Tutorium: Analysis und lineare Algebra. Vorbereitung der zweiten Bonusklausur (Teil 1)

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1 Tutorium: Analysis und lineare Algebra Vorbereitung der zweiten Bonusklausur (Teil 1)

2 Steven Köhler mathe.stevenkoehler.de 2

3 Ungleichungen 3

4 Ungleichungen Aufgabe 1a a) Bestimme alle Werte x 2 R, die die folgende Ungleichung erfäullen: 5 2x : Gib die LÄosungsmenge L in Intervallschreibweise an. 4

5 Ungleichungen Aufgabe 1b b) Bestimme alle Werte x 2 R, die die folgende Ungleichung erfäullen: j2x +3j 3x : Gib die LÄosungsmenge L in Intervallschreibweise an. 5

6 Ungleichungen Aufgabe 1c c) Zum LÄosen einer Ungleichung mäussen häau g Fallunterscheidungen vorgenommen werden. Welche FÄalle mäussen fäur die folgende Ungleichung unterschieden werden? (Das LÄosen dieser Ungleichung ist nicht Teil der Aufgabe!) j4x 9j j x +3j x 2 x 6 > jx +8j 6

7 Ungleichungen Rechenregeln FÄur das Rechnen mit Ungleichungen gelten die folgenden Rechenregeln: a b a + b (Dreiecksungleichung) a b = a b a a = b b 7

8 Konvergenz 8

9 Konvergenz Definition der Konvergenz I Eine Folge (a n ) n2n reeller Zahlen konvergiert gegen eine reelle Zahl a, wennesfäur jede reelle Zahl ">0einn 0 2 N gibt, so dass ja n aj <"fäur alle n n 0 gilt. Eine Folge (a n ) n2n konvergiert uneigentlich (bzw. divergiert bestimmt) gegen 1, wenn es fäur jede reelle Zahl r > 0 ein n 0 2 N gibt, so dass a n >r(bzw. a n <r)fäur alle n n 0 gilt. 9

10 Konvergenz Definition der Konvergenz II Graphische Veranschaulichung: 10

11 Konvergenz Aufgabe 2 Die Folge (a n ) n2n sei de niert durch a n = 3n+1 4n. a) Bestimme den Grenzwert der Folge (a n )fäur n!1. b) ÄUberprÄufe mithilfe der De nition der Konvergenz, ob es sich bei dem in a) gefundenen Wert tatsäachlich um den Grenzwert der Folge (a n )handelt. 11

12 Konvergenz Aufgabe 3 Finde den Grenzwert der Folge (a n ) n2n mit a n = n2 4n 2 1 und zeige mithilfe der De nition der Konvergenz, dass es sich bei dem gefundenen Wert tatsäachlich um den Grenzwert handelt. 12

13 Konvergenz Cauchysches Konvergenzkriterium Eine Folge (a n ) n2n ist genau dann konvergent, wenn zu jedem ">0einn 0 2 N existiert, so dass ja n a m j " fäur alle n; m n 0 gilt. 13

14 Konvergenz Aufgabe 4 Zeige, dass fäur jede konvergente Folge (a n ) n2n das Cauchysche Konvergenzkriterium gilt. 14

15 Konvergenz Obere und untere Schranken Gegeben sei eine Folge (x n ) n2n. Die Menge M = x n j n 2 N ª sei die Menge aller Folgenglieder der Folge (x n ). Als obere Schranke der Menge M (und somit auch der Folge (x n )) bezeichnet man einen Wert k, fäur den x i k fäur alle x i 2 M gilt. Der kleinste Wert k, fäur den die genannte Eigenschaft gilt, wird Supremum genannt. Als untere Schranke der Menge M (und somit auch der Folge (x n )) bezeichnet man einen Wert `, fäur den x i ` fäur alle x i 2 M gilt. Der gräo¼te Wert `, fäur den die genannte Eigenschaft gilt, wird In mum genannt. 15

16 Konvergenz Aufgabe 5 Gegeben seien zwei Folgen (x n ) n2n und (y n ) n2n mit x n =1+ n +1 n μ y n = 1+ 1 n Bestimme, falls mäoglich, sowohl das In mum als auch das Supremum dieser Folgen. Falls diese Werte nicht existieren ist eine BegrÄundung hierfäur anzugeben. n 16

17 Konvergenz Satz über monotone, beschränkte Folgen Eine Folge (a n ) n2n hei¼t monoton steigend, falls a n+1 a n fäur alle n 2 N gilt. Entsprechend de niert man monoton fallend. Eine Folge hei¼t monoton, falls sie monoton steigend oder monoton fallend ist. Eine Folge (a n ) n2n hei¼t beschräankt, falls die Menge ihrer Folgenglieder beschräankt ist (d.h., falls die Menge M = a n : n 2 N ª beschräankt ist). Jede monotone und beschräankte Folge ist konvergent. 17

