Konvergenz von Folgen
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- Maria Kneller
- vor 6 Jahren
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1 " Mathematische Anwendersysteme Einführung in MuPAD Tag 6 Folgen Reihen 1005 Gerd Rapin Übersicht Folgen Konvergenz von Folgen Realisierung in MuPAD Reihen Eponentialfunktion Logarithmus Sinus Cosinus Tangens Folgen Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p1/?? Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p/?? Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p3/?? Folgen Eine reelle Zahlenfolge kurz Folge genannt ist eine Abbildung von in Statt schreibt man in Anlehnung an die Vektornotation Natürlich kann man auch Folgen auf beliebigen Mengen betrachten Aber wir beschränken uns auf den Fall Die Zahlen heißen Glieder der Folge Eine Teilfolge ist eine Abb wobei eine Menge mit unendlich vielen Elementen ist Konvergenz von Folgen Eine Zahlenfolge ist konvergent gegen den Grenzwert oder Limes wenn es zu jedem ein gibt so dass für alle die Abschätzung gilt Man schreibt Eine nicht konvergente Folge nennt man divergent Konvergiert eine Folge gegen sie eine Nullfolge Der Grenzwert mit so nennt man einer konvergenten Teilfolge heißt Häufungspunkt Eine Cauchy-Folge ist eine Folge bei der für alle ein eistiert so dass für alle gilt: In ist eine Folge konvergent genau dann wenn sie eine Cauchy-Folge ist (Vollständigkeit! Eine $'% -Umgebung ( # $&% von ist definiert durch Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p4/?? Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p5/?? Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p6/??
2 ( ( divergieren und konvergieren und Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p7/?? MuPAD Grenzwerte von Folgen können mit Hilfe von limit(a(nn=infinity berechnet werden ist dabei ein Ausdruck >> limit(1/(n+1n=infinity 0 >> limit(((n+/(n+1ˆ(n+1n=infinity ep(1 >> limit((-1ˆnn=infinity n limit((-1 n = infinity >> limit(ˆnn=infinity infinity >> limit(sin(nn=infinity [-1 1] Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p8/?? Jede monotone beschränkte Folge konvergiert Sind und auch die Folge Grenzwert Sind und auch die Folge Grenzwert konvergente Folgen so ist konvergent mit dem konvergente Folgen so ist konvergent mit dem Weglassen oder Hinzufügen endlich vieler Glieder verändert das Konvergenzverhalten nicht Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p9/?? Wichtige Sätze (Bolzano-Weierstrass Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge Jede Teilfolge einer konvergenten Folge konvergiert gegen den Grenzwert der ursprünglichen Folge Jede konvergente Folge ist beschränkt dh es gibt ein so dass gilt für alle Seien und mit konvergiert mit konvergente Folgen mit Dann gilt für eine Folge dass sie Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p10/?? Rekursive Folgen Rekursive Folgen können durch rec erzeugt werden Durch solve kann eine eplizite Darstellung berechnet werden Beispiel: >> gl:=rec(y(n+=y(n+1-y(n+y(n y(0=-1 y(1=a : >> solve(gl a n + n - 1 Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p11/?? Reihen Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p1/??
