4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen
|
|
- Philipp Hase
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 $Id: folgen.tex,v /2/02 2::8 hk Exp $ $Id: reihen.tex,v.2 206/2/05 0:28: hk Exp $ 4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 4.2 Reelle Zahlenfolgen In der letzten Sitzung hatten wir den Limes Superior lim sup a n = lim sup{a k k N, k n} einer reellen Folge (a n ) n N als den größten Häufungspunkt dieser Folge in R und entsprechend den Limes Inferior a n = lim inf{a k k N, k n} als den kleinsten Häufungspunkt dieser Folge in R eingeführt. Wir gehen jetzt einige Beispiele durch.. Es ist ( )n = und lim sup( ) n = da und die beiden Häufungspunkte der Folge sind. 2. Die Folge a n = ( ) n n ist nach oben und unten unbeschränkt, hat also + und als Häufungspunkte. Da dies die größten und kleinsten Elemente in R sind, ist damit ( )n n = und lim sup( ) n n = +.. Diesmal sei a n := { n, n ist gerade, 0, n ist ungerade. Offenbar sind 0 und + dann zwei Häufungspunkte von (a n ) n N. Wegen a n 0 für alle n N kann keine Teilfolge von (a n ) n N gegen eine negative Zahl oder gegen konvergieren, also ist 0 der kleinste Häufungspunkt der Folge. Es folgen a n = 0 und lim sup a n = +. -
2 4. Schließlich sei a n = sin(n). Wir hatten bereits bemerkt, dass die Menge der Häufungspunkte von (sin n) n N genau das Intervall [, ] ist, und damit folgen sin(n) = und lim sup sin(n) = +. Zum Abschluß unserer Überlegungen über den Limes Inferior und den Limes Superior wollen wir noch einige kleine Rechenregeln für diese zusammenstellen. Lemma 4.2 (Rechenregeln für Limes Inferior und Limes Superior) Seien (a n ) n N und (b n ) n N zwei reelle Zahlenfolgen. Dann gelten: (a) Ist a n b n für jedes n N, so sind auch (b) Ist (b n ) n N konvergent, so ist a n b n und lim sup (a n + b n ) = a n + lim b n und lim sup a n lim sup b n. (a n + b n ) = lim sup a n + lim b n. (c) Ist (b n ) n N konvergent mit von Null verschiedenen Grenzwert b R\{0}, so sind ( ) ( ) (a n b n ) = a n lim b n, ( ) ( ) lim sup(a n b n ) = lim sup a n lim b n wenn b > 0 ist und (a n b n ) = lim sup(a n b n ) = ( ) lim sup a n ( ) a n ( lim ( lim b n b n ), ) wenn b < 0 ist. Beweis: (a) Sei n N und setze A n := sup{a k k N, k n} und B n := sup{b k k N, k n}. Für jedes k N mit k n haben wir a k b k B n, also ist B n eine obere Schranke der Menge {a k k N, k n} und somit gilt A n B n. Mit Lemma 5.(a), eventuell in der Form für die erweiterten reellen Zahlen, folgt lim sup a n = lim A n lim B n = lim sup b n. -2
3 Die Aussage über den Limes Inferior ergibt sich analog. (b,c) Seien b R der Grenzwert der Folge (b n ) n N und H die Menge der Häufungspunkte von (a n ) n N in R. Nach Satz.(a) ist s := max H der Limes Superior der Folge (a n ) n N und t := min H der Limes Inferior der Folge (a n ) n N. Weiter ist nach Lemma 0.(a) in der Form für die erweiterten reellen Zahlen M = {a + b a H} die Menge der Häufungspunkte von (a n + b n ) n N in R. Da für x, y H stets genau dann x y gilt wenn x + b y + b ist, ist nach Satz.(a) auch lim sup (a n + b n ) = max M = s + b = lim sup a n + lim b n. Nun kommen wir zum Produkt und nehmen b 0 an. Nach Lemma 0.(b) in der Form für die erweiterten reellen Zahlen ist N := {ab a H} die Menge der Häufungspunkte von (a n b n ) n N in R. Ist b > 0, so gilt für alle x, y H genau dann x y wenn xb yb ist, also ist nach Satz.(a) auch lim sup(a n b n ) = max N = sb = ( ) lim sup a n ( ) lim b n. Ist dagegen b < 0, so gilt für x, y H genau dann x y wenn yb xb ist, also ist in diesem Fall ( ) ( ) lim sup(a n b n ) = max N = tb = a n lim b n. Damit sind alle Aussagen für den Limes Superior bewiesen und die entsprechenden Aussagen über den Limes Inferior folgen analog. Der Satz besagt insbesondere das jede reelle Zahlenfolge einen Häufungspunkt in R hat. Eine direkte Konsequenz dieser Beobachtung ist der sogenannte Satz von Heine-Borel: Satz 4. (Satz von Heine-Borel) Sei K {R, C}. Dann hat jede beschränkte Folge in K einen Häufungspunkt. Beweis: Zunächst sei K = R. Ist dann (a n ) n N eine beschränkte reelle Zahlenfolge, so ist nach Satz.(d) auch s := lim sup a n R und nach Satz.(a) ist s ein Häufungspunkt von (a n ) n N. Damit ist die Aussage im reellen Fall bewiesen. Nun sei K = C und es sei (z n ) n N eine beschränkte komplexe Zahlenfolge. Wie am Ende von. festgehalten sind dann auch die reellen Zahlenfolgen (Re(z n )) n N und (Im(z n )) n N beschränkt. Wie bereits gezeigt hat (Re(z n )) n N einen Häufungspunkt a R, und somit gibt es eine gegen a konvergente Teilfolge (Re(z nk )) k N von (Re(z n )) n N. Ebenso gibt es dann auch eine gegen ein b R konvergente Teilfolge (Im(z nkl )) l N von (Im(z nk )) k N. Nach Lemma.(a) ist auch (Re(z nkl )) l N a und Lemma.(e) ergibt damit (z nkl ) l N a + ib C. -
4 Damit ist a + ib ein Häufungspunkt von (z n ) n N und der Satz ist auch im komplexen Fall bewiesen. Man kann den Satz von Heine-Borel auch direkter, und ohne den Limes Superior zu verwenden, beweisen. Wie im Beweis gesehen reicht es den reellen Fall einzusehen, und hierzu kann man zeigen das jede reelle Zahlenfolge immer eine monoton steigende oder eine monoton fallende Teilfolge enthält. Mit Satz folgt dann die Existenz eines reellen Häufungspunkts einer jeden beschränkten reellen Zahlenfolge. 