Anwendungen der Differentialrechnung

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1 KAPITEL 5 Anwendungen der Differentialrechnung 5.1 Maxima und Minima einer Funktion Mittelwertsatz Kurvendiskussion Totales Differential und Fehlerrechnung Lernziele 5 lokale/globale Maximum bzw. Minimum, Maximal- bzw. Minimalstelle, Extremum, stationäre Punkte, notwenige und hinreichende Bedingungen für Extrema, Kandidaten für lokale Extrema in abgeschlossenen Intervallen, Wendepunkte, Krümmungsverhalten, Begriffe: konkav, konvex (von unten), Kurvendiskussion, totales Differential, Fehler- und Näherungsrechnung. 79

2 5 Anwendungen der Differentialrechnung 5.1 Maxima und Minima einer Funktion Definition 5.1 Es sei f : R D R eine auf D erklärte Funktion. Die Funktion f hat in a D eine globales oder auch absolutes Maximum (bzw. Minimum) wenn f (x) f (a) (bzw. f (x) f (a)) für alle x D gilt. In diesem Fall heißt a globale Maximalstelle (bzw. Minimalstelle) und f (a) globales Maximum (bzw. Minimum). b D heißt lokales oder auch relatives Maximum (bzw. Minimum), wenn es ein (evtl. kleines) Intervall I um b gibt, so dass f (x) f (b) (bzw. f (x) f (b)) für alle x D I. Minima und Maxima sind Extrema. Lemma 5.1 x 0 ist Minimalstelle von f x 0 ist Maximalstelle von f. Satz 5.2 Ist f eine auf dem offenen Intervall I differenzierbare Funktion, so gilt: Ist x 0 I eine Extremstelle von f, dann ist f (x 0 ) = 0. Ein Punkt x D mit f (x) = 0 heißt stationärer Punkt. 80

3 5.1 Maxima und Minima einer Funktion Beweis: Es sei x 0 eine Maximalstelle in (x 0 ɛ, x 0 + ɛ), ɛ > 0. D.h. und damit Analog ergibt sich f (x) f (x 0 ) für alle x (x 0 ɛ, x 0 + ɛ) f (x) f (x 0 ) 0 für x 0 ɛ < x < x 0 gilt f f (x) (x 0 ) = lim 0. x x 0 x x 0 x f (x 0 ) = f (x) lim 0 und damit f (x 0 ) = 0.# x x 0 + x Die Bedingung f (x 0 ) = 0 ist zwar notwendig für ein Extremum, aber nicht hinreichend wie das Beispiel f (x) = x 3 in x = 0 zeigt. Der Satz gibt auch keine Ausskunft über Extremalstellen an den Intervallenden, an Spitzen oder anderen Stellen, in den f nicht differenzierbar ist. D.h. Bemerkung 5.3 Die Kandidaten für Extremalstellen von f : I R sind: 1. die Randpunkte des Intervalls I, 2. die Punkte, in denen f nicht differenzierbar ist, 3. die stationären Punkte aus dem Innern des Intervalls I. Beispiel 5.4 Es sei f (x) = sin x und I = [ 0, 5π ] 2 R. Um die Extrema und die Extremalstellen zu bestimmen, betrachten wir 1. Randpunkte: sin 0 = 0 und sin 5π 2 = In x = π und x = 2π ist die Funktion sin x nicht differenzierbar, da f (π+) = cos π = 1 aber f (π ) = cos π = 1. Analog für x = 2π. Es ist sin π = sin(2π) = In den Intervallen (0, π), (π, 2π) und (2π, 5π ) ist f (x) = sin x differenzierbar und es 2 gilt: { f (sin x) ( ) = cos x, für x (0, π) und 2π, 5π (x) = 2, ( sin x) = cos x, für x (π, 2π). Die stationären Stellen sind die Nullstellen der ersten Ableitung in den Intervallen: cos x = 0 für x = 2k + 1 π, k Z, 2 81

