2 Stetige Funktionen. 2.1 Grenzwerte von Funktionen. Definition Beispiel

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1 2 Stetige Funktionen 2. Grenzwerte von Funktionen Definition Sei I R ein Intervall, a I ein innerer Punkt und f eine reellwertige Funktion, die auf I \ {a} (aber eventuell nicht in a) definiert ist. Wir sagen, dass f bei Annäherung an a den Grenzwert (oder Limes) A besitzt, falls es zu jedem ε > 0 ein (von ε abhängiges) δ > 0 gibt, so dass gilt: Für alle x I mit 0 < x a < δ ist f(x) A < ε. Wir schreiben dann auch: lim x a f(x) = A. Es folgt eine Skizze zur Verdeutlichung des Sachverhaltes. Wird ein horizontaler Schlauch der Breite 2ε um den y-wert A gewählt, so muss eine Umgebung U = U δ (a) gefunden werden, so dass der Graph von f eingeschränkt auf U und außerhalb von a ganz im Innern des Schlauches verläuft. y y = f(x) A y = A + ε y = A ε 2ε 0 a δ a a + δ Bemerkung: Auch wenn es nicht extra erwähnt wird, so ist doch der Limes für x x 0 so zu verstehen, dass bei der Annäherung an x 0 immer x x 0 sein soll... Beispiel Wir zeigen, dass lim x 2x 2 + 2x 4 x = 6 ist. Für x gilt nämlich x ε < 2x2 + 2x 4 x ε < 2x2 4x + 2 x 6 < ε ε < 2x2 + 2x 4 6(x ) x 2(x )2 < ε ε < < ε x ε < 2(x ) < ε ε 2 < x < ε 2. < ε

2 2 2 Stetige Funktionen Ist also 0 < x < ε 2, so ist 2x 2 + 2x 4 6 < ε. Daraus folgt die x gewünschte Aussage. Definition Sei I R ein Intervall, a ein rechter Randpunkt von I und f eine reellwertige Funktion, die auf I \ {a} (aber eventuell nicht in a) definiert ist. Wir sagen, dass f bei Annäherung an a den linksseitigen Grenzwert A besitzt, falls es zu jedem ε > 0 ein (von ε abhängiges) δ > 0 gibt, so dass gilt: Für alle x I mit a δ < x < a ist f(x) A < ε. Ist a ein linker Randpunkt von I, so sagen wir, dass f bei Annäherung an a den rechtsseitigen Grenzwert A + besitzt, falls es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass gilt: Für alle x I mit a < x < a + δ ist f(x) A + < ε. Existiert der linksseitige (bzw. rechtsseitige) Grenzwert, so schreibt man f(a ) := lim x a f(x) = A bzw. f(a+) := lim x a+ f(x) = A Beispiele A. Sei f(x) := [x] = größte ganze Zahl x die Gaußklammer. Dann ist f(x) = 0 für 0 < x < und f(x) = für x < 2, also lim f(x) = 0 und lim f(x) =. x x + y f(x) = [x] Grenzwert = bei Annäherung von rechts Grenzwert = 0 bei Annäherung von links x B. Für k N 0 sei a k := 2 2k und b k := 2 2k. Dann ist a k+ < b k < a k, und wir definieren f : (0, ] R durch

3 2. Grenzwerte von Funktionen 3 f(x) := { (x ak+ )/(b k a k+ ) für a k+ x < b k, (x a k )/(b k a k ) für b k x < a k. y x a 2 b a b 0 a 0 Die Skizze zeigt, dass die Werte von f in der Nähe von x = 0 jeder Zahl zwischen 0 und beliebig nahe kommen. Also kann der Grenzwert von f(x) für x 0 nicht existieren. Aber das muss auch noch formelmäßig nachgewiesen werden. y A ε-schlauch x a 2 b a b 0 a 0 Sei A [0, ] beliebig und ε > 0 so klein, dass 0 und nicht beide im Intervall V ε (A) = (A ε, A + ε) liegen können. Wir können annehmen, dass nicht in V ε (A) liegt. Die Folge (b k ) konvergiert von rechts gegen Null, aber die Werte f(b k ) = bleiben immer außerhalb V ε (A). Also gibt es kein δ > 0, so dass f(x) A < ε für 0 < x < δ gilt. Bei Annäherung an 0 von rechts besitzt f(x) keinen Grenzwert! y C. Bei der Funktion f(x) := /x ist die Sachlage etwas anders. Auch hier existiert der Grenzwert bei x = 0 nicht, aber das Verhalten der Funktion ist eindeutiger. Je kleiner die Umgebung von 0, desto größer die Werte von f. Wir deuten das als Konvergenz gegen Unendlich und müssen nur die Definitionen auf c diesen Fall ausdehnen. y = /x 0 δ x

4 4 2 Stetige Funktionen Definition Sei I R ein Intervall, a ein rechter Randpunkt von I und f eine reellwertige Funktion auf I, aber nicht in a definiert. Wir sagen, dass f bei Annäherung an a den linksseitigen Grenzwert + (bzw. ) besitzt, falls es zu jedem c > 0 ein δ > 0 gibt, so dass gilt: Für alle x I mit a δ < x < a ist f(x) > c (bzw. f(x) < c). Im Falle eines linken Randpunktes von I und der Annäherung an a von rechts definiert man den Grenzwert ± analog..3. Beispiel Es ist lim x 0 x = und lim x 0+ x = +. Ist lim x a f(x) = ± oder lim x a± f(x) = ±, so nennt man die Gerade x = a eine vertikale Asymptote..4. Satz Der beidseitige Grenzwert lim x a f(x) existiert genau dann, wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert von f(x) in a existieren und beide gleich sind. Beweis: Die eine Richtung ist trivial. Setzen wir also voraus, dass die einseitigen Grenzwerte existieren und gleich einer Zahl A sind! Sei ε > 0 vorgegeben. Dann gibt es Zahlen δ, δ 2 > 0, so dass f(x) A < ε für a δ < x < a + δ 2 ist. Die Ungleichung gilt dann aber erst recht für x a < δ, wenn man δ min(δ, δ 2 ) wählt..5. Folgenkriterium Sei I R ein Intervall, a I ein innerer Punkt oder ein Randpunkt von I und f eine reellwertige Funktion, die auf I \ {a} (aber eventuell nicht in a) definiert ist. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:. Es existiert der Grenzwert A := lim x a f(x). 2. Für jede Folge (x n ) I mit x n a und lim n x n = a ist lim n f(x n ) = A. Beweis: () = (2): Sei (x n ) eine Folge in I, die gegen a konvergiert. Außerdem sei ein ε > 0 vorgegeben. Es gibt ein δ > 0, so dass f(x) A < ε für x a < δ ist. Für ein geeignetes

5 2. Grenzwerte von Funktionen 5 n 0 liegen alle Folgeglieder x n mit n n 0 in U δ (a). Dann ist f(x n ) A < ε für n n 0. Das bedeutet, dass (f(x n )) gegen A konvergiert. (2) = (): Es sei das Folgenkriterium erfüllt. Wir nehmen an, dass f(x) für x a nicht gegen A konvergiert. Dann gibt es ein ε > 0, so dass man zu jedem δ > 0 ein x mit 0 < x a < δ und f(x) A ε finden kann. Insbesondere gibt es dann zu jedem n N einen Punkt x n I mit 0 < x n a < /n und f(x n ) A ε. Aber das kann nicht sein..6. Grenzwertsätze Wenn die Grenzwerte lim x a f(x) = c und lim x a g(x) = d existieren, dann gilt:. lim x a (f(x) ± g(x)) = c ± d. 2. lim x a (f(x) g(x)) = c d. 3. Ist d 0, so ist lim x a f(x)/g(x) = c/d. Beweis: Wegen des Folgenkriteriums kann man die Aussagen des Satzes ganz einfach auf die Grenzwertsätze für Folgen zurückführen. Sei I = [a, ) (bzw. I = (, b] ), f : I R eine Funktion und A R. Wir sagen, f(x) strebt für x gegen (bzw. für x gegen ) gegen A, falls gilt: Zu jedem ε > 0 gibt es ein c > 0, so dass f(x) A < ε für x > c (bzw. für x < c) ist. Man schreibt dann: lim f(x) = A ( bzw. lim f(x) = A ). x + x Die Gerade y = A nennt man in diesem Fall eine horizontale Asymptote. Definition Sei I R ein Intervall, f : I R eine Funktion und a I. Die Funktion f heißt stetig in a, falls gilt: lim f(x) = f(a). x a Die Funktion f heißt stetig auf dem Intervall I, falls sie in jedem Punkt x I stetig ist. Eine Funktion kann nur dann in einem Punkt a stetig sein, wenn sie dort definiert ist. Es spielt dabei keine Rolle, ob es sich um einen inneren Punkt oder einen Randpunkt handelt. Darüber hinaus werden zwei Dinge gefordert:

6 6 2 Stetige Funktionen. f muss in a einen Grenzwert besitzen. 2. Der Grenzwert von f in a muss mit dem Funktionswert f(a) übereinstimmen. Wichtig ist, dass man immer beide Bedingungen überprüft. Man kann das locker auch in der Form lim f(x) = f( lim x ) x a x a schreiben. Grenzwertbildung und Anwendung von f sind miteinander vertauschbar..7. Beispiele A. Wie beweist man die Stetigkeit in einem Punkt a? Für einen beliebigen ε- Schlauch um y = f(a) zeigt man, dass die Punkte (x, f(x)) in dem Schlauch bleiben, wenn nur x nahe genug bei a bleibt. Das ist z.b. dann der Fall, wenn f eine konstante Funktion ist. Eine konstante Funktion ist also immer auf ihrem ganzen Definitionsbereich stetig. Aber auch die Funktion f(x) := x ist auf ganz R stetig. Dazu sei a R und ε > 0 vorgegeben. y = a+ε f(a) = a y = a+ε y = f(x) = x x = a+ε a δ a a+δ Der Graph der Funktion verlässt den ε-schlauch dort, wo die Gerade y = x eine der Geraden y = a + ε oder y = a ε trifft, also bei (a ε, a ε) und bei (a + ε, a + ε). Ist 0 < δ < ε, so gilt für x a < δ auch f(x) f(a) = x a < δ < ε. Also ist f in a stetig. B. Die Funktion f(x) := [x] ist in den Punkten x = n Z nicht stetig, denn dort stimmen rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert nicht überein. C. Besonders befremdlich mutet das folgende Beispiel an: { x für x 0 Sei f(x) := 5 für x = 0. Dann existiert zwar lim x 0 f(x) = 0, aber weil f(0) = 5 gesetzt wurde, ist die Funktion dennoch im Nullpunkt nicht stetig. Hier kann die Funktion natürlich leicht so abgeändert werden, dass sie auch in 0 stetig wird. Man sagt dann, die Funktion ist bei x = 0 stetig ergänzbar.

7 2. Grenzwerte von Funktionen 7 Ist die Funktion f in der Nähe von x 0 definiert und in x 0 nicht stetig, so nennt man x 0 eine Unstetigkeitsstelle von f oder sagt, f ist in x 0 unstetig. Es gibt dann zwei Möglichkeiten.. Zumindest einer der beiden einseitigen Grenzwerte existiert nicht. Dann nennen wir x 0 eine wesentliche Unstetigkeit von f. 2. Wenn f(x 0 +) und f(x 0 ) beide existieren, aber nicht gleich sind, dann nennt man x 0 eine Sprungstelle von f. Den Wert f(x 0 +) f(x 0 ) nennt man dann die Sprunghöhe. Wenn beide Grenzwerte existieren und übereinstimmen, so ist f stetig in x 0. Wenn an dem Argument x einer stetigen Funktion f nur ein wenig gewackelt wird, so kann sich auch der Funktionswert f(x) nur wenig ändern. Das ist eine Stabilitätseigenschaft, die folgende Konsequenz hat:.8. Satz Sei f : I R stetig in x 0. Ist f(x 0 ) > 0, so gibt es ein δ > 0, so dass f(x) > 0 für alle x U δ (x 0 ) I ist. Eine analoge Aussage gilt, wenn f(x 0 ) < 0 ist. Beweis: Sei 0 < ε < f(x 0 ). Weil f stetig in x 0 ist, gibt es ein δ > 0, so dass f(x) f(x 0 ) < ε für x U δ (x 0 ) I ist. Für diese x ist dann ε < f(x) f(x 0 ) < ε, also insbesondere, nach Addition von f(x 0 ): 0 < f(x 0 ) ε < f(x). Das gerade bewiesene Verhalten ist eine lokale Eigenschaft, es geht dabei nur um das Verhalten in der Nähe eines Punktes. Aber die Stetigkeit hat auch globale Konsequenzen: Der Graph einer stetigen Funktion auf einem Intervall ist ein zusammenhängendes Gebilde. Beginnt er etwa unterhalb und endet er oberhalb der x Achse, so muss er dazwischen irgendwann einmal die Achse treffen:.9. Satz von Bolzano Sei f : [a, b] R stetig, f(a) < 0 und f(b) > 0. Dann gibt es ein x 0 a < x 0 < b und f(x 0 ) = 0. mit Beweis: Die Menge M := {x [a, b] : f(x) < 0} ist nicht leer und durch b nach oben beschränkt, also besitzt sie ein Supremum x 0. Wegen des vorigen Satzes ist a < x 0 < b. Wir vermuten, dass f(x 0 ) = 0 ist. Um das zu beweisen, nehmen wir an, dass f(x 0 ) > 0 ist. Dann gibt es ein δ > 0, so dass f(x) > 0 für alle x U δ (x 0 ) ist. Aber das heißt, dass jedes x mit x 0 δ < x < x 0 auch eine obere Schranke für M ist, im Widerspruch zur Wahl von x 0 als kleinste obere Schranke. Also muss f(x 0 ) 0

8 8 2 Stetige Funktionen sein. Wäre f(x 0 ) < 0, so gäbe es noch Punkte x > x 0, für die f(x) < 0 ist. Da auch das nicht sein kann, bleibt nur noch die Möglichkeit f(x 0 ) = 0. Etwas allgemeiner kann man sogar zeigen:.0. Zwischenwertsatz Sei f : [a, b] R stetig, f(a) < c < f(b). Dann gibt es ein x 0 f(x 0 ) = c. [a, b] mit Beweis: Wir setzen F (x) := f(x) c. Dann ist F (a) < 0 < F (b), und nach dem Satz von Bolzano gibt es ein x 0 [a, b], so dass F (x 0 ) = 0 ist, also f(x 0 ) = c. f(b) f c f(a) a x 0 b Wir stellen nun einige Regeln zusammen:.. Satz Sei I R ein Intervall. Sind f, g : I R zwei Funktionen, die beide in x 0 I stetig sind, so gilt:. f + g ist in x 0 stetig. 2. f g ist in x 0 stetig. 3. Ist g(x 0 ) 0, so gibt es ein ε > 0, so dass g(x) 0 für alle x U ε (x 0 ) I ist. Die Funktion /g ist dort definiert und in x 0 stetig. Beweis: () und (2) ergeben sich ziemlich trivial aus den Grenzwertsätzen: Ist etwa (x n ) eine Folge in I \ {x 0 }, die gegen x 0 konvergiert, so konvergieren (f(x n )) und (g(x n )) nach Voraussetzung gegen f(x 0 ) bzw. g(x 0 ), und dann konvergieren (f + g)(x n ) bzw. (f g)(x n ) gegen f(x 0 ) + g(x 0 ) bzw. f(x 0 ) g(x 0 ). Zu (3): Ist g(x 0 ) 0, so muss entweder g(x 0 ) > 0 oder g(x 0 ) < 0 sein. In jedem Falle vererbt sich diese Eigenschaft auf eine ganze ε Umgebung von x 0, und dann ist /g dort tatsächlich definiert. Die Stetigkeit folgt wieder aus dem entsprechenden Grenzwertsatz.