4. Cauchyfolgen Wir kommen nun zum letzten Thema dieses Kapitels. Ein Problem unserer Konvergenzdefinition ist, dass man zum Nachweis einer Konvergenzaussage (a n ) n N a immer bereits einen Kandidaten a für den Grenzwert der Folge kennen muss. Nur für monotone reelle Zahlenfolgen konnten wir mit Satz die Konvergenz der Folge einsehen ohne den Grenzwert kennen zu müssen. In diesem Abschnitt werden wir mit dem Begriff einer Cauchyfolge eine weitere Möglichkeit kennenlernen, die Konvergenz einer Folge ohne Kenntnis ihres Grenzwerts zu beweisen. Formal ist die Definition einer Cauchyfolge recht ähnlich zur Konvergenzdefinition, man fordert nicht mehr das die Folgenglieder einem Grenzwert a nahekommen, sondern das sich alle Folgenglieder mit ausreichend großen Index einander nahekommen. Definition 4.0 (Cauchyfolgen) Sei K {R, C}. Eine Folge (a n ) n N in K heißt eine Cauchyfolge wenn es für jedes ɛ > 0 ein n 0 N mit a n a m < ɛ für alle n, m N mit n, m n 0 gibt. In logischen Quantoren geschrieben wird diese Definition zu (ɛ > 0) (n 0 N) (n, m N, n, m n 0 ) : a n a m < ɛ. Ganz genauso wie bei der Definition der Konvergenz, kann man das < hier auch gegen ein ersetzen, die Folge ist also auch genau dann eine Cauchyfolge wenn (ɛ > 0) (n 0 N) (n, m N, n, m n 0 ) : a n a m ɛ gilt. Wir werden gleich sehen, dass jede konvergente Folge auch eine Cauchyfolge ist und damit kennen wir dann bereits recht viele Beispiele von Cauchyfolgen. Zuvor wollen wir aber ein explizites Beispiel einer Cauchyfolge diskutieren. Wir definieren rekursiv eine reelle Zahlenfolge (a n ) n N indem wir a 0 := 0 und a n+ := a2 n für alle n N setzen. Beispielsweise sind a = /, a 2 = 8/27 und a = 665/287. Die Folge ist weder monoton steigend noch monoton fallend, auch nicht ab irgendeinem noch so großen Startindex. Es ist auch nicht sofort zu sehen, ob die Folge (a n ) n N konvergent ist. Wir -4
5 werden im Folgenden einsehen, dass (a n ) n N eine Cauchyfolge ist. Wir beginnen mit einer einfachen Beobachtung. Ist x R mit 0 < x < /, so gelten auch 0 < x 2 < / und 8/ < x 2 <, also insgesamt 8/27 < ( x 2 )/ < /, also haben wir (x R) : 0 < x < = 0 < 8 27 < x2 <. Insbesondere bedeutet dies das für jedes n N aus a n (0, /) auch a n+ = ( a 2 n)/ (0, /) folgt. Da a 2 = 8/27 (0, /) gilt, folgt per vollständiger Induktion auch 0 < a n < / für alle n N mit n 2. Für jedes n N mit n ergibt sich weiter a n+ a n = a 2 n a2 n = a2 n a 2 n = a n + a n a n a n a n + a n a n a n < 2 a n a n. Ist wieder n N mit n, so sind damit auch a n+2 a n+ < 2 ( ) 2 2 a n+ a n < a n a n, a n+ a n+2 < 2 ( ) 2 a n+2 a n+ < a n a n, und so fortfahrend folgt auch a n+k a n+k ( ) k 2 a n a n, für alle k N. Streng genommen ist dies ein Beweis durch vollständige Induktion auf deren exakte Durchführung wir hier verzichten. Wenden wir dies speziell auf n = an und schreiben k = n 2 für ein neues n N mit n 2, so wird diese Abschätzung zu ( ) n 2 2 a n+ a n a a 2, und wir wollen uns überlegen das (a n ) n N damit eine Cauchyfolge ist. Hierzu schreiben wir für n, m N mit m > n m a m a n = (a m a m ) + (a m a m 2 ) + + (a n+ a n ) = (a k+ a k ) und erhalten für n 2 m m a m a n = (a k+ a k ) a k+ a k k=n k=n -5 ( m k=n k=n ( ) ) k 2 2 a a 2.
6 Die hier rechts stehende Summe ist eine sogenannte geometrische Summe und um diese weiter auszuwerten, brauchen wir ein allgemeines Lemma, das mit der konkreten Situation nichts zu tun hat. Lemma 4.4 (Die geometrische Summe) Seien q C und n N. Dann gilt q k = qn+ q für q, und q k = n + für q =. Beweis: Die Aussage für q = ist klar, wir nehmen also q an. Schreibe s := n qk. Dann ist q s = q k+ = q n+ + q k = q n+ + s, also und dies ergibt die Behauptung. ( q)s = s qs = q n+, Verwenden wir nun die eben bewiesene Summenformel der geometrischen Summe, so erhalten wir jetzt für alle n, m N mit m > n 2 a m a n ( 2 ) n 2 m n a a 2 = 7 ( 2 ( ) k 2 ) ( n 2 ( ) ) m n 2 a a 2 ( ) n 2 2 a a 2 = ( ) n 2 2 =: A n. Damit können wir leicht einsehen, dass (a n ) n N eine Cauchyfolge ist. Wir wissen bereits das die geometrische Folge (q n ) n N für jedes q C mit q < eine Nullfolge ist, und nach den Rechenregeln für Grenzwerte ist somit auch lim 7 70 ( ) n 2 2 = 0, ist also ɛ > 0 gegeben, so existiert ein n 0 N mit n 0 2 und A n < ɛ für alle n N mit n n 0. Sind dann n, m N mit n, m n 0, so können wir durch eventuelles Vertauschen von n und m auch m n annehmen, und haben a m a n < A n < ɛ. Somit ist (a n ) n N tatsächlich eine Cauchyfolge. -6
7 Nach diesem Beispiel kommen wir nun zu einigen allgemeinen Aussagen. Die Grundeigenschaften von Cauchyfolgen sind schnell eingesehen. Lemma 4.5 (Grundeigenschaften von Cauchyfolgen) Sei K {R, C} und sei (a n ) n N eine Folge in K. (a) Ist (a n ) n N konvergent, so ist (a n ) n N auch eine Cauchyfolge. (b) Ist (a n ) n N eine Cauchyfolge, so ist (a n ) n N auch beschränkt. (c) Sind (a n ) n N eine Cauchyfolge und (a nk ) k N eine konvergente Teilfolge von (a n ) n N mit dem Grenzwert a K, so ist auch (a n ) n N a. Beweis: (a) Bezeichne a K den Grenzwert von (a n ) n N. Sei ɛ > 0 gegeben. Dann existiert ein n 0 N mit a n a < ɛ/2 für alle n N mit n n 0. Sind dann n, m N mit n, m n 0 so folgt auch a n a m = a n a + a a m a n a + a m a < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Damit ist (a n ) n N eine Cauchyfolge. (b) Es gibt ein n 0 N mit a n a m < für alle n, m N mit n, m n 0. Setze c := max{ a 0, a,..., a n0, a n0 + } > 0. Ist dann n N, so gilt im Fall n < n 0 sofort a n c und im Fall n n 0 haben wir ebenfalls a n = a n a n0 + a n0 a n a n0 + a n0 < a n0 + c. Damit ist a n c für alle n N und (a n ) n N ist beschränkt. (c) Sei ɛ > 0 gegeben. Dann existieren ein n 0 N mit a n a m < ɛ/2 für alle n, m N mit n, m n 0 und ein k 0 N mit a nk a < ɛ/2 für alle k N mit k k 0. Sei n N mit n n 0. Setzen wir k := max{k 0, n 0 }, so ist a nk a < ɛ/2 und wegen n k k n 0 ist auch a n a nk < ɛ/2. Insgesamt ist damit a n a = a n a nk + a nk a a n a nk + a nk a < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ, und wir haben (a n ) n N a bewiesen. Damit eine Folge (a n ) n N eine Cauchyfolge ist, reicht es nicht aus, das sich aufeinanderfolgende Folgenglieder immer näher kommen, die Cauchybedingung ist wesentlich stärker. Beispielsweise ist die durch a n = n gegebene Zahlenfolge nicht nach oben beschränkt, es ist sogar ( n) n N +, also ist ( n) n N insbesondere keine Cauchyfolge. Andererseits hatten wir bereits in einem Beispiel gesehen das ( n lim (a ) n+ a n ) = lim + n = 0-7
