1,..., a r 1 ) = a. Ferner gilt t a r. Nach (2.4) ist daher t (a, a r ) = ((a 1,..., a r 1 ), a r ). Setze δ := ((a 1,..., a r 1 ), a r ). Wegen t δ ist t δ. Ferner gilt: δ (a 1,..., a r 1 ) und δ a r und daher δ a 1,..., δ a r 1 und 5

6 δ a r, d.h.: δ ist gemeinsamer Teiler von a 1,..., a r. Damit ist gezeigt, daß δ der größte gemeinsame Teiler von a 1,..., a r ist, und (a) ist bewiesen. Im Beweis haben wir gesehen, daß jeder gemeinsame Teiler t von a 1,..., a r auch δ teilt. Damit ist auch (b) bewiesen Korollar. Unter den Voraussetzungen von 3.9 ist (a 1,..., a r ) die kleinste positive Zahl, welche sich in der Form schreibt a 1 x a r x r mit x 1,..., x r Z. Beweis. (Induktion nach r.) Für r = 2 wurde dies in 2.4 gezeigt. Nach Induktionsannahme ist δ := (a 1,..., a r 1 ) die kleinste positive Zahl der Form δ = a 1 y a r 1 y r 1. Ferner ist nach Induktionsbeginn δ = (a 1,..., a r ) = ((a 1,..., a r 1 ), a r ) = (δ, a r ) von der Form δ = δ x + a r x r. Es folgt: δ = a 1 (y 1 x) a r 1 (y r 1 x) + a r x r ist von der gewünschten Gestalt. Ist d = a 1 x a r x r > 0 mit x 1,..., x r Z, so ist wegen δ a 1,..., δ a r auch δ d, also δ d. Mit Hilfe von 3.9 kann man auch (a 1,..., a r ) für r 3 (iterativ) mit Hilfe des euklidischen Algorithmus bestimmen. (a 1, a 2, a 3 ) = ((a 1, a 2 ), a 3 ) (a 1, a 2, a 3, a 4 ) = (((a 1, a 2 ), a 3 ), a 4 ) usw. Wir erwähnen noch ohne Beweis: 3.10 Korollar. Seien p 1,..., p s die verschiedenen Primteiler des Produkts a 1... a r von positiven Zahlen a 1,..., a r und a n = p l 1,n 1... p ls,n s, l m,n 0 für 1 m s, 1 n r. Setze l m := Min(l m,1,..., l m,r ), 1 m s. Dann gilt (a 1,..., a r ) = p l p ls s. 6