2 Folgen und Reihen. 2.1 Folgen in C Konvergenz von Folgen. := f(n)

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1 2 Folgen und Reihen 2.1 Folgen in C Konvergenz von Folgen Eine Folge komplexer Zahlen ist eine Funktion f : N C. Mit a n schreibt man (a n ) n=1, (a n ) oder auch a 1, a 2,.... := f(n) (a n ) heißt konvergent, wenn es ein a C mit der folgenden Eigenschaft gibt: Zu jedem ε > 0 existiert ein n 0 N mit a n a < ε für alle n > n 0. a heißt dann Grenzwert oder Limes der Folge (a n ). Man schreibt a = lim n a n oder a n a für n oder einfach a = lim a n. (a n ) ist eine Nullfolge, falls lim a n = 0. Eine nicht konvergente Folge heißt divergent. Umgebungen: Jede Obermenge einer Kreisscheibe K ε (a) = {z C : z a < ε heißt Umgebung von a C. K ε (a) heißt ε-umgebung von a. a = lim a n Jede Umgebung von a enthält fast alle (d.h. alle bis auf endlich viele) a n. Grenzwerte sind eindeutig, d.h. a = lim a n und a = lim a n impliziert a = a. Beispiele: lim n n a = 1 für jedes a > 0 lim n n n = 1 lim n z n = 0 für jedes z C mit z < 1 lim n n k z n = 0 für jedes k N und z > 1. Rechenregeln: Für die Folgen (a n ) und (b n ) gelte a n a und b n b für n. Dann gelten auch a n a a n a Ra n Ra Ia n Ia 1

2 a n + b n a + b a n b n ab Ist b 0, so sind fast alle b n 0 und an b n a b Folgerung: Grenzwerte reeller Folgen sind reell. Allgemein gilt lim a n = lim Ra n + i lim Ia n. Beschränktheit: A C heißt beschränkt, wenn es ein s R + mit a s für alle a A gibt. Eine Folge heißt beschränkt, wenn die Menge der Folgenglieder beschränkt ist. Satz 1 Konvergente Folgen sind beschränkt. Regeln für reelle Folgen: Seien (a n ), (b n ) und (c n ) Folgen reeller Zahlen mit a n a, b n b und c n c. Falls a n b n für fast alle n gilt, so gilt a b. Liegen fast alle a n in einem abgeschlossenen Intervall [A, B], so liegt auch a in [A, B]. Sandwichregel : Falls a n b n c n für fast alle n gilt und a = c ist, so gilt auch b = a = c Monotone Folgen Eine Folge (a n ) reeller Zahlen heißt monoton wachsend falls a 1 a 2 a 3... gilt. strikt monoton wachsend falls a 1 < a 2 < a 3 <... gilt. monoton fallend falls a 1 a 2 a 3... gilt. strikt monoton fallend falls a 1 > a 2 > a 3 >... gilt. monoton, falls (a n ) monoton fallend oder monoton wachsend ist. Satz 2 Eine beschränkte monotone Folge konvergiert. Insbesondere gilt mit A = {a 1, a 2,...}: a n sup A falls (a n ) monoton wachsend ist. 2

