Folgen. Kapitel 2. Folgen. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

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1 Kapitel 2 Folgen Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

2 Inhalt Inhalt 1 Folgen Definition kriterien in C, R d und C d Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

3 Definition Motivation Von Intelligenztests kennen wir die Aufgabe, eine Abfolge von Zahlen fortzusetzen: 1, 4, 9, 16, 25,... 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,... 1, 2, 3, 4, 5, 6,... 1, 5, 7, 17, 31, 65, , 2, 1 3, 1 4, 1 5,... Solch eine Regelmäßigkeit in der Abfolge der Zahlen drücken wir in der Mathematik durch eine Funktion aus. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

4 Definition Folge Definition 2.1 Es sei M eine Menge. Eine Folge oder Zahlenfolge in M ist eine Abbildung a : N! M n 7! a(n). Statt a(n) schreibenwiri.d.r.a n und für diese Abbildung (a n ) n2n, (a n ) n 1 oder auch nur (a n ). Das Element a n heißt n-tes Folgenglied der Folge (a n ). Für M = R sprechen wir von einer reellen Folge, für M = C von einer komplexen Folge. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

5 Definition Beispiele für Folgen Beispiel 2.2 Die Folgen von Folie 91: a n = n 2 b n = n-te Primzahl c n = ( 1) n+1 n d n = 2 n +( 1) n e n = ( 1)n+1. n Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

6 Definition Rekursiv definierte Folgen Folgen müssen nicht wie die vorangegangenen Beispiele explizit definiert sein, sondern können auch rekursiv definiert werden. Definition 2.3 (Fibonacci-Folge) Die Fibonacci-Folge (F n ) n F 0 = 0, F 1 = 1, 0 ist wie folgt definiert: F n = F n 1 + F n 2 für n 2. Typisches Problem bei der Analyse von Algorithmen: Ermittle eine explizite Formel für die Folgenglieder einer rekursiv definierten Folge. Für die Fibonacci-Folge leistet dies die Formel von Moivre-Binet. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

7 Definition Beispiel 2.4 Wie viele Parkettierungen f n mit Flächen der Größe 1 2bzw.2 1 gibt es für ein Feld der Größe n 2? 1 x 2 f1 = 1 2 x 2 f2 = 2 3 x 2 f3 = 3 4 x 2 f4 = 5 Allgemein: f n = f n 1 + f n 2, n 3. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

8 Definition Formel von Moivre-Binet Satz 2.5 Für die Fibonacci-Folge (F n ) gilt F n = p 1 1+ p! n p! n! 5. 2 Beweis. Mittels vollständiger Induktion, siehe Mathematische Grundlagen. Der Beweis für die Korrektheit einer expliziten Formel ist i.d.r. viel einfacher als die Herleitung solch einer expliziten Formel. Im Verlauf der Vorlesung lernen Sie auch erste Ansätze zur Herleitung solch expliziter Formeln. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

9 Grenzwert einer Folge Definition 2.6 Es sei (a n ) eine reelle Zahlenfolge. Eine Zahl a 2 R heißt Grenzwert der Folge (a n ), wenn zu jeder (noch so kleinen) reellen Zahl >0eineZahln 0 2 N existiert, so dass für alle natürlichen Zahlen n n 0 a n a < gilt. Im Folgenden bezeichne stets eine positive reelle Zahl und n eine natürliche Zahl. In Quantorenschreibweise lautet die Bedingung aus Definition 2.6: 8 >0 9n 0 2 N 8n n 0 : a n a < Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

10 Beispiele für Grenzwerte von Folgen Beispiel 2.7 Die Folge (a n ) n2n mit a n := 1 n hat den Grenzwert 0. Beweis: Sei >0 beliebig. Setze n 0 := d1+ 1 e. Damit folgt für alle n n 0 : 1 n 0 = 1 n apple 1 n 0 apple < 1 1 = 1 Die Folge (b n ) n2n mit b n := 1 n Wegen b n 1 = 1 hat den Grenzwert 1. 1 n verläuft der Beweis analog zur Folge (a n ). 1 = 1 n Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

11 Fortsetzung Beispiel. Die Folge (c n )mitc n := q n hat für alle 0 < q < 1 den Grenzwert 0. Dies folgt direkt aus Satz 1.21 (ii). Die Folge (d n )mitd n := np K hat für alle K 1 den Grenzwert 1. Beweis: Für x n := np K 1 ergibt die Bernoullische Ungleichung K =(1+x n ) n 1+nx n. Damit folgt x n < K n und es gilt np K 1 = xn < für alle n > n 0 := K. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

12 Negation der Grenzwertdefintion (1) Aus den mathematischen Grundlagen kennen Sie (strenge) prädikatenlogische Formeln der Form Die Formel 8x A(x) bzw. 9x A(x). 8x > 0:A(x) entspricht eigentlich nicht der strengen Syntax der Prädikatenlogik. Sie ist eine Kurzform für 8x (x > 0! A(x)). Wie lautet die Negation dieser Formel? Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