18 Konvergenz Aufgabe 6 Zeige mithilfe des Satzes Äuber monotone, beschräankte Folgen, dass die Folge (a n ) n2n konvergiert. a 1 = 2 ³ an a n+1 =

19 Grenzwerte 19

20 Grenzwerte Rechenregeln für Grenzwerte I Gegeben seien zwei reelle Folgen (a n ) n2n und (b n ) n2n sowie zwei reelle Zahlen a; b 2 R. Esgelte lim a n = a sowie lim b n = b. n!1 n!1 Es gilt lim an + b n = lim a n + lim b n = a + b n!1 n!1 n!1 an b n = lim lim n!1 lim n!1 a n lim b n = a b n!1 n!1 an b n = lim a n lim b n = a b n!1 n!1 sowie fäur b 6= 0 μ an lim n!1 b n = lim n!1 a n lim n!1 b n = a b 20

21 Grenzwerte Rechenregeln für Grenzwerte II FÄur Konstanten c 2 R gilt zudem lim c an = c lim a n = c a n!1 n!1 lim an + c h i = lim a n + c = a + c n!1 n!1 21

22 Grenzwerte Aufgabe 7 Bestimme die folgenden Grenzwerte: μ 9n 4 + n 2 6n +9 (i) lim n!1 4n 4 3n 3 27 μ 5n 3 12n 2 +6 (ii) lim n!1 n 4 +3n +99 Ãp! n6 +3n 2 2+4n (iii) (iv) (v) lim n!1 4n 2 +7n 28 μ 5n 2 + n 2 lim n!1 2n 2 2 μ 3n 2 +5n 8 lim n!1 6n +1 18n2 +8n +9 4n n2 +3n 4 4n 7 22

23 Grenzwerte Grenzwerte und stetige Funktionen Sei f : R! R eine stetige Funktion und (x n ) n2n eine reelle Folge mit lim n!1 x n = x 0. Dann gilt lim n!1 f(x n)=f ³ lim x n n!1 = f(x 0 ): 23

24 Grenzwerte Aufgabe 8 Berechne die folgenden Grenzwerte. Gib an, an welchen Stellen die Stetigkeit der beteiligten Funktionen verwendet wird. μ μ ¼n 3 +7n 2 (i) lim sin n!1 4n 3 + n 2 1 (ii) lim n!1 r 16n 2 n 5 9n 2 +2n +6 24

25 Grenzwerte Funktionsgrenzwerte Sei f : R! R eine reelle Funktion. Betrachtet man den Grenzwert lim f(x n ), also den Grenzwert des Funktionswerts x n!x 0 fäur x n! x 0, so spricht man von einem Funktionsgrenzwert. Der Funktionsgrenzwert lim f(x n ) an der Stelle x 0 existiert x n!x 0 genau dann, wenn fäur alle Folgen (x n ) n2n mit lim x n = x 0 n!1 derselbe Grenzwert herauskommt. 25

26 Grenzwerte Aufgabe 9 Bestimme die folgenden Grenzwerte: μ 2x 2 +3x 2 (i) lim x!1 x +2 μ 2x 2 +3x 2 (ii) lim x! 2 x +2 26

27 Stetigkeit 27

28 Stetigkeit Definition der Stetigkeit I Es sei f eine reelle Funktion und x 0 2 D(f). f hei¼t stetig an der Stelle x 0,wennfÄur jede Folge (x n ) n2n mit x n 2 D(f) und lim n!1 x n = x 0 gilt: lim n!1 f(x n)=f(x 0 ) Die Funktion f hei¼t stetig auf X (fäur X μ D(f)), falls f stetig an jeder Stelle x 0 2 X ist. 28

29 Stetigkeit Definition der Stetigkeit II Beispiel einer unstetigen Funktion: 29

30 Stetigkeit Definition der Stetigkeit III FÄur jede stetige Funktion muss fäur alle x 0 2 D(f) insbesondere diefolgendeeigenschaftgelten: ³ ³ lim x n!x 0 f(x n ) = f(x 0 )= lim x n!x + 0 f(x n ) : 30

31 Stetigkeit Aufgabe 10 Die Funktion f :[0; 11]! R sei gegeben durch 8 >< x 2 +2,fÄur 0 x<2; f(x) = 1 2x +7,fÄur 2 x<5; >: x 1, fäur 5 x 11: An welchen Stellen ist f stetig, an welchen Stellen ist f unstetig? BegrÄunde deine Antwort. 31

32 Stetigkeit Aufgabe 11 Die Funktionen f : R! R und g : R! R seien wie folgt de niert: 8 μ < 5 cos px,fäur x 6= 0; f(x) = : 0, fäur x =0; 8 μ < 5 x 2 cos px,fäur x 6= 0; und g(x) = : 0, fäur x =0: An welchen Stellen ist f stetig, an welchen Stellen ist f unstetig? Analog fäur g. BegrÄunde deine Antworten. 32

