Höhere Mathematik I. G. Herzog, Ch. Schmoeger. Wintersemester 2018/19. Karlsruher Institut für Technologie

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1 Höhere Mathematik I G. Herzog, Ch. Schmoeger Wintersemester 208/9 Karlsruher Institut für Technologie

2 Inhaltsverzeichnis Reelle Zahlen 2 2 Folgen und Konvergenz 2 3 Unendliche Reihen 3 4 Potenzreihen 45 5 q-adische Entwicklung 49 6 Grenzwerte bei Funktionen 53 7 Stetigkeit 59 8 Funktionenfolgen und -reihen 70 9 Differentialrechnung 76 0 Das Riemann-Integral 92 Uneigentliche Integrale 07 2 Die komplexe Exponentialfunktion 2 3 Fourierreihen 9 4 Der Raum R n 26

3 Kapitel Reelle Zahlen Die Grundmenge der Analysis ist die Menge R, die Menge der reellen Zahlen. Diese führen wir axiomatisch ein, d.h. wir nehmen R als gegeben an und fordern in den folgenden 5 Axiomen Eigenschaften von R aus denen sich alle weiteren Rechenregeln herleiten lassen. Körperaxiome: In R sind zwei Verknüpfungen + und gegeben, die jedem Paar a, b R genau ein a + b R und genau ein ab := a b R zuordnen. Dabei gilt: (A) a, b, c R : a + (b + c) = (a + b) + c (Assoziativgesetz für + ) (A5) a, b, c R : a (b c) = (a b) c (Assoziativgesetz für ) (A2) 0 R a R : a + 0 = a (Existenz einer Null) (A6) R a R : a = a und 0 (Existenz einer Eins) (A3) a R a R : a + ( a) = 0 (Inverse bzgl. + ) (A7) a R {0} a R : a a = (Inverse bzgl. ) (A4) a, b R : a + b = b + a (Kommutativgesetz für + ) (A8) a, b R : a b = b a (Kommutativgesetz für ) (A9) a, b, c R : a (b + c) = a b + a c (Distributivgesetz) Schreibweisen: Für a, b R: a b := a + ( b) und für b 0: a := a b b. Alle bekannten Regeln der Grundrechenarten lassen sich aus (A) (A9) herleiten. Diese Regeln seien von nun an bekannt. Beispiele: 2

4 a) Behauptung: Es gibt genau eine Null in R. Beweis: Es sei 0 R und es gelte a R : a + 0 = a. Mit a = 0 folgt: = 0. Mit a = 0 in (A2) folgt: = 0. Damit ist 0 = (A4) = = 0. b) Behauptung: a R : a 0 = 0. Beweis: Sei a R und b := a 0. Es gilt b (A2) = a (0 + 0) (A9) = a 0 + a 0 = b + b, und damit 0 (A3) = b + ( b) = (b + b) + ( b) (A) = b + (b + ( b)) = b + 0 (A2) = b. Anordnungsaxiome: In R ist eine Relation gegeben. Für diese gilt: (A0) a, b R : a b oder b a (A) a b und b a a = b (A2) a b und b c a c (A3) a b und c R a + c b + c (A4) a b und 0 c ac bc Schreibweisen: b a : a b; a < b : a b und a b; b > a : a < b. Aus (A) (A4) lassen sich alle Regeln für Ungleichungen herleiten. Diese Regeln seien von nun an bekannt. Beispiele (Übung): a) a < b und 0 < c ac < bc b) a b und c 0 ac bc c) a b und c d a + c b + d Intervalle: Es seien a, b R und a < b. Wir setzen: [a, b] := {x R : a x b} (abgeschlossenes Intervall) (a, b) := {x R : a < x < b} (offenes Intervall) 3

5 (a, b] := {x R : a < x b} (halboffenes Intervall) [a, b) := {x R : a x < b} (halboffenes Intervall) [a, ) := {x R : x a}, (a, ) := {x R : x > a} (, a] := {x R : x a}, (, a) := {x R : x < a} (, ) := R Der Betrag a, falls a 0 Für a R heißt a := a, falls a < 0 a b der Abstand von a und b. der Betrag von a. Für a, b R heißt die Zahl Beispiele: =, 7 = ( 7) = 7. Regeln: Für a, b R gilt: a) a = a und a b = b a b) a 0 c) a = 0 a = 0 d) ab = a b e) ±a a (d.h. a a und a a ) f) a + b a + b (Dreiecksungleichung) g) a b a b (umgekehrte Dreiecksungleichung) Beweis: a) - e) leichte Übung. f) Fall : a + b 0. Dann gilt: a + b = a + b e) a + b. Fall 2: a + b < 0. Dann gilt: a + b = (a + b) = a + ( b) e) a + b. 4

6 g) Es sei c := a b. Es gilt a = a b + b f) a b + b c = a b a b. Analog zeigt man c = b a b a = a b. Also gilt ±c a b c a b. Definition: Es sei M R. a) M heißt nach oben beschränkt : γ R x M : x γ. In diesem Fall heißt γ eine obere Schranke (OS) von M. b) Ist γ eine obere Schranke von M und gilt γ δ für jede weitere obere Schranke δ von M, so heißt γ das Supremum (oder die kleinste obere Schranke) von M. c) M heißt nach unten beschränkt : γ R x M : γ x. In diesem Fall heißt γ eine untere Schranke (US) von M. d) Ist γ eine untere Schranke von M und gilt γ δ für jede weitere untere Schranke δ von M, so heißt γ das Infimum (oder die größte untere Schranke) von M. Bezeichnung in diesem Fall: γ = sup M bzw. γ = inf M. Aus (A) folgt: Ist sup M bzw. inf M vorhanden, so ist sup M bzw. inf M eindeutig bestimmt. Ist sup M bzw. inf M vorhanden und gilt sup M M bzw. inf M M, so heißt sup M das Maximum bzw. inf M das Minimum von M und wird mit max M bzw. min M bezeichnet. Beispiele: a) M = (, 2). sup M = 2 / M, inf M = / M. M hat kein Maximum und kein Minimum. b) M = (, 2]. sup M = 2 M, max M = 2. 5

7 c) M = (3, ). M ist nicht nach oben beschränkt, 3 = inf M / M. d) M = (, 0]. M ist nach unten unbeschränkt, 0 = sup M = max M. e) M =. Jedes γ R ist eine obere Schranke und eine untere Schranke von M. Vollständigkeitsaxiom: (A5) Ist M R und ist M nach oben beschränkt, so ist sup M vorhanden. Satz.: Ist M R und ist M nach unten beschränkt, so ist inf M vorhanden. Beweis: In den Übungen. Definition: Es sei M R. M heißt beschränkt : M ist nach oben und nach unten beschränkt. Äquivalent ist: c 0 x M : x c. Satz.2: Es sei B A R. a) Ist A beschränkt, so ist inf A sup A. b) Ist A nach oben bzw. unten beschränkt, so ist B nach oben beschränkt und sup B sup A bzw. nach unten beschränkt und inf B inf A. c) A sei nach oben beschränkt und γ eine obere Schranke von A. Dann gilt: γ = sup A ε > 0 x = x(ε) A : x > γ ε d) A sei nach unten beschränkt und γ eine untere Schranke von A. Dann gilt: γ = inf A ε > 0 x = x(ε) A : x < γ + ε Beweis: a) A x R : x A. Es gilt: inf A x und x sup A inf A sup A. b) Es sei x B. Dann: x A, also x sup A. Also ist B nach oben beschränkt und sup A ist eine obere Schranke von B. Somit ist sup B sup A. Analog falls A nach unten beschränkt ist. 6

8 c) : Es sei γ = sup A und ε > 0. Dann ist γ ε < γ. Also ist γ ε keine obere Schranke von A. Es folgt: x A : x > γ ε. : Es sei γ := sup A. Dann ist γ γ. Annahme: γ γ. Dann ist γ < γ, also ε := γ γ > 0. Nach Voraussetzung gilt: x A : x > γ ε = γ (γ γ) = γ. Widerspruch zu x γ. d) Analog zu c). Natürliche Zahlen Definition: a) Eine Menge A R heißt Induktionsmenge (IM) (i) A; : (ii) aus x A folgt stets x + A. Beispiele: R, [, ), {} [2, ) sind Induktionsmengen. b) N := {x R : x gehört zu jeder IM } = Durchschnitt aller Induktionsmengen. Also: N A für jede Induktionsmenge A. Beispiele:, 2, 3, 4, 7 N; 3 / N. 2 Satz.3: a) N ist eine Induktionsmenge. b) N ist nicht nach oben beschränkt. c) Ist x R, so existiert ein n N mit n > x. Beweis: a) Es gilt A für jede IM A, also N. Sei x N. Dann ist x A für jede IM A, somit x + A für jede IM A. Also gilt x + N. 7