4 5 Anwendungen der Differentialrechnung davon liegen in den von uns betrachteten Intervallen: x = π 2 und x = 3π. Die dazugehörigen Funktionswerte sind sin 2 π 2 = sin 3π 2 = 1. Damit sind x = 0, π, 2π lokale und globale Minimalstellen mit dem Minimum 0 und x = π 2, 3π 2, 5π lokale und globale Maximalstellen mit dem Maximum 1. Wie man auch leicht an 2 dem Graphen der Funktion ablesen kann f (x) = sin(x) 5.2 Mittelwertsatz Die folgenden Beobachtungen bilden das Fundament für weiterführende Betrachtungen. Satz 5.5 (Mittelwertsatz) Ist die Funktion f auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig und auf dem offenen Intervall (a, b) diferenzierbar, dann gibt es (wenigstens) einen inneren Punkt x 0 (a, b) mit f f (b) f (a) (x 0 ) =. b a Beweis: Wir betrachten die Funktion (f (b) f (a)) F(x) = f (x) (x b). (b a) Sie ist im abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig und hat deshalb nach Satz?? wenigstens eine Extremalstelle x 0 wegen F(a) = F(b) = f (b) liegt diese in (a, b), somit gilt F (x 0 ) = 0 und das bedeutet: F (x 0 ) = f (f (b) f (a)) (x 0 ) = 0. # (b a) Bemerkung: Anschaulich bedeutet der Mittelwertsatz, dass für mindestens ein x 0 (a, b) die Kurventangente parallel zur Sehne AB ist. 82

5 5.2 Mittelwertsatz Satz 5.6 (Monotonieverhalten.) Für eine im Intervall I differenzierbare Funktion f gilt: 1. f (x) > 0 auf I f ist auf I echt monoton wachsend. 2. f (x) < 0 auf I f ist auf I echt monoton fallend. 3. f (x) 0 auf I f ist auf I monoton wachsend. 4. f (x) 0 auf I f ist auf I monoton fallend. 5. f (x) = 0 auf I f ist auf I konstant. Beweis: Wir beschränken uns auf die Aussagen für (1). Zu x 1 < x 2 I gibt es nach dem Mittelwertsatz 5.5 und der Voraussetzung ein x 0 mit x 1 < x 0 < x 2 mit f (x 2 ) f (x 1 ) x 2 x 1 = f (x 0 ) > 0. Folglich ist f (x 2 ) > f (x 1 ). Alle anderen Fälle lassen sich analog behandeln. # Folgerung: Für zwei auf einem Intervall I differenzierbare Funktionen f und g folgt: f (x) = g (x) für alle x I f (x) = g(x) + C für alle x I (5.1) mit einer Konstanten C R. (5.2) 83

6 5 Anwendungen der Differentialrechnung Satz 5.7 (1. Extremwert-Test) Es sei f eine auf dem offenen Intervall (a, b) differenzierbare Funktion f mit einem stationären Punkt x 0 (a, b). 1. Wenn f (x) an der Stelle x 0 von negativ nach positiv ändert, dann hat f in x 0 ein lokales Minimum. 2. Wenn f (x) an der Stelle x 0 von positiv nach negativ ändert, dann hat f in x 0 ein lokales Maximum. 3. Wenn f (x) auf beiden Seiten von x 0 negativ oder auf beiden Seiten von x 0 positiv ist, dann hat f in x 0 kein lokales Extremum. 84

7 5.3 Kurvendiskussion Satz 5.8 (2. Extremwert-Test) Ist f auf (a, b) zweimal stetig differenzierbar und x 0 (a, b) ein stationärer Punkt, dann gilt 1. f (x 0 ) < 0 f hat in x 0 ein lokales Maximum, 2. f (x 0 ) > 0 f hat in x 0 ein lokales Minimum. Beweisidee: Die erste Ableitung f ist in einer kleinen Umgebung von x 0 streng monoton wachsend bzw. fallend und hat in x 0 einen Vorzeichenwechsel. # 5.3 Kurvendiskussion Krümmungsverhalten Definition 5.9 Eine Funktion f heißt konkav auf einem Intervall I, wenn die Sekante durch zwei beliebige Punkte (x 0, f (x 0 )) und (x 1, f (x 1 )) im Bereich zwischen diesen Punkten auf oder unterhalb des Funktionsgraphen von f liegt: f ((1 t)x 0 + tx 1 ) (1 t)f (x 0 ) + tf (x 1 ) 0 t 1, x 0 < x 1, konvex auf einem Intervall I, wenn die Sekante durch zwei beliebige Punkte (x 0, f (x 0 )) und (x 1, f (x 1 )) im Bereich zwischen diesen Punkten auf oder oberhalb des Funktionsgraphen von f liegt: f ((1 t)x 0 + tx 1 ) (1 t)f (x 0 ) + tf (x 1 ) 0 t 1, x 0 < x 1, 85

