11. Folgen und Reihen.

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1 - Funktionen Folgen und Reihen Folgen Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a: N R Statt a(n) für n N schreibt man meist a n ; es handelt sich also bei einer Folge um die Angabe der Zahlen a, a 2, a 3, Die Folge selbst notiert man meist in der Form (a n ) n = (a, a 2, a 3, ) Entsprechend ist eine Folge komplexer Zahlen eine Abbildung N C, und man schreibt auch hier (a n ) n = (a, a 2, a 3, ) Beispiele von Folgen: a n = 3 für alle n, also (a n ) n = (3, 3, 3, ) Man nennt dies eine konstante Folge a n = n, also (a n) n = (, 2, 3, ) a n = für eine feste reelle Zahl q, also (a q n n ) n = ( q, eine geometrische Folge a n = n t= t, also (a n) n = (, + 2, , ) q 2, q 3, ) Man nennt dies Für die Analysis ist vor allem die Frage nach der Konvergenz von Folgen von Bedeutung Allerdings spielen in der Mathematik auch nicht-konvergente Rolle eine große Rolle! 2 Konvergenz von Folgen Beim Arbeiten mit Folgen ist es üblich, die folgende Sprechweise zu verwenden: man sagt: fast alle Elemente der Folge haben eine gewisse Eigenschaft, statt: alle Elemente bis auf (höchstens) endlich viele haben diese Eigenschaft Definition: Eine Folge (a n ) n konvergiert gegen a wenn für jedes ǫ > 0 gilt: Fast alle Folgenglieder a n erfüllen die Bedingung a n a < ǫ (Das heißt also: Zu ǫ > 0 gibt es eine natürliche Zahl N mit a n a < ǫ für alle n N) Man schreibt lim n a n = a oder einfach lima n = a, falls die Folge (a n ) n gegen a konvergert Man nennt a den Grenzwert oder den Limes der Folge (a n ) n Für eine Folge reeller Zahlen heißt dies: Fast alle Folgenglieder liegen im Intervall ]a ǫ, a + ǫ[ Für eine Folge komplexer Zahlen heißt dies: Fast alle Folgenglieder liegen im Kreis um a mit Radius ǫ Statt mit beliebigen reellen Zahlen ǫ > 0 zu arbeiten, ist es ausreichend, Zahlen der Form mit m N zu verwenden m Man kann die Definition der Konvergenz einer Folge auch

2 Leitfaden -2 so formulieren: Für jede natürliche Zahl m müssen fast alle Folgenglieder a t die Bedingung a t a < m erfüllen Vererbungseigenschaften für Konvergenz: Seien (a n ) n und (b n ) n konvergente Folgen, sei lima n = a und limb n = b Dann gilt: Die Summe (a n +b n ) n ist eine konvergente Folge und es gilt lim(a n +b n ) = a+b Die Differenz (a n b n ) n ist eine konvergente Folge und es gilt lim(a n b n ) = a b Das Produkt (a n b n ) n ist eine konvergente Folge und es gilt lim(a n b n ) = ab Quotient: Ist b n 0 für alle n, so ist auch die Folge (a n /b n ) n eine konvergente Folge und es gilt lim(a n /b n ) = a/b Satz Jede konvergente Folge ist beschränkt Warnung: Die Umkehrung gilt nicht! Beweis von Satz : Sei lima n = a Zu ǫ = gibt es ein N mit a n a < für alle n N Sei c das Maximum der Zahlen a +, a ], a N Dann sieht man mühelos, dass a n c für alle n gilt Satz 2 Jede beschränkte monotone Folge ist konvergent (monoton meint: monoton wachsend oder monoton fallend) Beweis von Satz 2: Sei (a n ) n eine beschränkte, monoton wachsende Folge Wegen der Beschränkheit gibt es r R mit a n r für alle n Wir wählen nun r minimal mit dieser Eigenschaft Zu jedem ǫ > 0 gibt es ein N mit r ǫ < a N (sonst wäre r nicht minimal) Weil die Folge (a n ) n monoton wachsend ist, ist a N a n für alle n N Es ist also für n N r ǫ < a N a n r < r + ǫ, fast alle Elemente a n liegen also im Intervall ]r ǫ, r + ǫ[ Entsprechend argumentiert man, falls die Folge monoton fallend ist Definition: Ist n < n 2 < n 3 < eine Folge natürlicher Zahlen, und ist (a n ) n eine beliebige Folge (reeller oder komplexer) Zahlen, so nennt man eine Teilfolge der Folge (a n ) n a n, a n3, a n3, Satz 3 Jede Teilfolge einer konvergenten Folge ist konvergent Der Beweis von Satz 3 ist einfach Satz 4 (Bolzano-Weierstraß) Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge Beweis von Satz 4: [fehlt]

