$Id: folgen.tex,v /05/31 12:40:06 hk Exp $ an 1 2 n 1 ist gerade, 3a n 1 + 1, a n 1 ist ungerade.

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1 $Id: folgen.tex,v. 202/05/3 2:40:06 hk Exp $ 6 Folgen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir Folgen in einer Menge X als Abbildungen a : N X definiert, die dann typischerweise in der Form (a n ) n N, also mit dem Funktionsargument n N als Index geschrieben werden. Wir gehen zunächst einige kleine Beispiele von Folgen durch.. Die Folge a n = n in der Menge M = R der reellen Zahlen. 2. Die Folge a n = ( ) n wieder in M = R. Dies springt abwechselnd zwischen den Werten a n = für gerade Indizes n und a n = für ungerade Indizes n hin und her. 3. Die Folge a n = ( ) n n ist wie die Folge a n = n nur das das Vorzeichen je nach geraden und ungeraden Index hin und her springt. 4. Wie im letzten Semester gesehen kann man Folgen auch rekursiv definieren. Dies meint das das n-te Folgenglied in Termen des (n )-ten Gliedes definiert wird, oder noch allgemeiner unter Verwendung aller vorherigen Folgenglieder a k, k < n. Damit dies sinnvoll ist, muss zusätzlich ein Startwert vorgegeben werden. Wie wollen kurz ein kleines Beispiel einer solchen rekursiv definierten Folge besprechen. Der Startwert a 0 sei eine beliebige natürlich Zahl a 0 N verschieden von Null. Ist jetzt n und kennen wir bereits das Folgenglied a n, so setze a n := { an, a 2 n ist gerade, 3a n +, a n ist ungerade. Nehmen wir etwa den Startwert a 0 = 5, so ergibt sich die Folge a = 6, a 2 = 8, a 3 = 4, a 4 = 2, a 5 =, a 6 = 4, a 7 = 2, a 8 =,... und der 4 2 Zyklus wiederholt sich immer weiter. Die Folge hängt natürlich vom Startwert ab, nehmen wir etwa a 0 = 9, so wird a = 28, a 2 = 4 a 3 = 7, a 4 = 22, a 5 =, a 6 = 34, a 7 = 7, a 8 = 52, a 9 = 26, a 0 = 3, a = 40, a 2 = 20, a 3 = 0, a 4 = 5, a 5 = 6, a 6 = 8, a 7 = 4, a 8 = 2, a 9 =,... und wir sind wieder im 4 2 Zyklus. Es wird vermutet, dass die Folge unabhängig vom Startwert immer in diesem Zyklus landet. 3-

2 Zur graphischen Darstellung reeller Folgen kann man diese etwa durch Markieren der Punkte (n, a n ) in der Ebene malen, zum Beispiel werden die obigen ersten drei Folgen dann a n = n a n = ( ) n a n = ( ) n n In diesem allgemeinen Rahmen wollen wir nur einen einzigen Begriff einführen, nämlich die sogenannten Teilfolgen einer gegebenen Folge. Definition 6.2: Sei (a n ) n N eine Folge in einer Menge M. Eine Folge der Form (a nk ) k N, wobei für jedes k N stets n k N und n k < n k+ gelten, heißt eine Teilfolge von (a n ) n N. Etwas ausführlicher besteht eine Teilfolge also aus einigen, aber nicht unbedingt allen, Folgengliedern a n, a n2, a n3,... der Originalfolge, wobei die Indizes n, n 2, n 3,... der in der Teilfolge vorkommenden Indizes in derselben Reihenfolge wie in der Originalfolge sind, also n < n 2 < n 3 <.... Beispielsweise hat die Folge a n = ( ) n n die Teilfolge a 2n = ( ) 2n 2n = 2n. Eine Folge kann viele ganz unterschiedlich aussehende Teilfolgen haben, beispielsweise sind ( n + ) ( ) 2n ( n 2 + 3n + 2 ), n N alles Teilfolgen der Folge (/n) n N., n N 6. Konvergente Folgen in metrischen Räumen Wie eingangs erwähnt sind Folgen ein Hilfsbegriff, der das Gemeinsame an all den verschiedenen Grenzwertbegriffen einfangen soll. Daher brauchen wir insbesondere einen 3-2 n N