9 b) Annahme: N ist nach oben beschränkt. Nach (A5) existiert s := sup N. Mit.2 folgt: n N : n > s. Nun ist n + > s. Wegen n + N ist aber n + s, ein Widerspruch. c) Folgt aus.3 b). Satz.4 (Prinzip der vollständigen Induktion): Ist A N und ist A eine Induktionsmenge, so ist A = N. Beweis: Es gilt A N (nach Voraussetzung) und N A (nach Definition), also ist A = N. Beweisverfahren durch vollständige Induktion Es sei A(n) eine Aussage, die für jedes n N definiert ist. Für A(n) gelte: (i) A() ist wahr; (ii) ist n N und A(n) wahr, so ist auch A(n + ) wahr. Dann ist A(n) wahr für jedes n N. Beweis: Sei A := {n N : A(n) ist wahr }. Dann ist A N und wegen (i), (ii) ist A eine Induktionsmenge. Nach.4 ist A = N. Beispiel: Behauptung: n N : n = A(n) n(n + ) 2. Beweis: (induktiv) Induktionsanfang (I.A.): Es gilt = (+) 2, A() ist also wahr. Induktionsvoraussetzung (I.V.): Es sei n N und A(n) sei wahr, es gelte also n = n(n + ). 2 8

10 Induktionsschluß (I.S.) (n n + ): Es gilt: Also ist A(n + ) wahr n + (n + ) I.V. = ( ) n = (n + ) 2 + = n(n + ) 2 (n + )(n + 2). 2 + (n + ) Definition: Wir setzen: a) N 0 := N {0}. b) Z := N 0 { n : n N} (Menge der ganzen Zahlen). c) Q := { p q : p Z, q N} (Menge der rationalen Zahlen). Satz.5: Sind x, y R und x < y, so gilt: r Q: x < r < y. Beweis: In den Übungen. Einige Definitionen und Formeln a) Ganzzahlige Potenzen. Für a R, n N : a n := a... a, a 0 :=. n Faktoren Für a R {0}, n N : a n := a n. Es gelten die bekannten Rechenregeln: a n a m = a n+m, (a n ) m = a nm. b) Fakultäten. n! := n (n N), 0! :=. c) Binomialkoeffizienten. Für n N 0, k N 0 und k n: ( ) n n! := k k!(n k)!. Es gilt (nachrechnen): ( ) ( ) ( ) n n n + + = k k k 9 für k n.

11 d) Für a, b R und n N 0 gilt: a n+ b n+ = (a b) ( a n + a n b + a n 2 b ab n + b n) n n = (a b) a n k b k = (a b) a k b n k. k=0 k=0 e) Binomischer Satz. Für a, b R und n N 0 gilt: (a + b) n = n k=0 ( ) n a n k b k = k n k=0 ( ) n a k b n k. k Beweis: In den Übungen. f) Bernoullische Ungleichung. Es sei x R und x. Dann gilt: n N : ( + x) n + nx. Beweis: (induktiv) I.A.: n = : + x + x ist wahr. I.V.: Es sei n N und es gelte ( + x) n + nx. I.S. (n n + ): Wegen + x 0 folgt aus der I.V.: ( + x) n+ ( + nx)( + x) = + nx + x + nx nx + x = + (n + )x. Hilfssatz.6: Für x, y 0 und n N gilt: x y x n y n. Beweis: In den Übungen. Satz.7: Es sei a 0 und n N. Dann gibt es genau ein x 0 mit x n = a. Dieses x heißt die n-te Wurzel aus a. Bezeichnung: x = n a ( 2 a =: a, a = a). Beweis: Existenz: Später in 7. Eindeutigkeit: Es seien x, y 0 und x n = a = y n. Mit.6 folgt x = y. 0

12 Bemerkungen: a) Bekannt (Schule): 2 / Q. b) Für a 0 ist n a 0. Bsp.: 4 = 2, 4 2. Die Gleichung x 2 = 4 hat zwei Lösungen: x = 2 und x = 2. c) x R : x2 = x. Rationale Exponenten a) Es sei zunächst a 0 und r Q, r > 0. Dann existieren m, n N mit r = m. Wir n wollen definieren: (*) a r := ( n a ) m. Problem: Gilt auch noch r = p mit p, q N, gilt dann ( n a) m = ( q a) p? q Antwort: Ja (d.h. obige Definition (*) ist sinnvoll). Beweis: Setze x := ( n a) m, y := ( q a) p. Dann gilt x, y 0 und mq = np, also x q = ( n a ) mq ( ) = n np ( ( ) a = n n ) p a = a p = ( ( q a ) q ) p ( ( ) = q p ) q a = y q. Mit.6 folgt x = y. b) Es seien a > 0, r Q und r < 0. Wir definieren: a r := a r. Es gelten die bekannten Rechenregeln: a r a s = a r+s, (a r ) s = a rs.

13 Kapitel 2 Folgen und Konvergenz Definition: Es sei X eine Menge, X. Eine Funktion a: N X heißt eine Folge in X. Ist X = R, so heißt a eine reelle Folge. Schreibweisen: a n statt a(n) (n-tes Folgenglied) (a n ) oder (a n ) n= oder (a, a 2,... ) statt a. Beispiele: a) a n := (n N), also (a n n) = ( ) = (,,,... ). n 2 3 b) a 2n := 0, a 2n := (n N), also (a n ) = (, 0,, 0,... ). Bemerkung: Ist p Z und a: {p, p +, p + 2,... } X eine Funktion, so spricht man ebenfalls von einer Folge in X. Bezeichnung: (a n ) n=p. Meistens ist p = 0 oder p =. Definition: Es sei X eine Menge, X. a) X heißt abzählbar : Es gibt eine Folge (a n ) in X mit X = {a, a 2, a 3,... }. b) X heißt überabzählbar : X ist nicht abzählbar. Beispiele: a) Ist X endlich, so ist X abzählbar. b) N ist abzählbar, denn N = {a, a 2, a 3,... } mit a n := n (n N). c) Z ist abzählbar, denn Z = {a, a 2, a 3,... } mit a := 0, a 2 :=, a 3 :=, a 4 := 2, a 5 := 2,... also a := 0, a 2n := n, a 2n+ := n (n N). 2

14 Abbildung 2.: Zum Beweis der Abzählbarkeit von Q. d) Q ist abzählbar. Durchnummerieren in Pfeilrichtung liefert: {x Q : x > 0} = {a, a 2, a 3,... }. Setze b := 0, b 2n := a n, b 2n+ := a n (n N). Dann gilt: Q = {b, b 2, b 3,... }. e) R ist überabzählbar (Beweis in 5). Vereinbarung: Solange nichts anderes gesagt wird, seien alle vorkommenden Folgen stets Folgen in R. Die folgenden Sätze und Definitionen formulieren wir nur für Folgen der Form (a n ) n=. Sie gelten sinngemäß für Folgen der Form (a n ) n=p (p Z). Definition: Es sei (a n ) eine Folge und M := {a, a 2,... }. 3

15 a) (a n ) heißt nach oben beschränkt : M ist nach oben beschränkt. In diesem Fall: sup n N a n := sup a n := sup M. b) (a n ) heißt nach unten beschränkt : M ist nach unten beschränkt. In diesem Fall: n= inf a n := inf a n := inf M. n N n= c) (a n ) heißt beschränkt : M ist beschränkt. Äquivalent ist: c 0 n N : a n c Definition: Es sei A(n) eine für jedes n N definierte Aussage. A(n) gilt für fast alle (ffa) n N : n 0 N n n 0 : A(n) ist wahr. Definition: Es sei a R und ε > 0. Das Intervall heißt ε-umgebung von a. U ε (a) := (a ε, a + ε) = {x R : x a < ε} Definition: Eine Folge (a n ) heißt konvergent Zu jedem ε > 0 existiert ein n 0 = n 0 (ε) N so, : a R : daß für jedes n n 0 gilt : a n a < ε. In diesem Fall heißt a Grenzwert (GW) oder Limes von (a n ) und man schreibt a n a (n ) oder a n a oder n lim a n = a. Ist (a n ) nicht konvergent, so heißt (a n ) divergent. Beachte: a n a (n ) ε > 0 n 0 N n n 0 : a n U ε (a) ε > 0 gilt: a n U ε (a) ffa n N ε > 0 gilt: a n / U ε (a) für höchstens endlich viele n N 4

16 Satz 2.: Es sei (a n ) konvergent und a = lim n a n. Dann gilt: a) Gilt auch noch a n b, so ist a = b. b) (a n ) ist beschränkt. Beweis: a) Annahme a b. Dann ist ε := a b 2 > 0. Nun gilt: n 0 N n n 0 : a n a < ε und n N n n : a n b < ε. Es sei N := max{n 0, n }. Dann gilt: 2ε = a b = a a N + a N b a N a + a N b < 2ε. Widerspruch. Also ist a = b. b) Es sei ε =. Es gilt: n 0 N n n 0 : a n a <. Damit folgt: n n 0 : a n = a n a + a a n a + a + a. Setze c := max{ + a, a,..., a n0 }. Dann: n N : a n c. Beispiele: a) Es sei c R und a n := c (n N). Dann gilt: n N : a n c = 0. Also: a n c (n ). b) a n := (n N). Behauptung: a n n 0 (n ). Beweis: Es sei ε > 0. Es gilt: a n 0 = a n = < ε n n >. Mit.3 ε c) erhalten wir: n 0 N : n 0 > ε. Für n n 0 ist damit n > ε, also n < ε. Somit ist a n 0 < ε (n n 0 ). 5

