Prof. Dr. Felix Otto - Analysis I (WiSe 2001/2002)

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1 Prof. Dr. Felix Otto - Analysis I (WiSe 001/00) John Bieling Babak Haghighat Martin Killmann Oleg Lewagin Julia Nickenig Andreas Orth Martin Sander Maik Schäfer Florian Schuster Michael Strucken Andreas Wedel Dennis Wegener Emanuel Huhnen-Venedey Stand: (Kapitel 1 bis 14)

2 Inhaltsverzeichnis 1 Reelle Zahlen 1 Natürliche Zahlen 7 3 Ein wenig Kombinatorik 15 4 Teilbarkeit und Rationale Zahlen 1 5 Das Vollständigkeitsaxiom 9 6 Exkurs 43 7 Einige Ungleichungen und die euklidische Norm 49 8 Stetigkeit 55 9 Topologie Stetige Funktionen Fundamentalsatz der Algebra 97 1 Differenzierbarkeit Exponentialfunktion & trigonometrische Funktionen Sinus und Kosinus Folgen und Grenzwerte Charakterisierung topologischer Begriffe durch Folgen Grenzwerte von Funktionen Monotone Folgen Cauchy-Folgen

3 Literaturempfehlungen: M.Barner, F.Flohr, Analysis 1, de Gruyter, 1983 T. Bröcker, Analysis 1, Spektrum Lehrbuch 1995 J. Diendonné, Grundzüge der modernen Analysis 1, Vieweg 1971 O.Forster, Analysis, Vieweg 1983 H.Grauert, J.Lieb, Lehrbuch der Analysis 1, Springer 1970 H.Heuser, Lehrbuch der Analysis 1, Teubner 1984 W.Rudin, Analysis, Oldenburg 1998 K.Königsberger, Analysis 1, Springer 000

4 1 Reelle Zahlen Zwei Zugänge: konstruktiv axiomatisch natürliche N {1,,3,...} wenige Grundregeln ganze Z {...,-,-1,0,1,,...} postulieren (Axiome) rationale Q z.b. 3 7, 7 9 daraus alles weitere reelle R ableiten Axiome gliedern sich in 3 Klassen: A) Die Körperaxiome (beschreiben die Grundrechenarten +, abgeleit -, ) B) Die Anordnungsaxiome (beschreiben <, abgeleitet, >, ) C) Das Vollständigkeitsaxiom (beschreibt Unterschied zwischen Q und R) A) Die Körperaxiome Zunächst einmal: R ist eine Menge. Auf dieser Menge gibt es zwei Operatoren. Jedem Paar (a,b) von reellen Zahlen ist eine dritte zugeordnet, nämlich (a+b) für die Addition bzw. (a b) für die Multiplikation. Diese Operationen genügen folgenden Axiomen: + Kommutativgesetz a+b = b+a a b =b a Assoziativgesetz (a+b)+c = a + (b+c) (a b) c =a (b c) neutrales Element inverses Element Distributivgesetz Es existiert genau eine Zahl, 0 genannt, mit a+0=a Es existiert genau eine Zahl,1 genannt, mit a 1=a 0 1 Zu jedem a existiert ein b Zu jedem a 0 existiert mit a+b = 0 einbmita b=1 a (b+c) = a b+a c Bemerkung i) Eine Menge mit zwei Operationen, die diesen Axiomen genügen heißt Körper. R ist also ein spezieller Körper. Es gibt andere, z.b. der einfachste: K = {0, 1} 1

5 1 Reelle Zahlen mit den Operationen 0+0 = =0 0+1 = =0 1+0 = =0 1+1 = =1 ii) Zu a existiert genau ein b mit a+b = 0. In der Tat sei b mit a+b = 0. Dann gilt: b = b + 0 neutr. + b = b +(a + b) b =(b + a)+b Assoz. + b =(a + b )+b Komm. + b =0+b b = b + 0 Komm. + b = b neutr. + Dieses eindeutig bestimmte inverse Element b wird auch mit -a bezeichnet. Schreibweise: a +( b) =a b Das definiert Subtraktion & Differenz. iii) Zu a 0 existiert genau ein b mit a b =1.DasArgumentverläuft wie in ii). Das inverse Elementwirdauchmita 1 oder 1 a bezeichnet. Abkürzende Schreiweise: a (b 1 )= a b Das führt Quotient und Division ein. Einige abgeleitete Regeln: Lemma 1 i) ( a) = a (a 1 ) 1 = a falls a 0 ii) ( a)+( b) = (a + b) a 1 b 1 = (a b) 1 falls a, b 0 iii) a 0 = 0 a ( b) = a b ( a) ( b) = a b a b = 0 (a =0oderb =0)