8 5 Anwendungen der Differentialrechnung Satz 5.10 (Krümmung) Die Funktion f sei auf dem offenen Intervall I zweimal stetig differenzierbar. Dann gilt 1. f > 0 im Intervall I, so ist die Kurve y = f (x) konvex (Linkskrümmung). 2. f < 0 im Intervall I, so ist die Kurve y = f (x) konkav (Rechtskrümmung). Definition 5.11 Diejenigen Punkte, in denen y = f (x) von konvex (einer Linkskrümmung) nach konkav (in eine Rechtskrümmung) oder umgekehrt übergehen, heißen Wendepunkte. Bemerkung 5.12 Kandidaten für Wendepunkte von f : I R sind: 1. die Punkte aus I, in denen f nicht existiert; 2. die Punkte aus I, in denen f = 0 ist. Beispiele: f ' ' 0 f ' '=0 f ' ' 0 f ' ' 0 f ' ' 0 f ' ' 0 f ' ' 0 x 0 x 0 x 0 86

9 5.3 Kurvendiskussion Satz 5.13 (Wendepunkt-Test) f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) 0 f hat in x 0 einen Wendepunkt. Beweis: Nach dem 2. Extremwerttest (siehe Seite 85) ist in x 0 eine Extremalstelle der Ableitung, also ein Wendepunkt. # Kurvendiskussion eines Graphen Ziel einer Kurvendiskussion ist die Feststellung Verhaltens eines Graphen einer Funktion y = f (x). Im folgenden geben wir eine Liste der Punkte an, die bei einer Kurendiskussion untersucht werden können: 1. Definitions- und Wertebereich. Hier ist der maximale Definitionsbereich für die Funktion y = f (x) gemeint. Man achte insbesondere auf Stellen, wo die Funktion nicht definiert ist und untersuche diese dahingehend, ob die Funktionen stetig ergänzt werden kann (ob eine hebbare Unstetigkeit vorliegt). 2. Symmetrie. Ist die Funktion f (x) symmetrisch zur y-achse, d.h. gilt für alle x : f ( x) = f (x), so nennt man f eine gerade Funktion. Ist f (x) symmetrisch zum Ursprung, d.h. es gilt für alle x : f ( x) = f (x), so nennt man f eine ungerade Funktion. 3. Pole. Hat f (x) die Form f (x) = g(x) mit g(x) stetig und g(x (x x 0 ) k 0 ) 0, so besitzt f (x) für ungerade k einen Pol mit Vorzeichenwechsel, für gerade k eine Pol ohne Vorzeichenwechsel in x Verhalten im Unendlichen. Bestimmung der Grenzwerte lim x f (x) und lim x f (x), falls sie existieren. Untersuchung auf Asymptoten. Eine Gerade y = ax + b heißt Asymptote von f (x) für x ±, falls gilt (f (x) ax b) = 0. Dabei ist b = lim (f (x) ax) und a = f (x) lim x ± x. 5. Nullstellen. lim x ± x ± 6. Bestimmung der Extrema und Extremalstellen, Monotonieverhalten Man untersuche alle Kandidaten für Extrema. 7. Wendepunkte und Krümmungsverhalten. Man untersuche alle Kandidaten für Wendepunkte. 8. Skizze. 87

10 5 Anwendungen der Differentialrechnung Beispiel 5.14 Für die folgende Funktion sei eine Kurvendiskussion durchzuführen: y = f (x) = 2x 2 + 3x 4 x Definitionsbereich: R\{0}. Die Funktion kann für x = 0 nicht stetig ergänzt werden, da der Grenzwert 2x 2 + 3x 4 lim x 0 x 2 nicht existiert, da 2x 2 + 3x 4 lim x 0 x 2 = lim 2 + 3x 4 x 0 x 2 =. Den Wertebereich erhält man aus den späteren Resultaten zu (, f ( 8 3 ) 2.56). 2. Symmetrie: Die Funktion ist weder gerade noch ungerade. 3. Pole: x 0 = 0 ist eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. 4. Asymptoten: (und ) Die Asymptote ist also y = Nullstellen: x und x x 2 + 3x 4 lim x ± x 2 = 2, f (x) 2x 2 + 3x 4 lim = lim x ± x x ± x 3 = 0. f (x) = 0 2x 2 + 3x 4 = 0 x 1/2 = 3 4 ± = 1 4 ( 3 ± 41). 6. Extrema: 1. Randpunkte gibt es nicht zu untersuchen, da die gesamte reelle Achse betrachtet wird. 2. Die Funktion ist in x 0 = 0 weder definiert noch stetig, noch differenzierbar. 3. y = (4x + 3)x 2 2x(2x 2 + 3x 4) (x 2 ) 2 = 4x 3 + 3x 2 4x 3 6x 2 + 8x x 4 = 3x + 8 x 3 = 0 für x 3 = 8 3. Weiterhin ist y ( 8 3 ) = 3x 3 3x 2 ( 3x + 8) x 6 x= 8 3 = 6x 24 x 4 x= 8 3 = ( 8 3) 4 < 0 88

