KAPITEL 13. Polynome. 1. Primfaktorzerlegung in den ganzen Zahlen. ,, p r

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1 KAPITEL 13 Polynome 1. Primfaktorzerlegung in den ganzen Zahlen DEFINITION 13.1 (Primzahl). Eine Zahl p ist genau dann eine Primzahl, wenn folgende beiden Bedingungen gelten: (1) Es gilt p > 1. (2) Für alle a, b mit p a bgilt a 1oder b 1. DEFINITION 13.2 (Teilbarkeit). Seien x, y. Die Zahl x teilt y genau dann, wenn es ein z gibt, sodass y z x ist. Wir schreiben dann auch x y; die Zahl y heißt ein Vielfaches von x. SATZ Seien a und n. Dann gibt es genau ein Paar von Zahlen q, r, sodass a q n r und r 0,, n 1. Wir bezeichnen den Rest r mit a mod n. SATZ 13.4 (Euklid, v.chr.). Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis: Wir nehmen an, dass p 1,, p r bereits alle Primzahlen sind. Da 2 prim ist, gilt r 1. Dann ist der kleinste Teiler q von 1 r i 1 p i mit q > 1 eine Primzahl mit q p 1,, p r. DEFINITION 13.5 (Größter gemeinsamer Teiler). Für zwei Zahlen a, b (nicht beide 0) ist ggt a, b die größte Zahl z mit z aund z b. SATZ Seien a, b nicht beide 0, und sei z. Dann gilt: ggt a, b ggt a z b, b. So gilt zum Beispiel ggt 25, 15 ggt 40, 15. Beweis: Wir zeigen, dass nicht nur der ggt, sondern sogar die Mengen der gemeinsamen Teiler der beiden Zahlenpaare gleich sind. Wir zeigen also t t a und t b t t a zb und t b. : Falls t sowohl a als auch b teilt, dann auch a zb und b. : Falls t sowohl a zb, als auch b teilt, dann auch a zb zb und b, also auch a und b. 179

2 POLYNOME Das nützen wir jetzt möglichst geschickt aus, um ggt 147, 33 zu berechnen: ggt 147, 33 ggt , 33 ggt 15, 33 ggt 15, ggt 15, 3 ggt 0, 3 3. Günstig ist es also, z so zu wählen, dass a zb der Rest von a bei der Division durch b wird. Mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus findet man nicht nur den ggt von a und b, sondern auch u, v, sodass gilt: ggt a, b u a v b. Beispiel: Wir berechnen ggt 147, 33, und schreiben das so: Berechnet man ggt a, b mithilfe dieses Algorithmus, sieht man, dass sich die Zahlen in der linken Spalte immer als Linearkombination von a und b schreiben lassen. Als Konsequenz davon erhalten wir folgenden Satz: SATZ Seien a, b (nicht beide 0). Dann gibt es u, v, sodass ggt a, b u a v b. Beweis: Wir betrachten zuerst den Fall a 0, b 0, und zeigen den Satz durch Induktion nach min a, b. Wenn b 0, so gilt a > 0, und somit nach der Definition des ggt auch ggt a, b a. Wenn a 0, so gilt b 0 und ggt a, b b. Seien nun a > 0, b > 0, b a. Durch Division mit Rest erhalten wir q 0, r 0,, b 1 sodass a qb r. Wegen Satz 13.6 gilt ggt a, b ggt r, b. Da r < b, gibt es nach Induktionsvoraussetzung u, v, sodass ggt r, b u r v b. Dann gilt ggt a, b ggt r, b u r v b u a qb v b u a v u q b, also ist auch ggt a, b als Kombination von a und b darstellbar. Der Fall a > 0, b > 0, a b funktioniert genauso. Eine Folgerung davon ist:

3 1. PRIMFAKTORZERLEGUNG IN DEN GANZEN ZAHLEN 181 SATZ Seien a, b, nicht beide 0, und sei t so, dass t a und t b. Dann gilt auch t ggt a, b. Beweis: Seien u, v so, dass ggt a, b ua vb. Da t die Zahl a teilt, ist auch ua ein Vielfaches von t. Ebenso ist vb ein Vielfaches von t. Somit ist auch die Summe ua vb ein Vielfaches von t. Die Zahl t ist also ein Teiler von ggt a, b. Wenn a und b größten gemeinsamen Teiler 1 haben, so heißen sie teilerfremd oder relativ prim. ÜBUNGSAUFGABEN (1) [Remmert and Ullrich, 1987, p. 28] Sei p n die n-te Primzahl, d. h. p 1 2, p 2 3, usw. Zeigen Sie p n 2 2n 1. (2) Seien a, b, x und u, v so, dass x ua vb. Zeigen Sie: Wenn x sowohl a als auch b teilt, so gilt x ggt a, b. (3) Seien a, b, y so, dass a y, b y, ggt a, b 1. Zeigen Sie (ohne Vorgriff auf die Primfaktorzerlegung): a b y. (4) Seien a, b (nicht beide 0), und sei k. Zeigen Sie: ggt ka, kb k ggt a, b. Gelingt es Ihnen, ggt ka, kb k ggt a, b auch ohne Verwendung der Primfaktorzerlegung zu zeigen? (5) Seien a, c, b, d. Zeigen Sie: Wenn die Brüche a b und d c gekürzt, und die Nenner b und d teilerfremd sind, so ist auch der Bruch ad bc bd gekürzt. SATZ Seien a, b, c, und sei zumindest eine der Zahlen a und b nicht 0. Wir nehmen an, dass a die Zahl b c teilt und dass ggt a, b 1gilt. Dann gilt: a teilt c. Beweis: Es gibt u, v, sodass 1 u a v b. Es gilt a uac. Da nach Voraussetzung a bc gilt, gilt auch a vbc. Daraus erhalten wir und somit a c. a ua vb c, KOROLLAR Seien b, c, und sei p eine Primzahl. Wenn p das Produkt b c teilt, so teilt p einen der beiden Faktoren b und c. SATZ Sei p i i = 2, 3, 5, 7, 11, die Folge aller Primzahlen, und sei n. Dann gibt es genau eine FunktionΑ 0 mit folgenden Eigenschaften: (1) i Α i > 0 ist endlich. (2) n i p Α i i. Beweis: Wir zeigen zunächst durch Induktion nach n, dass es ein solchesαgibt. Für n 1 setzen wirα i 0 für alle i. Für n > 1 sei q der kleinste Teiler von n mit q > 1. Die Zahl q ist eine Primzahl; es gibt also j mit q p j. Nach

4 POLYNOME Induktionsvoraussetzung gibt esβ 0 mit n q p Β i i, i Β j 1 also gilt n p j i j p Β i i. Nun zeigen wir die Eindeutigkeit. SeienΑ,Β 0 so, dass i Α i > 0 und i Β i > 0 beide endlich sind und i p Α i i i j i p Β i i. Wir zeigen, dass für alle j gilt:α j Β j. Sei dazu j. Wir nehmen an Α j >Β j. Dann gilt Α j Β j p j p Α i i p Β i i. i j Nach Korollar teilt p j also ein p Β i i mit i j. Im FallΒ i 0 widerspricht das p j > 1, im FallΒ i > 0 gilt p j p i. Da p i eine Primzahl ist, gilt dann p i p j, im Widerspruch zu i j. ÜBUNGSAUFGABEN (1) Sei p n die n-te Primzahl, d. h. p 1 2, p 2 3, usw. Zeigen Sie, auch, ohne die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung zu verwenden, dass Folgendes gilt: Wenn Α a p i i Β b p i i, wobeiα i,β i 0, und fast alleα i,β i 0 sind, dann gilt a b genau dann, wenn für alle i gilt:α i Β i. (Zeigen Sie, dass diese Aussage für alle Primfaktorzerlegungen von a und b gilt. Folgt daraus die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung?) (2) Sei p n die n-te Primzahl, d. h. p 1 2, p 2 3, usw. Zeigen Sie: Wenn Α a p i i Β b p i i, wobeiα i,β i 0, und fast alleα i,β i 0 sind, dann gilt ggt a, b p i min Α i,β i. (3) Welche Zahlen q erfüllen folgende Eigenschaft? Für alle a, b mit q a bgilt q a oder es gibt ein n, sodass q b n. 2. Polynome DEFINITIONSVERSUCH Sei K kommutativer Ring mit Eins. Dann ist K x die Menge aller Ausdrücke a 0 a 1 x a 2 x 2 a 3 x 3 a n x n mit n 0 und a 0,, a n K. Die Elemente von K x nennen wir Polynome.