17 c) a n := ( ) n (n N). Es gilt a n = (n N), also ist (a n ) beschränkt. Behauptung: (a n ) ist divergent. Beweis: Für jedes n N gilt: a n a n+ = ( ) n ( ) n+ = ( ) n ( ) = 2. Annahme: (a n ) konvergiert. Definiere a := lim n a n. Es gilt: n 0 N n n 0 : a n a < 2. Für n n 0 folgt dann aber: 2 = a n a n+ = a n a + a a n+ a n a + a n+ a < =, ein Widerspruch. d) a n := n (n N). (a n ) ist nicht beschränkt. Nach 2. b) ist (a n ) also divergent. e) a n := n (n N). Behauptung: a n 0. Beweis: Es sei ε > 0. Es gilt: Mit.3 c) erhalten wir: a n 0 = n < ε n > ε n > ε 2. n 0 N : n 0 > ε 2. Für n n 0 gilt damit: n > ε 2 n < ε, also a n 0 < ε. f) a n := n + n (n N). Behauptung: a n 0. Beweis: Es gilt 0 a n = ( n + n)( n + + n) n + + n =, n + + n n also a n 0 = a n n (n N). Es sei ε > 0. Nach Beispiel e) folgt: n 0 N n n 0 : n < ε, somit gilt n n 0 : a n 0 < ε. Also gilt: a n 0. 6

18 Definition: Es seien (a n ) und (b n ) Folgen und α R. (a n ) ± (b n ) := (a n ± b n ); α(a n ) := (αa n ); (a n )(b n ) := (a n b n ). Gilt b n 0 (n m), so ist die Folge ( a n bn ) n=m definiert. Satz 2.2: Es seien (a n ), (b n ), (c n ) und (α n ) Folgen und a, b, α R. Dann gilt: a) a n a a n a 0. b) Gilt a n a α n ffa n N und α n 0, so gilt a n a. c) Es gelte a n a und b n b. Dann gilt: (i) a n a ; (ii) a n + b n a + b; (iii) αa n αa; (iv) a n b n ab; (v) ist a 0, so existiert ein m N mit: a n 0 (n m) und für die Folge ( an ) n=m gilt: a n a. d) Es gelte a n a, b n b und a n b n ffa n N. Dann ist a b. e) Es gelte a n a, b n a und a n c n b n ffa n N. Dann gilt c n a. Beispiele: a) Es sei p N und a n := n p (n N). Es gilt n n p (n N). Also: 0 a n n (n N) 2.2 e) === a n 0. b) Es sei a n := 5n2 +3n+ (n N). Es gilt: a 4n 2 n+2 n = 5+ 3 n + Beweis: (von 2.2) a) Folgt aus der Definition der Konvergenz n n + 2 n 2

19 b) Es gilt: m N n m : a n a α n. Sei ε > 0. Wegen α n 0 gilt: n N n n : α n < ε. Setze n 0 := max{m, n }. Für n n 0 gilt nun: a n a α n < ε. c) (i) n N : a n a S a n a (ii) Es sei ε > 0. Es gilt: n, n 2 N mit a),b) == a n a. n n : a n a < ε 2 und n n 2 : b n b < ε 2. Setze n 0 := max{n, n 2 }. Für n n 0 erhalten wir: a n + b n (a + b) = a n a + b n b a n a + b n b < ε 2 + ε 2 = ε. (iii) Übung. (iv) Es sei c n := a n b n ab (n N). Wir zeigen: c n 0. Es gilt: c n = a n b n a n b + a n b ab = a n (b n b) + (a n a)b a n b n b + b a n a. Mit 2. b) folgt: c 0 n N : a n c. Damit erhalten wir: n N : c n c b n b + b a n a =: α n. Mit c) (ii), c) (iii) und a) folgt: α n 0. Also: c n 0 = c n α n (n N) und α n 0. Mit b) folgt nun c n 0. (v) Setze ε := a 2. Aus (i) folgt: a n a. Damit gilt: m N n m : a n U ε ( a ) = ( a ε, a + ε) = ( a 2, 3 2 a ). Insbesondere ist a n > a > 0 (n m), also a 2 n 0 (n m). Für n m gilt nun: a n a = a n a 2 a n a =: α a n a a 2 n. Es gilt α n 0. Mit b) folgt a n a. 8

20 d) Annahme: b < a. Setze ε := a b 2 > 0. Dann gilt: Weiter gilt: x U ε (b) y U ε (a) : x < y. n 0 N n n 0 : b n U ε (b), m N n m : a n b n. Setze m 0 := max{n 0, m}. Für n m 0 ist a n b n < b + ε, also a n / U ε (a). Widerspruch. e) Es gilt: m N n m : a n c n b n. Sei ε > 0. Es existieren n, n 2 N mit: n n : a ε < a n < a + ε, n n 2 : a ε < b n < a + ε. Setze n 0 := max{n, n 2, m}. Für n n 0 gilt nun: Also: c n a < ε (n n 0 ). a ε < a n c n b n < a + ε. Definition: a) (a n ) heißt monoton wachsend : n N : a n a n+. b) (a n ) heißt streng monoton wachsend : n N : a n < a n+. c) Entsprechend definiert man monoton fallend und streng monoton fallend. d) (a n ) heißt [streng] monoton : (a n ) ist [streng] monoton wachsend oder [streng] monoton fallend. Satz 2.3 (Monotoniekriterium): a) Die Folge (a n ) sei monoton wachsend und nach oben beschränkt. Dann ist (a n ) konvergent und lim a n = sup a n. n 9 n N

21 Beweis: b) Die Folge (a n ) sei monoton fallend und nach unten beschränkt. Dann ist (a n ) konvergent und lim a n = inf a n. n n N a) Setze a := sup n N a n. Es sei ε > 0. Dann ist a ε keine obere Schranke von {a n : n N}. Also existiert ein n 0 N mit a n0 > a ε. Für n n 0 gilt: also a n a < ε (n n 0 ). b) Zeigt man analog. Beispiel: a := 3 6, a n+ := a n (n ). a ε < a n0 a n a < a + ε, Behauptung: n N : 0 < a n < 2 und a n+ > a n. Beweis: (induktiv) I.A.: n =. 0 < a = 3 6 < 3 8 = 2; a 2 = a > 3 6 = a. I.V.: Es sei n N und 0 < a n < 2 und a n+ > a n. I.S. (n n + ): Es gilt a n+ = a n > I.V. 0. Weiter ist a n+ = a n < I.V = 2; a n+2 = a n+ > I.V a n = a n+. Also ist (a n ) nach oben beschränkt und monoton wachsend. Nach 2.3 ist (a n ) konvergent. Setze a := lim n a n. Es gilt a n 0 (n N), also a 0. Weiter ist a 3 n+ = 6 + a n (n N). Mit 2.2 folgt a 3 = 6 + a 0 = a 3 a 6 = (a 2)(a 2 + 2a + 3). Also ist a =

22 Wichtige Beispiele: Vorbemerkung: Es seien x, y 0 und p N: Es ist (vgl. ) p x p y p = (x y) x p k y k k=0 k=0 p x p y p = x y x p k y k y p x y. Beispiel 2.4: Es sei (a n ) eine konvergente Folge in [0, ) mit Grenzwert a (bea. a 0) und p N. Dann gilt p a n p a. Beweis: Fall : a = 0. Es sei ε > 0. Dann gilt: n 0 N n n 0 : 0 a n < ε p. Daraus folgt: Also gilt: p a n 0 = p a. Fall 2: a 0. Dann gilt: n n 0 : 0 p a n < ε. a n a = ( p a n ) p ( p a) p = x p y p =:x =:y s.o. y p x y = c p a n p a, c > 0. :=c p a n p a c a n a =: α n. Es gilt α n 0, also p a n p a. Beispiel 2.5: Für x R gilt: (x n ) ist konvergent x (, ]. In diesem Fall: Beweis: lim n xn =, falls x = 0, falls x (, ) Fall : x = 0. Dann gilt x n 0. Fall 2: x =. Dann gilt x n. Fall 3: x =. Dann ist (x n ) = (( ) n ) divergent. Fall 4: x >. Dann gibt es ein δ > 0 mit x = + δ. Damit gilt: x n = x n = ( + δ) n + nδ nδ (n N). 2

