1 Algebraische Strukturen

Transkript

1 Prof. Dr. Rolf Socher, FB Technik 1 1 Algebraische Strukturen In der Mathematik beschäftigt man sich oft mit Mengen, auf denen bestimmte Operationen definiert sind. Es kommt oft vor, dass diese Operationen auf ganz verschiedenen Mengen ganz ähnliche Eigenschaften haben. Beispielsweise gelten für die Operationen, und der Mengenlehre genau die gleichen Gesetze wie für die Operationen, und der Aussagenlogik. In der Mathematik definiert man dann eine abstrakte Struktur (in diesem Fall die Struktur boolesche Algebra), das heißt eine Menge, auf der bestimmte Verknüpfungen definiert sind, und beschreibt diese Struktur durch gewisse Axiome (in diesem Fall die Axiome der booleschen Algebra). Die Sätze und Eigenschaften, die man dann aus den Axiomen ableiten kann, gelten dann für alle konkreten Modelle der abstrakten Struktur (in diesem Fall für die bekannten Modelle der booleschen Algebra, also die Mengenlehre und die Aussagenlogik). In diesem Text sollen drei grundlegende algebraische Strukturen vorgestellt werden. Diese lassen sich in folgendem Diagramm darstellen. Gruppen Ringe Vektorräume Ringe ohne 1 Ringe mit 1 Körper Der Pfeil wird gelesen als ist ein : Der Körper ist ein Ring mit 1; der Ring ist ein Körper usw. Die Raute bezeichnet die Aggregation, er kann gelesen werden als hat ein bzw. verwendet ein. Ein Vektorraum ist eine Gruppe, die zusätzlich einen Körper verwendet.

2 Prof. Dr. Rolf Socher, FB Technik 2 2 Gruppen Definition 1 (Die Gruppenaxiome) Eine Gruppe (G, ) besteht aus einer Menge G und einer Verknüpfung auf G mit den folgenden Eigenschaften: (G1) (G2) (G3) Es gibt ein Element e G mit der Eigenschaft e a = a e = a für alle a G. e heißt neutrales Element von G. Zu jedem a G gibt es ein inverses Element a 1 mit der Eigenschaft a 1 a = a a 1 = e. Für alle a, b, c G gilt: (a b) c = (a b) c. (Assoziativgesetz) Das Assoziativgesetz besagt, dass Klammern weggelassen werden können: a b c = (a b) c = (a b) c. Die Gruppe G heißt kommutative Gruppe oder abelsche Gruppe, falls zusätzlich das Kommutativgesetz erfüllt ist: (KG) Für alle a, b G gilt: a b = b a. Aus den Gruppenaxiomen können weitere Rechengesetze für Gruppen hergeleitet werden. Als Beispiel zwei Eigenschaften: Satz 2 Ist G eine Gruppe, so gilt für alle a, b G: a) Es gibt genau ein x G mit a x = b und ein y G mit y a = b. b) Es gilt (a b) 1 = b 1 a 1. Beweis: a) Es gibt ein solches x, nämlich x = a 1 b. Dann gilt a x = a a 1 b = e b = b Dieses x ist eindeutig, denn: Aus a x 1 = b und a x 2 = b folgt a x 1 = a x 2, also a 1 a x 1 = a 1 a x 2, also e x 1 = e x 2, also x 1 = x 2. Entsprechend der Beweis für y a = b. b) Es ist (b 1 a 1 ) (a b) = b 1 a 1 a b = b 1 e b = b 1 b = e, also ist b 1 a 1 die Inverse von a b. Beispiele von Gruppen: a) (IR, +) ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element e = 0 und Inversem a 1 = a. b) (IR {0}, ) ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element e = 1 und Inversem a 1 = 1/a.