5 2. POLYNOME 183 Was heißt aber Ausdruck? Und welche Rolle spielt x? Mit folgender Definition stehen wir auf dem sicheren Boden der Mengenlehre. DEFINITION Sei K kommutativer Ring. Dann ist ein Polynom über K eine Folge a 0, a 3,, sodass es ein i 0 gibt, sodass für alle j 0 mit j i gilt: a j 0. Wir haben also Polynome als unendliche Liste ihrer Koeffizienten definiert. DEFINITION Sei K ein kommutativer Ring, und seien a 0,, b 0, b 1, b 2, Polynome über K. Wir definieren (1) a 0, b 0, b 1, b 2, a 0 b 0 b 1 b 2, (2) a 0, b 0, b 1, b 2, c 0, c 1, c 2, mit für alle k 0. c k i, j 0,,k 0,,k i j k a i b j SATZ Sei K ein kommutativer Ring mit Eins, seien p, q, r Polynome über K, und sei e das Polynom 1, 0,, 0. Dann gilt: (1) p q r p q r. (2) p q q p. (3) p q r p q p r. (4) p e p. SATZ Sei K ein kommutativer Ring mit Eins, und sei P die Menge aller Polynome über K. Dann ist P,,,, 0, 0, 0,, 1, 0, 0, ein kommutativer Ring mit Eins. SATZ Sei K ein kommutativer Ring mit Eins, sei p a 0, ein Polynom über K, und sei x 0, 1, 0, 0,, 0. Dann gilt: (1) x i 0, 0,, 0, 1, 0, 0,. i Nuller (2) p a i x i. i 0 a i 0 Wir werden die Menge der Polynome über K nun oft mit K x oder K t bezeichnen. Sobald wir K t verwenden, haben wir die Bedeutung von 2 Variablen erklärt: (1) K t a 0, K 0 i 0 a i 0 ist endlich. (2) t 0, 1, 0, 0,.

6 POLYNOME 3. Polynomfunktionen DEFINITION Sei K ein kommutativer Ring mit Eins, und sei p n i 0 a i xi ein Element von K x. Dann bezeichen wir die von p induzierte Funktion mit p K und definieren sie durch p K K K y n i 0 a i yi. SATZ Sei K ein kommutativer Ring mit Eins, und seien p, q K x. Dann gilt für alle y K: p q K y p K y q K y. 4. Teilbarkeit von Polynomen DEFINITION (Grad eines Polynoms). Für f a 0, K x 0 ist der Grad von f, deg f, jenes n 0, sodass a n 0 und a i 0 für alle i > n. Dann nennen wir a n den führenden Koeffizienten von f. Wir definieren deg 0 1. DEFINITION Sei K ein Körper, und seien f, g K x. (1) f teilt g, wenn es ein q K x gibt, sodass g q f. (2) f ist irreduzibel über K (ein irreduzibles Polynom in K x ), wenn deg f 1 und für alle a, b K x mit a b f entweder a oder b Grad 0 hat. (3) f ist normiert, wenn es führenden Koeffizienten 1 hat. SATZ (Division). Sei K ein Körper, und seien f, g K x. Wenn f 0, so gibt es genau ein Paar q, r K x K x mit g q f r und deg r < deg f. DEFINITION (ggt in K x ). Sei K ein Körper, und seien f, g K x, nicht beide 0. Dann ist d K x ein größter gemeinsamer Teiler von f und g, wenn folgende Bedingungen gelten: (1) d f und d g, (2) Für alle h K x mit h f und h g gilt deg h deg d, (3) d ist normiert. Wir bezeichnen den Rest von g bei der Division durch f mit gmod f. Da das Paar g, f die gleichen gemeinsamen Teiler wie das Paar f, gmod f hat, können wir einen größten gemeinsamen Teiler mithilfe des Euklidschen Algorithmus berechnen. Wir rechnen dazu zwei Beispiele: AUFGABE Wir berechnen einen größten gemeinsamen Teiler von f, g x für f 8 x 4 x 2 6 x 3 5 x 4 x 5 und g 4 4 x x 2 x 3.