8 gilt. Nun sind wir bereit das sogenannte Cauchy-Kriterium zu beweisen, dieses zeigt das konvergente Folgen und Cauchyfolgen genau dasselbe sind. Satz 4.6 (Cauchy-Kriterium) Sei K {R, C}. Eine Folge (a n ) n N in K ist genau dann konvergent wenn (a n ) n N eine Cauchyfolge ist. Beweis: = Dies ist Lemma 5.(a). = Nach Lemma 5.(b) ist (a n ) n N beschränkt, hat also nach dem Satz von Heine- Borel Satz einen Häufungspunkt beziehungsweise eine konvergente Teilfolge. Nach Lemma 5.(c) ist (a n ) n N selbst konvergent. Wir kommen schließlich wieder zum Beispiel der rekursiv definierten Folge a 0 := 0 und a n+ := a2 n für alle n N zurück. Wir haben bereits eingesehen, dass (a n ) n N eine Cauchyfolge mit 0 < a n < / für alle n N mit n 2 ist. Nach dem eben bewiesenen Satz ist (a n ) n N damit konvergent, und nach Lemma 5.(a) gilt [ a := lim a n 0, ]. Wenden wir die Rechenregeln für Grenzwerte Satz 6 an, so folgt weiter also ist a = lim a n+ = lim a 2 n = a 2 + a = 0. ( lim a n ) 2 = a2, Fassen wir dies als eine quadratische Gleichung für a auf, so ergibt sich a = 2 ± 4 + = ± 2 = a = 2 da a 0 ist. Diese Methode den Grenzwert einer rekursiv definierten Folge durch Grenzübergang in der Rekursionsformel zu gewinnen, läßt sich in solchen Beispielen häufig anwenden, es ist dabei aber entscheidend sich zuerst die Existenz eines Grenzwerts zu überlegen, andernfalls sind die Rechenregeln für Folgengrenzwerte überhaupt nicht anwendbar. Wir wollen uns auch hierzu noch ein kleines Beispiel anschauen. Wir betrachten die durch a 0 := 0 und a n+ := a n ( + a n ) für n N -8
9 definierte Folge (a n ) n N. Führen wir in der Rekursionsgleichung den Grenzübergang für einen hypothetischen Grenzwert a R durch, so ergibt sich a = a( + a) = a 2 =. Für x 2 ist x( + x), erreicht die Folge also einen Wert a n 2, so ist auch a k 2 für alle k n. Nun sind a = und a 2 =, also gilt a n 2 für alle n 2. Insbesondere ist a 0 und damit muss a = sein. Andererseits müsste für den Grenzwert auch a 2 gelten, aber dann kann nicht a 2 = sein. Damit haben wir den Grenzwert ausgerechnet, aber in Wahrheit existiert er gar nicht, tatsächlich ist der eben aufgetretene Widerspruch ein Beweis der Divergenz der Folge (a n ) n N. Die Berechnung des Grenzwerts alleine reicht also nicht aus und beweist gar nichts, man muss zuerst seine Existenz begründen. 5 Reihen Eine Reihe ist eine unendliche Summe a 0 + a + a 2 +. Die Summanden a i können dabei reell oder komplex sein. Historisch sind Reihen sehr viel älter als Folgen, und im Gegensatz zu den Folgen sind sie auch von eigenständigen Interesse. Als ein erstes Beispiel wollen wir uns die sogenannte Zenonsche Paradoxie anschauen. Bei dieser betrachten wir ein Rennen zwischen zwei Läufern sehr unterschiedlicher Geschwindigkeit, etwa Achilles und eine Schildkröte. Der Einfachheit halber nehmen wir an das die Schildkröte eine konstante Geschwindigkeit v > 0 hat während Achilles sich konstant mit der hunderfachen Geschwindigkeit bewegt. Um den Anschein von Fairness zu erwecken startet die Schildkröte mit einem Vorsprung m > 0. Sei etwa m in Metern und v in Metern pro Sekunde gegeben. Dann hat Achilles den Startpunkt der Schildkröte nach m/(00v) Sekunden erreicht aber in dieser Zeit ist die Schildkröte schon etwa weiter gekommen und hat die Strecke (m/(00v)) v = m/00 zurückgelegt. Achilles braucht jetzt nur noch (m/00)/(00v) = 0 4 m/v Sekunden um auch diese Strecke zu überwinden, aber dann ist die Schildkröte wieder (0 4 m/v) v = 0 4 m vorangekommen. Dies geht jetzt immer so weiter, Achilles braucht nächstes Mal nur noch 0 6 m/v Sekunden, aber die Schildkröte ist wieder weg, dann dauert es nur noch 0 8 m/v Sekunden und die Schildkröte ist immer noch weiter vorne, und das setzt sich ewig so fort. Damit kann Achilles die Schildkröte niemals einholen, und so etwas wie Bewegung wäre ein in sich widersprüchliches Konzept. Diese Paradoxie ist eine von vielen in der Antike verwendeten Argumenten die Problematik von Unendlichkeiten einzusehen, wir denken uns hier ja die Zeit und die Rennstrecke als ins Unendliche teilbar. Wieweit diese Paradoxie ernst genommen wurde kann man heute natürlich nicht -
10 mehr einschätzen, man kann allerdings feststellen das die antike, griechische Mathematik jedliche Unendlichkeiten strikt vermieden hat. Um den Zusammenhang mit Reihen herzustellen, wollen wir uns überlegen wieviel Zeit vergeht bis die Schildkröte schließlich eingeholt ist. Dieser Zeitraum setzt sich aus all den oben beschriebenen Teilabschnitten zusammen, also erst die 0 2 m/v Sekunden, dann die nächsten 0 4 m/v gefolgt von den nächsten 0 6 m/v Sekunden und so weiter, also insgesamt 0 2 m v m v m v m v +. Hier werden unendlich viele positive Zahlen aufaddiert und man will das irgendwie doch eine endliche Summe herauskommt. Wir können auch von vornherein sagen was herauskommen sollte, denn Achilles ist nach t Sekunden gerade 00vt Meter von seinem Startpunkt entfernt während die Schildkröte zu diesem Zeitpunkt m + vt Meter weit von diesem weg ist, Achilles holt die Schildkröte also ein wenn ist. Es sollte also in irgendeinem Sinne 00vt = m + vt, d.h. t = m v 0 2 m v + m 0 4 v + m 0 6 v + m 0 8 v + = m v gelten. Bevor dies allerdings auch nur eine sinnvolle Vermutung ist, muss erst einmal definiert werden was solch eine unendliche Summe denn überhaupt sein soll, wir benötigen einen Grenzwertbegriff für Reihen. 5. Konvergenz von Reihen Wir hatten in 4. gesagt das Folgen und ihr Konvergenzbegriff ein Hilfsbegriff sind, auf den viele andere Grenzwertbegriffe zurückgeführt werden und dementsprechend werden wir unendliche Summen in Termen von Folgengrenzwerten definieren. Angenommen die Folge (a n ) n N ist gegeben. Dann betrachten wir die sogenannten Partialsummen s 0 := a 0, s := a 0 + a, s 2 := a 0 + a + a 2, und allgemein s n := a k, also die endlichen Summen die jeweils durch Summation der ersten n + Summanden unserer unendlichen Summe gebildet werden. Damit können wir definieren: Definition 5.: Sei K {R, C} und sei (a n ) n N eine Folge in K. Bezeichne ( ) (s n ) n N := a k -0 n N