33 Stetigkeit Definition der Stetigkeit IV Die NacheinanderausfÄuhrung/VerknÄupfung zweier stetiger Funktionen ergibt wieder eine stetige Funktion. Die NacheinanderausfÄuhrung/VerknÄupfung zweier unstetiger Funktionen ergibt nicht zwangsweise wieder eine unstetige Funktion. 33

34 Stetigkeit ε,δ-definition der Stetigkeit Es sei f eine reelle Funktion und x 0 2 D(f). f hei¼t stetig an der Stelle x 0,wennesfÄur jedes ">0ein±>0 gibt, so dass f(x) f(x 0 ) <" fäur alle x 2 D(f) gilt,diejx x 0 j <±erfäullen. 34

35 Stetigkeit Aufgabe 12 Zeige mithilfe der "; ±-De nition der Stetigkeit, dass es keine reelle Zahl a gibt, so dass die Funktion f : R! R mit f(x) = ( 1 x fäur x 6= 0 a sonst an der Stelle x 0 =0stetigist. 35

36 Stetigkeit Aufgabe 13 Zeige mithilfe der "; ±-De nition der Stetigkeit, dass die Funktion f(x) =x 2 + x 2anderStellex 0 =2fÄur den Spezialfall " =1 stetig ist, indem du ein geeignetes ± angibst. 36

37 Stetigkeit Aufgabe 14 Beweise mithilfe der "; ±-De nition der Stetigkeit, dass die Funktion f(x) =x 2 + x 2fÄur x 0 > 0stetigist. 37

38 Differenzierbarkeit 38

39 Differenzierbarkeit Differenzenquotient Der Di erenzenquotient ist de niert als f(x) x = f(x) f(x 0) x x 0. 39

40 Differenzierbarkeit Definition der Differenzierbarkeit I DiereelleFunktionf hei¼t di erenzierbar an der Stelle x 0 2 D(f), wenn der Grenzwert μ f(xn ) f(x 0 ) lim x n!x 0 x n x 0 existiert. Wir bezeichnen diesen Grenzwert mit f 0 (x 0 ) und nennen ihn Ableitung von f an der Stelle x 0. f hei¼t di erenzierbar auf X μ D(f), wenn f an jeder Stelle x 0 2 X di erenzierbar ist Zu f läasst sich eine Funktion f 0 mit D(f 0 ) = x 0 2 D(f) : f 0 (x 0 )exisitiert ª de nieren, indem man jedem x 0 den Wert f 0 (x 0 ) zuordnet. Die Funktion f 0 nennt man die Ableitung von f. 40

41 Differenzierbarkeit Definition der Differenzierbarkeit II Oftmals wird auch folgende De nition der Di erenzierbarkeit verwendet: Die reelle Funktion f hei¼t di erenzierbar an der Stelle x 0 2 D(f), wenn der Grenzwert μ μ f(x0 + h) f(x 0 ) f(x0 + h) f(x 0 ) lim =lim h!0 (x 0 + h) x 0 h!0 h existiert. Wir bezeichnen diesen Grenzwert mit f 0 (x 0 ) und nennen ihn Ableitung von f an der Stelle x 0. 41

42 Differenzierbarkeit Stetigkeit und Differenzierbarkeit I Jede di erenzierbare Funktion ist stetig. Im Gegenzug ist aber nicht jede stetige Funktion auch differenzierbar. 42

43 Differenzierbarkeit Stetigkeit und Differenzierbarkeit II Betragsfunktion: f(x) =jxj Sei x n = 1 n.dannist lim n!1 μ f(xn ) f(x 0 ) x n x 0 = lim n!1! Ã 0+ n n 0 μ 1 n = lim n!1 1 n =1: Sei x n = 1 n.dannist lim n!1 μ f(xn ) f(x 0 ) x n x 0 = lim n!1! Ã n 0 1 n 0 μ 1 n = lim n!1 1 n = 1: Es existiert also fäur x 0 = 0 kein Grenzwert. Somit ist f in x 0 nicht di erenzierbar, obwohl es an dieser Stelle stetig ist. 43

44 Differenzierbarkeit Aufgabe 15 Entscheide, ob die folgende Funktion f : R! R an der Stelle x 0 = 12 5 di erenzierbar ist: f(x) = 5x

45 Differenzierbarkeit Stetige Differenzierbarkeit I Eine Funktion f hei¼t stetig di erenzierbar, wenn ihre Ableitung f 0 fäur alle x 2 D(f) stetigist. 45

46 Differenzierbarkeit Stetige Differenzierbarkeit II f(x) = x 2 1 cos ;x6= 0 x 0 ;x=0 Ist in jedem Punkt inkl. x 0 =0stetig. f 0 (x) = 1 2x cos x +sin 1 ;x6= 0 x 0 ;x=0 Ist in jedem Punkt au¼er x 0 =0stetig. 46

47 Differenzierbarkeit Aufgabe 16 Zeige mithilfe der De nition der Di erenzierbarkeit, dass es sich bei der Funktion f 0 (x) =4x 5 um die Ableitung der Funktion f(x) =2x 2 5x +7handelt. 47