7 4. TEILBARKEIT VON POLYNOMEN 185 Wir bilden die gleiche Tabelle wie beim Euklidschen Algorithmus für ganze Zahlen und erhalten: 8 x 4 x 2 6 x 3 5 x 4 x x x 2 x x 10 x x x x x 8 7 x 9 x2 x Um einen normierten gemeinsamen Teiler zu erhalten, multiplizieren wir die vorletzte Zeile dieser Tabelle mit 25 und erhalten 2 x als einen größten gemeinsamen Teiler. 16 Außerdem gilt 2 x x 32 f x 9 x2 5 x g. AUFGABE Wir berechnen den größten gemeinsamen Teiler der Polynome und in 2 x. Wir erhalten f 1 x 3 x 5 g 1 x x 3 1 x 3 x x x x 2 1 x 2 1 x 1 x 3 0 Daher ist 1 ein größter gemeinsamer Teiler, und es gilt 1 x f 1 x 3 g. Wir können also einen größten gemeinsamen Teiler mithilfe des Euklidschen Algorithmus bestimmen. Daraus ergibt sich: SATZ Sei K ein Körper, und seien f, g K x, nicht beide 0. Dann gibt es einen größten gemeinsamen Teiler d von f und g, für den es u, v K x gibt, sodass u f v g d. SATZ Sei K ein Körper, seien f, g K x, nicht beide 0, und sei d K x. Wir nehmen an, dass es u, v K x gibt, sodass d u f v g. Dann teilt jeder gemeinsame Teiler von f und g auch das Polynom d. Beweis: Sei h ein gemeinsamer Teiler von f und g. Dann gilt h u f vg, also h d. KOROLLAR Sei K ein Körper, und seien f, g K x, nicht beide 0. Seien d 1, d 2 K x beide ggt von f und g. Dann gilt d 1 d 2.

8 POLYNOME Beweis: Nach Satz gibt es einen größten gemeinsamen Teiler d von f und g, der sich als u f vg mit u, v K x schreiben lässt. Wegen Satz gilt d 1 d. Sowohl d 1 als auch d haben den maximal möglichen Grad unter allen gemeinsamen Teilern von f und g. Also gilt deg d 1 deg d. Somit gibt es einα K, sodass d Αd 1. Da d und d 1 normiert sind, giltα 1 und somit d d 1. Ebenso gilt d d 2, also d 1 d 2. Sei K ein Körper. Ein Polynom f K x ist irreduzibel über K, wenn deg f 1, und wenn für alle h, g K t mit h g f gilt, dass deg h 0 oder deg g 0. Jedes Polynom vom Grad 1 ist offensichtlich irreduzibel. SATZ Sei K ein Körper, und seien f, g, h K x so, dass f irreduzibel über K ist. Wenn f gh, so gilt f g oder f h. Beweis: Wenn f das Polynom g nicht teilt, so gilt ggt f, g 1. Also gibt es u, v K x mit 1 u f vg, und somit h u f h vgh. Da f u f h und f vgh, gilt auch f h. SATZ (Zerlegung in irreduzible Polynome). Sei K ein Körper, sei Irr K die Menge aller normierten, über K irreduziblen Polynome in K x, sei f K x 0, sei n deg f, und sei f n der führende Koeffizient von f. Dann gibt es genau eine FunktionΑ Irr K 0, sodass g Irr K Α g 0 endlich ist, und f f n g Α g. Wir erinnern uns, dass für g Irr K 5. Polynomfunktionen und Nullstellen f a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n K x die von f auf K induzierte Funktion f K durch definiert ist. f K K K k a 0 a 1 k a 2 k 2 a n k n DEFINITION Sei K ein Körper, sei f K x, und seiα K. Die ZahlΑist eine Nullstelle von f, wenn f K Α 0. SATZ Sei K ein Körper, sei f K x, und seiα K. Dann istαgenau dann eine Nullstelle von f, wenn x Α f gilt. ÜBUNGSAUFGABEN (1) Zeigen Sie: Sei K ein Körper, und sei f K x ein Polynom mit deg f 2 und einer NullstelleΑ K. Dann ist f nicht irreduzibel.