9 2. Grenzwerte von Funktionen 9 Insbesondere ist C 0 (I) := {f : I R : f stetig } ein R-Vektorraum. Da f(x) := x und alle konstanten Funktionen stetig sind, erhält man die.2. Folgerung Polynome sind auf ganz R und rationale Funktionen auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig..3. Beispiel Die rationale Funktion f(x) := (x n )/(x m ) ist in x = nicht definiert. Kürzt man durch x, so erhält man: f(x) = + x + + xn + x + + x m (für x ). Weil lim f(x) = n ist, ist F (x) := x m f in x = stetig ergänzbar. { f(x) falls x n/m falls x = in x = stetig und.4. Die Verkettung stetiger Funktionen ist stetig Sei I R ein Intervall, f : I R eine stetige Funktion, J R ein Intervall mit f(i) J, und g : J R eine weitere stetige Funktion. Dann ist auch g f : I R stetig. Beweis: Wir verwenden das Folgenkriterium. Sei x 0 I, y 0 := f(x 0 ) J. Weiter sei (x n ) eine Folge in I, die gegen x 0 konvergiert. Dann konvergiert auch (y n ) mit y n := f(x n ) in J gegen y 0, und daher g(y n ) gegen g(y 0 ). Aber das bedeutet wiederum, dass (g f)(x n ) gegen (g f)(x 0 ) konvergiert..5. Injektive stetige Funktionen sind monoton Die folgenden Aussagen über eine stetige Funktion f : [a, b] R sind äquivalent:. f ist streng monoton. 2. f ist injektiv. Beweis: () = (2) ist trivial. (2) = (): Aus der Injektivität folgt insbesondere, dass f(a) f(b) ist, und wir können annehmen, dass f(a) < f(b) ist. Nun betrachten wir zwei beliebige Zahlen x, x 2 mit a x < x 2 b und bilden die Funktion g(t) := f(a + t(x a)) f(b t(b x 2 )), für 0 t.

10 0 2 Stetige Funktionen g ist als Zusammensetzung stetiger Funktionen selbst wieder stetig. Es ist g(0) = f(a) f(b) < 0 und g() = f(x ) f(x 2 ). Wäre g() > 0, so müsste nach Bolzano g(t) = 0 für ein t [0, ] gelten, also f(a + t(x a)) = f(b t(b x 2 )). Da a a + t(x a) x < x 2 b t(b x 2 ) b ist, ergäbe sich ein Widerspruch zur Injektivität von f. Da auch g() = 0 unmöglich ist, muss g() < 0 sein, also f(x ) < f(x 2 ). Damit ist f streng monoton wachsend. Wären wir von der Ungleichung f(a) > f(b) ausgegangen, so hätten wir herausbekommen, dass f streng monoton fällt..6. Stetigkeit und Unstetigkeit monotoner Funktionen Sei f : I := [a, b] R streng monoton wachsend, J := [f(a), f(b)]. Dann ist f(i) J, und f besitzt höchstens Sprungstellen als Unstetigkeitsstellen. f ist genau dann auf ganz I stetig, wenn f(i) = J ist. Beweis: ) Ist a < x < b, so ist f(a) < f(x) < f(b). Daraus ergibt sich schon, dass f(i) J ist. 2) Wir betrachten nun einen inneren Punkt x 0 von I und wollen zeigen, dass dort der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert von f existiert. Wir beschränken uns auf die Annäherung von links, von rechts funktioniert es dann analog. Ist x 0 ein Randpunkt, so braucht man nur eine Seite zu betrachten. Wir betrachten die Menge M := {f(x) : x I und x < x 0 }. Offensichtlich ist M durch f(x 0 ) nach oben beschränkt. Also existiert y 0 := sup(m) f(x 0 ). Ist ε > 0 vorgegeben, so gibt es ein x < x 0 mit f(x ) > y 0 ε (denn sonst wäre y 0 noch nicht die kleinste obere Schranke von M). Sei δ := x 0 x. Für x 0 δ < x < x 0 ist dann auch x < x < x 0 und deshalb y 0 ε < f(x ) < f(x) y 0. Die zweite Ungleichung folgt aus der strengen Monotonie von f, die dritte aus der Definition von y 0 als Supremum von M. Damit ist klar, dass lim x x0 f(x) = y0 ist, dass f also in x 0 höchstens eine Sprungstelle besitzt. 3) Ist f(i) = J, so kann es wegen der Monotonie keine Sprungstellen geben. Umgekehrt folgt aus der Beziehung f(a) < f(b) und der Stetigkeit von f mit Hilfe des Zwischenwertsatzes, dass jeder Wert y J = [f(a), f(b)] angenommen wird. Bemerkung: Ein analoger Satz gilt für streng monoton fallende Funktionen.

11 2. Grenzwerte von Funktionen.7. Folgerung Eine streng monotone, stetige Funktion ist umkehrbar und die Umkehrfunktion ist wieder stetig und streng monoton. Beweis: Wir haben schon gezeigt, dass eine streng monotone, stetige Funktion injektiv und surjektiv ist, also umkehrbar. Die Umkehrung einer streng monoton wachsenden (bzw. fallenden) Funktion ist wieder streng monoton wachsend (bzw. fallend). Als surjektive, streng monotone Funktion ist f auch wieder stetig..8. Beispiel Da f(x) := x n für x 0 stetig und streng monoton wachsend ist, ist n x ebenfalls stetig und streng monoton. Eine Funktion f = g + i h : I C heißt stetig in x 0 I, falls g und h beide in x 0 stetig sind. Man zeigt ganz leicht, dass folgende Aussagen über f äquivalent sind:. f ist stetig in x ε > 0 δ > 0, so dass für alle x I mit x x 0 < δ gilt: f(x) f(x 0 ) < ε. 3. Für jede Folge (x ν ) in I, die gegen x 0 konvergiert, strebt ( f(x ν ) ) in C gegen f(x 0 ). Die Menge C 0 (I, C) aller stetigen Funktionen f : I C bildet einen komplexen Vektorraum. Außerdem gilt: Mit f, f 2 C 0 (I, C) liegt auch f f 2 in C 0 (I, C). Die Stetigkeit kann problemlos auch für Funktionen formuliert werden, deren Definitionsbereich kein Intervall ist..9. Stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt Sei K R kompakt und f : K R eine stetige Funktion. Dann ist auch f(k) kompakt. Beweis: Sei (y ν ) eine Folge von Punkten in f(k). Dann gibt es zu jedem ν einen Punkt x ν K mit f(x ν ) = y ν. Weil K kompakt ist, besitzt die Folge (x ν ) eine konvergente Teilfolge (x νi ), ihr Grenzwert in K sei mit x 0 bezeichnet. Wegen der Stetigkeit von f konvergiert (y νi ) gegen f(x 0 ), und dieser Punkt liegt in f(k).

12 2 2 Stetige Funktionen.20. Folgerung Sei K R kompakt. Dann nimmt jede stetige Funktion f : K R auf K ihr Maximum und ihr Minimum an. Beweis: f(k) R ist kompakt, also insbesondere beschränkt. Demnach existieren y := inf f(k) und y + := sup f(k). Es gibt jeweils Folgen in f(k), die gegen das Infimum bzw. das Supremum konvergieren. Weil R \ f(k) offen ist, müssen auch die Grenzwerte y und y + noch in f(k) liegen. Also gibt es Punkte x und x + in K mit f(x ) = y und f(x + ) = y +. Daraus ergibt sich.2. Folgerung 2 Sei I = [a, b] ein abgeschlossenes Intervall. Eine stetige Funktion f : I R nimmt in I ihr Maximum und ihr Minimum an. Insbesondere ist sie auf I beschränkt. Gelegentlich benötigt man den Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit: Definition Sei M R. Eine Funktion f : M R heißt gleichmäßig stetig, falls sie folgende Eigenschaft besitzt: Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0, so dass für alle x, y M mit x y < δ gilt: f(x) f(y) < ε..22. Beispiel Sei f : R R linear, f(x) = ax. Dann ist f(x) f(y) = ax ay = a x y. Ist nun ein ε > 0 gegeben, so wähle man δ < ε/ a. Ist dann x y < δ, so ist ε f(x) f(y) = a x y < a a = ε, also f gleichmäßig stetig. Bei einer gleichmäßig stetigen Funktion f : M R findet man zu allen ε- Schläuchen um beliebige Funktionswerte f(x 0 ) simultan ein passendes δ > 0, so dass der Graph von f über der δ-umgebung von x 0 stets im ε-schlauch bleibt. Insbesondere ist f dann stetig in x 0, aber die Eigenschaft, dass man unabhängig vom betrachteten Punkt zu festem ε immer das gleiche δ wählen kann, ist stärker als die gewöhnliche Stetigkeit.