3 -3 Funktionen Satz 5 (Cauchy) Genau dann ist eine Folge (a n ) n beschränkt, wenn es zu jedem ǫ > 0 ein N N gibt mit a n a m < ǫ für alle n, m N Beweis von Satz 5: [fehlt] Ist die Folge (a n ) n nicht konvergent, so nennt man dies eine divergente Folge 3 Nullfolgen Eine Nullfolge ist eine Folge, die gegen Null konvergiert Es handelt sich dabei also um spezielle konvergente Folgen Um das Konvergenzverhalten von Folgen zu verstehen, reicht es, sich mit Nullfolgen zu beschäftigen, denn es gilt: Satz Eine Folge (a n ) n ist genau dann konvergent mit Limes a, wenn die Folge (a n a) n eine Nullfolge ist Der Beweis ist einfach Besonders einfach zu beschreiben sind monoton fallende Nullfolgen: Ist (a n ) n eine monoton fallende Nullfolge, so müssen natürlich alle a n nicht-negative Zahlen sein Ist eine Folge (a n ) n nicht-negativer reeller Zahlen gegeben, so ist dies genau dann eine Nullfolge, wenn es zu jedem m N ein N N gibt mit a N < m (denn wegen der Monotonie ist dann 0 a t a N < für alle t N) m Satz 2 Ist q <, so ist (q n ) n eine Nullfolge Beweis Es genügt, reelle Zahlen q mit 0 < q < zu betrachten Statt zu zeigen, dass, q, q 2, q 3, für 0 < q < eine Nullfolge ist, kann man auch zeigen: Ist < r R, so gibt es zu n N ein N N mit n < r N (das heißt, die Glieder der Folge, r, r 2, r 3, werden beliebig groß): man betrachte den Kehrwert r = q Der Beweis erfolgt in zwei Schritten Die Bernoulli-Ungleichung für x = r besagt: r N = ( + (r )) N + N(r ) (hier brauchen wir nur r 0) Als zweiten Schritt verwenden wir die Archimedes- Eigenschaft der reellen Zahlen: Sind s, n R +, so gibt es ein N N mit Ns > n Insgesamt sieht man also: Zu s = r und n gibt es N N mit N(r ) > n, also r N + N(r ) > n

4 Leitfaden -4 Hier ein Beweis der Bernoulli-Ungleichung: Bernoulli-Ungleichung Für x und n N gilt Beweis: n = Klar Induktionsschritt: ( + x) n + nx ( + x) n+ = ( + x) n ( + x) ( + nx)( + x) = + x + nx + nx 2 + (n + )x Die erste Ungleichung verwendet die Induktionsverankerung und + x 0, die zweite die Tatsache, dass Quadratzahlen nicht negativ sind Wir haben gezeigt: Ist q <, und ǫ > 0, so gibt es ein N N mit q N < ǫ Wie findet man N explizit? Wir können q 0 voraussetzen Zu ǫ > 0 suchen wir also N mit q N < ǫ, also N ln q < lnǫ Nun ist 0 < q <, also ln q < 0, also muss man ein wählen N > lnǫ ln q 4 Die Fibonacci-Folge Definition Sei a 0 = 0, a =, und für n sei Dies liefert die Fibonacci-Folge a n+ = a n + a n 0,,, 2, 3, 5, 8 3, 2, 34, 55, 89, 44, 233, sie ist nach Leonardo von Pisa, der auch Fibonacci genannt wurde, benannt, er lebte und gilt als der bedeutendste Mathematiker des Mittelalters Er hat sie in seinem Buch Liber abbaci behandelt, und zwar zur Modellierung des Wachstums einer Kaninchenpopulation: a n bezeichne die Anzahl der Kaninchenpaare im Monat n, dabei gelte: Zu Beginn (n = ) gibt es genau ein Paar geschlechtsreifer Kaninchen