11 die Folge der zugehörigen Partialsummen. Wir nennen die Reihe a n konvergent wenn die Folge (s n ) n N der Partialsummen konvergent ist und schreiben in diesem Fall Andernfalls heißt die Reihe divergent. a n := lim s n = lim a k. Oftmals bezeichnen wir mit dem Symbol a n auch die Folge der Partialsummen, selbst wenn die Reihe divergent ist. Dass das Symbol a n sowohl die Folge der Partialsummen als auch den eventuellen Grenzwert bezeichnet, ist normalerweise unproblematisch. Die jeweilige Bedeutung ist immer aus dem Kontext heraus klar. Außerdem schreiben wir mit einem weiteren Bezeichnungsmißbrauch auch einfach Sei a n eine Reihe, dies soll dann bedeuten, dass (a n ) n N eine Folge ist und wir beabsichtigen die zugehörige Folge der Partialsummen zu untersuchen. Genau wie bei Folgen betrachtet man auch Reihen mit einem beliebigen Startindex n 0 N anstelle des Startindex 0, zum Beispiel die Reihe n= /n2 mit dem Startindex n 0 =. Die Partialsummen sind in diesem Fall s n = n 0 +n k=n 0 a k für n N. Oft ist es in diesem Zusammenhang dann etwas bequemer auch für die Folge der Partialsummen einen anderen Startindex zu verwenden, beispielsweise s n = n k=n 0 a k für n N mit n n 0. Die hiermit verbundene Willkür ist dabei unproblematisch, da die Wahl des Startindex auf Konvergenz und eventuelle Summe der Reihe keinen Einfluß hat. Genau wie im vorigen Kapitel formulieren wir die meisten Aussagen mit dem Startindex 0 oder, es sind aber implizit auch immer alle Reihen mit einem anderen Startindex mit gemeint. Lassen wir endlich viele Summanden am Beginn der Reihe einfach weg, so ändert sich nichts am Konvergenzverhalten der Reihe aber sehr wohl am Grenzwert. In der Tat, ist a n eine Reihe und n 0 N, so hängen die Partialsummen s n = n a k der Originalreihe und t n = n 0 +n k=n 0 a k der verkürzten Reihe über die Beziehung s n = a k = 0 a k + k=n 0 a k = 0 a k + t n n0 für alle n N mit n n 0 zusammen, und somit konvergiert die Folge (s n ) n N genau dann wenn die Folge (t n ) n N konvergiert und in diesem Fall ist a n = 0 a n + n=n 0 a n. Wir wollen jetzt einige Beispiele von Reihen besprechen, und beginnen mit der Reihe n(n ) = = n=2 -
12 In diesem Beispiel können wir die Partialsummen s n explizit berechnen, dies haben wir bereits am Anfang von 4 getan. Im einleitenden Beispiel (5) von 4 hatten wir s n = k=2 k(k ) = n für alle n N mit n 2 nachgerechnet. Damit ist die Reihe konvergent und ihr Grenzwert ist ( n(n ) = lim ) =. n n=2 Das nächste Beispiel ist die sogenannte geometrische Reihe, dies ist die aus den Potenzen einer festen Zahl q C gebildete Reihe. Dieses Beispiel wird sich als derart wichtig herausstellen das wir es in einem Satz festhalten wollen. Satz 5. (Die geometrische Reihe) Sei q C. Dann ist die geometrische Reihe qn genau dann konvergent wenn q < ist, und in diesem Fall gilt q n = q. Beweis: Nach 4.Lemma 4 ist die n-te Partialsumme für jedes n N als s n := q k = { q n+, q q, n +, q = gegeben. Für q = ist die Folge der Partialsummen (s n ) n N = (n + ) n N divergent. Nun sei q. Dann ist die Folge (s n ) n N nach 4.Satz 6.(a,b) genau dann konvergent wenn die Folge (q n+ ) n N konvergent ist und wie wir in einem Beispiel in 4. gesehen haben ist dies genau dann der Fall wenn q < gilt. Ist q <, so ist nach dem erwähnten Beispiel und 4.Satz 6.(a,b) auch q n = lim q n+ q = lim q n+ q = q. Wir wollen kurz einige konkrete Beispiele geometrischer Reihen durchgehen.. Die Reihe 2 n =
13 können wir auch als 2 = ( ) n n 2 schreiben, sie ist also eine geometrische Reihe mit q = /2. Nach dem eben bewiesenen Satz ist sie somit konvergent mit der Summe 2 n = 2 2. Wir berechnen die Zahl 0,. Nach der Definition der Dezimalschreibweise, die wir zwar streng genommen in dieser Vorlesung nie definiert haben aber trotzdem benutzen wollen, ist 0, = = = 2. ( ) In der Klammer steht im wesentlichen eine geometrische Reihe mit q = /0, und der Satz über die geometrische Reihe ergibt ( ) ( n ( ) n ( ) 0, = = ) = 0 0 = =. 0 n=. Ganz entsprechend können wir das einleitende Beispiel dieses Kapitels behandeln, es ist in den dort verwendeten Bezeichnungen ( ) n 0 2 m v m v m v m v + = m v 00 ( = 00 n= ) m v = m v. 4. Als viertes und letztes Beispiel behandeln wir die Reihe ( ) n 2 n = Dies ist eine geometrische Reihe mit q = /2, also ergibt sich ( ) n 2 n = ( 2) n = ( 2 ) = 2. -
6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen
Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 $Id: folgen.tex,v. 200/2/06 :2:5 hk Exp $ $Id: reihen.tex,v. 200/2/0 4:4:40 hk Exp hk $ 6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 6. Cauchyfolgen Wir kommen nun
Mehr6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen
$Id: folgen.tex,v.7 200//29 :58:57 hk Exp hk $ 6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 6. Folgenkonvergenz In der letzten Sitzung hatten wir den Begriff der Konvergenz einer reellen oder komplexen Folge gegen
Mehr$Id: reihen.tex,v /06/12 10:59:50 hk Exp $ unendliche Summe. a 1 + a 2 + a 3 +.
Mathematik für Informatiker B, SS 202 Dienstag 2.6 $Id: reihen.tex,v.8 202/06/2 0:59:50 hk Exp $ 7 Reihen Eine Reihe ist eine unendliche Summe a + a 2 + a 3 +. Die Summanden a i können dabei reell oder
Mehr$Id: folgen.tex,v /05/31 12:40:06 hk Exp $ an 1 2 n 1 ist gerade, 3a n 1 + 1, a n 1 ist ungerade.
$Id: folgen.tex,v. 202/05/3 2:40:06 hk Exp $ 6 Folgen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir Folgen in einer Menge X als Abbildungen a : N X definiert, die dann typischerweise in der Form (a n ) n N, also
Mehr4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen
$Id: folgen.tex,v.2 203//29 2:06:38 hk Exp hk $ 4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 4. Folgenkonvergenz In der letzten Sitzung hatten wir den Begriff der Folgenkonvergenz und die Grenzwerte von Folgen eingeführt.