3 Grenzwertbegriff für Folgen. Diesen führen wir von vornherein recht allgemein für Folgen in metrischen Räumen ein. Definition 6.3: Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (a n ) n N in X heißt konvergent gegen einen Punkt a X, wenn für jede Umgebung U von a stets ein Index n 0 N existiert ab dem die Folge ganz in U ist, also a n U für alle n n 0. In diesem Fall nennen wir den Punkt a den Limes, oder Grenzwert, der Folge (a n ) n N und schreiben a = lim a n. Gibt es einen solchen Grenzwert, so heißt die Folge (a n ) n N konvergent und andernfalls heißt sie divergent. Ist speziell X = R oder X = C in der euklidischen Metrik, so nennt man eine gegen 0 konvergente Folge auch eine Nullfolge. Egal wie klein die Umgebung U ist, schließlich liegt die ganze Folge ab einem gewissen Index ganz innerhalb U. Was die Folge vor diesem Index n 0 macht spielt keine Rolle, nur ab diesem Index ist sie ganz in der Umgebung. Gelegentlich wird dies auch so umschrieben, dass die Folge dem Grenzwert a schließlich beliebig nahe kommt. Das ist aber eigentlich eine etwas unglückliche Sichtweise, da die Folgen ja überhaupt dazu dienen Konzepte wie dieses beliebig nahe kommen zu eliminieren. Oft wird die Grenzwertdefinition kompakt in Quantorenschreibweise formuliert, d.h. a = lim a n bedeutet (U Umgebung von a) (n 0 N) (n n 0 ) : a n U. Wir wollen einige einfache Beispiele von Grenzwerten behandeln. Zunächst ist eine konstante Folge a n = a X in einem beliebigen metrischen Raum X gegen a konvergent. Ist nämlich U eine Umgebung von a, so können wir etwa n 0 = setzen und für jede natürliche Zahl n N mit n n 0 ist dann a n = a U. Als ein etwas komplizierteres Beispiel behandeln wir die Folge (/n) n N im metrischen Raum X = R versehen mit der durch d(x, y) = x y gegebenen Metrik. Wir behaupten das diese Folge den Grenzwert a = 0 hat. Sei hierzu eine Umgebung U von 0 in X = R gegeben. Dann existiert ein ɛ > 0 mit U ɛ (0) U und nach Definition unserer Metrik ist U ɛ (0) = ( ɛ, ɛ), wir haben also ( ɛ, ɛ) U. Nach den archimedischen Eigenschaft der reellen Zahlen aus 4.Lemma 6 existiert eine natürliche Zahl n 0 N mit /n 0 < ɛ. Für jedes n N mit n n 0 ist damit auch n 0 a U 0 < n n 0 < ɛ, also n ( ɛ, ɛ) U. Damit ist auch diese Konvergenzaussage bewiesen. 3-3

4 Wir kommen nun zu einer ganzen Klasse von Beispielen. Angenommen wir haben einen metrischen Raum X und eine gegen ein a X konvergente Folge (a n ) n N in X. Wir behaupten das dann auch jede Teilfolge (a nk ) k N dieser Folge gegen a konvergiert. Sei nämlich eine Umgebung U von a in X gegeben. Dann existiert ein Index n 0 N mit a n U für jedes n n 0. Für jedes k N mit k n 0 ist damit auch n k k n 0 also a nk U, und die Konvergenz der Teilfolge (a nk ) k N gegen a ist bewiesen. Kombinieren wir die eben behandelte Aussage mit den schon bewiesenen Grenzwert lim /n = 0, so ergeben sich auch lim n + = 0, lim 2n = 0, lim n 2 + 3n + 2 = 0 denn all dies sind Teilfolgen von /n. Nach diesen Beispielen kommen wir jetzt zur allgemeinen Theorie zurück. Eine Umgebung eines Punktes a in einem metrischen Raum war definitionsgemäß eine Menge, die noch eine kleine Kugel um den Punkt a herum enthält. Setzen wir diese Definition in