23 Also ist (x n ) nicht beschränkt und somit divergent. Fall 5: 0 < x <. Dann ist x > und es gibt ein η > 0 mit x ( ) n x n = = ( + η) n + nη nη x = + η. Damit gilt: (n N). Also ist Damit folgt x n 0. x n nη (n N). Beispiel 2.6: Es sei x R und n s n := + x + x x n = x k (n N 0 ). k=0 Fall : x =. Dann ist s n = n + (n N 0 ), (s n ) ist also divergent. Fall 2: x. Dann ist Aus 2.5 folgt: In diesem Fall gilt: lim n s n = x. s n = xn+ x (n N 0 ). (s n ) ist konvergent x <. Beispiel 2.7: Behauptung: Es gilt n n. Beweis: Es ist n n (n N), also a n := n n 0 (n N). Wir zeigen: a n 0. Für jedes n 2 gilt: n = ( n n ) n = (an + ) n S = n k=0 ( ) n a k n k ( ) n a 2 n = 2 n(n ) a 2 2 n. Es folgt n 2 : 0 a n 2 n. Wegen 2/ n 0 folgt a n 0. Beispiel 2.8: Es sei c > 0. Behauptung: Es gilt n c. 22

24 Beweis: Fall : c. Dann gilt: m N : c m. Daraus folgt: c n (n m) n c n n (n m). Mit 2.7 folgt die Behauptung. Fall 2: 0 < c <. Dann ist >. Also gilt c n c = n c F all (n ). Beispiel 2.9: Es sei a n := ( + n) n, b n := n k=0 k! = + + 2! n! (n N). Behauptung: (a n ) und (b n ) sind konvergent und lim n a n = lim n b n. Beweis: In der großen Übungen wird gezeigt: n N : 2 a n < a n+ < 3. Nach 2.3 ist (a n ) also konvergent; a := lim n a n. Weiter ist b n > 0 und b n+ = b n + (n+)! > b n (n N). Also ist (b n ) monoton wachsend. Für jedes n > 3 gilt: b n = <( 2) 2 < + ( < <( 2) ( 2) = 3. Nach 2.3 ist (b n ) konvergent; b := lim n b n n <( 2) n ( ) n = + 2) ( 2 2 ) n 23

25 Weiter gilt für jedes n 2: a n = ( + n) n S = = + + = k=2 n n k=0 ( ) n k n k n n! k! (n k)! n = + + n k k=2 n k=2 k! ( n ) < k! = b n. ( 2 n ) < Also gilt a n b n (n 2) und damit folgt a b. k=2... ( k n ) < n(n )... (n (k )) k! n n... n Weiter sei j N, j 2 (zunächst fest). Für jedes n N mit n j gilt: a n s.o. = n k=2 j k=2 j k=2 k! ( n )( 2 k )... ( n n ) k! ( n ) k! = b j ( 2 n ) (n ).... ( k n ) Also gilt a b j für jedes j 2. Wegen b j b (j ) folgt a b. Definition: Die gemeinsame Grenzwert der Folgen in 2.9 heißt Eulersche Zahl. (e 2, ). Übung: Es gilt: 2 < e < 3. ( e := lim + n = lim n n) n Definition: Es sei (a n ) eine Folge und (n, n 2, n 3,... ) eine Folge in N mit n < n 2 < n 3 <.... Für k N setze also b = a n, b 2 = a n2, b 3 = a n3,.... b k := a nk, Dann heißt (b k ) = (a nk ) eine Teilfolge (TF) von (a n ). 24 n k=0 k!

26 Beispiele: a) (a 2, a 4, a 6,... ) ist eine Teilfolge von (a n ); hier: n k = 2k. b) (a, a 4, a 9,... ) ist eine Teilfolge von (a n ); hier: n k = k 2. c) (a 2, a 6, a 4, a 0, a 8, a 4,... ) ist keine Teilfolge von (a n ). Definition: Es sei (a n ) eine Folge. Eine Zahl α R heißt ein Häufungswert (HW) von (a n ), wenn eine Teilfolge (a nk ) von (a n ) existiert mit a nk α (k ). Weiter sei Satz 2.0: Es gilt: Beweis: H(a n ) := {α R : α ist ein Häufungswert von (a n )}. α H(a n ) ε > 0 : a n U ε (α) für unendlich viele n N. : Es sei (a nk ) eine Teilfolge mit a nk α und es sei ε > 0. Dann existiert ein k 0 N mit a nk U ε (α) für k k 0. : Es gilt: n N : a n U (α), n 2 N : a n2 U (α) und n 2 > n, 2 n 3 N : a n3 U 3 (α) und n 3 > n 2, etc... So entsteht eine Teilfolge (a nk ) von (a n ) mit a nk U k Beispiele: (α) (k N). Also gilt: a nk α. a) a n = ( ) n (n N). Es gilt: a 2k, a 2k+, also, H(a n ). Es sei α R {, }. Wähle ε > 0 so, daß, / U ε (α). Dann gilt a n U ε (α) für kein n N. Nach 2.0 ist α / H(a n ). Fazit: H(a n ) = {, }. b) a n = n (n N). Ist α R und ε > 0, so gilt: a n U ε (α) für höchstens endlich viele n, also α / H(a n ). Fazit: H(a n ) =. c) Q ist abzählbar. Es sei (a n ) eine Folge mit Q = {a n : n N}. Es sei α R und ε > 0. Nach.5 enthält U ε (α) = (α ε, α+ε) unendlich viele verschiedene rationale Zahlen. Nach 2.0 folgt α H(a n ). Fazit: H(a n ) = R. 25

27 Folgerung: Ist x R, so existieren Folgen (r n ) in Q mit r n x. Satz 2.: Die Folge (a n ) sei konvergent, a := lim n a n und (a nk ) eine Teilfolge von (a n ). Dann gilt: a nk a (k ). Insbesondere gilt: H(a n ) = {lim n a n }. Beweis: Es sei ε > 0. Dann ist a n U ε (a) ffa n N, also auch a nk U ε (a) ffa k N. Somit gilt a nk a. Definition: Es sei (a n ) eine Folge und m N. m heißt niedrig (für (a n )) : n m : a n a m. Bemerkung: Es gilt also: m N ist nicht niedrig n m : a n < a m n > m : a n < a m. Hilfssatz 2.2: Es sei (a n ) eine Folge. Dann enthält (a n ) eine monotone Teilfolge. Beweis: Fall : Es existieren höchstens endlich viele niedrige Indizes. Also existiert n N so, daß jedes n n nicht niedrig ist. n nicht niedrig n 2 > n : a n2 < a n, n 2 nicht niedrig n 3 > n 2 : a n3 < a n2, etc... Wir erhalten so eine streng monoton fallende Teilfolge (a nk ) von (a n ). Fall 2: Es existieren unendlich viele niedrige Indizes n, n 2, n 3... ; o.b.d.a. sei n < n 2 < n 3 <.... n ist niedrig und n 2 > n a n2 a n, n 2 ist niedrig und n 3 > n 2 a n3 a n2, etc... 26

28 Wir erhalten so eine monoton wachsende Teilfolge (a nk ) von (a n ). Satz 2.3 (Bolzano-Weierstraß): Die Folge (a n ) sei beschränkt. Dann gilt: H(a n ), d.h. (a n ) enthält eine konvergente Teilfolge. Beweis: Es gilt: c 0 n N : a n c. Nach 2.2 enthält (a n ) eine monotone Teilfolge (a nk ). Wegen a nk c (k N) ist (a nk ) auch beschränkt. Nach 2.3 ist (a nk ) konvergent. Damit ist lim k a nk H(a n ). Satz 2.4: Die Folge (a n ) sei beschränkt (nach 2.3 gilt damit H(a n ) ). Es gilt: a) H(a n ) ist beschränkt. b) sup H(a n ), inf H(a n ) H(a n ); es existieren also max H(a n ) und min H(a n ). Beweis: a) Es gilt: c 0 n N : a n c. Es sei α H(a n ). Dann existiert eine Teilfolge (a nk ) von (a n ) mit a nk α (k ). Es ist a nk c (k N), also α c. Somit gilt α H(a n ) : α c. b) ohne Beweis. Definition: Die Folge (a n ) sei beschränkt. a) Die Zahl lim sup a n := lim n a n := max H(a n ) n heißt Limes superior oder oberer Limes von (a n ). b) Die Zahl lim inf n a n := lim n a n := min H(a n ) heißt Limes inferior oder unterer Limes von (a n ). 27

29 Satz 2.5: Die Folge (a n ) sei beschränkt. Dann gilt: a) α H(a n ) : lim inf n a n α lim sup n a n. b) Ist (a n ) konvergent, so ist lim sup n a n = lim inf n a n = lim n a n. c) α 0 : lim sup n (αa n ) = α lim sup n a n. d) lim sup n ( a n ) = lim inf n a n. Beweis: a) ist klar, b) folgt aus 2., c) und d) Übung. Vorbemerkung: Die Folge (a n ) sei konvergent und lim n a n =: a. Es sei ε > 0. Dann gilt: n 0 N n n 0 : a n a < ε 2. Für n, m n 0 gilt damit: a n a m = a n a + a a m a n a + a m a < ε 2 + ε 2 = ε. Die Folge (a n ) hat also die folgende Eigenschaft: (c) ε > 0 n 0 N n, m n 0 : a n a m < ε. Äquivalent ist: ε > 0 n 0 N n n 0 k N : a n a n+k < ε. Definition: Eine Folge (a n ) heißt eine Cauchyfolge (CF) : (a n ) hat die Eigenschaft (c). Konvergente Folgen sind also Cauchyfolgen! Satz 2.6 (Cauchykriterium): (a n ) ist konvergent (a n ) ist eine Cauchyfolge. Beweis: : wurde in obiger Vorbemerkung bewiesen. : Es gilt: N N n, m N : a n a m <. 28