3 Prof. Dr. Rolf Socher, FB Technik 3 c) (ZZ, +) ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element e = 0 und Inversem a 1 = a. d) ( IN, +) ist keine Gruppe. Warum nicht?? Definition 3 Ist U eine Teilmenge der Gruppe (G, ), so heißt U Untergruppe von U, falls (U, ) selbst eine Gruppe ist. Es gilt: U ist genau dann eine Untergruppe von (G,*), falls für alle a, b U gilt: a b U und a 1 U Beispiele: a) (ZZ, +) und ( IQ, +) sind Untergruppen von ( IR, +). b) ( IN, +) ist keine Untergruppe von ( IR, +). c) Sei G die Menge der geraden ganzen Zahlen, G = {2n n ZZ }. Dann ist (G, +) eine Untergruppe von (ZZ, +), denn die Summe zweier gerader Zahlen ist wieder gerade, und das Negative einer ganzen Zahl ist eine ganze Zahl. Die Menge der ungeraden Zahlen ist dagegen keine Untergruppe von (ZZ, +), denn sie enthält nicht das neutrale Elememnt 0 (0 ist keine ungerade Zahl). d) Verallgemeinerung des Beispiels aus c): Sei m > 1 irgendeine natürliche Zahl. Dann ist die Menge der (positiven und negativen) Vielfachen von m, nämlich {mn n ZZ } eine Untergruppe von (ZZ, +).

4 Prof. Dr. Rolf Socher, FB Technik 4 3 Ringe Definition 4 (Die Ringaxiome) Ein Ring (R, +, ) besteht aus einer Menge R und zwei Verknüpfungen + und auf R mit den folgenden Eigenschaften: (R1) (R, +) ist eine kommutative Gruppe. (R2) Für alle a, b, c R gilt: (a b) c = (a b) c. (Assoziativgesetz) (R2) Für alle a, b, c R gilt: a (b+c) = a b + a c und (b+c) a = b a + c a (Distributivgesetze) Der Ring R heißt kommutativer Ring, falls zusätzlich das Kommutativgesetz der Multiplikation erfüllt ist: (KR) Für alle a, b R gilt: a b = b a. Der Ring R heißt Ring mit Einselement, falls er zusätzlich ein neutrales Element der Multiplikation hat: (RE) Für alle a R gilt: a 1 = 1 a = a. Ein Ring ist also eine kommutative additive Gruppe mit einer zusätzlichen assoziativen und distributiven Multiplikation. Ein Ring hat immer eine 0 (neutrales Element der Addition), jedoch nicht immer eine 1 (neutrales Element der Multiplikation). Beispiele von Ringen: a) (ZZ, +, ), ( IQ, +, ), (IR, +, ) sind Ringe. b) Sei n>1 eine natürliche Zahl. Die Menge ZZ n der Restklassen modulo n bildet einen Ring (ZZ n,, ) mit 1. Beispiel für n = 4: Das Nullelement (bzgl. Addition) ist die 0, das inverse Element m zu m ist n m, denn m+n m = n 0 (mod n). c) Sei IR[x] die Menge der reellen Polynome über der Variablen x. Die Verknüpfungen + und sind definiert durch: (p + q) (x) = p(x) + q(x) und

5 Prof. Dr. Rolf Socher, FB Technik 5 (p q) (x) = p(x) q(x) Beispiel: p(x) = 3x 2 4x + 1 und q(x) = x 3 + 4x. Dann gilt p(x) + q(x) = x 3 + 3x und p(x) = 3x 2 4x + 1 und q(x) = x 3 + 4x. p(x) q(x) = 3x 5 4x 4 11x 3 16x 2 + 4x. Dann ist (IR[x], +, ) ein Ring (der so genannte Polynomring über IR). Aus den Ringaxiomen können weitere Rechengesetze für Ringe hergeleitet werden. Als Beispiel eine Eigenschaft: Satz 5 Ist R ein Ring, so gilt a 0 = 0 für alle a R. Beweis: Es gilt a 0 = a (0 + 0) = a 0 + a 0 Zieht man nun von beiden Seiten der Gleichung a 0 ab (genauer: addiert man auf beiden Seiten das Inverse von a 0), so erhält man: 0 = a 0