die Grenzwertdefinition ein, so ergibt sich die folgende Umformulierung des Grenzwerts einer Folge. Lemma 6.4: Seien (X, d) ein metrischer Raum, (a n ) n N eine Folge in X und a X. Dann gilt genau dann lim a n = a wenn gilt. (ɛ > 0) (n 0 N) (n n 0 ) : d(a n, a) < ɛ Beweis: = Sei ɛ > 0. Dann ist die Kugel U ɛ (a) eine Umgebung von a, also existiert ein n 0 N mit a n U ɛ (a) für alle n n 0, und dies bedeutet d(a n, a) < ɛ für n n 0. = Sei U eine Umgebung von a. Dann existiert ein ɛ > 0 mit U ɛ (a) U. Weiter existiert dann ein Index n 0 N mit d(a n, a) < ɛ für alle n n 0. Für jedes n N mit n n 0 ist damit auch a n U ɛ (a) U, und damit konvergiert (a n ) n N gegen a. Wir werden im folgenden meist die Formulierung des Lemmas verwenden, um die Konvergenz einer Folge nachzuweisen. Es gibt jetzt noch einen etwas feinsinnigen Punkt zu beachten. Wir sprechen immer von dem Grenzwert einer konvergenten Folge, was die Eindeutigkeit dieses Grenzwerts unterstellt. Diese Eindeutigkeit muss aber bewiesen werden, und dies holen wir im folgenden Lemma nach. Lemma 6.5 (Eindeutigkeit von Folgengrenzwerten) Eine konvergente Folge in einem metrischen Raum hat genau einen Grenzwert. Beweis: Seien also (X, d) ein metrischer Raum und (a n ) n N eine konvergente Folge in X. Weiter seien a, b X zwei Grenzwerte dieser Folge. Wir wollen zeigen, dass dann bereits a = b gilt. Hierzu zeigen wir, dass d(a, b) < ɛ für jedes ɛ > 0 gilt. Sei also ɛ > 0 3-4

5 gegeben. Da die Folge (a n ) n N gegen a konvergiert, gibt es ein n N mit d(a n, a) < ɛ/2 für alle n n. Da die Folge aber auch gegen b konvergiert, gibt es ebenso ein n 2 N mit d(a n, b) < ɛ/2 für alle n n. Setze n := max{n, n 2 }. Dann ist n N mit n n und n n 2, also d(a n, a) < ɛ/2 und d(a n, b) < ɛ/2. Mit der Dreiecksungleichung folgt damit d(a, b) d(a, a n ) + d(a n, b) = d(a n, a) + d(a n, b) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Da dies für jedes ɛ > 0 gilt, und andererseits d(a, b) 0 ist, folgt d(a, b) = 0, und folglich auch a = b. Wir führen jetzt noch eine kleine Verallgemeinerung von Grenzwerten ein, die sogenannten Häufungspunkte. Definition 6.6: Seien (X, d) ein metrischer Raum und (a n ) n N eine Folge in X. Ein Punkt a X heißt Häufungspunkt der Folge (a n ) n N wenn es eine gegen a konvergente Teilfolge (a nk ) k N von (a n ) n N gibt. Häufungspunkte einer Folge sind also die Grenzwerte konvergenter Teilfolgen der gegebenen Folge. Beispielsweise ist ein Grenzwert einer konvergenten Folge automatisch auch ein Häufungspunkt. Aber auch nicht konvergente Folgen können Häufungspunkte haben. Beispielsweise hat die Folge a n = ( ) n in X = R die beiden Teilfolgen ( ) 2k = und ( ) 2k+ =, d.h. a = und a = sind beides Häufungspunkte von (( ) n ) n N. Eine Folge kann sogar unendlich viele Häufungspunkte haben. Ein Beispiel hierfür ist etwa die Folge a n = sin(n). Man kann sich überlegen, dass jede reelle Zahl x mit x ein Häufungspunkt der Folge (sin(n)) n N ist. 6.2 Cauchy-Folgen Unsere bisherige Definition konvergenter Folgen, also (ɛ > 0) (n 0 N) (n n 0 ) : d(a n, a) < ɛ in der Formulierung des Lemma 4, hat den Nachteil das in ihr der Grenzwert a explizit vorkommt. Dadurch kann der Nachweis der Konvergenz recht mühsam werden, wenn man den Grenzwert nicht ausrechnen