13 2. Grenzwerte von Funktionen 3 Es kommt allerdings immer auf den Definitionsbereich an. Die durch f(x) := x 2 definierte Funktion f : R R ist nicht gleichmäßig stetig. Für festes h > 0 strebt nämlich (x+h) 2 x 2 = 2xh+h 2 für x dem Betrag nach gegen Unendlich. Zu festem ε braucht man mit wachsendem x ein immer kleineres δ, so dass 2xh + h 2 für h < δ unterhalb von ε bleibt. Schränkt man die Funktion f(x) := x 2 auf ein abgeschlossenes Intervall ein, so ist sie dort gleichmäßig stetig. Nun gilt:.23. Satz Ist K R kompakt und f : K R stetig, so ist f gleichmäßig stetig. Beweis: Wir nehmen an, f ist nicht gleichmäßig stetig. Dann gibt es ein ε > 0, so dass für alle ν N Punkte x ν, y ν K existieren, so dass gilt: x ν y ν < ν und f(x ν ) f(y ν ) ε. Da K kompakt ist, gibt es eine Teilfolge (x νi ) von (x ν ), die gegen einen Punkt x 0 K konvergiert. Dann ist y νi x 0 y νi x νi + x νi x 0, und die rechte Seite strebt gegen Null. Das bedeutet, dass auch (y νi ) gegen x 0 konvergiert. Weil f stetig ist, konvergieren nun f(x νi ) und f(y νi ) beide gegen f(x 0 ), und ihr Abstand strebt gegen Null. Das ist ein Widerspruch.

14 4 2 Stetige Funktionen 2.2 Unendliche Reihen Zur Motivation: Unendlich viele Summanden kann man nicht addieren, aber man kann eine Strecke von endlicher Länge aus unendlich vielen Teilstrecken zusammensetzen. Für den griechischen Philosophen Zenon (ca v.chr.) war das ein unlösbarer Widerspruch, den er mit der Geschichte von Achilles und der Schildkröte deutlich zu machen versuchte. Eines Tages wollte der sportliche Achilles mit der langsamen Schildkröte um die Wette laufen. Da er zehnmal so schnell wie die Schildkröte laufen konnte, ließ er ihr einen Vorsprung von 000 Schritten. Diesen Vorsprung hatte er zwar schnell eingeholt, aber indessen war die Schildkröte 00 Schritte weitergekrochen. Nachdem Achilles diese 00 Schritte zurückgelegt hatte, war seine Gegnerin 0 Schritte vor ihm. Und so ging es weiter. Jedesmal, wenn der Held den letzten Vorsprung eingeholt hatte, war ihm die Schildkröte wieder um ein Zehntel dieses Betrages davongeeilt. Die Logik, so meinte Zenon, zeige, dass Achilles seine Gegnerin nie hätte einholen können. Da der Augenschein das Gegenteil beweise, müsse dieser Augenschein trügen, jede Bewegung sei nur Illusion. Die Strecke, die der sagenhafte Achilles zurücklegen musste, um die Schildkröte einzuholen, betrug =.... Schritte. 00 Wandelt man den periodischen Dezimalbruch wie an der Schule gelernt in einen gewöhnlichen Bruch B um, so ist 0B B =, also B = /9. Es sei a 0, a, a 2,... eine Folge von (reellen oder komplexen) Zahlen. Die Summe S N := bezeichnet man als die N-te Partialsumme der a n, und die Folge (S N ) der Partialsummen nennt man eine unendliche Reihe. Man schreibt die Folge der Partialsummen und wenn er existiert auch den Grenzwert dieser Folge in der Form n=0 N n=0 a n ( = lim N a n N ) a n Die Reihe heißt konvergent (bzw. divergent), falls die Folge (S N ) konvergent (bzw. divergent) ist. Eine unendliche Reihe ist also zunächst nur eine spezielle Folge. Es wird sich aber herausstellen, dass für Reihen stärkere Hilfsmittel zur Verfügung stehen, als wir sie bisher für Folgen kennen. n=0

15 2.2 Unendliche Reihen 5 Aus den Regeln für die Konvergenz von Folgen ergeben sich analoge Regeln für Reihen:. Konvergieren die Reihen n=0 a n und n=0 b n gegen a bzw. b, so konvergiert auch n=0 (a n + b n ), und zwar gegen a + b. Die Gleichung n=0 a n + n=0 b n = n=0 (a n + b n ) ist aber sinnlos und i.a. falsch, wenn über die Konvergenz noch nichts bekannt ist. 2. Konvergiert die Reihe n=0 a n gegen a und ist c eine feste Zahl, so konvergiert n=0 (c a n) gegen c a. 2.. Beispiele A. Sei q R, 0 q <. Dann ist N n=0 qn = (q N+ )/(q ), und die Folge S N = (q N+ )/(q ) konvergiert gegen /(q ) = /( q). Man bezeichnet die Reihe n=0 qn als geometrische Reihe. Wir haben bewiesen: q n = (für 0 q < ). q n=0 Im Falle q = /2 erhält man z.b.: ( ) n = 2 = 2, also =. 2 n=0 Eine Anwendung ist die Behandlung periodischer Dezimalbrüche, z.b = 0 = 3 ( ) n n 0 n= = 3 ( 0 n= ) Besonders verblüffend ist dabei der folgende Fall: = lim N N n= = 3 9 = n = 9 9 =. Man kann den Begriff der geometrischen Reihe übrigens auch ins Komplexe übertragen. Ist z C, so ist N n=0 z n = zn+ z Der Beweis geht genauso wie im Reellen, es werden nur elementare Rechenregeln verwendet. Ist nun z <, so strebt die Folge (z N+ ) gegen Null, denn es ist z N+ 0 = z N+. Daraus folgt:.

16 6 2 Stetige Funktionen Ist z C und z <, so ist n=0 z n = z. B. Die Reihe n= /n wird als harmonische Reihe bezeichnet. Für die Partialsummen S N mit N = 2 k gilt folgende Abschätzung: S 2 k = + ( ) + 4 ( ) ( k k > k = + k 2 k 2, und dieser Ausdruck wächst über alle Grenzen. Die harmonische Reihe divergiert also! Ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Reihe ist schnell gefunden: 2.2. Satz Ist n=0 a n konvergent, so muss (a n ) eine Nullfolge sein. Beweis: Die Folgen S N und T N := S N konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert, eine Zahl a. Aber dann konvergiert a N := S N T N gegen a a = 0. Dass dieses Kriterium nicht hinreicht, zeigt das Beispiel der harmonischen Reihe. Die Glieder der Reihe bilden eine Nullfolge, aber die Reihe divergiert. In einem Spezialfall kommt man allerdings fast mit dem notwendigen Kriterium aus: 2.3. Leibniz-Kriterium Es sei (a n ) eine monoton fallende Nullfolge reeller Zahlen. Dann konvergiert ) die alternierende Reihe ( ) n a n. n=0 Beweis: Aus den Voraussetzungen folgt sofort, dass stets a n 0 ist. Wir betrachten die Folgen u N := S 2N und v N := S 2N. Dann ist und u N+ = S 2N+ = S 2N + a 2N a 2N+ S 2N = u N v N+ = S 2N+2 = S 2N a 2N+ + a 2N+2 S 2N = v N. Zusammen mit der Aussage v N = S 2N = S 2N + a 2N S 2N = u N ergibt sich die folgende Ungleichungskette:

17 2.2 Unendliche Reihen 7... u N u N+... v N+ v N... Nach dem Satz von der monotonen Konvergenz strebt also u N gegen eine Zahl u und v N gegen eine Zahl v. Da außerdem v N u N = a 2N gegen Null konvergiert, muss u = v sein. Es ist klar, dass dann auch S N gegen diese Zahl konvergiert Beispiel Die alternierende harmonische Reihe n= ( )n+ /n konvergiert! Über den Grenzwert können wir allerdings im Augenblick noch nichts aussagen. Die Schwierigkeit bei den unendlichen Reihen besteht darin, dass man mit unendlichen Reihen nicht so wie mit endlichen Summen arbeiten darf. Aus dieser Schwierigkeit befreit uns das Cauchy sche Konvergenzkriterium, das wir allerdings erst für Folgen beweisen wollen. Wenn eine Folge konvergiert, dann rücken ihre Glieder immer näher aneinander. Wir wollen zeigen, dass auch die Umkehrung gilt Das Cauchy sche Konvergenzkriterium Eine Folge (a n ) konvergiert genau dann, wenn es zu jedem ε > 0 ein n 0 N gibt, so dass a n a m < ε für n, m n 0 gilt. Beweis: a) Sei (a n ) konvergent gegen a R. Ist ε > 0 vorgegeben, so gibt es ein n 0, so dass a n a < ε/2 für n n 0 gilt. Dann folgt für n, m n 0 : a n a m = (a n a) + (a a m ) a n a + a m a < ε. b) Es sei das Kriterium erfüllt. Nun muss erst mal ein Grenzwert gefunden werden. Wählt man ein n 0, so dass a n a m < für n, m n 0 ist, so gibt es sicherlich ein c > 0, so dass a n < c für n =, 2, 3,..., n 0 ist. Für n n 0 ist dann a n = (a n a n0 ) + a n0 a n a n0 + a n0 < c +. So sieht man, dass die Folge beschränkt ist. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt sie mindestens einen Häufungspunkt a. Nun gibt es eine Teilfolge (a ni ), die gegen a konvergiert. Wir zeigen, dass sogar die Folge (a n ) gegen a konvergiert. Ist nämlich ein ε > 0 vorgegeben, so gibt es ein n mit a n a m < ε/2 für n, m n und ein i mit n i > n und a ni a < ε/2. Dann folgt für n n : a a n a a ni + a ni a n < ε/2 + ε/2 = ε. Der Vorteil des Cauchy schen Konvergenzkriteriums besteht darin, dass der Grenzwert nicht darin vorkommt (ähnlich wie beim Satz von der monotonen Konvergenz).

18 8 2 Stetige Funktionen Das Kriterium wird selten in der Praxis benutzt. Bei theoretischen Untersuchungen stellt es jedoch ein wertvolles Hilfsmittel dar. Es gilt wörtlich genauso für komplexe Zahlenfolgen. Um nun die Konvergenz von Reihen besser in den Griff zu bekommen, untersuchen wir die Bestandteile einer solchen Reihe etwas genauer: a n = n=0 N a n + n=0 M n=n+ a n + n=m+ a n = S N + Z N,M + E M. Für großes N bestimmt der Anfang der Reihe, also die Partialsumme S N, weitgehend den Wert der Reihe. Das Ende E M sollte für großes M weitgehend vernachlässigbar sein, sonst kann die Reihe nicht konvergieren. Der zentrale Teil Z N,M scheint zunächst keine besondere Bedeutung zu haben. Tatsächlich entscheidet aber gerade dieser Mittelteil über die Konvergenz der Reihe. Und das Schöne ist: Es handelt sich nur um eine endliche Summe! 2.6. Satz (Cauchykriterium für Reihen) Die Reihe (reeller oder komplexer Zahlen) n=0 a n konvergiert genau dann, wenn es zu jedem ε > 0 ein N 0 N gibt, so dass N n=n 0 + a n < ε für alle N > N0 gilt. Beweis: Wie üblich sei die N-te Partialsumme mit S N bezeichnet. Dann ist N a n = S N S N0. n=n 0 + Das Cauchy-Kriterium für Folgen liefert nun auch den Satz für Reihen. Definition Eine Reihe (reeller oder komplexer Zahlen) n=0 a n heißt absolut konvergent, falls die Reihe n=0 a n konvergiert Satz Eine absolut konvergente Reihe konvergiert auch im gewöhnlichen Sinne. Zum Beweis verwendet man das Cauchykriterium. Es ist N n=n 0 + a n N n=n 0 + a n.

19 2.2 Unendliche Reihen 9 Konvergiert die Reihe der Absolutbeträge, so wird die rechte Seite bei großem N 0 beliebig klein, und das gilt dann erst recht für die linke Seite. Die alternierende harmonische Reihe zeigt, dass die Umkehrung dieses Satzes falsch ist. Man beachte: Unter dem Grenzwert einer absolut konvergenten Reihe versteht man immer den Grenzwert der Reihe im Sinne der gewöhnlichen Konvergenz. Besonders häufig wird das folgende Vergleichskriterium benutzt: 2.8. Majorantenkriterium Ist n=0 a n eine konvergente Reihe nicht-negativer reeller Zahlen und (c n ) eine Folge reeller oder komplexer Zahlen, so dass c n a n für fast alle n N gilt, so konvergiert die Reihe n=0 c n absolut! Beweis: Wir können annehmen, dass c n a n für alle n N gilt. Dann ist N N c n a n, für N > N 0. Für genügend großes N 0 wird die rechte Seite n=n 0 + n=n 0 + nach dem Cauchykriterium beliebig klein, also auch die linke Seite. Bemerkungen:. Ist n=0 a n divergent und c n a n für alle n, so kann n=0 c n zwar noch im gewöhnlichen Sinne, aber nicht mehr absolut konvergieren. 2. Sind S = n=0 a n und T = n=0 b n zwei Reihen mit positiven Gliedern und a n b n für fast alle n, so nennt man T eine Majorante von S, bzw. S eine Minorante von T. Wenn nun eine Reihe nicht gerade alternierend ist und das Leibniz Kriterium erfüllt, so wird man i.a. versuchen, die Konvergenz mit Hilfe des Majorantenkriteriums auf die absolute Konvergenz einer Vergleichsreihe zurückzuführen. Zur Feststellung der absoluten Konvergenz gibt es diverse Untersuchungsmethoden Quotientenkriterium Sei (a n ) eine Folge von reellen Zahlen, fast alle a n seien 0. Wenn es ein q mit 0 < q < gibt, so dass a n+ /a n q für fast alle n gilt, dann konvergiert n=0 a n absolut. Wenn a n+ /a n für fast alle n gilt, dann divergiert die Reihe. Beweis: Sei n 0 N so gewählt, so dass gilt: a n+ a n q für n n0,

20 20 2 Stetige Funktionen also a n0 +k q a n0 +k... q k a n0, für k N. Dann ist n=0 qn a n0 eine Majorante der Reihe n=0 a n 0 +n. Die erstere konvergiert, es handelt sich ja um eine geometrische Reihe. Nach dem Majorantenkriterium konvergiert dann die zweite Reihe absolut, und damit auch die Ausgangsreihe, die lediglich ein paar Anfangsterme mehr besitzt. Ist a n+ a n für genügend großes n, so bilden die Glieder der Reihe keine Nullfolge, und die Reihe kann nicht konvergieren. Bemerkung: Wenn die Folge a n+ /a n gegen einen Grenzwert a < konvergiert, dann kann man ein q mit a < q < finden. Für genügend großes n ist dann a n+ /a n q und es folgt, dass die Reihe absolut konvergiert Beispiele A. Bei der Reihe n=0 n2 /2 n hilft das Quotientenkriterium: Für n 3 ist a n+ (n + ) 2 2 n = = ( + 2, a n n 2 2 n+ 2 n) und dieser Ausdruck konvergiert gegen /2. Also ist die Reihe konvergent. B. Wie steht es mit der Reihe n= /n2? Der Quotient a n+ n 2 ( = a n (n + ) = 2 n + konvergiert gegen, also sagt hier das Quotientenkriterium nichts aus. Man kann aber wie folgt abschätzen: N n + N N 2 n(n ) = + ( n ) = + n N 2. n= n=2 n=2 Die Folge der Partialsummen ist monoton wachsend und beschränkt, also konvergent. Den Grenzwert können wir hier leider nicht bestimmen. Kann die Konvergenz einer Reihe nicht mit dem Quotientenkriterium entschieden werden, so kann unter Umständen das Wurzel-Kriterium weiterhelfen. Um dies zu verstehen, müssen wir etwas ausholen. Definition Sei (a n ) eine Folge von reellen Zahlen und H(a n ) die Menge aller Häufungspunkte der Folge. Ist (a n ) nach oben beschränkt und H(a n ), so heißt lim a n := sup H(a n ) der Limes superior der Folge. Ist (a n ) nach unten beschränkt und H(a n ), so heißt lim a n := inf H(a n ) der Limes inferior der Folge (a n ). ) 2