30 Für n N ist somit a n = a n a N + a N a n a N + a N < + a N =: c. Also gilt: n N : a n max{c, a,... a N }. Damit ist (a n ) beschränkt und nach 2.3 hat (a n ) eine konvergente Teilfolge (a nk ). Es sei a := lim k a nk. Es sei ε > 0. Dann gilt: n 0 N n, m n 0 : a n a m < ε 2, und k 0 N : a nk0 a < ε 2 und n k 0 n 0. Für jedes n n 0 gilt nun a n a a n a nk0 + a nk0 a < ε 2 + ε 2 = ε. Also gilt a n a (n ). Beispiel: a :=, a n+ := +a n (n N). Mit Induktion folgt 0 < a n (n N) und damit a n (n N). Für n 2 und k N gilt daher: 2 a n+k a n = + a n+k a n = a n a n+k ( + a n+k )( + a n ) ( + a 2 )2 n+k a n = 4 9 a n+k a n ( ) 4 2 ( ) 4 n a n+k 2 a n 2... a k+ a 9 9 ( ) 4 n ( ) 4 n ( a k+ + a ) Es sei ε > 0. Wegen 2 ( ) n (n ) gilt: ( ) 4 n n 0 N {} n n 0 : 2 < ε. 9 Wir erhalten: n n 0 k N : a n+k a n < ε. 29

31 Also ist (a n ) eine Cauchyfolge und somit konvergent; a := lim n a n. Klar ist: Also ist Wegen a 2 folgt a = 5 2. a 2 und a = + a. a 2 + a = 0 a = oder a =

32 Kapitel 3 Unendliche Reihen Definition: Es sei (a n ) sei eine Folge. a) Wir setzen s n := a + a a n (n N), also s = a, s 2 = a +a 2, s 3 = a +a 2 +a 3,.... Die Folge (s n ) heißt (unendliche) Reihe und wird mit n= a n bezeichnet. Es gilt also: n= a n ist konvergent bzw. divergent (s n ) ist konvergent bzw. divergent. b) s n heißt n-te Teilsumme von n= a n. c) Ist n= a n konvergent, so heißt lim n s n der Reihenwert und wird ebenfalls mit n= a n bezeichnet. (Vorsicht: Doppelbedeutung von n= a n.) Bemerkung: Ist p Z und (a n ) n=p eine Folge, so definiert man entsprechend s n = a p + a p a n (n p) und n=p a n (meist: p = oder p = 0). Die folgenden Sätze und Definitionen formulieren wir nun für Reihen der Form n= a n. Diese Sätze und Definitionen gelten entsprechend für Reihen der Form n=p a n (p Z). Beispiele: a) Es sei x R. Die Reihe heißt geometrische Reihe. x n = + x + x 2 + x n=0 Hier ist s n = + x x n (n N 0 ). Nach 2.6 gilt: (s n ) konvergiert x < und lim n s n = für x <. Also: x n=0 x n konvergiert x < und x n = ( x < ). x n=0 3

33 b) Es gilt: n= n(n + ) ; a n = n(n + ) = n n +. s n = a a n = ( 2 ) + ( 2 3 ) ( n n ) + ( n n + ) = n +. Also: n= n(n+) ist konvergent und n= n(n+) =. c) Nach 2.9 gilt: n=0 n! = + + 2! + 3! s n = + + 2! n! e (n ). Also: n=0 n! konvergiert und n=0 n! = e. d) Die Reihe n= heißt harmonische Reihe. Hier ist s n = n n (n N). Es gilt: s 2n = n + n n = s n + n + 2n n 2n s n + 2. Annahme: (s n ) ist konvergent; s := lim n s n. Mit 2. folgt s 2n s (n ). Somit gilt Widerspruch. Also: n= n s s ist divergent. Satz 3.: Es sei (a n ) eine Folge und s n = a a n (n N). 32

34 a) Monotoniekriterium: Sind alle a n 0 und ist (s n ) beschränkt, so ist n= a n konvergent. b) Cauchykriterium: n= a n ist konvergent ε > 0 n 0 N m > n n 0 : m a k k=n+ < ε. c) Ist n= a n konvergent, so gilt a n 0 (n ). d) Die Reihe n= a n sei konvergent. Dann ist für jedes m N die Reihe n=m+ a n konvergent und für r m := n=m+ a n gilt: r m 0 (m ). Beweis: a) Es gilt: s n+ = a +...+a n +a n+ = s n +a n+ s n (n N). Also ist (s n ) wachsend und beschränkt. Nach 2.3 ist (s n ) konvergent. b) Für m > n gilt: s m s n = a a n + a n a m (a +... a n ) = a n a m = Die Behauptung folgt damit aus 2.6. m k=n+ c) Es gilt: s n+ s n = a n+ (n N). Ist (s n ) konvergent, so folgt a n+ 0. d) Ohne Beweis. Bemerkung: Ist (a n ) eine Folge und gilt a n 0, so ist n= a n divergent. Satz 3.2: Die Reihen n= a n und n= b n seien konvergent und es seien α, β R. Dann konvergiert und es gilt (αa n + βb n ) n= a k. (αa n + βb n ) = α a n + β b n. n= n= n= 33

35 Beweis: Folgt aus 2.2. Satz 3.3 (Leibnizkriterium): Es sei (b n ) eine Folge mit: a) (b n ) ist monoton fallend, b) b n 0 (n ). Dann ist n= ( ) n+ b n konvergent. Beispiel: Aus 3.3 folgt: Die alternierende harmonische Reihe n= ( ) n+ n ist konvergent. Beweis: (von 3.3) Da (b n ) eine fallende Nullfolge ist gilt: b n 0 (n N). Wir setzen a n := ( ) n+ b n und s n := a a n (n N). Es gilt: s 2n+2 = s 2n + a 2n+ + a 2n+2 = s 2n + b 2n+ b 2n+2 0 s 2n (n N). Also ist (s 2n ) monoton wachsend. Analog zeigt man: (s 2n ) ist monoton fallend. Weiter gilt: (*) s 2n = s 2n + a 2n = s 2n b 2n s 2n (n N). Also: n N : s 2 s 4... s 2n (*) s 2n... s 3 s Somit sind (s 2n ) und (s 2n ) beschränkt. Nach 2.3 sind (s 2n ) und (s 2n ) konvergent; s := lim n s 2n. Mit (*) folgt s = lim n s 2n. Es sei ε > 0. Es gilt: s 2n U ε (s) ffa n N s 2n U ε (s) ffa n N s n U ε (s) ffa n N Also gilt: s n s (n ). Definition: n= a n heißt absolut konvergent : n= a n ist konvergent. Beispiel: n= ( ) n+ n ist konvergent, aber nicht absolut konvergent. 34

36 Satz 3.4: n= a n sei absolut konvergent. Dann gilt: a) n= a n ist konvergent, b) n= a n n= a n ( -Ungleichung für Reihen). Beweis: a) Für m, n N, m > n gilt: (*) m k=n+ =:σ m,n a k m k=n+ =:τ m,n Es sei ε > 0. Nach Voraussetzung und 3. b) gilt: a k. n 0 N m > n n 0 : τ m,n < ε, also mit (*) n 0 N m > n n 0 : σ m,n < ε. Nach 3. b) ist n= a n konvergent. b) Es sei s n := a a n, σ n := a a n (n N), s := lim n s n und σ := lim n σ n. Es gilt: s n s (n ) und s n σ n (n N). Damit folgt s σ. Satz 3.5: a) Majorantenkriterium: Gilt a n b n ffa n N und ist n= b n konvergent, so ist n= a n absolut konvergent. b) Minorantenkriterium: Gilt a n b n 0 ffa n N und ist n= b n divergent, so ist n= a n divergent. Beweis: 35

37 a) Es gilt: j N n j: a n b n. Nun sei m > n j. Dann ist m k=n+ =:σ m,n a k m b k k=n+ =:τ m,n Es sei ε > 0. Nach Voraussetzung und 3. b) gilt: n 0 j m > n n 0 : τ m,n < ε,. also n 0 j m > n n 0 : σ m,n < ε. Nach 3. b) ist n= a n konvergiert. b) Annahme: n= a n ist konvergent. Nach a) ist dann n= b n konvergent. Widerspruch. Beispiele: a) n= (n+) 2, a n := (n+) 2 a n = a n = (n N). Für jedes n N gilt: (n + ) = 2 n 2 + 2n + n 2 + 2n n(n + ) =: b n. Bekannt: n= b n ist konvergent. Nach 3.5 a) ist auch n= (n+) 2 b) Aus Beispiel a) folgt: n= n 2 ist konvergent. c) Sei α > 0 und α Q. Wir betrachten n= n α. Fall : α (0, ]. konvergent. n N : n α n b) === n= divergiert. nα Fall 2: α 2. n N : 0 n α n a) === n= konvergiert. nα