3 " Reihen Sei eine Folge reeller Zahlen Eine (unendliche Reihe mit den Gliedern in Zeichen ist definiert durch die Folge der Partialsummen Der Grenzwert der Folge wird als Wert oder Summe der Reihe bezeichnet Man schreibt Beginnt die Indizierung statt bei mit einer anderen ganzen Zahl so wird entsprechend eingeführt # Bei Abänderung Weglassen oder Hinzufügen endlich vieler Glieder bleiben Konvergenz und Divergenz unberührt IA wird sich aber der Grenzwert ändern Reihen sind eine spezielle Art von Folgen Die geometrische Reihe ist gegeben durch Die Partialsummen lauten falls falls Also divergiert die Reihe für und konvergiert für mit dem Wert konvergiert gegen Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p13/?? Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p14/?? Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p15/?? Die harmonische Reihe divergiert Die alternierende harmonische Reihe konvergiert divergiert für konvergiert für konvergiert für und Reihen mit MuPAD Der Befehl sum(fi=ab sucht eine geschlossene Darstellung der Summe Dabei sind ganze Zahlen wobei auch unendlich (also infinity erlaubt ist f ist ein Ausdruck in >> sum(1/iˆi=1infinity PI >> sum((-1ˆ(i+1/ii=1infinity ln( >> sum(1/ii=1infinity infinity Reihen mit MuPAD Oft ist die Konvergenz einer Reihe abhängig von bestimmten Parametern wie zb bei der geometrischen Reihe Und je nach Parameterwert zeigt die Reihe unterschiedliches Konvergenzverhalten >> sum(ˆii=0infinity infinty Entsprechend gibt es keine geschlossene Form Für gilt jedoch >> :=1/: sum(ˆii=0infinity Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p16/?? Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p17/?? Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p18/??
4 Etwas mehr MuPAD Definieren der Partialsumme >> delete >> s:=sum(ˆii=0n Die ersten n >> s $ n=15 Glieder der Partialsumme Etwas mehr MuPAD II Bestimmen des Grenzwertes der Folge der Partialsummen > limit(sn=infinity infinity Einschränken des Bereichs für >> assume(<1 assume(>-1_and < 1 ]-1 1[ >> limit(sn=infinity assume Mit der Funktion assume kann man Funktionen wie epand simplify oder solve mitteilen dass für gewisse Bezeichner Annahmen über ihre Bedeutung gemacht wurden : assume(type::real assume(>a wird auf wird auf eingeschränkt! eingeschränkt! Möchte man für einen Bezeichner mehrere Annahmen machen so hilft die Option _and (siehe oben Ruft man assume für einen Bezeichner auf wird ansonsten die erste Annahme überschrieben Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p19/?? Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p0/?? Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p1/?? Umformungen oder Vereinfachungen für symbolische Bezeichner werden ia nur dann durchgeführt wenn sie auf der gesamten kompleen Ebene gelten Hier kann ein Einschränken des Definitionsbereichs helfen Mittels unassume(a werden Annahmen bzgl des Typs von a gelöscht Durch getprop(a können die Annahmen des Typs ermittelt werden Durch den speziellen Bezeichner Global können Annahmen für alle Bezeichner gesteuert werden zu assume >> getprop(c c >> c:=: getprop(c >> assume(c>0 Error: wrong relation [property::setrel] >> delete c: assume(ctype::integer Type::Integer >> getprop(c Type::Integer zu assume >> sqrt(ˆ 1/ ( >> assume(>0 > 0 >> sqrt(ˆ >> simplify(ln(ep( ln(ep( >> assume(>0: >> simplify(ln(ep( >> assume(type::integer: >> solve((-1(+15 1 Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p/?? Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p3/?? Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p4/??