6 1 Reelle Zahlen Beweis von Lemma 1 i) Behauptung (a 1 ) 1 = afür a 0 In der Tat 1=a a 1 Definition invers bzgl. 1=a 1 a Komm. Also ist a das inverse Element von a 1 bzgl. Nun weiter, Behauptung Es ist zu zeigen In der Tat (a b) 1 = a 1 b 1 für a, b 0 (a b) (a 1 b 1 )=1 (a b) (a 1 b 1 ) = (b a) (a 1 b 1 ) = b ((a a 1 ) b 1 ) = b (1 b 1 ) = b b 1 = 1 ii) Behauptung In der Tat Also auch a 0=0 (a 0) = a (0 + 0) neutr. + = a 0+a 0 Distr. (a 0) (a 0) = (a 0+a 0) a 0 = a 0+(a 0 a 0) Also nach Def. des inversen Elements bzgl. + 0 = a 0+0 = a 0 neutr. + Nun weiter, Behauptung a ( b) = a b 3

7 1 Reelle Zahlen Das gilt, weil: a b + a ( b) = 0 = a (b b) Distr. = a 0 invers + = 0 nach ii) iii) Zeige zunächst Nehme an a b =0 (a =0oderb =0) a b =0 Fall 1: b = 0, dann ist nichts zu zeigen. Fall : b 0, dann ist a = 0 zu zeigen. Aus a b =0folgt(a b) b 1 =0 b 1 und da b 1 existiert (b 0) (a b) b 1 =0 b 1 a( b b 1 )=0gemäß ii) a 1 = 0 a = 0 B) Die Anordnungsaxiome Auf R gibt es eine Relation <.Für gewisse Paare (a,b) gilt a< b. Diese Relation genügt folgenden Axiomen: Trichotomie entweder a< bodera=boderb< a Transitivität (a< bundb< c) a< c Verträglichkeit mit + a< b a+c < b+c Verträglichkeit mit (a< bund0< c) a c < b c Notation: statt a<bschreibt man auch b>a statt (a <boder a = b) schreibtmanaucha b statt (a >boder a = b) schreibtmanaucha b 4

8 1 Reelle Zahlen Lemma i) (a <0undb<0) a + b<0 (a >0undb>0) a + b>0 a<0 a>0 ii) a b>0 ((a >0undb>0) oder (a <0undb<0)) a b<0 ((a >0undb<0) oder (a <0undb>0)) iii) 0 < 1 a<0 a 1 < 0 Beweis Lemma zu i) zu (a <0undb<0) a + b<0 zu a<0 a>0 d.h. a<0 a + b<bverträglichkeit mit + b<0 a<0 a +( a) < a Verträglichkeit mit + }{{} =0 invers + a >0 } a + b<0 Transitivität zu ii) Wegen Lemma 1 iii) (a =0oderb =0) a b =0 (1) Aufgrund der Trichotomie reicht es, folgendes zu zeigen: (a >0undb>0) oder (a <0undb<0) a b>0 () sowie die Aussage: (a >0undb<0) oder (a <0undb>0) a b<0 (3) Einschub: Zwei Strategien zum Beweis A B 1.Strategie:.Strategie: Zeige im 1.Schritt: A B Zeige im.schritt: B A Zeige im 1.Schritt: A B Zeige im.schritt: A B 5

9 1 Reelle Zahlen In der Tat, (1) bis (3) ziehen die Umkehrung von z. B. () nach sich, Behauptung denn ((a >0undb>0) oder (a <0undb<0)) (a b>0) ((a >0undb>0) oder (a <0undb<0)) (a >0undb>0) und (a <0undb<0) ( (a >0) oder (b >0)) und ( (a <0) oder (b <0)) (a 0oderb 0) und (a 0oderb 0) (a 0undb 0) oder (a 0undb 0) nach Trichotomie : (a 0 (a <0odera =0)) ((a <0odera =0)und(b>0oderb =0)) oder ((a >0odera =0)und(b<0oderb =0)) (a <0undb>0) oder (a >0undb<0) oder (a <0undb =0) oder(a>0undb =0) oder (a =0undb>0) oder (a =0undb<0) oder (a =0undb =0) oder(a =0undb =0) a b<0odera b =0 (a b > 0) (Trichotomie) Es reicht also in der Tat aus, () und (3) zu beweisen. Wir betrachten z. B. (3). Diese zerfällt in zwei Aussagen. Aus Symmetriegründen reicht es, zu zeigen: In der Tat Nach Lemma 1 (a >0undb<0) a b<0 (a >0undb<0) (a >0und b>0) gemäß i) a ( b) > 0 ( b) Verträglichkeit a ( b) = ab 0 ( b) = 0 Also ist die letzte Aussage äquivalent zu ab > 0 ab < 0gemäß i) zu iii) zu 0 < 1 Gemäß den Körperaxiomen wissen wir 0 1. Nach der Trichotomie ist auszuschließen, dass 1 < 0. Angenommen, es gelte 1 < 0. Dann gilt nach ii): 1 1 > 0. Da 1 neutrales Element der Multiplikation 1 > 0. Das ist nach der Trichotomie ein Widerspruch. Also kann 1 < 0 nicht wahr sein. Vor C) Vollständigkeitsaxiom werden wir die natürlichen Zahlen einführen. 6