38 Fall 3: α (, 2). Beweis in den Übungen. n= Fazit: Ist α > 0 und α Q, so gilt: n= konvergiert. nα konvergiert α >. nα Bemerkung: Ist später (in 7) die allgemeine Potenz a x (a > 0, x R) eingeführt, so zeigt man analog: Ist α > 0, so gilt: n= konvergiert α >. nα d) n n+2 n= ( ). Es gilt: n 3 + n + 2 ( )n n 3 + = n + 2 n 3 + n + 2 n 3 absolut konver- Die Reihe 2 n= n 2 gent. e) n n=. Es gilt n+ 2n n 3 = 2 n 2 (n 2). ist konvergent. Nach 3.5 a) ist n n+2 n= ( ) n 3 + n n + n 2n = 2 n 0 (n N). Die Reihe n= 2 n divergiert. Nach 3.5 b) ist auch n= n n+ divergent. Hilfssatz 3.6: Die Folge (c n ) sei beschränkt. Dann gilt: a) Ist α := lim sup n c n und x > α, so ist c n < x ffa n N. b) Ist α := lim inf n c n und x < α, so ist c n > x ffa n N. c) Ist c n 0 (n N) und lim sup n c n = 0, so gilt c n 0 (n ). Beweis: c) Es sei ε > 0. Mit a) (für x = ε) folgt: ε < 0 c n < ε ffa n N. Also gilt c n U ε (0) ffa n N. 37

39 a) Annahme: c n x für unendlich viele n, etwa für n, n 2, n 3,... mit n < n 2 < n 3 <... Die Teilfolge (c nk ) ist beschränkt. Nach 2. enthält (c nk ) eine konvergente Teilfolge (c nkj ). Definiere β := lim j c nkj. Es gilt c nkj x (j N), also ist β x > α. Auch (c nkj ) ist eine Teilfolge von (c n ), also ist β H(a n ) und somit β α, Widerspruch. b) Analog wie a). Satz 3.7 (Wurzelkriterium (WK)): Es sei (a n ) eine Folge, c n := n a n (n N). a) Ist (c n ) unbeschränkt, so ist n= a n divergent. b) Es sei (c n ) beschränkt und α := lim sup n c n. Dann gilt: Beweis: (i) Ist α <, so ist n= a n absolut konvergent. (ii) Ist α >, so ist n= a n divergent. Im Falle α = ist keine allgemeine Aussage möglich. a) (c n ) ist unbeschränkt c n für unendlich viele n N a n für unendlich viele n N a n 0. Mit 3. c) folgt die Behauptung. b) (i) Es sei α <. Wähle ein x (α, ). Nach 3.6 gilt: c n x ffa n N, also a n x n ffa n N. Die Reihe n= x n konvergiert. Nach 3.5 a) konvergiert n= a n absolut. (ii) Es sei α >. Wähle ε > 0 so, daß α ε >. Es gilt c n U ε (α) für unendlich viele n N. Damit ist c n > α ε > für unendlich viele n. Wie bei a) folgt: n= a n divergiert. 38

40 Beispiele: a) a n := n (n N); c n = n a n = n n, also α = und n= a n divergiert. b) a n := (n N); c n 2 n = a n n = ( n, also α = und n) 2 n= a n konvergiert., falls n = 2k 2 c) Es sei x R und a n := n nx n, falls n = 2k Frage: Für welche x ist n= a n (absolut) konvergent? Es ist, falls n = 2k c n = a n 2 n = n n x, falls n = 2k (c n ) ist also beschränkt und H(c n ) = { 2, x }. Fall : x <. Dann ist α = lim sup n c n <, also ist n= a n absolut konvergent. Fall 2: x >. Dann ist α = lim sup n c n >, also ist n= a n divergent. Fall 3: x =. Dann ist α = lim sup n c n = und das Wurzelkriterium liefert keine Entscheidung. Es ist a n = n falls n = 2k. Also gilt a n 0. Damit ist n= a n also divergent. Satz 3.8 (Quotientenkriterium (QK)): Es sei a n 0 ffa n N und c n := a n+. a n a) Ist c n ffa n N, so ist n= a n divergent. b) Es sei (c n ) beschränkt, α := lim sup n c n und β := lim inf n c n. Dann gilt: (i) Ist α <, so ist n= a n absolut konvergent. (ii) Ist β >, so ist n= a n divergent. Ohne Beweis. Folgerung 3.9: (a n ) und (c n ) seien wie in 3.8, (c n ) sei konvergent und α := lim n c n. absolut konvergent, falls α < a n ist n= divergent, falls α >. Im Falle α = ist keine allgemeine Aussage möglich. 39

41 Beispiele: a) a n = n (n N), a n+ a n = n n+, n= a n divergiert. b) a n = n 2 (n N), a n+ a n = n 2 (n+) 2, n= a n konvergiert. 3.0 Die Exponentialreihe: Für x R betrachte die Reihe n=0 x n n! = + x + x2 2! + x3 3! +... Frage: Für welche x R konvergiert diese Reihe (absolut)? Klar: Die Reihe konvergiert absolut für x = 0. Sei nun x 0 und a n := xn n! gilt: Mit 3.9 folgt: a n+ a n n=0 = x n+ (n + )! n! x n = x n n! Damit ist eine Funktion E : R R definiert: x n + 0 (n ). konvergiert absolut für jedes x R. E(x) := n=0 x n n!. (n N 0 ). Es Sie heißt Exponentialfunktion. Es gilt: E(0) =, E() S2 = e. Später zeigen wir r Q : E(r) = e r und definieren dann e x := E(x) für alle x R Q. Dann ist also e x = E(x) (x R). Definition: Sei (a n ) eine Folge und φ: N N eine Bijektion. Setze b n := a φ(n) (n N). Also b = a φ(), b 2 = a φ(2), b 3 = a φ(3),... Dann heißt (b n ) eine Umordnung von (a n ). Beispiel: (a 2, a 4, a, a 3, a 6, a 8, a 5, a 7,... ) ist eine Umordnung von (a n ). Satz 3.: Es sei (b n ) eine Umordnung von (a n ). Dann gilt: a) Ist (a n ) konvergent, so ist (b n ) konvergent und lim n b n = lim n a n. 40

42 b) Ist n= a n absolut konvergent, so ist n= b n absolut konvergent und a n = b n. n= n= Beweis: a) Setze a := lim n a n. Es sei ε > 0. Dann gilt: n 0 N n n 0 : a n a < ε. Da φ injektiv ist, ist die Menge {n N : φ(n) < n 0 } endlich. Also gilt: b n a = a φ(n) a < ε ffa n N. b) Ohne Beweis. Bemerkung (ohne Beweis): Es sei n= a n konvergent, aber nicht absolut konvergent. Dann gilt: a) Ist s R, so existiert eine Umordnung (b n ) von (a n ) mit: b n ist konvergent und n= b n = s. n= b) Es existiert eine Umordnung (c n ) von (a n ) mit: n= c n ist divergent. Definition: Gegeben seien die Reihen n=0 a n und n=0 b n. Für n N 0 sei n n c n := a k b n k = a n k b k, also k=0 k=0 c n = a 0 b n + a b n a n b 0. Die Reihe n=0 c n heißt das Cauchyprodukt (CP) von n=0 a n und n=0 b n. 4

43 Satz 3.2: Es seien n=0 a n und n=0 b n absolut konvergent. Für ihr Cauchyprodukt n=0 c n gilt dann: c n ist absolut konvergent und n=0 c n = ( a n )( b n ). n=0 n=0 n=0 Ohne Beweis. Beispiel: Es sei x R und x <. Bekannt: n=0 x n konvergiert absolut und n=0 x n =. Also ist x ( x) 2 = ( n=0 x n )( n=0 x n ) 3.2 = mit c n = n k=0 x k x n k = (n + )x n (n N 0 ). Somit gilt: c n, n=0 ( x) = (n + )x n ( x < ). 2 n=0 z.b. (x = ) : 4 = (n+) 2 n=0. 2 n Weiter gilt: x ( x) = (n + )x n+ = 2 n=0 z.b. (x = 2 ) : 2 = n= n 2 n, also = n= n 2 n+. nx n. n= 3.3 Eigenschaften der Exponentialfunktion: E(x) = n=0 x n n! (x R). Es gilt: a) E(0) =, E() = e; b) x, y R : E(x + y) = E(x)E(y); c) x,..., x m R : E(x x m ) = E(x )... E(x m ); d) E(x) > (x > 0); E(x) > 0 (x R); E( x) = E(x) (x R); e) x R r Q : E(rx) = E(x) r ; f) r Q : E(r) = e r ; 42