MehrKapitel 4 Folgen und Reihen
Kapitel 4 Folgen und Reihen Inhalt 4.1 4.1 Konvergenzkriterien für für Folgen 4.2 4.2 Reihen 4.3 4.3 Achilles und und die die Schildkröte Seite 2 4.1 Konvergenzkriterien für Folgen Wiederholung (vgl. (vgl.
MehrKapitel V. Folgen und Konvergenz. V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen
Kapitel V Folgen und Konvergenz V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen Wir erinnern an den Begriff der Folge, den wir schon im Kapitel III verwenden. Eine Folge (a n ) n=1 AN in A ist eine Abbildung a ( ) : N
Mehr,...) ist eine Folge, deren Glieder der Null beliebig nahe kommen. (iii) Die Folge a n = ( 1) n + 1 n oder (a n) = (0, 3 2, 2 3, 5 4, 4 5
3 Folgen 3.1 Definition und Beispiele Eine Abbildung a : Æ Ê heißt (reelle) Zahlenfolge. Statt a(n) schreiben wir kürzer a n und bezeichnen die ganze Folge mit (a n ) n Æ oder einfach (a n ), was aber
Mehr= (n 2 ) 1 (Kurzschreibweise: a n = n 2 ) ergibt die Zahlenfolge 1, 4, 9, 16, 25, 36,.
2 Folgen, Reihen, Grenzwerte 2.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet sind (n N; auch
MehrFerienkurs Analysis 1, SoSe Unendliche Reihen. Florian Beye August 15, 2008
Ferienkurs Analysis 1, SoSe 2008 Unendliche Reihen Florian Beye August 15, 2008 1 Reihen und deren Konvergenz Definition 1.1. Eine reelle bzw. komplexe Reihe ist eine unendliche Summe über die Glieder
Mehr7 KONVERGENTE FOLGEN 35. inf M = Infimum von M. bezeichnet haben. Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt.
7 KONVERGENTE FOLGEN 35 und die größe untere Schranke mit bezeichnet haben. inf M = Infimum von M Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt der Limes superior der Folge, und lim
Mehr3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die
3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet sind ( n N, auch
MehrThema 3 Folgen, Grenzwerte
Thema 3 Folgen, Grenzwerte Definition Eine Folge von reellen Zahlen ist eine Abbildung von N in R d.h. jedem n N ist eine Zahl a n zugeordnet. Wir schreiben für eine solche Folge. Beispiele. (a n ) n N
MehrFolgen und Reihen. 1 Konvergenz
Folgen und Reihen Man betrachte viele Zahlen hintereinander geschrieben. Solche Folgen von Zahlen können durch nummeriert werden. Es entsteht eine Zuordnung der natürlichen Zahlen zu den Gliedern der Folge.
Mehr$Id: stetig.tex,v /06/26 15:40:18 hk Exp $
$Id: stetig.tex,v 1.11 2012/06/26 15:40:18 hk Exp $ 9 Stetigkeit 9.1 Eigenschaften stetiger Funktionen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir eine der Grundeigenschaften stetiger Funktionen nachgewiesen,
MehrKap. 10: Folgen und Reihen. Eine Funktion a : N Ñ R
Definition: Zahlenfolge Kap. 10: Folgen und Reihen 10.1 Definition: Zahlenfolge Eine Funktion a : N Ñ R poder Cq heißt reelle (oder komplexe) Zahlenfolge. Man nennt a n apnq das n-te Folgenglied und schreibt
MehrReihen. Kapitel 3. Reihen, Potenzreihen und elementare Funktionen. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543
Kapitel 3 Reihen, Potenzreihen und elementare Funktionen Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 160 / 543 Inhalt Inhalt 3 Reihen Absolute Konvergenz Potenzreihen Elementare Funktionen Anwendung:
Mehr9 Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen
9 Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen 9.2 Konvergenz von Reihen 9.5 Monotoniekriterium für Reihen 9.6 Konvergenzkriterium von Cauchy für Reihen 9.9 Rechenregeln für konvergente Reihen 9.10 Absolute
MehrFolgen und Reihen. Thomas Blasi
Folgen und Reihen Thomas Blasi 02.03.2009 Inhaltsverzeichnis Folgen und Grenzwerte 2. Definitionen und Bemerkungen............................. 2.2 Konvergenz und Beschränktheit.............................
MehrVorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Wintersemester 2015/16)
1 Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Wintersemester 2015/16) Kapitel 7: Konvergenz und Reihen Prof. Miles Simon Nach Folienvorlage von Prof. Dr. Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg.
MehrDem Anschein nach werden diese Zahlen kleiner und kleiner und streben gegen Null. Was sollen sie sonst auch tun? Aber der Begriff
47 5 Irrationales 5.1 Folgen, Konvergenz und Vollständigkeit Eine Abbildung a : N R definiert eine Folge von reellen Werten a 1 = a(1), a 2 = a(2), a 3 = a(3),... Solche Zahlenfolgen werden uns dazu dienen,
MehrWenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe. a 0 + a 1 + a 2 +
8 Reihen 38 8 Reihen Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe a 0 + a + a 2 + zu bilden. Wir wollen nun erklären, was wir darunter verstehen wollen. Zunächst kann man die
Mehreine Folge in R, für die man auch hätte schreiben können, wenn wir alle richtig raten, was auf dem Pünktchen stehen sollte.
Analysis, Woche 5 Folgen und Konvergenz A 5. Cauchy-Folgen und Konvergenz Eine Folge in R ist eine Abbildung von N nach R und wird meistens dargestellt durch {x n } n=0, {x n} n N oder {x 0, x, x 2,...
MehrFolgen und Reihen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden
Folgen und Reihen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-0062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Folgen Eine (unendliche) (Zahlen)folge ist eine Abbildung f : N R. Statt f (n) schreibt man
MehrBeispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit. a n := n 2 + 5n + 1 n. Es gilt. (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n n, woraus folgt
Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit a n := n 2 + 5n + 1 n Es gilt ( ( ) (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n + 1 + n, woraus folgt a n = (n2 + 5n + 1) n 2 n2 + 5n + 1 + n = 5n + 1 n2
Mehr10 Aus der Analysis. Themen: Konvergenz von Zahlenfolgen Unendliche Reihen Stetigkeit Differenzierbarkeit
10 Aus der Analysis Themen: Konvergenz von Zahlenfolgen Unendliche Reihen Stetigkeit Differenzierbarkeit Zahlenfolgen Ein unendliche Folge reeller Zahlen heißt Zahlenfolge. Im Beispiel 2, 3, 2, 2 2, 2
Mehrn=1 a n mit reellen Zahlen a n einen
4 Unendliche Reihen 4. Definition und Beispiele Ein altes Problem der Analysis ist es, einer Reihe mit reellen Zahlen einen Wert zuzuordnen. Ein typisches Beispiel ist die unendliche Reihe + +..., die
Mehr2 Folgen und Reihen. 2.1 Folgen in C Konvergenz von Folgen. := f(n)
2 Folgen und Reihen 2.1 Folgen in C 2.1.1 Konvergenz von Folgen Eine Folge komplexer Zahlen ist eine Funktion f : N C. Mit a n schreibt man (a n ) n=1, (a n ) oder auch a 1, a 2,.... := f(n) (a n ) heißt
MehrKapitel 5 KONVERGENZ
Kapitel 5 KONVERGENZ Fassung vom 21. April 2002 Claude Portenier ANALYSIS 75 5.1 Metrische Räume 5.1 Metrische Räume DEFINITION 1 Sei X eine Menge. Eine Abbildung d : X X! R + heißt Metrik oder Distanz
MehrKapitel 3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen
Kapitel 3 Folgen und Reihen 3. Folgen 3.2 Cauchy Folgen 3.3 Unendliche Reihen 3.4 Absolut konvergente Reihen 3.5 Multiplikation von Reihen 3.6 Potenzreihen 3. Folgen In diesem gesamten Abschnitt bezeichnen
Mehrx k = s k=1 y k = y konvergent. Dann folgt (cx k ) = cx für c K. Partialsummenfolge konvergiert
4 Reihen Im Folgenden sei K R oder K C. 4. Definition. Es sei (x k ) Folge in K. Wir schreiben x k s und sagen, die Reihe x k konvergiere, falls die sogenannte Partialsummen-Folge s n x k n, 2,... in K
MehrDas Newton Verfahren.