13 Negation der Grenzwertdefintion (2) Negation: (8x (x > 0! A(x))) 9x (x > 0! A(x)) 9x ( (x > 0) _ A(x)) 9x (x > 0 ^ A(x)) 9x > 0: A(x) Damit lautet die Charakterisierung für a ist nicht Grenzwert der Folge (a n ) : 9 >0 8n 0 2 N 9n n 0 : a n a Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

14 Definition 2.8 Die reelle Folge (a n )heißtkonvergent, wennsieeinengrenzwertbesitzt. Eine konvergente Folge mit Grenzwert 0 heißt Nullfolge. Wenn (a n ) nicht konvergent ist, dann heißt (a n ) divergent. In Quantorenschreibweise lautet konvergent 9a 2 R 8 >0 9n 0 2 N 8n n 0 : a n a < und dementsprechend divergent 8a 2 R 9 >0 8n 0 2 N 9n n 0 : a n a. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

15 Beispiele für divergente Folgen Beispiel 2.9 Die Folge (a n )mita n = q n ist für alle q > 1 divergent. Dies folgt direkt aus Satz 1.21 (i). Die Folge (b n )mitb n =( 1) n ist divergent. Beweis: Für jedes a /2 {1, 1} gilt mit = 1 2 min{ a 1, a + 1]} > 0, dass a n a für alle n 2 N. Also kommen nur 1 und 1alsGrenzwert in Frage. Sei a = 1. Wähle = 1. Sei n 0 2 N beliebig. Wähle n =2n Damit gilt a n a = ( 1) 2n = 1 1 =2> =1. Analog für a = 1: Wähle hier n =2n 0. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

16 Eindeutigkeit von Grenzwerten Satz 2.10 Es sei (a n ) eine konvergente Folge und a und a 0 seien Grenzwerte von (a n ). Dann gilt a = a 0. Damit ist der Grenzwert einer konvergenten Folge stets eindeutig bestimmt. Definition 2.11 Für den (eindeutigen) Grenzwert a einer Folge (a n )schreibenwir lim a n = a. n!1 Weitere geläufige Schreibweise: a n! a für n!1. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

17 Beweis. Folgen Es sei (a n ) eine konvergente Folge und sowohl a als auch a 0 sei ein Grenzwert von (a n ). Ann.: a 6= a 0.Dannist a a 0 > 0. Wir wählen 0 < < 1 2 a a0.dann existieren n 1 und n 2 mit 8n n 1 : a n a < 8n n 2 : a n a 0 <. Für n max{n 1, n 2 } =: n 0 folgt a a 0 = a a n + a n a 0 apple a a n + a n a 0 < 2 < a a 0 Widerspruch! Also gilt a = a 0. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

18 Beschränktheit Definition 2.12 Es sei (a n ) eine reelle Zahlenfolge. (i) (a n )heißtnach oben beschränkt, wenn es eine Konstante K 2 R gibt, so dass a n apple K für alle n 2 N gilt. (ii) (a n )heißtnach unten beschränkt, wenn es eine Konstante K 2 R gibt,so dass a n K für alle n 2 N gilt. (iii) (a n )heißtbeschränkt, wenn es eine Konstante K 2 R + gibt (also K > 0), so dass a n applek für alle n 2 N gilt. Eine beschränkte Folge ist stets sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt. Warum? Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

19 Beispiele für beschränkte Folgen Beispiel 2.13 Die Folgen (a n ), (b n ), (c n )mit a n := ( 1) n 1 1 b n := n wenn n keine Primzahl ist 0 sonst c n := ( 1) n (1 q n )mit0< q < 1 sind alle beschränkt und divergent. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

20 Konvergente Folgen sind beschränkt Satz 2.14 Jede konvergente reelle Zahlenfolge (a n ) ist beschränkt. Beweis. Es sei (a n ) eine konvergente Folge mit lim n!1 a n = a. N.V. existiert n 0 mit a n a < 1für alle n n 0. Es folgt für alle n n 0 : a n = a n a + a apple a n a + a apple 1+ a. Setze K := max{ a 1, a 2,..., a n0 für alle n 2 N. 1, 1+ a }. Damit gilt dann a n applek Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

21 Rechenregeln für Grenzwerte Satz 2.15 Es seien (a n ) und (b n ) konvergente Folgen in R mit lim n!1 a n = a und lim n!1 b n = b. Dann gilt: (i) Die Folge (a n ± b n ) ist konvergent mit Grenzwert a ± b. (ii) Die Folge ( a n ) für 2 R ist konvergent mit Grenzwert a. (iii) Die Folge (a n b n ) ist konvergent mit Grenzwert ab. (iv) Wenn a 6= 0ist, dann existiert ein n 0 2 N, sodassa n 6=0für alle n n 0 ist. Die Folge 1 ist dann konvergent mit Grenzwert 1 an n n a. 0 (v) Die Folge ( a n ) ist konvergent mit Grenzwert a. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

