Kapitel II. Algebraische Grundbegriffe

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1 Kapitel II. Algebraische Grundbegriffe 1 Ringe und Körper Für das Rechnen in Z haben wir in Kap. I, 1 Regeln aufgestellt, welche auch in Q und R gelten. Damit werden Z, Q und R zu Ringen im folgenden Sinn: Sei R eine Menge, auf der zwei Verknüpfungen, + ( plus, Addition) und ( mal, Multiplikation), erklärt sind. Definition. R, zusammen mit den Operationen + und, (kurz (R, +, ) ) heißt ein Ring, wenn Addition und Multiplikation den folgenden sechs Axionen genügen: Addition + Multiplikation 1. Eindeutige Ausführbarkeit Zu je zwei Elementen a, b R existiert in R in eindeutiger Weise die Summe a + b das Produkt a b Für a, b, c R gelten die folgenden Gesetze: 2. Assoziativgesetze (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c) a + b = b + a 3. Kommutativgesetze a b = b a 4. Existenz neutraler Elemente Es gibt ein Element n R, Es gibt ein Element e R, so daß für jedes a R gilt: so daß für jedes a R gilt: a + n = a a e = a Es ist e n. 1

2 Bezeichnung: n nennt man Nullelement und e Einselement des Rings R. Bemerkung: Sind 3. und 4. erfüllt, so hat R genau ein Nullelement und genau ein Einselement. Wir bezeichnen diese (wie in Z) mit 0 ( Null ) und 1 ( Eins ). Beweis. Sind n und ñ Nullelemente, so gilt wegen 3. und 4. ñ = ñ + n = n + ñ = n. Entsprechend schließt man für Einselemente. 5. Umkehrung der Addition Zu jedem a R gibt es ein Element a R, so daß gilt a + a = 0 a heißt ein Negatives von a Bemerkung. Zu jedem a gibt es genau ein Negatives. Wir bezeichnen es mit a. Schreibe für a + ( b) auch a b und nenne a b die Differenz zwischen a und b. Beweis. Seien a und ã Negative von a. Dann gilt a + a = 0 = a + ã = ã = ã + 0 = ã + (a + a ) = (ã + a) + a = (a + ã) + a = 0 + a = a + 0 = a. 6. Das Distributivgesetz (a + b) c = (a c) + (b c) für alle a, b, c aus R. Zur Vereinfachung der Schreibweise führen wir folgende Konventionen ein: Schreibe ab für a b Punktrechnung geht vor Strichrechnung, d.h. ab + c := (a b) + c a + bc := a + (b c) Damit schreibt sich z. B. das Distributivgesetz in der Form (a + b)c = ac + bc Bei mehrfachen Summen bzw. Produkten werden Klammern weggelassen (weil es wegen der Assoziativgesetze nicht auf die Art der Klammerung ankommt.) Also a + b + c := (a + b) + c, abc := (a b) c 2 u.s.w.

3 Definition. Ein Ring R heißt Integritätsbereich, wenn zusätzlich gilt: 7. Nullteilerfreiheit. Aus ab = 0 folgt: a = 0 oder b = 0. Definition. Ein Ring heißt Körper, wenn zusätzlich zu den Axiomen 1 bis 6 noch gilt: 8. Umkehrbarkeit der Multiplikation. Zu jedem a 0 aus R gibt es ein Element ã mit aã = 1. Bemerkung. In einem Körper gibt es zu jedem a R, a 0 genau ein ã R mit aã = 1. Wir bezeichnen dieses Element mit a 1 und nennen es das zu a reziproke Element (Kehrwert von a). Beweis. aã = 1 = aã = ã = ã 1 = ãaã = aãã = 1ã = ã1 = ã Wir schreiben für a 1 auch 1 a und für b a 1 auch b a. Beispiele. a) Z ist ein Ring, sogar ein Integritätsbereich; Z ist kein Körper, denn 2 hat in Z kein Reziprokes. b) Q und R sind Körper. c) N ist kein Ring: 1 hat in N kein Negatives. d) Jeder Körper ist ein Integritätsbereich. (Der Beweis wird später geführt.) Unterringe. Sei R ein Ring und S R eine Teilmenge mit 1 S. Man nennt S einen Unterring von R, wenn S abgeschlossen ist unter Addition, Multiplikation und der Bildung des Negativen, d.h.: Sind a, b S, so sind auch a, a + b und ab aus S. Offenbar ist jeder Unterring eines Rings selbst ein Ring. 3