44 g) E ist auf R streng monoton wachsend, d.h. aus x < y folgt stets E(x) < E(y). Beweis: a) Ist bekannt. b) Es gilt mit c n = n k=0 E(x)E(y) = ( x k k! y n k (n k)! = n! k=0 n=0 x n n! )( n=0 y n n! ) 3.2 = c n, n=0 n n! x k y n k = S k!(n k)! n! (x + y)n (n N 0 ). =( n k) Also: E(x)E(y) = n=0 (x+y) n n! = E(x + y). c) Folgt aus b). d) Für x > 0 gilt E(x) = + x + x2 2! + x3 3! +... >. Weiter ist >0 = E (x + ( x)) b) = E(x)E( x) (x R). Insbesondere gilt: E(x) > 0 (x < 0) und E( x) = E(x) (x R). e) Für x R und n N gilt: Also ist Für m, n N folgt damit: E(nx) = E(x x) c) = E(x) n. E(x) = E(n x n ) = (E(x n ))n E( n x) = E(x) n. E( m n x) = E(mx n ) = E(x n )m = (E(x) n ) m = E(x) m n. Somit gilt E(rx) = E(x) r für jedes r Q mit r > 0. Sei r Q und r < 0. Dann ist r > 0, also E(rx) = E( rx) = E(x) r = E(rx) = E(x) r. E(x) r 43

45 f) Folgt aus e) mit x =. g) Es sei x < y. Dann gilt y x > 0, also d) < E(y x) b) = E(y)E( x) d) = E(y) E(x) d) = E(x) < E(y). 44

46 Kapitel 4 Potenzreihen Definition: Es sei (a n ) n=0 eine Folge in R und x 0 R. Eine Reihe der Form heißt Potenzreihe (PR). a n (x x 0 ) n = a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) n=0 Frage: Für welche x R konvergiert eine Potenzreihe (absolut)? Klar: Eine Potenzreihe konvergiert absolut für x = x 0. Beispiele: a) n=0 x n n!. Hier: a n = n! (n N 0 ), x 0 = 0. Bekannt: Die Potenzreihe konvergiert absolut für jedes x R. b) n=0 (x x 0 ) n. Hier: a n = (n N 0 ). Bekannt: Die Potenzreihe konvergiert absolut x x 0 < (geometrische Reihe). c) n=0 n n (x x 0 ) n. Hier: a n = n n (n N 0 ). Es sei x x 0 und b n := n n (x x 0 ) n n. Es gilt: b n = n x x 0. Wegen x x 0 ist ( n b n ) unbeschränkt. Nach 3.7 ist n=0 n n (x x 0 ) n divergent. Also: n=0 n n (x x 0 ) n konvergiert nur für x = x 0. Definition: Es sei n=0 a n (x x 0 ) n eine Potenzreihe. Setze, falls ( n a n ) unbeschränkt ρ := n lim sup n a n, falls ( n a n ) beschränkt 45

47 und 0, falls ρ = r :=, falls ρ = 0, falls ρ (0, ) (kurz: r = ). r heißt der Konvergenzradius (KR) der Potenzreihe. ρ ρ Satz 4.: Es sei n=0 a n (x x 0 ) n eine Potenzreihe und ρ und r seien wie in obiger Definition. Dann gilt: a) Ist r = 0, so konvergiert die Potenzreihe nur für x = x 0. b) Ist r =, so konvergiert die Potenzreihe absolut für jedes x R. c) Ist r (0, ), so konvergiert die Potenzreihe absolut für jedes x R mit x x 0 < r und sie divergiert für jedes x R mit x x 0 > r. Für x = x 0 ± r ist keine allgemeine Aussage möglich. Beweis: Für x R sei b n (x) := a n (x x 0 ) n (n N 0 ), also n b n (x) = n a n x x 0 (n N). a) Es sei x x 0. Es gilt r = 0 also ρ =. Somit ist ( n b n (x) ) unbeschränkt. Nach 3.7 ist n=0 b n (x) divergent. n b) Es gilt r = also ρ = 0. Somit ist lim sup n b n (x) = 0 (x R). Mit 3.7 folgt die Behauptung. c) Es gilt: lim sup n n b n (x) = lim sup n n a n x x 0 = ρ x x 0 = r x x 0. Also gilt: lim sup n lim sup n Die Behauptung folgt aus 3.7. n b n (x) < x x 0 < r, n b n (x) > x x 0 > r. 46

48 Folgerung: Es gilt: lim n n n! = 0. Beweis: Bekannt: x n n=0 kovergiert für jedes x R. Nach 4. hat die Potenzreihe den n! Konvergenzradius r =, also ist ρ = 0, d.h. lim sup n n n! = 0. Mit 3.6 folgt die Behauptung. Beispiele: a) n=0 x n ; a n = (n N 0 ), x 0 = 0; ρ =, r =. Die Potenzreihe konvergiert für x < absolut und sie divergiert für x >. Für x = ist die Potenzreihe divergent. b) x n ; a n= n 0 = 0, a n = (n ), x n 0 = 0. n Es gilt: a n = n n. Also ist ρ = und damit r =. Die Potenzreihe konvergiert absolut für x < und sie divergiert für x >. Für x = : divergiert. n= n Für x = : ( ) n n= konvergiert (nicht absolut). n c) x n n= ; a n 2 0 = 0, a n = (n ), x n 2 0 = 0. n Es gilt: a n. Also ist ρ = und damit r =. Die Potenzreihe konvergiert absolut für x < und sie divergiert für x >. Für x = : n= konvergiert absolut. n 2 Für x = : ( ) n n= konvergiert absolut. n 2 In vielen Fällen läßt sich auch über das Quotientenkriterium 3.8 der Konvergenzradius einer Potenzreihe bestimmen: Satz 4.2: Es sei a n 0 ffa n N 0, die Folge ( ) a n a n+ sei konvergent und L := a lim n. n a n+ Dann hat die Potenzreihe n=0 a n (x x 0 ) n den Konvergenzradius L. Ohne Beweis. 47

49 4.3 Cosinus: Wir betrachten die Reihe ( ) n x2n (2n)! = x2 2! + x4 4! x6 6! +... n=0 Hier: x 0 = 0, a 2n+ = 0, a 2n = ( )n (n N (2n)! 0 ). Wegen 0 a n n n n! (n N) und n n! 0 (n ) folgt n a n 0 (n ). Nach 4. hat obige Potenzreihe den Konvergenzradius r =, konvergiert also absolut für jedes x R. Cosinus: cos: R R cos x := n=0 ( ) 4.4 Sinus: Analog wie bei 4.3 sieht man: Die Potenzreihe ( ) n x 2n+ n=0 (2n + )! konvergiert absolut für jedes x R. sin: R R Sinus: sin x := n=0 ( ) Offensichtlich gilt: sin 0 = 0, cos 0 =, sowie n x2n (2n)! = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... n x2n+ (2n+)! x R : sin( x) = sin(x), cos( x) = cos(x). Ähnlich wie in 3.3 zeigt man (mit dem Cauchyprodukt) die folgenden Additionstheoreme: Für x R erhalten wir x, y R : sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y, x, y R : cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y. = cos(0) = cos(x + ( x)) = cos x cos( x) sin x sin( x) = cos 2 x + sin 2 x, cos 2 x cos 2 x + sin 2 x =, sin 2 x cos 2 x + sin 2 x =, und damit cos x und sin x. 48

50 Kapitel 5 q-adische Entwicklung Definition: Es sei x R. Dann existiert genau eine größte ganze Zahl x, also ein k Z mit k x < k + ; [x] := k. Vereinbarung: In diesem Sen sei stets a 0 und q N {}. Setze z 0 := [a], dann gilt: z 0 a < z 0 +. Setze z := [(a z 0 )q], dann gilt: z aq z 0 q < z +. Also: z 0 + z q a < z 0 + z q + q. Es gilt z N 0. Annahme: z q. Dann gilt z q Widerspruch. Also ist z {0,,..., q }. Setze z 2 := [(a z 0 z q )q 2 ]. Wie oben folgt, also z 0 + z 0 + z q a < z 0 +. und z 2 {0,,..., q }. z 0 + z q + z 2 q 2 a < z 0 + z q + z 2 q 2 + q 2. Allgemein (induktiv): Sind z 0,..., z n schon definiert, so setze z n+ := [(a z 0 z q... z n q n )qn+ ]. Wir erhalten so eine Folge (z n ) n=0 mit: z 0 N 0, z n {0,,..., q } (n ) und (*) z 0 + z q z n z a < z q n 0 + q z n q + n =:s n =s n+ q n q n (n N 0 ) 49