5 -5 Funktionen Jedes geschlechtsreife Paar wirft pro Monat ein weiteres Paar Jedes neugeborene Paar wird im zweiten Lebensmonat geschlechtsreif Meist wird das Entwicklungsgesetz [ ] für die Fibonacci-Zahlen 0 mit Hilfe der 2 2-Matrix formuliert, denn es gilt [ ] [ ] [ ] 0 an an = a n a n+ Satz Es ist n i= a2 i = a na n+ Dies kann man sich sehr schön anhand einer Spirale, die durch die Quadrate mit Kantenlänge a i gebildet wird, verdeutlichen! Dabei beginnt man mit dem punktierten Quadrat mit Kantenlänge a =, fügt (darunter) ein Quadrat mit Kantenlänge a 2 = an, dann (rechts) ein Quadrat mit Kantenlänge a 3 = 2, dann (darüber) ein Quadrat mit Kantenlänge a 4 = 3, usw Beweis mit Induktion Hier der Induktionsschritt: n+ i= a2 i = n i= a2 i + a2 n+ = a na n+ + a n+ = a n+ (a n + a n+ ) = a n+ a n+2 Sei τ = 2 ( + 5), und τ 2 = 2 ( 5) Diese beiden Zahlen sind äußerst interessant, man nennt τ goldene Zahl oder auch die Zahl zum goldenen Schnitt, denn es gilt: Sind a, b positive Zahlen mit a b = a+b, so ist a a b = τ Es ist τ, 6803, und τ 2 0, 6803, Offensichtlich gilt: τ + τ 2 =, τ τ 2 = 5, τ τ 2 =,

6 Leitfaden -6 demnach sind τ, τ 2 die beiden Nullstellen des quadratischen Polynoms x 2 x Satz (Formel von Binet) Für n 0 gilt a n = τn τ2 n 5 Beweis mit vollständiger Induktion: Für n = 0 ist a n = 0 = 5 Induktionsschritt: a n+ = a n + a n = τn τ2 n + τn τ2 n 5 5 = (τ n + 5 τn τ2 n τn 2 ) = (τ n ( + ) τ2 n 5 τ ( + ) ), τ 2 = 5 (τ n ( τ 2) τ n 2 ( τ )), dabei haben wir zweimal τ τ 2 = verwendet Nun wissen wir aber, dass auch τ +τ 2 = gibt, also ist τ 2 = τ, und τ 2 = τ Insgesamt sehen wir: a n+ = 5 (τ n ( τ 2) τ n 2 ( τ )) = ( τ n+ τ n+ ) 2 5 Folgerung Es ist lima n+ /a n = τ Beweis: [fehlt] 5 Reihen Sei (a n ) n eine Folge Durch s n = n t= a t kann man eine neue Folge konstruieren, man nennt dies die Folge der Partialsummen Wenn die Folge der Partialsummen konvergiert, etwa gegen die Zahl s, so schreibt man und nennt dies eine (konvergente) Reihe t= a n = s