4 Beispiele von Unterringen. a) Z ist ein Unterring von Q und Q ist ein Unterring von R; N ist kein Unterring von Z. b) Reell quadratische Zahlbereiche. Sei m > 1 eine quadratfreie ganze Zahl, d.h. m = p 1... p r mit paarweise verschiedenen Primzahlen. Die positive Quadratwurzel von m bezeichnen wir mit m. (i) Betrachte in R die Teilmenge S = Z[ m] := {a + b m a, b Z} Offenbar ist 1 = m Z[ m]; es ist sogar Z S. S ist abgeschlossen unter den oben genannten drei Operationen: Seien a, b, a, b Z und r = a + b m, s = a + b m aus S: r + s = (a + a ) + (b + b ) m S, r = ( a) + ( b) m S rs = (aa + bb m) + (ab + a b) m S. Also ist S ein Unterring von R. (ii) K = Q[ m] := {a + b m a, b Q} ist sogar ein Körper: Wie in (i) zeigt man, daß K ein Ring ist. Ferner gilt, falls s = a + b m 0 ist: a 2 b 2 m, da m kein Quadrat ist. Also ist x = 1 (a b m) ein wohldefiniertes Element von Q[ m] a 2 b 2 m und (a + b m) ( 1 (a b m) ) = (a+b m)(a b m) = a 2 b 2 m a 2 b 2 m = a2 b 2 m = 1 und a 2 b 2 m s 1 = x Q[ m]. Weitere abkürzende Schreibweisen: Sei m 1 aus Z und a R. Schreibe ma := a } +. {{.. + a }, a m := a }.{{.. a}, ferner m-mal m-mal 0 a := 0, ( m)a := m( a); a 0 := 1, a m := (a 1 ) m, falls a 1 existiert. Für m 1 schreiben wir auch kurz m. Es ergeben sich folgende Regeln: ( m)a = (ma); a m = (a m ) 1, falls a 1 existiert, ferner a m a n = a m+n, a n b n = (ab) n, (a n ) m = a n m für alle n, m N. Dies ergibt sich leicht durch Induktion. 1.1 Bemerkung. Sei R ein Ring und a, b, c R. Dann gilt 4

5 a) Es gibt genau ein x R mit x + b = a, nämlich x = a b. b) a(b c) = ab ac, a0 = 0, ( a) = a, ( a)b = a( b) = ab, ( a)( b) = ab. c) Kürzungsregeln. (i) Für jeden Ring gilt: Aus a + b = a + c folgt b = c (ii) Ist R ein Integritätsbereich, so gilt: Aus ab = ac und a 0 folgt b = c d) Ist R ein Körper und b 0, so gibt es zu jedem a genau ein x R mit xb = a, nämlich x = ab 1. e) Jeder Körper ist ein Integritätsbereich. Beweis. a) (a b) + b = a + ( b + b) = a + (b + ( b) = a + 0 = a Eindeutigkeit. x+b = a = x = x+0 = x+(b b) = (x+b) b = a b c)(i) a + b = a + c = b + a = c + a = b = b + a a = c + a a = c b) a 0 = a 0 = a(0 + 0) = a0 + a0 = 0 = a 0 nach c)(i). a + a = a + ( a) = 0 = a = ( a) ab + a( b) = a(b + ( b)) = a0 = 0 = a( b) = ab Analog zeigt man ( a)b = ab a(b c) = a(b + ( c)) = ab + a( c) = ab + ( ac) = ab ac c)(ii) ab = ac = a(b c) = ab ac = ab ab = 0 = b c = 0, da a 0 und R nach Voraussetzung ein Integritätsbereich ist. b c = 0 = c = (b c) + c = b + ( c + c) = b + (c c) = b + 0 = b d) (ab 1 )b = a(b 1 b) = a1 = a Eindeutigkeit. xb = a = x = x 1 = x(bb 1 ) = (xb)b 1 = ab 1 e) ab = 0 und a 0 = a 1 existiert und 0 = a 1 0 = a 1 ab = 1b = b 5

6 Nullteiler und Einheiten. Definition. Sei R ein Ring und a R. a) a R heißt Nullteiler von R, wenn es ein b 0 in R gibt mit ab = 0. (Ein Ring ist also genau ein Integritätsbereich, wenn 0 der einzige Nullteiler von R ist. Man spricht daher bei einem Integritätsbereich auch von einem nullteilerfreien Ring.) b) Ein Element a R heißt Einheit von R, wenn es ein b R gibt mit ab = 1. (Ein Ring R ist also genau dann ein Körper, wenn jedes a 0 eine Einheit von R ist.) Ist a Einheit von R, so ist das b mit ab = 1 eindeutig bestimmt (Beweis!). Es wird mit a 1 bezeichnet. Mit R bezeichnen wir die Menge aller Einheiten von R. Beispiele. a) In Z sind 1 und 1 die einzigen Einheiten. b) In Q sind alle Elemente außer der 0 Einheiten. 1.2 Regel. a) 1 ist eine Einheit. b) Sind a und b Einheiten, so sind auch a 1, b 1 und ab Einheiten. (Induktiv folgt daraus: a m b n sind Einheiten für alle m, n Z.) Beweis. a) 1 1 = 1 b) (ab)(b 1 a 1 ) = a(bb 1 )a 1 = a1a 1 = aa 1 = 1 (a 1 )a = a(a 1 ) = 1. 6