6 Prof. Dr. Rolf Socher, FB Technik 6 4 Körper Definition 6 (Die Körperaxiome) Ein Körper (K, +, ) besteht aus einer Menge K und zwei Verknüpfungen + und auf K mit den folgenden Eigenschaften: (K1) (K, +, ) ist ein kommutativer Ring mit Einselement 1. (R2) Für alle a K mit a 0 gibt es ein Element a 1 K mit a a 1 = a 1 a = 1. Ein Körper ist also ein Ring mit 1, bei dem jedes Element außer der 0 ein multiplikatives Inverses hat. Mit anderen Worten, die Struktur (K {0}, ) bildet eine multiplikative Gruppe. Die bekanntesten Körper sind der Körper der ratinalen Zahlen, ( IQ, +, ) und der Körper der reellen Zahlen, (IR, +, ). Dagegen ist (ZZ, +, ) kein Körper, denn außer 1 und 1 hat keine ganze Zahl eine multiplikative Inverse. Ebenso ist auch der Polynomring IR[x] kein Körper, denn beispielsweise das Polynom p(x) = x 1 hat kein multiplikatives Inverses. Aus den Körperaxiomen können weitere Rechengesetze für Körper hergeleitet werden. Als Beispiel eine Eigenschaft: Satz 7 Ist K ein Körper, und sind a, b K mit a, b 0, so ist auch a b 0. Beweis: Angenommen, es wäre a b = 0. Dann existieren a 1 und b 1 und es gilt b = (a 1 a) b = a 1 (a b) = a 1 0 = 0 Dies ist ein Widerspruch zur Vorraussetzung, also ist a b 0. Weitere Beispiele: a) Die Menge ZZ 4 der Restklassen modulo 4 bildet einen Ring (ZZ n,, ) mit 1, jedoch keinen Körper, denn es gilt 2 0, aber 2 2 = 0, imwiderspruch zu Satz 7. Es ist auch leicht zu sehen, dass 2 kein multiplikatives Inverses hat (d.h., es gibt kein n mit 2 n = 1)

7 Prof. Dr. Rolf Socher, FB Technik 7 b) Die Menge ZZ 5 der Restklassen modulo 5 bildet einen Körper (ZZ 5,, ). Aus der Multiplikationstabelle lässt sich entnehmen, dass jedes Element außer 0 ein multiplikatives Inverses hat: 1 1 = 1, 2 1 = 3, 3 1 = 2, 4 1 = 4. Was ist der Unterschied zwischen 4 und 5? Warum ist ZZ 5 ein Körper, ZZ 4 jedoch nicht? Die Antwort lautet: 5 ist eine Primzahl, 4 jedoch nicht. Allgemein gilt: Satz 8 ZZ n ist genau dann ein Körper, wenn n eine Primzahl ist. Dieser Satz lässt sich mit elementaren Mitteln beweisen. a) Sei n = p eine Primzahl. Da schon ein Ring mit Einselement ist, müssen wir nur noch beweisen, dass jedes Element a {1, 2,, p 1} ein multiplikatives Inverses hat. p ist eine Primzahl, also gilt ggt(a,p) = 1. Nach dem Euklidschen Algorithmus gibt es ganze Zahlen α und β mit αp + βa = 1, also: 1 βa mod p (β mod p) (a mod p) = (β mod p) a Dies heißt aber nichts anderes, als dass (β mod p) das Inverse zu a ist. b) Ist jedoch n keine Primzahl, dann ist es teilbar, es gibt also m und k mit m k = n, also ist m k 0 mod n, also m k = 0 in ZZ n im Widerspruch zu Satz 7. Die (endlichen) Körper ZZ p spielen eine wichtige Rolle in der Kryptographie und in der Datensicherung.