21 2.2 Unendliche Reihen Beispiel Sei a n := 2 + 3( ) n. Dann ist lim a n = 5 und lim a n =. Ist (a n ) eine beschränkte Folge, so existieren lim a n und lim a n. In diesem Falle ist (a n ) genau dann konvergent, wenn lim a n = lim a n ist. Der gemeinsame Wert ist dann auch der Limes der Folge. Auch wenn H(a n ) = ist, kann man lim a n und lim a n definieren. Allerdings sind die Konventionen in der Literatur sehr uneinheitlich. Wir erweitern hier unsere Definition wie folgt: Ist (a n ) nach oben beschränkt und H(a n ) =, so ist lim a n =. Ist (a n ) nicht nach oben beschränkt, so existiert lim a n nicht. Analoges legt man für lim a n fest. Man kann dann sagen: (a n ) konvergiert genau dann gegen a, wenn lim a n und lim a n existieren und beide gleich a sind Satz (Wurzelkriterium) Es sei (a n ) eine Folge von positiven reellen Zahlen und α := lim n a n. Ist α <, so konvergiert die Reihe n=0 a n. Ist α, so divergiert sie. Beweis: Ist α <, so gibt es ein q R mit 0 < q <, so dass n a n < q für fast alle n ist. Dann ist die geometrische Reihe n=0 qn eine Majorante von n=0 a n, und auch diese Reihe konvergiert. Ist α, so gibt es eine Teilfolge von (a n ), die gegen eine Zahl A konvergiert. Damit kann (a n ) keine Nullfolge sein und die Reihe nicht konvergieren Beispiel Sei a n := { 2 k für n = 2k 3 k für n = 2k, n =, 2, 3,... Wir untersuchen die Reihe n= a n. Für n = 2k gilt: a n+ a n = 2 (k+) 3 k = 2 ( 3 2 ) k. Also ist das Quotientenkriterium nicht anwendbar. Wir versuchen es mit dem Wurzelkriterium. Es ist n an = { ( 2) (n+)/n ( 2) für ungerades n, ( 3) für gerades n. Also ist lim n a n = ( 2) <, und die Reihe konvergiert.

22 22 2 Stetige Funktionen Zum Schluss ein Schema zur Untersuchung unendlicher Reihen auf Konvergenz oder Divergenz: () Eingabe: Reihe n=0 a n Zusammengesetzt? nein ja Bestandteile einzeln untersuchen! Spezieller Typ? ja nein Weiter bei (2) (3) geometr. Reihe n=0 qn, q < (4) altern. Reihe n=0 ( )n a n (5) Wechselsumme n= (a n a n ) (6) verallg. harmon. Reihe n= /nα fertig! (2) Kein spezieller Typ: (a n ) Nullfolge? nein divergent! ja Quotientenkriterium anwendbar? nein Wurzelkriterium anwendbar? nein Konvergente Majorante zu sehen? nein Divergente Minorante zu sehen? nein Schwierige Reihe! Kreativ werden oder Experten fragen! ja ja ja ja fertig! fertig! konvergent! divergent! Ende Erläuterungen finden sich auf der nächsten Seite.

23 2.2 Unendliche Reihen 23 Erläuterungen zum Diagramm:. Eingabe: Vorgelegt sei eine unendliche Reihe n=0 a n. Setzt sie sich aus mehreren Teilen zusammen (z.b. n( (/2) n + (/3) n) ), so untersucht man natürlich die einzelnen Teile separat. Als nächstes sollte man klären, ob ein spezieller Typ wie in (3), (4), (5) oder (6) vorliegt. 2. Liegt kein spezieller Typ vor, so wird die Untersuchung etwas mühsamer: Bilden die Glieder (a n ) keine Nullfolge, so kann die Reihe nicht konvergieren. Dann braucht man nicht weiter zu machen. Quotientenkriterium: Wenn die Quotienten a n+ /a n gegen eine Zahl q < konvergieren, so konvergiert auch die Reihe, ist q >, so divergiert sie. Über den Grenzwert weiß man dann noch nichts. Manchmal hilft das Quotientenkriterium nicht weiter, wohl aber das Wurzelkriterium. Hilft auch das Wurzelkriterium nicht weiter, so sollte man nach einer konvergenten Majorante suchen. Auch das liefert einen Konvergenzbeweis für die Ausgangsreihe. Findet man keine Majorante, so sollte man schauen, ob es nicht eine divergente Minorante gibt. Die sichert immerhin die Divergenz. Kommt man mit keiner der angesprochenen Methoden weiter, so wird es wirklich schwierig, aber nicht hoffnungslos. Wahrscheinlich braucht man raffinierte Tricks oder sehr viel tiefere Hilfsmittel. 3. Der einfachste spezielle Typ ist die geometrische Reihe n=0 qn, mit q <. Sie konvergiert gegen /( q). 4. Ist (a n ) eine monoton fallende Nullfolge, so konvergiert die alternierende Reihe n=0 ( )n a n. Über den Grenzwert wird allerdings nichts gesagt. 5. Eine unendliche Wechselsumme n= (a n a n ) hat die Partialsumme S N = a N a 0 und konvergiert daher gegen lim N a N a Die verallgemeinerte harmonische Reihe hat die Gestalt n= /nα. Wir haben hier nur den Fall α = (Divergenz) und den Fall α = 2 (Konvergenz) behandelt. Tatsächlich erhält man Konvergenz für jedes reelle α >. Dazu muss man allerdings erst einmal beliebige reelle Exponenten einführen. Den Beweis liefern wir im 3. Kapitel in dem Abschnitt über uneigentliche Integrale.

24 24 2 Stetige Funktionen 2.5. Produktsatz für Reihen Die Reihen n=0 a n und n=0 b n seien absolut konvergent gegen a bzw. b. Für n N 0 sei c n := a i b j = a 0 b n + a b n + + a n b 0. i+j=n Dann ist die Reihe n=0 c n absolut konvergent gegen a b. Beweis: Es konvergiert A N := N n=0 a n gegen a und B N := N n=0 b n gegen b. Wir setzen noch C N := N n=0 c n und a := n=0 a n (< wegen der absoluten Konvergenz). Mit β N := B N b ist B N = b + β N, und es gilt: C N = a 0 b 0 + (a 0 b + a b 0 ) + + (a 0 b N + + a N b 0 ) = a 0 B N + a B N + + a N B 0 = a 0 (b + β N ) + + a N (b + β 0 ) = A N b + (a 0 β N + + a N β 0 ). Wir wollen zeigen, dass (C N ) gegen a b konvergiert. Das ist sicher der Fall, wenn γ N := a 0 β N + + a N β 0 gegen Null konvergiert. Letzteres können wir folgendermaßen beweisen: Sei ε > 0 vorgegeben. Wir wählen ein δ mit 0 < δ < ε/2a. Es gibt dann ein N 0, so dass β N δ für N N 0 ist (denn β N = B N b konvergiert ja gegen 0 ). Dieses N 0 halten wir fest. Außerdem wählen wir ein C > 0, so dass β N C für alle N ist. Dann gilt für N N 0 : γ N β 0 a N + + β N0 a N N0 + β N0 +a N N0 + + β N a 0 C ( a N + + a N N0 ) + δ a < C ( a N + + a N N0 ) + ε 2. Der linke Summand wird bei festem N 0 und wachsendem N irgendwann kleiner als ε/2 (Cauchykriterium für die absolute Konvergenz der Reihe n a n ). Also ist γ N bei hinreichend großem N kleiner als ε. Das war zu zeigen. Für die absolute Konvergenz der Produktreihe benutzt man die Abschätzung ( N N N ) ( N ) c n a i b j a i b j. n=0 n=0 i+j=n Die rechte Seite ist durch das Produkt der absoluten Reihen beschränkt. i=0 j=0