kann, beziehungsweise ihn nicht in irgendeiner handlichen Form beschreiben kann. Der Begriff der Cauchyfolge soll dieses Problem umgehen, indem eine zur Konvergenz äquivalente Bedingung gefunden wird, in der der Grenzwert nicht mehr explizit auftaucht. Leider besteht diese Äquivalenz nicht allgemein in metrischen Räumen, wie wir noch sehen werden gilt sie aber beispielsweise für X = R. Eine Cauchyfolge ist eine Folge in der die Folgenglieder für große Indizes aneinander rücken. Die formale Definition ist wie folgt: 3-5

6 Definition 6.7: Eine Folge (a n ) n N in einem metrischen Raum (X, d) heißt eine Cauchyfolge, wenn es für jedes ɛ > 0 einen Index n 0 N mit d(a n, a m ) < ɛ für alle n, m N mit n, m n 0 gibt. In Quantorenschreibweise bedeutet dies (ɛ > 0) (n 0 N) (n, m n 0 ) : d(a n, a m ) < ɛ. Wir werden sehen, dass jede konvergente Folge auch eine Cauchyfolge ist, aber leider nicht umgekehrt. Zuvor möchten wir aber noch auf einen wichtigen Punkt in der Definition einer Cauchyfolge hinweisen, es ist wichtig das die Bedingung d(a n, a m ) < ɛ für alle n, m n 0 verlangt wird, es reicht nicht aus aufeinanderfolgende Folgenglieder zu betrachten. Ein Beispiel hierfür ist die Folge a n = n in X = R. Diese Folge ist nicht konvergent, also wie wir gleich sehen werden auch keine Cauchyfolge. Die Abstände aufeinanderfolgender Folgenglieder werden allerdings für große Werte des Index n beliebig klein, für alle n N ist nämlich n + n = ( n + n) ( n + + n) n + + n = n + n n + + n = n + + n. Kommen wir jetzt zu der schon mehrfach angekündigten Tatsache das konvergente Folgen immer auch Cauchyfolgen sind. Satz 6.8: Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge. Beweis: Seien (X, d) ein metrischer Raum und (a n ) n N eine gegen ein a X konvergente Folge. Sei ɛ > 0 gegeben. Dann existiert ein Index n 0 N mit d(a n, a) < ɛ/2 für alle n n 0. Für alle n, m N mit n, m n 0 ist dann auch d(a n, a m ) d(a n, a) + d(a, a m ) = d(a n, a) + d(a m, a) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Damit ist (a n ) n N eine Cauchyfolge. In allgemeine metrischen Räumen ist die Umkehrung dieser Aussage leider falsch. Wir können beispielsweise die Menge X := R\{0} mit der durch d(x, y) := x y für x, y R\{0} gegebenen Metrik betrachten. Da die Folge (/n) n N in R gegen Null konvergiert, ist sie in R, und somit auch in X, eine Cauchyfolge. In X ist diese Folge aber divergent da ihr Grenzwert nicht in X liegt. 6.3 Folgen in angeordneten Körpern Während wir bisher Folgen in allgemeinen metrischen Räumen untersucht haben, konzentrieren wir uns jetzt auf die reellen Zahlen X = R in der euklidischen Metrik d(x, y) = x y. In diesem Rahmen werden wir untersuchen wie die arithmetische 3-6

7 Struktur und die Ordnungsstruktur der reellen Zahlen mit dem Konvergenzbegriff zusammenspielen. Ein oft nützliches Hilfsmittel sind hier die monoton steigenden beziehungsweise monoton fallenden Folgen. Definition 6.9: Sei (a n ) n N eine Folge in einem angeordneten Körper K.. Die Folge (a n ) n N heißt nach oben beschränkt, wenn die Menge {a n n N} in K nach oben beschränkt ist, d.h. wenn eine Konstante M K mit a n M für alle n N existiert. 2. Die Folge (a n ) n N heißt nach unten beschränkt, wenn die Menge {a n n N} in K nach unten beschränkt ist, d.h. wenn eine Konstante M K mit a n M für alle n N existiert. 