22 Beweis von (i). Es sei >0 beliebig. Weil die Folgen (a n )und(b n ) konvergent sind mit den Grenzwerten a und b gilt: 9n 1 2 N : a n a < 2 für alle n n 1 9n 2 2 N : b n b < 2 für alle n n 2 Wähle n 0 := max{n 1, n 2 }. Dann gilt für alle n n 0 : (a n + b n ) (a + b) = (a n a)+(b n b) apple a n a + b n b < =. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

23 Werkzeug für Grenzwertbeweise Lemma 2.16 Es sei (a n ) eine reelle Folge. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) (a n ) ist konvergent mit Grenzwert a. (ii) 9apple >0 8 >09n 0 2 N 8n n 0 : a n a <apple. Nach Satz 2.16 genügt es, a n a <apple für irgendein positives und von unabhängiges apple zu zeigen, um damit auf schließen zu können. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

24 Beweis. (i))(ii): Mit apple = 1 entspricht (ii) der Grenzwertdefinition. (ii))(i): Es sei >0 beliebig. Wähle 0 := apple.nach(ii)existierteinn 0,so dass für alle n n 0 gilt: a n a <apple 0. Also gilt für alle n n 0 : a n a < apple 0 = apple apple =. Mit Lemma 2.16 werden Grenzwertbeweise einfacher, weil wir nun nicht mehr umständlich ein n 0 konstruieren müssen, um damit a n a < für alle n n 0 zu zeigen. Wir werden Lemma 2.16 in vielen zukünftigen Beweisen nutzen. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

25 Beweis von Satz 2.15 (iii) Man beachte: Als konvergente Folge ist (b n )beschränkt, d.h. es existiert ein B > 0mit b n appleb für alle n 2 N. Es sei >0 beliebig. Da (a n )und(b n ) konvergent sind, existieren n 1 und n 2 mit a n a < bzw. b n b < für alle n n 1 bzw. n n 2.Damit folgt: a n b n ab = a n b n ab n + ab n ab apple a n b n ab n + ab n ab = b n (a n a) + a(b n b) = b n a n a + a b n b < B + a für n n 0 := max{n 1, n 2 } = (B + a ). Mit Lemma 2.16 folgt, dass ab Grenzwert der Folge (a n b n )ist. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

26 Beweis von Satz 2.15 (ii), (iv), (v) Übungsaufgabe. Folgerung 2.17 Es sei (a n ) eine konvergente Folge mit Grenzwert a. Beweis. Für alle k 2 N 0 ist die Folge an k konvergent mit Grenzwert a k. 1 Für alle k 2 N ist die Folge eine Nullfolge. n k Übungsaufgabe. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

27 Anwendung der Grenzwertregeln Beispiel 2.18 Wir betrachten die Folgen (a n ), (b n ), (c n )und(d n )mit Tafel.. a n = 1 n + 3 n 2 b n = ( n ) c n = d n = 2n 2 3 n 2 + n +1 5n +1 4n n 3 Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

28 Bestimmte Divergenz Definition 2.19 Es sei (a n ) eine Folge in R. Wir sagen, dass (a n ) bestimmt gegen +1 divergiert (in Zeichen: lim a n =+1), wenn es zu jeder Konstanten M > 0einn 0 gibt, so dass n!1 a n > M für alle n n 0 ist. Wir nennen (a n ) bestimmt divergent gegen 1 (in Zeichen: lim a n = 1), wenn die Folge ( a n ) bestimmt gegen +1 divergiert. n!1 Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

29 Beispiele für bestimmte Divergenz Beispiel 2.20 Wir betrachten die Folgen (a n ), (b n ), (c n )und(d n )mit a n = 2 n b n = n 2 c n = ( 1) n n 2 d n = n +( 1) n (a n ), (b n ), (d n ) sind bestimmt divergent, (c n )nicht. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

30 Rechenregeln für bestimmte Divergenz Wir können Satz 2.15 auch für bestimmt divergente Folgen verwenden, wenn wir dabei die folgenden Regeln berücksichtigen: c ±1 = ±1 für c 2 R ±c 1 = ±1 für c > 0 ±c ( 1) = 1 für c > 0 c ±1 = 0 für c 2 R = = = = 1 ( 1) ( 1) = 1 Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

31 Unbestimmte Verknüpfungen bei bestimmter Divergenz Folgende Verknüpfungen mit 1 können wir nicht ohne weitere Untersuchung vereinfachen: 0 1, 1 1, 0 0, 1 1. Wenn wir auf einen dieser Ausdrücke stoßen, müssen wir die Folge so lange umformen, bis wir entscheiden können, ob sie konvergent oder divergent ist. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543