51 In den großen Übungen wird gezeigt: Satz 5.: Ist ( z n ) n=0 eine weitere Folge mit den Eigenschaften in (*), so gilt: n N 0 : z n = z n. Es gilt: Nach 3.5 a) ist n=0 z n q n n N : 0 z n q qn q n und n= q q n konvergiert. konvergent. Also ist (s n ) konvergent und mit (*) folgt a = lim n s n = Definition: Ist (y n ) n=0 eine Folge mit y 0 N 0 und y n {0,..., q } (n N), so schreibt man Bemerkungen: y 0, y y 2 y 3 y 4... := a) Die Darstellung einer reellen Zahl als ein solcher Reihenwert ist nicht eindeutig. Z.B. ist (q = 0): n=0 z n q n. n=0 y n q n., = = 0, b) Gilt mit einem m N : y n = 0 (n > m), so schreibt man auch: y 0, y... y m. c) Obige Konstruktion der Folge (z n ) zeigt, daß jede reelle Zahl a 0 als ein solcher Reihenwert geschrieben werden kann: a = z 0, z z 2 z 3 z 4... Die so erhaltene Darstellung von a heißt die q-adische Entwicklung von a. Sie ist nach 5. durch (*) eindeutig bestimmt. d) Sprechweisen: q = 0: Dezimalentwicklung; q = 2: Dualentwicklung. 50

52 Beispiele: a) q = 0, a =. Dann gilt: z 0 =, z = [(a z 0 )q] = 0, z 2 = [(a z 0 z q )q2 ] = 0,.... Induktiv folgt: z n = 0 (n ), also =, b) q = 0, a =. Dann gilt: 2 z 0 = 0, z = [(a z 0 )q] = [ 0 2 ] = 5, z 2 = [(a z 0 z q )q2 ] = [( 2 5 )00] = 0, Induktiv folgt: z n = 0 (n 2), also 2 = 0, = 0, 5. Definition: Es sei b R und b < 0. Weiter sei z 0, z z 2 z 3... die q-adische Entwicklung von b. Dann heißt z 0, z z 2 z 3... die q-adische Entwicklung von b. Satz 5.2: a) Es sei z 0, z z 2 z 3... die q-adische Entwicklung von a. Dann ist z n = q ffa n N nicht möglich. b) Ist (y n ) n=0 eine Folge mit y 0 N 0, y n {0,..., q } (n N), a = y 0, y y 2 y 3... und y n = q nicht ffa n N, so ist y 0, y y 2 y 3... die q-adische Entwicklung von a. Beweis: a) Annahme: m N n m: z n = q. Dann gilt: und a = n=0 m z n q = n z n q n n=0 =s m + n=m q q n ( q = (q ) n=m qm q + ) m q +... m+ = q ( + q q + q ) +... m 2 = q q m q = q m. Also ist a = s m + q m (*) > a. Widerspruch. b) Übung (mit 5.). 5

53 Satz 5.3: R ist überabzählbar. Beweis: Es genügt zu zeigen, daß [0, ) überabzählbar ist. Annahme: [0, ) ist abzählbar, also [0, ) = {a, a 2, a 3,... }. Für j N sei a j = 0, z (j) z (j) 2 z (j) 3... die 3-adische Entwicklung von a j, also z n (j), falls z n (n) z n := 0, falls z (n) {0,, 2} (n N). Setze = 0 oder z (n) n = 2 n = Dann gilt z n z (n) n (n N) (**). Setze a := n= z n 3 n. Es gilt: 0 a n= 3 =, also a [0, ). n 2 Nach 5.2 b) ist 0, z z 2 z 3... die 3-adische Entwicklung von a. Wegen a [0, ) existiert ein m N mit a = a m, also 0, z z 2 z 3... = 0, z (m) z (m) 2 z (m) Es folgt z j = z (m) j (j N), also für j = m: z m = z (m) m. Widerspruch zu (**). 52

54 Kapitel 6 Grenzwerte bei Funktionen Definition: Es sei D R und x 0 R. x 0 heißt ein Häufungspunkt (HP) von D : Es gibt eine Folge (x n ) in D {x 0 } mit x n x 0. Beispiele: a) D = (0, ]. Es gilt: x 0 ist Häufungspunkt von D x 0 [0, ]. b) D = { n : n N}. Es gilt: D hat genau einen Häufungspunkt: x 0 = 0. c) D = Q. Es gilt: Jedes x R ist Häufungspunkt von D. d) Ist D endlich, so hat D keine Häufungspunkte. Hilfssatz 6.: Sei D R und x 0 R. Dann gilt: Beweis: x 0 ist Häufungspunkt von D ε > 0 : U ε (x 0 ) (D {x 0 }). : Es gibt eine Folge (x n ) in D {x 0 } mit x n x 0. Es sei ε > 0. Dann gilt: : Nach Voraussetzung gilt: n 0 N n n 0 : x n U ε (x 0 ) (D {x 0 }). x U (x 0 ) (D {x 0 }), also x x 0 < ; x 2 U (x 0 ) (D {x 0 }), also x 2 x 0 < ; etc. 2 2 Wir erhalten eine Folge (x n ) in D {x 0 } mit x n x 0 < n (n N), also x n x 0. 53

55 Vereinbarung: Ab jetzt sei stets in diesem Sen D R, x 0 ein Häufungspunkt von D und f : D R eine Funktion. Bezeichnung: a) D δ (x 0 ) := U δ (x 0 ) (D {x 0 }). b) Sei M D und g : D R eine weitere Funktion. Wir schreiben f g auf M für f(x) g(x) (x M). Definition: lim x x0 f(x) existiert : Es gibt ein a R so, daß für jede Folge (x n ) in D {x 0 } mit x n x 0 gilt: f(x n ) a. In diesem Fall ist a eindeutig bestimmt und wir schreiben: lim x x 0 f(x) = a oder f(x) a (x x 0 ). Bemerkung: Sollte x 0 D sein, so ist der Wert f(x 0 ) in obiger Definition nicht relevant. Relevant ist allein das Verhalten von f in das Nähe von x 0. Beispiele: a) D := [0, ), p N, f(x) := p x. Es sei x 0 D (dann ist x 0 eine Häufungspunkt von D). Es sei (x n ) eine Folge in D mit x n x 0. Nach 2.4 gilt dann: p x n p x 0 (n ). Also gilt: lim p x = p x 0. x x 0 b) D = (0, ], x 2, 0 < x < 2 f(x) :=, x = 2 2, < x < 2 0, x = Klar: lim x 0 f(x) = 0, lim x f(x) =. Weiter sei x n := 2 n, y n := 2 + n (n 3). 54

56 Es gilt x n, y 2 n, aber f(x 2 n) = ( ) 2 2 n f(y 4 n). D.h. lim x f(x) existiert nicht. Schränkt man aber f auf D (, ) = (0, ) ein, so gilt Dafür schreibt man lim x 2 f(x) = 4 lim f(x) = x 2 x (0, 2 ) 4. (linksseitiger Grenzwert). Analog: Schränkt man f auf D (, ) = (, ] ein, so ist 2 2 lim f(x) := lim f(x) = (rechtsseitiger Grenzwert). x 2 + x 2 x ( 2,] c) D = R, f = E, also f(x) = n=0 x n n!. Für x gilt: E(x) E(0) = E(x) = x + x2 2! + x3 3! +... = x + x 2! + x2 3! +... ( x + x ) 2! + x ! x ( + 2! + ) 3! +... = x (e ). Es sei (x n ) Folge in R mit x n 0. Dann gilt: und somit n 0 N n n 0 : x n, n n 0 : E(x n ) x n (e ). Damit folgt E(x n ). Somit ist lim x 0 E(x) = = E(0). Es gilt also: lim x 0 n=0 x n n! = 55 n=0 ( lim x 0 x n ). n!

57 Satz 6.2: Es gilt: a) lim f(x) = a ε > 0 δ > 0 x D δ (x 0 ) : f(x) a < ε. x x 0 b) lim x x0 f(x) existiert Für jede Folge (x n ) in D {x 0 } mit x n x 0 ist (f(x n )) konvergent. c) Cauchykriterium: lim x x 0 f(x) existiert ε > 0 δ > 0 x, x 2 D δ (x 0 ) : f(x ) f(x 2 ) < ε. Beweis: b) und c) ohne Beweis. a) : Es sei ε > 0. Annahme: Für kein δ > 0 gilt f(x) a < ε (x D δ (x 0 )). Dann existiert zu jedem n N ein x n D /n (x 0 ) mit f(x n ) a ε. Damit ist (x n ) eine Folge in D {x 0 } mit x n x 0 und f(x n ) a Widerspruch. : Es sei (x n ) eine Folge in D {x 0 } mit x n x 0. Es sei ε > 0. Wähle δ > 0 so, daß f(x) a < ε (x D δ (x 0 )). Es gibt ein n 0 N mit x n x 0 < δ (n n 0 ). Für n n 0 gilt damit f(x n ) a < ε. Also gilt: f(x n ) a. Satz 6.3: Es seien f, g, h: D R Funktionen. Weiter seien a, b, α, β R und es gelte f(x) a, g(x) b (x x 0 ). Dann gilt: a) αf(x) + βg(x) αa + βb; f(x)g(x) ab; f(x) a (x x 0 ). b) Ist a 0, so existiert ein δ > 0 mit f(x) 0 (x D δ (x 0 )). Für f : D δ(x 0 ) R gilt: f(x) a (x x 0 ). 56