3 a n inf A falls (a n ) monoton fallend ist. Beispiel: Die Folgen (a n ) und (b n ) gegeben durch erfüllen und a n = ( 1 + n) 1 n ( und b n = ) n+1 n 2 = a 1 a 2... a n b n... b 2 b 1 = 4 b n a n 0. Sie haben folglich einen gemeinsamen Grenzwert, den man mit e bezeichnet und Eulersche Zahl nennt. ( e = lim n. n n) Häufungspunkte, Limes Inferior, Limes Superior h C heißt Häufungspunkt der Folge (a n ), wenn jede Umgebung von h unendlich viele Folgenglieder a n enthält. Satz 3 (Bolzano-Weierstraß 1.Fassung) Jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat eine größten Häufungspunkt h und einen kleinsten Häufungspunkt h. Für jedes ε > 0 gilt dann für fast alle n a n < h + ε und a n > h ε. Bezeichnungen: h heißt Limes superior oder obere Grenze der Folge (a n ), lim sup a n = h. h heißt Limes inferior oder untere Grenze der Folge (a n ), lim inf a n = h. (a n ) ist konvergent lim sup a n = lim inf a n (= lim a n ). Teilfolgen: Ist n 1 < n 2 <... eine wachsende Folge natürlicher Zahlen, so heißt die Folge (a nk ) = (a n 1, a n2,...) Teilfolge der Folge (a n ) h ist Häufungspunkt einer Folge genau dann, wenn es eine gegen h konvergente Teilfolge gibt. Satz 4 (Bolzano-Weierstraß 2.Fassung) Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen hat eine konvergente Teilfolge (und somit einen Häufungspunkt). 3

4 2.1.4 Das Cauchy-Kriterium (a n ) heißt Cauchyfolge, falls es zu jedem ε > 0 ein n 0 N mit a n a m < ε für alle m, n n 0 gibt. Satz 5 (Cauchy-Konvergenzkriterium) Eine Folge ist konvergent genau dann, wenn sie eine Cauchyfolge ist Uneigentliche Konvergenz R = R {, } Sei (a n ) eine Folge reeller Zahlen. Falls es zu jedem N N ein n 0 N mit a n > N für n n 0 gibt, so schreibt man lim a n = +. Entsprechend bedeutet lim a n =, daß es zu jedem N N ein n 0 N mit a n < N für n n 0 gibt. Die Folge heißt dann uneigentlich konvergent. 2.2 Reihen komplexer Zahlen Reihen sind Folgen (s n ), die mit Hilfe der Zuwächse a n = s n s n 1 geschrieben werden Konvergenz von Reihen Ist (a n ) eine Folge komplexer Zahlen, so definieren wir die Folge der Partialsummen (s n ) durch n s n = a k. Die Folge (s n ) heißt unendliche Reihe oder kurz Reihe und man schreibt dafür a k oder a k oder a 1 + a Die (a k ) heißen Glieder der Reihe. Ist (s n ) konvergent, s n s, so sagt man, daß die Reihe a k konvergent mit der Summe s ist und schreibt a k = s. Sind alle a k reell und s n oder s n, so schreibt man entsprechend 1 a k = bzw. 1 a k =. 4

5 Analog definiert man Reihen n a k für n Z. Beispiele: geometrische Reihe: k=0 zk = 1 1 z harmonische Reihe 1 k = für z < 1. Cauchy-Kriterium für Reihen: Eine Reihe a k ist konvergent genau dann, wenn es zu jedem ε > 0 ein n 0 N mit m < ε für alle m > n > n 0 gibt. k=n Konvergenzkriterien für spezielle Reihen mit reellen Gliedern Satz 6 Eine Reihe mit nichtnegativen Gliedern konvergiert genau dann, wenn die Folge der Partialsummen beschränkt ist. Schreibweise: a k < Folgerungen: Majorantenkriterium: Ist 0 a n b n für fast alle n und b n konvergent, so ist auch a n konvergent. Minorantenkriterium: Ist 0 a n b n für fast alle n und a n divergent, so ist auch b n divergent. Reihen mit monotonen Folgengliedern Satz 7 (Verdichtungssatz) Ist (a n ) eine monoton fallende Nullfolge, so gilt konvergent 2 k a 2 k konvergent. k=0 Beispiel: Für s R gilt: n s konvergent s > 1 Alternierende Reihen sind Reihen mit reellen Gliedern, die abwechselnde Vorzeichen haben. 5