Das Newton Verfahren. Ziel: Bestimme eine Nullstelle einer differenzierbaren Funktion f :[a, b] R. Verwende die Newton Iteration: x n+1 := x n f x n) f x n ) für f x n ) 0 mit Startwert x 0. Das Verfahren
MehrVorlesung: Analysis I für Ingenieure
Vorlesung: Analysis I für Ingenieure Dozent: Dr. Michael Karow Thema: unendliche Reihen Definition. Eine unendliche Reihe ist der Grenzwert einer Folge von Summen: a k = lim k a k, wobei a k C. Falls der
MehrKapitel 4. Folgen Körper der reellen Zahlen. Wir kennen schon den Körper Q der rationalen Zahlen: : a, b Z, b 0}. Q = { a b
Kapitel 4. Folgen 4.1. Körper der reellen Zahlen Wir kennen schon den Körper Q der rationalen Zahlen: Q = { a b : a, b Z, b 0}. Die natürliche Ordnung auf Q ist eine totale Ordnung. Überdies gilt folgendes
MehrSpickzettel Mathe C1
Spickzettel Mathe C1 1 Mengenlehre 1.1 Potenzmenge Die Potenzmenge P (Ω) einer Menge Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω. Dabei gilt: P (Ω) := {A A Ω} card P (Ω) = 2 card Ω P (Ω) 1.2 Mengenalgebra Eine
Mehr11. Folgen und Reihen.
- Funktionen Folgen und Reihen Folgen Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a: N R Statt a(n) für n N schreibt man meist a n ; es handelt sich also bei einer Folge um die Angabe der Zahlen a, a
MehrZusammenfassung zur Konvergenz von Folgen
Zusammenfassung zur Konvergenz von Folgen. Definition des Konvergenzbegriffs Eine Folge reeller Zahlen a n n heißt konvergent gegen a in Zeichen a n = a, falls gilt > 0 n 0 n n 0 : an a < Hinweise: Bei
MehrFolgen und Reihen. Folgen. Inhalt. Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis. Folgen und Reihen. Reelle Funktionen. Vorlesung im Wintersemester 2014
Inhalt Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis Vorlesung im Wintersemester 2014 Kurt Frischmuth Institut für Mathematik, Universität Rostock Rostock, Oktober 2014... Folgen und Reihen Reelle Funktionen
MehrKonvergenz von Folgen
6 Konvergenz von Folgen Definition 6.1 Eine Folge in C (oder R) ist eine Abbildung f : N C (oder R). Schreibweise: (a n ) n N, (a n ), a 1, a 2... wobei a n = f(n). Beispiele: 1) (1 + 2 n ) n N, 3 2, 5
MehrFolgen und Reihen. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel. Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Folgen und Reihen Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen, Band, 7. Auflage,
MehrFolgen und Reihen. Katharina Brazda 9. März 2007
Katharina Brazda 9. März 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Folgen 2 1.1 Definition von Folgen - explizite und rekursive Darstellung.............. 2 1.2 Wachstumsverhalten von Folgen - Monotonie und Beschränktheit..........
MehrKapitel 4. Reihen 4.1. Definition und Beispiele
Kapitel 4. Reihen 4.1. Definition und Beispiele Ist (a n ) eine Folge von Zahlen, so heißt der formale Ausdruck a ν = a 0 + a 1 + a 2 +... eine Reihe; die einzelnen a ν sind die Glieder dieser Reihe. Um
MehrKAPITEL 2. Folgen und Reihen
KAPITEL 2 Folgen und Reihen 1. Konvergenz und Divergenz Definition 2.1 (Folgen). Eine Abbildung a : N R (bzw. a : N 0 R) nennt man Folge. Statt a : N R schreibt man meist (a n ) n N und a n statt a(n).
Mehr4 Reihen. s n = a 1 + a 2 + + a n = Die Folge (s n ) n N der Partialsummen heißt eine (unendliche) Reihe und wird auch als a k. k=1. )n N geschrieben.
4 Reihen Aus Folgen lassen sich durch Aufaddieren weitere Folgen konstruieren. Das sind die sogenannten Reihen, sie spielen in der Finanzmathematik eine wichtige Rolle. Sei (a k ) k N eine Folge. Wir definieren
MehrKonvergenz einer Folge. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Konvergenz einer Folge 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Konvergenz einer Folge: Inhalt Drei Verhaltensmuster von Folgen. Beispiele 1 ) = 1 n, = n n +1, 2 ) = ( 1)n n +1 n und ihre graphischen Darstellungen.,
Mehr1 Reihen von Zahlen. Inhalt:
5 Kapitel 3 Reihen Reihen von Zahlen Inhalt: Konvergenz und Divergenz von Reihen reeller oder komplexer Zahlen, geometrische Reihe, harmonische Reihe, alternierende Reihen. Cauchy-Kriterium, absolute Konvergenz,
MehrFerienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15. 1 Aussage, Mengen, Induktion, Quantoren
Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15 Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis
MehrFolgen und Reihen. Beschränkte Folge: Es gibt eine Zahl c = const.
Folgen und Reihen Folgen: Def.: Eine Abbildung a N K, n a(n) := a n (K = R C) wird Zahlenfolge genannt. Sie heißt reelle (komplexe) Zahlenfolge, falls K = R(C) ist. Symbole: a n K: Elemente der Folge,
MehrHumboldt-Universität zu Berlin Institut für Mathematik Prof. A. Griewank Ph.D.; Dr. A. Hoffkamp; Dipl.Math. T.Bosse; Dipl.Math. L. Jansen,T.
Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Mathematik Prof. A. Griewank Ph.D.; Dr. A. Hoffkamp; Dipl.Math. T.Bosse; Dipl.Math. L. Jansen,T. Streubel Lösungsalternativen für die Übungsaufgaben zur Vorlesung
MehrMathematik I. Vorlesung 24. Reihen
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 24 Reihen Wir betrachten Reihen von komplexen Zahlen. Definition 24.1. Sei ( ) k N eine Folge von komplexen Zahlen. Unter der Reihe versteht
MehrLösungen. 1. Klausur zur MIA: Analysis I für Mathematiker
MATHEMATISCHES INSTITUT WS 006/07 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. M. Schottenloher Dr. S. Tappe Version 5.. Lösungen zur. Klausur zur MIA: Analysis I für Mathematiker vom 6..06 Aufgabe. ( + Punkte) a)
MehrCauchy-Folgen und Kompaktheit. 1 Cauchy-Folgen und Beschränktheit
Vortrag zum Seminar zur Analysis, 10.05.2010 Michael Engeländer, Jonathan Fell Dieser Vortrag stellt als erstes einige Sätze zu Cauchy-Folgen auf allgemeinen metrischen Räumen vor. Speziell wird auch das
MehrMathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010
Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion 8 10. November 2009 Kapitel 2. Konvergenz von Folgen und Reihen Definition 27. Eine (reelle bzw. komplexe) Zahlenfolge ist eine R- bzw. C-wertige
MehrFolgen und Reihen. Zahlenfolgen , ,
97 Wegener Math/5_Reihen Mittwoch 04.04.2007 8:38:52 Folgen und Reihen Zahlenfolgen Eine Zahlenfolge a besteht aus Zahlen a,a 2,a 3,a 4,a 5,... Die einzelnen Zahlen einer Folge heißen Glieder oder Terme.
MehrAnalysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Ingenuin Gasser Department Mathematik Universität Hamburg Technische Universität Hamburg Harburg Wintersemester 2008/2009 3.2 Konvergenzkriterien
MehrEinführung in die Analysis
Ergänzungen zur Vorlesung Einführung in die Analysis Christian Schmeiser 1 Vorwort In dieser Vorlesung werden Grundbegriffe der Analysis wie Folgen und Reihen, Konvergenz und Vollständigkeit am Beispiel
MehrFolgen und Reihen. Inhaltsverzeichnis. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden)
Fragen und Antworten Folgen und Reihen (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) Inhaltsverzeichnis 1 Folgen und Reihen 2 1.1 Fragen............................................... 2 1.1.1 Folgen...........................................
Mehr2 - Konvergenz und Limes
Kapitel 2 - Folgen Reihen Seite 1 2 - Konvergenz Limes Definition 2.1 (Folgenkonvergenz) Eine Folge komplexer Zahlen heißt konvergent gegen, wenn es zu jeder positiven Zahl ein gibt, so dass gilt: Die
MehrFolgen und endliche Summen
Kapitel 2 Folgen und endliche Summen Folgen und ihre Eigenschaften Endliche arithmetische und geometrische Folgen und Reihen Vollständige Induktion Anwendungen Folgen/endliche Summen Eigenschaften Folgen
Mehr7. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
7. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung β-version) Aufgabe : Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der Folgen mit den Folgengliedern a) a n n n X + cosnπ), b) b n i) i j, und geben Sie
Mehr4 Reihen und Finanzmathematik
4 Reihen und Finanzmathematik 4. Reihen Aus Folgen lassen sich durch Aufaddieren weitere Folgen konstruieren. Das sind die sogenannten Reihen, sie spielen in der Finanzmathematik eine wichtige Rolle. Sei
MehrMathematik I. Vorlesung 7. Folgen in einem angeordneten Körper
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 009/010 Mathematik I Vorlesung 7 Folgen in einem angeordneten Körper Wir beginnen mit einem motivierenden Beispiel. Beispiel 7.1. Wir wollen die Quadratwurzel einer natürlichen
MehrKonstruktion der reellen Zahlen
Konstruktion der reellen Zahlen Zur Wiederholung: Eine Menge K (mit mindestens zwei Elementen) heißt Körper, wenn für beliebige Elemente x, y K eindeutig eine Summe x+y K und ein Produkt x y K definiert
MehrAnalysis I - Einige Lösungen und Ergänzungen
Christian-Albrechts-Universität zu Kiel Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät Mathematisches Seminar Analysis I - Einige Lösungen und Ergänzungen von Dipl.-Math. Joscha Prochno Dipl.-Math. Dennis
MehrKapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen
Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen 3.1. Normierte Vektorräume Definition: Sei V ein Vektorraum (oder linearer Raum) über (dem Körper) R. Eine Abbildung : V [0, ) heißt Norm auf V, falls die folgenden
MehrKombinatorik von Zahlenfolgen
6. April 2006 Vorlesung in der Orientierungswoche 1 Kombinatorik von Zahlenfolgen Einige Beispiele Jeder kennt die Fragen aus Intelligenztests, in denen man Zahlenfolgen fortsetzen soll. Zum Beispiel könnten
MehrKonstruktion reeller Zahlen aus rationalen Zahlen
Konstruktion reeller Zahlen aus rationalen Zahlen Wir nehmen an, daß der Körper der rationalen Zahlen bekannt ist. Genauer wollen wir annehmen: Gegeben ist eine Menge Q zusammen mit zwei Verknüpfungen
MehrLösungshinweise zu den Hausaufgaben:
P. Engel, T. Pfrommer S. Poppitz, Dr. I. Rybak 14. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik 1 Sommersemester 009 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe
MehrLösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I
Prof. Dr. H. Garcke, Dr. H. Farshbaf-Shaker, D. Depner WS 8/9 NWF I - Mathematik 9..9 Universität Regensburg Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I Frage 1 Vervollständigen Sie die folgenden
Mehrist streng monoton fallend.
Beispiel 3.5 Betrachte die Folgen aus Beispiel 3.1 Die Folgen a und d mit a n = n 2 und d n = 2 n sowie die Fibonacci-Folge sind streng monoton wachsend. Die Folge b mit b n = 1 n ist streng monoton fallend.