25 2.2 Unendliche Reihen 25 Bemerkung: Die Konvergenz würde natürlich auch schon aus dem kurzen Schlussteil des Beweises folgen. Der komplizierte Konvergenzbeweis am Anfang dient dazu, den genauen Grenzwert zu bestimmen. Anhang: Absolut konvergente Reihen verhalten sich sehr gutartig, was die Reihenfolge der Summation betrifft. Das zeigt der 2.6. Umordnungssatz Ist die Reihe n=0 a n absolut konvergent, etwa gegen A, so konvergiert auch jede Umordnung der Reihe gegen A. Beweis: Die Summation möge bei beginnen. Eine Umordnung der Reihe erreicht man mit Hilfe einer bijektiven Abbildung τ : N N. Die umgeordnete Reihe ist dann die Reihe n= a τ(n). Sei ε > 0 vorgegeben. Wegen der absoluten Konvergenz der Ausgangsreihe können wir ein n 0 > finden, so dass n=n 0 a n < ε/2 und n 0 n= a n A < ε/2 ist. Wählt man nun N so groß, dass ist, so gilt für M N : {, 2,..., n 0 } {τ(),..., τ(n)} M M a τ(n) A n= n= n 0 a τ(n) n= max(τ(),...,τ(m)) n 0 a n + n=n 0 a n + ε 2 n=n 0 a n + ε 2 < ε. Das zeigt, dass die umgeordnete Reihe gegen A konvergiert n= a n A Bemerkung: Ist die Reihe n=0 a n konvergent, aber nicht absolut konvergent, so gibt es zu jedem x R eine Umordnung der Reihe, die gegen x konvergiert. Wir verzichten hier auf einen genauen Beweis dieser merkwürdigen Tatsache. Die Idee ist, zu vorgegebenem x 0 > 0 zunächst so viele positive Terme zu sammeln, dass deren Summe x 0 übersteigt. Danach addiert man wieder so viele negative Terme, dass die Gesamtsumme unterhalb von x 0 liegt, und so fährt man fort. Das Ganze ist möglich, weil die Reihe nicht absolut konvergiert. Als weitere Motivation geben wir ein Beispiel. Die alternierende harmonische Reihe ( ) n+ n = ±... n= konvergiert nach dem Leibniz Kriterium gegen einen Grenzwert S, den wir im Augenblick noch nicht ermitteln können. Wir können schreiben: ( S = 2 ( 3) 4... = 5) P ν, wobei P ν := 2ν 2ν + > 0 für alle ν ist. Insbesondere ist S < P = = 5 6. ν=

26 26 2 Stetige Funktionen Sortiert man die Reihe jetzt um zu ( mit Q µ := ( ( + 3 4µ 3 + 4µ ) ) ( ( ), so ist zunächst 2µ ) ) + = 4 Q µ, µ= 4µ 3 + 4µ > 4µ 4 + 4µ 4 = 2 4(µ ) > 2µ, also Q µ > 0 und deshalb ein etwaiger Grenzwert der umsortierten Reihe mit Sicherheit > Q = ( + /3) /2 = 5/6.

27 2.3 Potenzreihen Potenzreihen Wir wollen uns mit Folgen und Reihen von Funktionen beschäftigen. Ist eine Menge M C und für jedes ν N eine reell- oder komplexwertige Funktion f ν : M R gegeben, so sprechen wir von einer Funktionenfolge auf M. Ein Beispiel wäre etwa die Folge (x ν ) auf dem Intervall [0, ]. Ist nun (f ν ) eine Funktionenfolge auf M, so kann man daraus eine neue Funktionenfolge (F N ) auf M bilden, mit F N (z) := N f ν (z), für N N und z M, ν=0 oder kurz F N := N ν=0 f ν. Diese Konstruktion kennen wir aus der Theorie der Zahlenreihen, es handelt sich um Partialsummen einer Reihe. Also erklären wir eine Funktionenreihe ν=0 f ν auf M als die Folge der Funktionen F N = N ν=0 f ν. Zunächst sind das rein formale Vorgänge. Setzt man allerdings einen Punkt z M in die Funktionen f ν ein, so erhält man die Zahlenreihe ν=0 f ν(z). Es liegt nahe, die Funktionenreihe ν=0 f ν konvergent zu nennen, wenn alle daraus durch Einsetzen eines Punktes z M entstehenden Zahlenreihen konvergieren. Definition Die Funktionen-Reihe ν=0 f ν heißt auf M punktweise (bzw. punktweise absolut) konvergent, wenn für jedes z M die Zahlenreihe ν=0 f ν(z) konvergiert (bzw. absolut konvergiert). Ist die Funktionenreihe ν=0 f ν auf M punktweise konvergent, so wird durch f(z) := eine Grenzfunktion f auf M definiert. 3.. Beispiel Für x [0, ] sei { f ν (x) := f ν (z) ν=0 Dann konvergiert die Funktionenreihe f ν (x) = + ν=0 ν= für ν = 0, x ν x ν für ν ( x ν x ν ) ( = + lim x N ) { 0 für 0 x <, = N für x =. Die Reihe ist punktweise konvergent, aber die Grenzfunktion ist nicht stetig, obwohl alle f ν auf [0, ] stetig sind.

28 28 2 Stetige Funktionen Will man aus den Eigenschaften der Glieder einer Funktionenreihe auf Eigenschaften der Grenzfunktion schließen, so reicht die punktweise Konvergenz offensichtlich nicht aus. Wir müssen einen stärkeren Konvergenzbegriff suchen. Das richtige Konzept wird der Begriff der gleichmäßigen Konvergenz sein, den wir im 3. Kapitel kennenlernen werden und der auch auf Funktionenfolgen angewandt werden kann. Da wir uns zunächst aber ausschließlich mit Reihen beschäftigen wollen, kommen wir mit einer einfacheren Methode aus. Definition Es sei M C eine beliebige Menge, f eine reell- oder komplexwertige Funktion auf M. Ist f beschränkt, so versteht man unter der (Supremums-)Norm von f die Zahl f := sup{ f(z) : z M}. Ist f nicht beschränkt, so setzt man f =. Bemerkung: Ist K R eine kompakte Menge, so ist jede stetige Funktion f : K C beschränkt und daher f <. Ist f auf einer (kompakten oder nicht kompakten) Menge M beschränkt, aber nicht stetig, so kann es durchaus sein, dass f kein Maximum annimmt. Trotzdem ist auch in diesem Fall 0 f <. Die Summe zweier beschränkter Funktionen ist wieder beschränkt. Das Produkt einer beschränkten Funktion mit einer komplexen Zahl ergibt wieder eine beschränkte Funktion. f f y = f(x) nicht stetig y= f(x) I = [a, b] Ist f eine beschränkte Funktion, so gilt:. f = 0 f = 0, 2. c f = c f für c C, I = [a, b] y = f(x) stetig 3. Sind f und g beschränkt, so ist f + g f + g. Die Eigenschaften leiten sich direkt aus den entsprechenden Eigenschaften der Betragsfunktion her.

29 2.3 Potenzreihen 29 Definition Eine Reihe ν=0 f ν von beschränkten Funktionen auf einer Menge M C heißt normal konvergent, falls die Zahlenreihe ν=0 f ν konvergiert. Bemerkung: Eine normal konvergente Reihe von Funktionen auf M ist dort auch punktweise absolut konvergent, denn für jedes z M und jedes ν N ist f ν (z) f ν. Nach dem Majorantenkriterium ist dann ν=0 f ν(z) für jedes z M absolut konvergent Satz (über die Stetigkeit der Grenzfunktion) Es seien eine beliebige Teilmenge M R und stetige Funktionen f ν : M C gegeben. Wenn die Reihe ν=0 f ν auf M normal konvergiert, dann konvergiert sie punktweise gegen eine stetige Grenzfunktion. Beweis: Es ist schon klar, dass die Reihe punktweise gegen eine Grenzfunktion f konvergiert. Alle Partialsummen F n := n ν=0 f ν sind stetige Funktionen auf M. Nun sei x 0 M und ein ε > 0 vorgegeben. Aus der normalen Konvergenz der Funktionenreihe und dem Cauchykriterium für Reihen von Zahlen folgt: Es gibt ein n 0, so dass n ν=n 0 + f ν < ε/3 für alle n > n 0 gilt. Dann folgt: F n (x) F n0 (x) = für n n 0 und alle x M. n ν=n 0 + f ν (x) n ν=n 0 + f ν (x) n ν=n 0 + f ν < ε 3 Hält man ein beliebiges x M fest, so strebt F n (x) für n gegen f(x), also auch F n (x) F n0 (x) gegen f(x) F n0 (x). Das bedeutet, dass die Ungleichung für jedes x M erfüllt ist. f(x) F n0 (x) ε/3 Weil F n0 in x 0 stetig ist, gibt es ein δ > 0, so dass F n0 (x) F n0 (x 0 ) < ε/3 für x U δ (x 0 ) M ist. Mit Hilfe der Dreiecksungleichung folgt: Für x x 0 < δ ist f(x) f(x 0 ) f(x) F n0 (x) + F n0 (x) F n0 (x 0 ) + F n0 (x 0 ) f(x 0 ) < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε. Das bedeutet, dass f in x 0 stetig ist. Der Satz bleibt auch richtig, wenn man Funktionen betrachtet, deren Definitionsbereich M eine Teilmenge von C ist. Dazu müssen wir allerdingst erst einmal klären, wann solche Funktionen stetig sind.