5 ( Einige Grundbereiche Majorantenkriterium Grundbereich Type::Real Type::Rational Type::Integer Type::Prime Type:: Intervall(abT Type::Positive Type::NonZero Type::NegRat Erklärung Primzahlen Grundbereich (Cauchykriterium Eine Reihe konvergiert genau dann wenn es zu jedem ein gibt so dass für alle gilt # "! Konvergiert eine Reihe so bilden ihre Glieder eine Nullfolge (Verdichtungskriterium Eine Reihe mit einer Folge nichtnegativer monoton fallender Glieder konvergiert genau dann wenn die Reihe konvergiert Gilt für alle man eine Minorante und Majorante von so nennt eine Besitzt eine Reihe mit nichtnegativen Gliedern eine konvergente Majorante so konvergiert sie Besitzt eine Reihe mit nichtnegativen Gliedern dagegen eine divergente Minorante so divergiert sie Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p5/?? Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p6/?? Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p7/?? konvergiert wenn (Quotientenkriterium die Glieder positiv sind und ein eistiert so dass für gilt (Wurzelkriterium die Glieder positiv sind und ein eistiert so dass für gilt (Leibnizsches Kriterium konvergiert wenn die Folge eine monoton fallende Nullfolge ist Betrachte >> f:= n -> nˆ4ep(-nn: >> g:=f(n+1/f(n: >> limit(gn=infinity 0 Betrache >> f:= n -> 1/(n(ln(nˆ: >> g:=n-> ˆnf(ˆn: >> h:=n-> ˆng(ˆn: >> limit(h(n+1/h(nn=infinity 1/ Absolute und bedingte Konvergenz Eine Reihe heißt absolut konvergent genau dann wenn konvergiert Eine konvergente aber nicht absolut konvergente Reihe heißt bedingt konvergent Absolut konvergente Reihen können beliebig umgeordnet werden Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p8/?? Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p9/?? Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p30/??
6 Eine Potenzreihe ist eine Reihe der Form mit Das Konvergenzverhalten für verschiedene wird durch den Konvergenzradius bestimmt Für konvergiert die Potenzreihe absolut und für " divergiert sie Für den Konvergenzradius gilt auch " konvergieren innerhalb ihres Konvergenzradius absolut Die Konvergenz an den Stellen und muss bei jeder Reihe individuell geprüft werden sind ein mächtiges Werkzeug innerhalb der Mathematik Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p31/?? Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p3/?? Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p33/?? >> f:=n ->ˆn/(n! >> rho:=limit(epand(f(n+1/f(n n=infinity 0 Die Potenzreihe konvergiert für alle >> f:= n -> nˆs: >> limit(epand(f(nˆ(1/nn=infinity 1 Der Konvergenzradius ist Eponentialfunktion Wir erklären die Eponentialfunktion durch Die Funktion ist auf ganz definiert Plot: >> plotfuncd(ep(-55 Eigenschaften der Eponentialfunktion Die Umkehrfunktion auf Eponentialfunktion ist die Logarithmusfunktion der Die allgemeine Potenz ist durch definiert Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p34/?? Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p35/?? Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p36/??
7 MuPAD >> sum(ˆn/n!n=0infinity ep( >> ep(ln( >> simplify(ln(ep( ln(ep( >> assume(type::real: >> simplify(ln(ep( Trigonometrische Funktionen Die Sinusfunktion und die Cosinusfunktion sind definiert durch Die konvergieren für alle Plotten: >> plotfuncd(sin(cos(=04pi Eigenschaften Es gelten die Additionstheoreme: Wir definieren Nullstelle von : indem wir die kleinste positive als definieren Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p37/?? Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p38/?? Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p39/?? MuPAD >> solve(cos(=0 { 1/PI + XPI X in Z_ } >> assume(0<<: >> solve(cos(=0 { PI } { -- } { } Weitere Eigenschaften Man kann die Sinusfunktion und die Cosinusfunktion auch geometrisch deuten Die Umkehrfunktionen von Sinus und Cosinus werden mit und bezeichnet In MuPAD: arcsin und arccos Plotten: >> plotfuncd(arcsin( arccos(=-11 Der Tangens ist definiert durch >> plotfuncd(tan(=-44 Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p40/?? Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD p41/??
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,...) ist eine Folge, deren Glieder der Null beliebig nahe kommen. (iii) Die Folge a n = ( 1) n + 1 n oder (a n) = (0, 3 2, 2 3, 5 4, 4 5
3 Folgen 3.1 Definition und Beispiele Eine Abbildung a : Æ Ê heißt (reelle) Zahlenfolge. Statt a(n) schreiben wir kürzer a n und bezeichnen die ganze Folge mit (a n ) n Æ oder einfach (a n ), was aber
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