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 5: Konvergenz Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 15. Dezember 2011) Folgen Eine Folge x 0, x 1,
Mehr6 - Unendliche Reihen
Kapitel 2 Folgen und Reihen Seite 1 6 Unendliche Reihen Definition 6.1 (Unendliche Reihen) Sei eine Folge aus C. Unter der unendlichen Reihe mit den Gliedern versteht man das Symbol oder Die Zahl heißt
MehrTopologische Begriffe
Kapitel 3 Topologische Begriffe 3.1 Inneres, Rand und Abschluss von Mengen Definition (innerer Punkt und Inneres). Sei (V, ) ein normierter Raum über K, und sei M V eine Menge. Ein Vektor v M heißt innerer
MehrKonvergenz im quadratischen Mittel - Hilberträume
CONTENTS CONTENTS Konvergenz im quadratischen Mittel - Hilberträume Contents 1 Ziel 2 1.1 Satz........................................ 2 2 Endlich dimensionale Vektorräume 2 2.1 Defintion: Eigenschaften
Mehr11. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS 200/ 2.0.-28.0. Aufgabe G (Grenzwertberechnung)
MehrFolgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit
Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit Josef F. Bürgler Abt. Informatik HTA Luzern, FH Zentralschweiz HTA.MA+INF Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 1 / 33 Inhalt 1 Folgen
MehrFolgen und Reihen. Rainer Hauser. Februar 2011
Folgen und Reihen Rainer Hauser Februar 2011 1 Einleitung 1.1 Unendliche Prozesse und Approximationen Zählen ist ein unendlicher Prozess, der theoretisch von 1 über die Nachfolgerfunktion plus 1 jede natürlich
Mehr5 Teilmengen von R und von R n
5 Teilmengen von R und von R n Der R n ist eine mathematische Verallgemeinerung: R n = {x = (x 1,...,x n ) : x i R} = R }... {{ R }. n mal Für x R ist x der Abstand zum Nullpunkt. Die entsprechende Verallgemeinerung
MehrKapitel 5. Die trigonometrischen Funktionen Die komplexen Zahlen Folgen und Reihen in C
Kapitel 5. Die trigonometrischen Funktionen 5.1. Die komplexen Zahlen 5.. Folgen und Reihen in C 5.10. Definition. Eine Folge (c n n N komplexer Zahlen heißt konvergent gegen c C, falls zu jedem ε > 0
MehrVorkurs Mathematik. Vorlesung 5. Cauchy-Folgen
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2014/2015 Vorkurs Mathematik Vorlesung 5 Cauchy-Folgen Ein Problem des Konvergenzbegriffes ist, dass zur Formulierung der Grenzwert verwendet wird, den man unter Umständen
MehrFolgen. Kapitel 2. Folgen. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543
Kapitel 2 Folgen Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 89 / 543 Inhalt Inhalt 1 Folgen Definition kriterien in C, R d und C d Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 90 / 543 Definition
Mehr1 Modulare Arithmetik
$Id: modul.tex,v 1.10 2012/04/12 12:24:19 hk Exp $ 1 Modulare Arithmetik 1.2 Euklidischer Algorithmus Am Ende der letzten Sitzung hatten wir den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen a und b
Mehr8 Konvergenzkriterien und Häufungswerte von Folgen in R
8 Konvergenzkriterien und Häufungswerte von Folgen in R 8.1 Konvergenz monotoner Folgen 8.2 Die Zahl e 8.3 Existenz monotoner Teilfolgen 8.4 Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß 8.5 Konvergenzkriterium
MehrStetigkeit. Definitionen. Beispiele
Stetigkeit Definitionen Stetigkeit Sei f : D mit D eine Funktion. f heißt stetig in a D, falls für jede Folge x n in D (d.h. x n D für alle n ) mit lim x n a gilt: lim f x n f a. Die Funktion f : D heißt
MehrTopologische Grundbegriffe I. 1 Offene und Abgeschlossene Mengen
Topologische Grundbegriffe I Vortrag zum Proseminar Analysis, 26.04.2010 Nina Neidhardt und Simon Langer Im Folgenden soll gezeigt werden, dass topologische Konzepte, die uns schon für die Reellen Zahlen
Mehr3 Reihen. 3.1 Konvergenz und Divergenz. Die Eindeutigkeit nach Satz 13 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und (1) wegen. 1 a +log ba.
Die Eindeutigkeit nach Satz 3 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und () wegen Aussage (7) ergibt sich aus () und (6). 0 = log b = log b ( a a) = log b a +log ba. 3 Reihen 3. Konvergenz und Divergenz
Mehr20.4 Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen von Funktionen
20 Gleichmäßige Konvergenz für Folgen und Reihen von Funktionen 20.1 Folgen und Reihen von Funktionen 20.3 Die Supremumsnorm 20.4 Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen von Funktionen 20.7 Das Cauchy-Kriterium
MehrKompaktheit und Überdeckungen. 1 Überdeckungskompaktheit
Vortrag zum Proseminar zur Analysis, 17.05.2010 Min Ge, Niklas Fischer In diesem Vortrag werden die Eigenschaften von kompakten, metrischen Räumen vertieft. Unser Ziel ist es Techniken zu erlernen, um
MehrMathematik für Informatik 3
Mathematik für Informatik 3 - ANALYSIS - Folgen, Reihen und Funktionen - Funktionen mehrerer Veränderlicher - Extremwertaufgaben - Normen und Approximationen - STATISTIK - WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Literaturempfehlungen:
Mehr$Id: reell.tex,v /10/28 14:16:56 hk Exp hk $ Axiome genannt, bei den reellen Zahlen haben wir dann die
$Id: reell.tex,v 1.14 2013/10/28 14:16:56 hk Exp hk $ 1 Die reellen Zahlen Wir wollen diese Vorlesung mit den reellen Zahlen beginnen, diese sind die normalen Zahlen und man kann sie sich etwa als alle
MehrANALYSIS I FÜR TPH WS 2016/17 3. Übung Übersicht
ANALYSIS I FÜR TPH WS 206/7 3. Übung Übersicht Aufgaben zu Kapitel 5 und 6 Aufgabe : Untersuchung von Reihen mittels Konvergenzkriterien Aufgabe 2: Konvergenz und Berechnung von Reihen I Aufgabe 3: ( )
Mehr2 Reihen Einleitung Wichtige Sätze Arithmetische Reihen Geometrische Reihen Harmonische Reihe...
Folgen und Reihen Vorbereitungskurs Raach 013 Birgit Vera Schmidt 10. Mai 013 1 Folgen 1.1 Einleitung und Definition...................................... 1. Wichtige Folgen............................................
Mehr$Id: metrik.tex,v /05/29 15:07:05 hk Exp $ $Id: folgen.tex,v /05/29 13:21:44 hk Exp $
$Id: metrik.tex,v 1.11 2012/05/29 15:07:05 hk Exp $ $Id: folgen.tex,v 1.10 2012/05/29 13:21:44 hk Exp $ 5 Metrische Räume Am Ende der letzten Sitzung hatten wir eine Teilmenge U eines metrischen Raums
Mehr11 Logarithmus und allgemeine Potenzen
Logarithmus und allgemeine Potenzen Bevor wir uns mit den Eigenschaften von Umkehrfunktionen, und insbesondere mit der Umkehrfunktion der Eponentialfunktion ep : R R + beschäftigen, erinnern wir an den
MehrHöhere Mathematik für Physiker II
Universität Heidelberg Sommersemester 2013 Wiederholungsblatt Übungen zur Vorlesung Höhere Mathematik für Physiker II Prof Dr Anna Marciniak-Czochra Dipl Math Alexandra Köthe Fragen Machen Sie sich bei
Mehr4 Messbare Funktionen
4 Messbare Funktionen 4.1 Definitionen und Eigenschaften Definition 4.1. Seien X eine beliebige nichtleere Menge, M P(X) eine σ-algebra in X und µ ein Maß auf M. Das Paar (X, M) heißt messbarer Raum und
Mehr5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit
5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 5.1 Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen f(x 0 ) x 0 Graph einer stetigen Funktion. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 127 Häufungspunkt und Abschluss.
MehrFolgen und Grenzwerte
Wintersemester 2015/201 Folgen und Grenzwerte von Sven Grützmacher Dieser Vortrag wurde für den (von der Fachschaft organisierten) Vorkurs für die Studienanfänger an der Fakultät für Mathematik und Informatik
MehrKonvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe. 5-E Ma 2 Lubov Vassilevskaya
Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe 5-E Ma 2 Lubov Vassilevskaya Folgen und Reihen: Beispiele Unter dem Bildungsgesetz einer unendlichen Reihe n i= versteht man einen funktionalen Zusammenhang
MehrFolgen und Reihen. Christoph Laabs, n s k und ist Grenzwert dieser Reihe.
Folgen und Reihen Christoph Laabs, christoph.laabs@tu-dresden.de Grundlagen Eine Reihe ist darstellbar durch z. B. = a 0 + a + a 2 + a + a 4 +... Ausgesprochen wird das als Summe von von k bis Unendlich.
Mehr