11 5.3 Kurvendiskussion Somit hat f (x) in x 3 = 8 3 ein lokales Maximum mit f (x 3) Monotonie: 8 < 0 : < x <, echt monoton fallend, y 3 (x) = > 0 : 0 < x < 8, echt monoton wachsend, 3 < 0 : < x < 0, echt monoton fallend. 7. Wendepunkte: Die Funktion ist in x 0 = 0 nicht definiert. Da aber rechts und links von x 0 = 0 die zweite Ableitung existiert und dasselbe Vorzeichen hat, ist x 0 = 0 kein Wendepunkt. Weiterhin ist y = 0 x = x 4 = 4 mit f (x 4 ) = 5 2 und es ist y (x 4 ) = 6x 4 4x 3 (6x 24) x 8 = 18x x 3 = 6 0 x=4 x=4 x 8 und deshalb ist x 4 = 4 ein Wendepunkt. Krümmungverhalten: > 0 : 4 < x <, konvex von unten, y (x) = < 0 : 0 < x < 4, konvex von oben, < 0 : < x < 0, konvex von oben. 8. Skizze 89

12 5 Anwendungen der Differentialrechnung Beispiel 5.15 Bestimmung der Asymptoten ax + b. Die Funktion f (x) = 2x 2 4x x + 1 hat die Asymptote g(x) = 2x 6 für x ±. Dies sieht man an der Polynomdivision: (2x 2 4x) : (x + 1) = 2x 6 + Alternativ kann man auch rechnen lim f (x) x = a : 6 x x 2 4x (x+1) lim x x 2x 2 4x = lim x x(x + 1) 2 4 x = lim x x = 2. Analog für x, folglich ist a = 2. Damit ergibt sich b aus ( ) 2x 2 4x 2x 2 4x 2x 2 2x 6x lim 2x = lim = lim x (x + 1) x x + 1 x x + 1 = lim 6 x x = 6. Analog für x. 90

13 5.3 Kurvendiskussion Extrema und Extremalstellen Begriff Definition Ableitungen Skizze lokales Maximum Es gibt ein Intervall notwendige Bedingung (stationärer Punkt): I = (x0 ɛ; x0 + ɛ) f (x0) = 0 lokales Maximum um x0 mit hinreichende Bedingung: f (x) > 0, x < x0 f (x) < 0, x > x0 f (x0) f (x) für alle x I. f (x) > 0 für x < x0, x I, Bemerkung: Falls die 1. Ableitung in x0 nicht existiert, kann man aus der Monotonie in der Umgebung von x0 trotzdem auf ein Maximum in x0 schließen. (f ist monoton wachsend) und f (x) < 0 für x > x0, x I, (f ist monoton fallend) Vorzeichenwechsel von + nach in der 1. Ableitung f (x0) =0 x0 bzw. f (x0) < 0 (bei f (x 0 ) = 0 kann ein lokales Maximum aber auch ein Wendepunkt vorliegen) lokales Minimum Es gibt ein Intervall notwendige Bedingung (stationärer Punkt): I = (x0 ɛ; x0 + ɛ) f (x0) = 0 lokales Minimum um x0 mit hinreichende Bedingung: f (x0) f (x) für alle x I. f (x) < 0 für x < x0, x I, f (x0) =0 Bemerkung: Falls die 1. Ableitung in x0 nicht existiert, kann man aus der Monotonie in der Umgebung von x0 trotzdem auf ein Minimum in x0 schließen. (f ist monoton fallend) und f (x) > 0 für x > x0, x I, (f ist monoton wachsend) Vorzeichenwechsel von nach + in der 1. Ableitung f (x) < 0, x < x0 f (x) > 0, x > x0 x0 bzw. f (x0) > 0 (bei f (x 0 ) = 0 kann ein lokales Minimum aber auch ein Wendepunkt vorliegen) 91