30 30 2 Stetige Funktionen Definition Sei M C eine beliebige Teilmenge und z 0 M ein Punkt. Eine Funktion f : M C heißt stetig in z 0, falls es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass für alle z M mit z z 0 < δ gilt: f(z) f(z 0 ) < ε. Auch im Komplexen gilt das Folgenkriterium: f : M C ist genau dann in z 0 M stetig, wenn für jede Folge (z n ) in M mit lim z n = z 0 gilt: lim f(z n ) = f(z 0 ). n n Damit (und mit den Grenzwertsätzen) sieht man sofort, dass die Funktionen z z n und deshalb auch alle komplexen Polynome p(z) = c 0 +c z+c 2 z 2 + +c n z n stetige Funktionen sind. Der Beweis des Satzes über die Stetigkeit der Grenzfunktion überträgt sich wörtlich auf den komplexen Fall. In der Praxis benutzt man meist das folgende einfache Kriterium: 3.3. Satz (Weierstraß Kriterium) Es sei M C, und es seien stetige Funktionen f ν : M C gegeben. Weiter sei ν=0 a ν eine konvergente Reihe nicht-negativer reeller Zahlen, so dass gilt: f ν (z) a ν für alle ν N und z M. Dann konvergiert ν=0 f ν auf M normal gegen eine stetige Funktion. Beweis: Aus der Voraussetzung folgt, dass die f ν beschränkt sind. Mit Hilfe des Majorantenkriteriums ergibt sich außerdem, dass ν=0 f ν auf M normal konvergiert. Dann ist aber klar. dass die Grenzfunktion stetig ist. Definition Sei (c n ) eine Folge von (reellen oder komplexen) Zahlen, a C. Dann heißt P (z) := c n (z a) n n=0 eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a. Die Zahlen c n heißen die Koeffizienten der Potenzreihe. Ist a R und sind alle Koeffizienten c n reell, so spricht man von einer reellen Potenzreihe. Beschränkt man P dann auch noch auf einen Definitionsbereich in R, so schreibt man P (x) = n=0 c n(x a) n. Wir betrachten hier zwar vorwiegend

31 2.3 Potenzreihen 3 komplexe Potenzreihen, aber der reelle Fall ist darin enthalten. Man beachte: z C ist genau dann reell, wenn z = z ist Über das Konvergenzverhalten von Potenzreihen Die Potenzreihe P (z) = n=0 c n(z a) n konvergiere für ein z 0 C, z 0 a. Ist dann 0 < r < z 0 a, so konvergiert P (z) und auch die Reihe P (z) := auf der Kreisscheibe D r (a) normal. n c n (z a) n n= y = Im(z) a r z 0 x = Re(z) Beweis: ) Da n=0 c n(z 0 a) n nach Voraussetzung konvergiert, gibt es eine Konstante M > 0, so dass c n (z 0 a) n M für alle n ist. Ist 0 < r < z 0 a, so ist q := r/ z 0 a <. Für alle z mit z a r gilt dann: c n (z a) n = c n (z 0 a) n z a ( n r ) n M = M q n. z 0 a z 0 a Die geometrische Reihe n=0 M qn konvergiert. Mit dem Majorantenkriterium folgt, dass n=0 c n(z a) n für jedes z D r (a) absolut konvergiert, und mit dem Weierstraß Kriterium folgt sogar, dass die Reihe auf D r (a) normal konvergiert. 2) Nach () ist n c n (z a) n n M q n, und die Quotienten konvergieren gegen q <. (n + ) M q n = n + q n M q n n Aus dem Quotientenkriterium folgt jetzt, dass n=0 n M qn konvergiert, und wie oben kann man daraus schließen, dass n=0 n c n(z a) n auf D r (a) normal konvergiert. Der vorliegende Satz hat weitreichende Konsequenzen.

32 32 2 Stetige Funktionen Definition Sei P (z) = n=0 c n(z a) n eine Potenzreihe. Die Zahl R := sup{r 0 : z 0 C mit r = z 0 a, so dass P (z 0 ) konvergiert} heißt Konvergenzradius der Potenzreihe. Die Fälle R = 0 und R = + sind dabei auch zugelassen! Der Kreis um a mit Radius R heißt der Konvergenzkreis der Reihe. Im Falle einer reellen Potenzreihe nennt man (a R, a + R) das Konvergenzintervall Konvergenzverhalten und Konvergenzradius R sei der Konvergenzradius einer Potenzreihe P (z) um a. Dann gilt:. Für jedes r mit 0 < r < R konvergiert P (z) auf D r (a) normal (und damit insbesondere punktweise absolut). 2. Ist z 0 a > R, so divergiert P (z) in z = z 0. Beweis: ) haben wir schon gezeigt. 2) Wegen Satz 3.4 kann P (z) in einem Punkt z 0 mit z 0 a > R nicht mehr konvergieren Stetigkeit von Potenzreihen Hat die Potenzreihe P (z) = n=0 c n(z a) n den Konvergenzradius R, so ist die Grenzfunktion im Innern des Konvergenzkreises D R (a) stetig. Der Beweis ist trivial. Das Verhalten auf dem Rand des Konvergenzkreises kann man nicht allgemein vorhersagen, man muss es von Fall zu Fall eigens untersuchen. Zur Bestimmung des Konvergenzradius bestimmen gibt es in gewissen Fällen eine einfache Formel: 3.7. Quotientenformel für den Konvergenzradius Sei (c n ) eine Folge von (reellen oder komplexen) Zahlen, c n 0 für fast alle n. Wenn die Folge c n /c n+ konvergiert, dann ist R := lim n c n c n+ der Konvergenzradius der Potenzreihe P (z) = n=0 c n(z a) n.

33 2.3 Potenzreihen 33 Man beachte, dass der Entwicklungspunkt a dabei keine Rolle spielt! Beweis: Wir verwenden das Quotientenkriterium: Es ist c n+(z a) n+ = c n+ z a, c n (z a) n c n und dieser Ausdruck konvergiert (für festes z ) gegen z a /R. Ist z a < R, also z a /R <, so konvergiert die Reihe. Ist z a > R, so divergiert sie. Also muss R der Konvergenzradius sein! 3.8. Beispiele A. Sei P (z) = n=0 zn. Dann ist a = 0 und c n = für alle n N. Das ergibt den Konvergenzradius R =. Für z < konvergiert die Reihe gegen f(z) = /( z). Da alle Koeffizienten reell sind, kann man die Reihe auch reell auffassen. Tatsächlich nimmt die Grenzfunktion dann auf dem Konvergenzintervall (, ) nur reelle Werte an. An den Randpunkten x = und x = + divergiert die Reihe. B. Sei P (z) = n= zn /n. Hier ist a = 0 und c n = /n. Da c n /c n+ = (n + )/n gegen konvergiert, ist R =. An den Rändern des Konvergenzintervalls ist das Verhalten diesmal unterschiedlich: Die harmonische Reihe P () = n= /n divergiert, die alternierende harmonische Reihe P ( ) = n= ( )n /n konvergiert. C. Wir betrachten die reelle Potenzreihe P (x) = ( ) n x 2n, n=0 mit dem Entwicklungspunkt a = 0 und den Koeffizienten { ( ) k falls n = 2k, a n = 0 sonst. Wir können die Formel für den Konvergenzradius nicht benutzen, aber da es sich um eine geometrische Reihe handelt, können wir direkt sehen, dass R = ist. Als Grenzfunktion ergibt sich f(x) = ( ) n x 2n = n=0 n=0 ( x 2 ) n = + x 2. Diese Funktion ist auf ganz R definiert, obwohl die Potenzreihe nur auf (, ) konvergiert.