9 6. POLYNOME ÜBER DEN REELLEN UND DEN KOMPLEXEN ZAHLEN 187 (2) Sei K ein Körper. Zeigen Sie, dass jedes Polynom vom Grad 2 oder 3 über K, das keine Nullstelle hat, irreduzibel ist. (3) Finden Sie ein nicht irreduzibles Polynom vom Grad 4 über, das keine Nullstelle in hat und nicht irreduzibel ist. (4) Zeigen Sie: jedes irreduzible Polynom über hat Grad 1 oder geraden Grad. (Tatsächlich gilt sogar: hat Grad 1 oder 2, aber das ist viel schwieriger zu zeigen.) SATZ Sei K ein Körper, sei n, und sei f K x ein Polynom mit deg f n. Dann hat f höchstens n Nullstellen. Beweis: Wir beweisen diese Aussage durch Induktion nach n. Die Aussage stimmt für n 1: ein Polynom der FormΑ 1 x Α 2 hat, wennα 1 0, nur die Nullstelle Α 2 Α 1 1. Wir nehmen nun an, dass n 1 ist, und dass jedes Polynom vom Grad n höchstens n Nullstellen hat. Wir zeigen, dass dann jedes Polynom vom Grad n 1 höchstens n 1 Nullstellen haben kann. Sei dazu f ein Polynom vom Grad n 1. Wenn f keine Nullstellen hat, dann sind wir fertig, denn keine Nullstellen heißt natürlich auch weniger als n 2 Nullstellen. Wenn f zumindest eine Nullstelle hat, dann wählen wir eine NullstelleΑ. Wir können dann ein Polynom g vom Grad n finden, sodass f x Α g. Sei nunβeine Nullstelle von f mitβ Α. Dann gilt f K Β Β Α g K Β. Also gilt 0 Β Α g K Β. WegenΒ Α 0 gilt g K Β 0. Das ElementΒist daher eine Nullstelle von g. Da wir angenommen haben, dass jedes Polynom vom Grad n höchstens n Nullstellen hat, hat g höchstens n Nullstellen. Jede Nullstelle von f ist entweder gleich Α oder unter diesen n Nullstellen von g. Somit hat f höchstens n 1 Nullstellen. DEFINITION Sei K ein Körper, sei f K x 0, und seiα Keine Nullstelle von f. Wir definieren die Vielfachheit der NullstelleΑvon f als max n x Α n f. 6. Polynome über den reellen und den komplexen Zahlen DEFINITION Wir definieren a b b a a, b als die Menge der komplexen Zahlen. LEMMA Die Menge b a b a a, b hat folgende Eigenschaften: (1) c 1, c 2 c 1 c 2, c 1, c 1 c 2. (2) c c 1. (3) c 1, c 2 c 1 c 2 c 2 c 1.,,,, , ist also ein Körper.

10 POLYNOME Mit den Abkürzungen e , i lässt sich die komplexe Zahl a b b a auch als a e b i, oder kürzer als a b i schreiben. Es gilt i 2 1, das Polynom x 2 1 hat also in die Nullstellen i und i. Komplexe Zahlen der Form a 0i bezeichnen wir auch als reell. Für die Zahl z a b i bezeichnen wir z a b i als die zu z konjugiert komplexe Zahl. Schreiben wir die komplexe Zahl z a b b a als Matrix, so gilt z zt. SATZ Seien z 1, z 2, z. Dann gilt z 1 z 2 z 1 z 2 und z 1 z 2 z 1 z 2. Die Zahlen z z und z zsind stets reell. SATZ (Hauptsatz der Algebra, Gauß(1799), Argand (1806)). Sei f ein Polynom in x mit deg f > 0. Dann besitzt f eine NullstelleΑ. KOROLLAR (1) Jedes über irreduzible Polynom in x hat Grad 1. (2) Jedes über irreduzible Polynom in x hat Grad 1 oder 2. Beweis: (1): Sei f x irreduzibel über. Nach dem Hauptsatz der Algebra hat f eine NullstelleΑ, also gilt x Α f. Somit gilt x Α f. (2): Sei f x irreduzibel über. Nach dem Hauptsatz der Algebra hat f eine NullstelleΑ. WennΑ, so gilt x Α f, also f x Α. WennΑ, so verwenden wir, dass alle Koeffizienten von f reell sind und folglich gilt: f Α n i 0 f i Αi n i 0 f i Αi n i 0 f i Αi n i 0 f i Αi f Α 0 0. Also gilt in x, dass x Α f und x Α f. Somit gilt in x, dass x Α x Α f. Das Polynom g x Α x Α hat nur reelle Koeffizienten. Es gilt g f in x. Somit gilt auch g f in x (denn gäbe es bei der Division in x einen Rest 0, wäre der Rest bei der Division in x nicht eindeutig). Es gilt also g f. KOROLLAR Sei n, und sei f x ein normiertes Polynom vom Grad n. Dann gibt es m,λ 1,,Λ m und v 1,, v m sodass und v 1 v m n. m f x Λ i v i i 1

11 Literaturverzeichnis [Halmos, 1976] Halmos, P. R. (1976). Naive Mengenlehre. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen. Vierte Auflage, Aus dem Englischen übersetzt von Manfred Armbrust und Fritz Ostermann, Moderne Mathematik in elementarer Darstellung, No. 6. [Remmert and Ullrich, 1987] Remmert, R. and Ullrich, P. (1987). Elementare Zahlentheorie. Birkhäuser Verlag, Basel. 189