7 -7 Funktionen Warnung: Für uns ist eine konvergente Reihe immer der Grenzwert der Folge der Partialsummen, und damit eine Zahl Man muss sehr klar zwischen Zahlen und Folgen unterscheiden In manchen Büchern versteht man unter einer Reihe die Folge der Partialsummen, oder auch beides: die Folge der Partialsummen, wie auch den Grenzwert dieser Folge, falls er existiert Das bringt aber Schwierigkeiten mit sich: Denn eine Folge ist keine Zahl man will aber mit dem Symbol t= a n rechnen! Für uns ist eine nichtkonvergente Reihe nur eine Ansammlung von Kreide oder Tinte, aber kein mathematisches Objekt Cauchy-Kriterium, für Reihen Sei (a n ) n eine Folge Genau dann konvergiert die Folge der Partialsummen s n = n t= a t, wenn es zu jedem ǫ > 0 eine natürliche Zahl N gibt, sodass für alle n, m mit N n m gilt: m t=n+ a t < ǫ Dies ist nur die Umformulierung des Cauchy-Kriteriums für Folgen, denn Insbesondere sehen wir: s m s n = m t=n+ a t Folgerung Ist t= a n eine (konvergente) Reihe, so ist (a n ) n eine Nullfolge Beweis: Sei ǫ > 0 gegeben Nach dem Cauchy-Kriterium gibt es ein N mit m t=n+ a t < ǫ für alle N n m Insbesondere gilt dies für N n und m = n + Warnung Wir werden gleich sehen, dass die Umkehrung nicht gilt! Satz Für die Folge (, 2, 3, 4, ) gilt: Die Folge der Partialsummen s n = n konvergiert nicht Man nennt t= t die harmonische Reihe (obwohl dies nach unserer Definition gar keine Reihe ist), und sagt: die harmonische Reihe ist divergent Beweis: Wir betrachten die Partialsummen s 2 n, zum Beispiel für n = 4: s 2 4 = s 6 = 6 t= t = ( = = t= t ) ( ) ( )

8 Leitfaden -8 Dabei haben wir für t 2 m die offensichtliche Abschätzung t 2 m verwendet Ganz allgemein sieht man auf diese Weise: s 2 n + n 2, die Folge dieser Partialsummen geht also gegen unendlich! Satz Sei (a t ) t eine eine monoton fallende, reelle Nullfolge Dann konvergiert die Reihe t=0 ( )t a t, man nennt dies eine alternierende Reihe Beweis: Es gilt s 2n+2 = s 2n a 2n+ + a 2n+2 = s 2n (a 2n+ a 2n+2 ) s 2n s 2n+ = s 2n + a 2n a 2n+ = s 2n + (a 2n+ a 2n+2 ) s 2n s 2n+2 = s 2n+ + a 2n+2 s 2n+ Also haben wir folgende Intervall-Schachtelung: s s 2 s 3 s 5 s 4 s 0 Diese Intervallschachtelung definiert eine reelle Zahl r und natürlich ist r der Limes der Folge (s n ) n Beispiele: () Die Leibniz-Reihe k=0 Umgekehrt sieht man auch: Jede Intervallschachtelung erhält man auf diese Weise ( ) k 2k + = = π 4 Die Konvergenz ist eine direkte Folge des Satzes Warum allerdings die Reihe gleich π 4 ist, wird hier nicht bewiesen (2) Die alternierende harmonische Reihe ( ) k+ = k = ln(2) k=

9 -9 Funktionen Die Konvergenz ist wieder eine direkte Folge des Satzes Definition: Eine Reihe t= a t heißt absolut konvergent, falls die Reihe t= a t konvergent ist Satz Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent Beweis: Dies folgt unmittelbar aus dem Cauchy-Kriterium für Reihen und der Dreiecksungleichung Beispiel Die Reihe n= ( )n n ist konvergent, dagegen ist die Reihe n= n divergent Also ist die Reihe n= ( )n nicht absolut konvergent Dagegen sind n die konvergenten geometrischen Reihen, die im nächsten Abschnitt betrachtet werden, absolut konvergent 6 Geometrische Reihen Es gilt die folgende Summenformel n q t = qn+ = qn+ q q t=0 = q qn+ q, hier ist q eine beliebige reelle (oder komplexe) Zahl Sei nun q < Ist ǫ > 0 vorgegeben, so betrachten wir ǫ = q ǫ Es gibt ein n mit q n < ǫ = q ǫ Also gilt für alle m n q m q q n q < ǫ Wir sehen also: die Folge der Partialsummen s n = n t=0 qt konvergiert gegen Demnach gilt der folgende Satz: Satz Ist q <, so ist t=0 q t = q q Man nennt t=0 qt eine geometrische Reihe Insbesondere sieht man für q = m t=0 ( ) t m = m m Die geometrische Reihe spielt eine ganz wichtige Rolle in vielen mathematischen Anwendungen!