6 Beispiel: alternierende harmonische Reihe: = ( 1) k 1. k Satz 8 (Leibnizsches Konvergenzkriterium) Ist (a n ) eine monotone fallende Nullfolge, so ist s = k=0 ( 1)k a k konvergent und es gilt s n k=0 ( 1)k a k a n Absolute Konvergenz Eine Reihe a k heißt unbedingt konvergent, wenn für jede Permutation π : N N die umgeordnete Reihe a π(k) konvergent ist und denselben Wert hat. Eine Reihe a k heißt absolut konvergent, wenn die Reihe a k konvergent ist. Beispiel: Die alternierende harmonische Reihe ist nicht absolut konvergent. Reihen mit nichtnegativen Gliedern sind konvergent genau dann wenn sie absolut konvergent sind. Satz 9 Absolut konvergente Reihen sind unbedingt konvergent. Bemerkung: Auch die Umkehrung gilt. Der Riemannsche Umordnungssatz besagt, dass man für eine konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihe mit reellen Gliedern jede vorgegebene reelle Zahl durch Umordnung als Reihensumme erhalten kann. Konvergenzkriterien für absolute Konvergenz Wurzelkriterium: Gibt es ein q (0, 1) derart, daß n a k q für fast alle n gilt, dann ist a k absolut konvergent. Quotientenkriterium: Ist a k 0 für fast alle k und gibt es ein q (0, 1) mit a k+1 /a k q für fast alle k, so ist a k absolut konvergent Reihen mit beliebigen Indexmengen Sei M eine abzählbare Menge und (a α ) α M eine Familie komplexer Zahlen. Ist φ : N M eine Bijektion, dann setzen wir a α := a φ(k). α M 6

7 Ist die rechte Reihe absolut konvergent, so ist diese Definition unabhängig von der konkreten Auswahl der Bijektion φ. In diesem Fall sprechen wir von der absoluten Konvergenz der Reihe α M a α. Satz 10 (Großer Umordnungssatz) Sei M eine abzählbare Menge und I 1, I 2,... eine Zerlegung von M in paarweise disjunkte Teilmengen I k (d.h. I k I l = for k l and I k = M.) Ist α M a α absolut konvergent, dann sind auch α I k a α für k = 1, 2,... absolut konvergent und es gilt a α = a α. α M α I k wichtigstes Beispiel - Doppelreihen: Hier ist M = N N und man schreibt statt a (i,j) auch a ij und statt (i,j) M auch i,j=1. Sei also i,j=1 a ij absolut konvergent (also ( ) i j a ij < ). Dann gilt a ij = a ij ( ) = a ij = i,j=1 i=1 j=1 j=1 i=1 k=2 i+j=k k=2 i=1 a ij = ( k 1 ) a i,k i. Satz 11 (Multiplikation von Reihen) Sind die Reihen a k und b k absolut konvergent, so kann ihr Produkt durch gliedweise Multiplikation berechnet werden: ( ) ( ) a k b k = a i b j i,j=1 und die entstehende Doppelreihe ist absolut konvergent. Das Cauchy-Produkt ( ) ( ) a k b k = k=0 k=0 k=0 d k mit k d k = a k b n k = a 0 b n + a 1 b n a n b 0. i=0 Die Binomialreihe Die allgemeinen Binomialkoeffizienten definiert man für α C durch ( ) α α(α 1)... (α k + 1) =. k k! 7

8 Die Binomialreihe ist dann für z C gegeben durch B(z, α) = k=0 ( ) α z k = 1 + αz + k α(α 1) z Diese Reihe ist für α = 0, 1,... nichts anderes als die binomische Formel für (1 + z) α. Für alle anderen α C ist sie absolut konvergent, sofern z < 1 ist. Das Cauchyprodukt liefert unter Verwendung des Additionstheorems für Binomialkoeffizienten ( ) α + β k ( )( ) α β = k i k i daß gilt. i=0 B(z, α)b(z, β) = B(z, α + β) Satz 12 Für x R mit x < 1 und α Q gilt (1 + x) α = B(x, α). Diesen Satz werden wir später auf alle α C verallgemeinern. 8