14 5 Anwendungen der Differentialrechnung Krümmung und Wendepunkte Begriff Definition Ableitungen Skizze konvex (von unten) Für beliebige x1; x2 I und t [0; 1] gilt Es gibt ein Intervall f (tx1 + (1 t)x2) tf (x1) + (1 t)f (x2) I = (x0 ɛ; x0 + ɛ) konvex (von unten) f(tx1 +(1 t)x2) tf(x1)+(1 t)f(x2) (Funktionswerte liegen unterhalb der Sekante) um x0 mit f (x) 0 für alle x I. x1 x2 konkav (von unten) Für beliebige x1; x2 I und t [0; 1] gilt Es gibt ein Intervall f (tx1 + (1 t)x2) tf (x1) + (1 t)f (x2) I = (x0 ɛ; x0 + ɛ) konkav (von unten) f(tx1 +(1 t)x2) tf(x1)+(1 t)f(x2) (Funktionswerte liegen oberhalb der Sekante) um x0 mit f (x) 0 für alle x I. x1 x2 Wendepunkte Punkte, die konkave von konvexen Bereichen (und umgekehrt) trennen. Bemerkung: Weder die 2. noch die 3. Ableitung müssen in x0 existieren, trotzdem ist x0 ein Wendepunkt, wenn sich die Krümmung ändert. und f (x0) = 0 f (x0) 0 f (x) > 0 f (x0) =0 x0 f (x) < 0 f (x) < 0 f (x) > 0 f (x0) =0 x0 92

15 5.3 Kurvendiskussion Übersicht zur Kurvendiskussion 1. maximaler Definitionsbereich 2. Symmetrie gerade Funktion f ( x) = f (x), ungerade Funktion f ( x) = f (x). 3. Nullstellen f (x 0 ) = Extremwerte: f einmal stetig differenzierbar a) notwendige Bedingung: f (x 0 ) = 0, x 0 ist ein stationärer Punkt von f. b) Vorzeichenwechsel von f (x) in x 0 von + nach - lokales Maximum. c) Vorzeichenwechsel von f (x) in x 0 von - nach + lokales Minimum d) f zweimal stetig differenzierbar. f (x 0 ) < 0 lokales Maximum. f (x 0 ) > 0 lokales Minimum. f (x 0 ) = 0 : keine Aussage. 5. Monotonieintervalle: f einmal stetig differenzierbar f (x) > 0 streng monoton wachsend. f (x) < 0 streng monoton fallend. 6. Krümmungsverhalten: f zweimal stetig differenzierbar f (x) > 0 konvex (von unten). f (x) < 0 konkav (von unten). 7. Wendepunkte: f zweimal stetig differenzierbar a) notwendige Bedingung: f (x 0 ) = 0. b) Vorzeichenwechsel von f (x) in x 0. c) f dreimal stetig differenzierbar. f (x 0 ) 0 Wendepunkt. f (x 0 ) = 0 : keine Aussage. 8. Verhalten im Unendlichen (lim x ± f (x)). 9. Polstellen und Asymptoten 10. Verhalten in Unstetigkeitsstellen, Punkten wo f nicht differenzierbar, nicht mehrfach differenzierbar. 11. Bei einem abgeschlossenen Intervall müssen die Randpunkte extra betrachtet werden (Max., Min.) 12. Wertetabelle und Skizze 93

16 5 Anwendungen der Differentialrechnung 5.4 Totales Differential und Fehlerrechnung Definition 5.16 Ist f : I R eine in x 0 differenzierbare Funktion, so heißt totales Differential von f an der Stelle x 0. dy = df (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Beispiel 5.17 Für die Funktion f (x) = x erhält man dy = dx = 1 (x x 0 ) = x. y dy=f'(x O )Δx=f'(x O )dx Δy=y-y O y 0 Δx=dx x 0 x Bemerkung 5.18 Der Zusammenhang zwischen Ableitung und Differential ist gegeben durch (Dies ist richtig an jeder Stelle x = x 0.) dy = df (x) = f (x)dx. Beispiel 5.19 Wegen y dy f (x 0 + h) f (x 0 ) f (x 0 )(x 0 + h x 0 ) = f (x 0 )h ergibt sich für f (x) = x nahe x 0 > 0 : f (x 0 + h) f (x 0 )h + f (x 0 ) x 0 + h x x 0 h. 94

17 5.4 Totales Differential und Fehlerrechnung Für x 0 = 1, 96 und h = 0, 04 erhält man 1 2 1, 4 + 0, 04 = 1, , 4 den auf 7 Stellen genauen Wert von 2 = 1, Beispiel 5.20 Fehlerrechnung: Die Kantenlänge eines Würfels ist 5m ± 0, 01m. Bestimmen Side den absoluten und den relativen Fehler bei der Berechnung des Würfelvolumens. V (x) = x 3. V dv = V (x 0 )(x 0 + h x 0 ) = 3x 2 0 h = 3 52 m 2 0, 01m = 0, 75m 3. V V 0, 75m3 5 3 m = 0, 006 = 0, 6%. 95