3. Die Folge (a n ) n N heißt beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist. 4. Die Folge (a n ) n N heißt monoton steigend, oder monoton wachsend, wenn a n a n+ für alle n N gilt. 5. Die Folge (a n ) n N heißt monoton fallend, wenn a n+ a n für alle n N gilt. Für eine monoton steigende Folge gilt natürlich auch a n a m für alle n, m N mit n m und für eine monoton fallende Folge ist entsprechend auch a n a m für alle n, m N mit n m. Die meisten Folgen sind natürlich weder monoton steigend noch monoton fallend. Eine reelle Folge (a n ) n N ist beschränkt wenn es Zahlen A, B R mit A a n B für alle n N gilt. In diesem Fall gilt dann auch max{ A, B } a n max{ A, B } für alle n N, d.h. setzen wir C := max{ A, B }, so ist a n C für alle n N. Gibt es umgekehrt ein solches C, so ist auch C a n C für alle n N und die Folge ist beschränkt. Also (a n ) n N beschränkt (C > 0) (n N) : a n C. Lemma 6.0: Jede konvergente Folge (a n ) n N in R ist auch beschränkt. Beweis: Schreibe a := lim a n. Dann existiert ein n 0 N mit a n a < für alle n n 0. Wir erhalten die Konstante C := max{ a +, a 0,..., a n0 } > 0. Sei n N. Ist n < n 0, so gilt trivialerweise a n C, und für n n 0 haben wir auch a n = a n a + a a n a + a < + a C. 3-7

8 Damit ist die Folge (a n ) n N beschränkt. Grenzwerte vertragen sich auch mit Ungleichungen zwischen den beteiligten Folgen, d.h. eine Ungleichung a n b n für alle n N zwischen den Gliedern zweier konvergenter Folgen überträgt sich auch auf die Grenzwerte der beiden Folgen. Lemma 6.: Seien (a n ) n N und (b n ) n N zwei konvergente reelle Folgen mit a n b n für alle n N. Dann gilt auch lim a n lim b n. Beweis: Dies ist Aufgabe (38). Ein < zwischen den Folgengliedern überträgt sich im Allgemeinen aber nicht auf die Grenzwerte. Zum Beispiel konvergieren die Folgen (/n) n N und (/(n + )) n N beide gegen Null und es ist /(n + ) < /n für jedes n N. Im metrischen Raum X = R können wir unter den divergenten Folgen einige nicht so schlimm divergente Folgen gesondert behandeln. Für reelle Folgen gibt es zwei verschiedene Gründe die zur Divergenz einer Folge (a n ) n N führen. Zum einen könnte die Folge zwischen mehreren Häufungspunkten hin und her springen, wie es zum Beispiel die Folge (( ) n ) n N, oder noch schlimmer (sin(n)) n N, tut. Zum anderen kann sie auch einfach nur zu groß werden, wie etwa (n) n N, oder zu klein wie ( n) n N. Diese Unterscheidung deckt nicht ganz alle Möglichkeiten ab, es gibt etwa auch noch Folgen wie (( ) n n) n N die gleichzeitig groß und klein werden, aber so etwas wollen wir hier ignorieren. Bei den zu großen oder zu kleinen Folgen spricht man jetzt von bestimmter Divergenz im Sinne der folgenden Definition. Definition 6.2: Sei (a n ) n N eine reelle Folge. Die Folge heißt bestimmt divergent gegen +, in Zeichen lim a n = +, wenn es für jede Schranke M R einen Index n 0 N mit a n M für alle n N mit n n 0 gibt. Analog heißt die Folge bestimmt divergent gegen, in Zeichen lim a n =, wenn es für jedes M R stets einen Index n 0 N mit a n M für alle n N mit n n 0 gibt. In Quantorenschreibweise haben wir also lim n = + (M R) (n 0 N) (n n 0 ) : a n M lim n = (M R) (n 0 N) (n n 0 ) : a n M. 3-8