10 Natürliche Zahlen Strategie: Konstruiere N aus R heraus, die 1 haben wir bereits. N = {1, 1+1, 1+1+1, ,...} }{{}}{{}}{{} 3 4 All diese Zahlen (1,, 3,...) sind verschieden, da wegen Lemma iii) aus Kapitl gilt 1 > 0 Und daher nach der Verträglichkeit von < mit + : Also: 1+0< < < 3 < 4 <... Aus der Transitivität folgt 1 <, 1 < 3, 1 < 4,... und < 3, < 4,... und somit nach der Trichotomie 1, 1 3, 1 4,... und 3, 4,... Also sind all diese Zahlen paarweise verschieden. Nun jedoch eine formalere Einführung, die den Zusammenhang mit dem Prinzip der vollständigen Induktion erkennen läßt. Definition 1 i) bedeutet Teilmenge, nicht echte Teilmenge ii) eine M R heisst induktiv, wenn 1 M Für jedes a R gilt: a M a +1 M R ist induktiv { 3,, 1, 0, 1,,...} ist induktiv { 1, 1, 3,, 5,...} ist induktiv iii) Die natürlichen Zahlen sind die Schnittmenge aller induktiven Mengen N = M M induktiv 7

11 Natürliche Zahlen Lemma 1 i) N ist induktiv ii) Für jede Teilmenge M N gilt: M induktiv M=N Beweis von Lemma 1 zu i) Nach Definition von induktiv gilt für jedes induktive M 1 M Nach Definition von N gilt daher 1 N Sei a N. Nach Definition von N gilt a M für alle M induktiv Nach Definition von induktiv (a +1) M für alle M induktiv Nach Definition von N daher (a +1) N zu ii) Da M induktiv und nach Definition von N N M Da M N, gilt daher: N = M Korollar 1 (Prinzip der vollständigen Induktion) Zu jedem n N gebe es eine Aussage A(n). Dann folgt aus A(1) ist wahr Für alle n N gilt A(n) A(n +1) bereits A(n) istwahrfür alle n N 8

12 Natürliche Zahlen Beweis von Korollar 1 Betrachte M = {n N A(n) istwahr} offensichtlich M N. Unser Ziel lautet M = N. Nach Lemma 1 ii) müssen wir lediglich zeigen, dass M induktiv ist. In der Tat 1 M da nach Voraussetzung A(1) wahr ist, sowie n M (n +1) M da nach Voraussetzung Lemma A(n) A(n +1) i) Für alle n, m N gilt n + m N ii) Für alle n, m N gilt n m N Beweis von Lemma zu i) Fixiere n N und betrachte die Aussage A(m) =(n + m N ) Unser Ziel lautet also A(m) istwahrfür alle N Wir werden das Prinzip der vollst. Induktion benutzen, unsere Induktionsverankerung (A(1) ist wahr) A(1) = (n +1 N ) wahr, da N nach Lemma 1 i) induktiv, Induktionsschluss (A(m) A(m +1)) A(m) = (n + m N ) n + m)+1 N da N induktiv n +(m +1) N }{{} =A(m+1) Assoz.+ 9

13 Natürliche Zahlen zu ii) Fixiere n N und betrachte die Aussage A(m) =(nm N ) Prinzip der vollständigen Induktion, Induktionsverankerung: A(1) = (n 1) N n N, da 1 neutrales Element bzgl. Also ist A(1) wahr, nun der Induktionsschluss: A(m) =(nm N ) nm + n N gemäß i) }{{} =n m+n 1 gemäß neutr. Element bzgl. und Kommutativgesetz Beispiel Für alle n N Beweis: n = n(n +1) Heuristisch: 1 3 n + n n 1 n 1 = n +1 n +1 n +1 n +1 also daher n +1 + n +1 + n n +1 =n(n +1) n = 1 (n(n +1)) 10

14 Natürliche Zahlen Sauberes Argument durch vollständige Induktion: A(n)=( n = Induktionsverankerung: A(1) = Induktionsschluss: A(n) = ( 1= ) 1(1 + 1) ), ist wahr ( n = n(n +1) ) ) n(n +1) ( n)+(n +1) }{{} = n(n +1) +(n +1) } {{} = n +(n +1) = 1 (n(n +1)+(n +1)) = 1 (n +)(n +1) = (n + 1)((n +1)+1) Das ist Aussage A(n +1)! Definition (Potenzen) Für x R und n N x n = x x }{{} n mal Saubere Definition ist induktiv x 1 = x x n+1 = x n x Konvention: x R, x 0,x 0 =1 Lemma 3 (Bernoullische Ungleichung) Für alle x R, x 1 und alle n N gilt (1 + x) n 1+nx 11