Extrema multivariater Funktionen
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- Guido Baumhauer
- vor 6 Jahren
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1 Extrema multivariater Funktionen Ist f (x ) ein Minimum (Maximum) einer stetig differenzierbaren skalaren Funktion f auf einer Umgebung U von x, so gilt grad f (x ) = (0,..., 0) t. Extrema multivariater Funktionen 1-1
2 Extrema multivariater Funktionen Ist f (x ) ein Minimum (Maximum) einer stetig differenzierbaren skalaren Funktion f auf einer Umgebung U von x, so gilt grad f (x ) = (0,..., 0) t. Eine hinreichende Bedingung ist, dass ebenfalls die zweiten partiellen Ableitungen in U stetig sind und alle Eigenwerte der Hesse-Matrix im kritischen Punkt x positiv (negativ) sind. Extrema multivariater Funktionen 1-2
3 Extrema multivariater Funktionen Ist f (x ) ein Minimum (Maximum) einer stetig differenzierbaren skalaren Funktion f auf einer Umgebung U von x, so gilt grad f (x ) = (0,..., 0) t. Eine hinreichende Bedingung ist, dass ebenfalls die zweiten partiellen Ableitungen in U stetig sind und alle Eigenwerte der Hesse-Matrix im kritischen Punkt x positiv (negativ) sind. Gibt es Eigenwerte mit verschiedenen Vorzeichen, so handelt es sich um einen Sattelpunkt, also kein lokales Extremum. Ist mindestens ein Eigenwert Null bei gleichen Vorzeichen der von Null verschiedenen Eigenwerte, so kann der Typ des kritischen Punktes x anhand der zweiten Ableitungen nicht klassifiziert werden. Extrema multivariater Funktionen 1-3
4 Lokale Minima (Maxima) können auch an Randpunkten des Definitionsbereichs D auftreten. In diesen Fall muss die Richtungsableitung v f (x ) für jede ins Innere von D zeigende Richtung 0 ( 0) sein. Extrema multivariater Funktionen 1-4
5 Lokale Minima (Maxima) können auch an Randpunkten des Definitionsbereichs D auftreten. In diesen Fall muss die Richtungsableitung v f (x ) für jede ins Innere von D zeigende Richtung 0 ( 0) sein. Eine globale Extremstelle einer skalaren Funktion f auf einer Menge D ist entweder ein kritischer Punkt (d.h. grad f = 0), ein Randpunkt, oder, falls f nicht überall stetig differenzierbar ist, eine Unstetigkeitsstelle einer partiellen Ableitung. Die globalen Minima und Maxima lassen sich also durch Vergleich der Funktionswerte an diesen Punkten ermitteln. Extrema multivariater Funktionen 1-5
6 Extrema multivariater Funktionen 1-6
7 Die Abbildung illustriert die verschiedenen Möglichkeiten. Dabei sind lokale Extrema durch Kreise und globale Extrema durch Punkte gekennzeichnet. Extrema multivariater Funktionen 1-7
8 Beweis: betrachte die n-variate Funktion f entlang von Geraden, d.h. für einen beliebigen Vektor v mit v = 1 die univariate Funktion g(t) = f (x + tv), t R Extrema multivariater Funktionen 2-1
9 Beweis: betrachte die n-variate Funktion f entlang von Geraden, d.h. für einen beliebigen Vektor v mit v = 1 die univariate Funktion g(t) = f (x + tv), t R Kettenregel = g (t) = g (t) = n k f (x + tv)v k = grad f (x + tv) t v k=1 n j=1 k=1 n j k f (x + tv)v j v k = v t H f (x + tv)v Extrema multivariater Funktionen 2-2
10 (i) Notwendige Bedingung für Extrema: Extrema multivariater Funktionen 2-3
11 (i) Notwendige Bedingung für Extrema: x lokale Extremstelle von f = t = 0 lokale Extremstelle von g und folglich 0 = g (0) = grad f (x )) t v = v f (x ) Extrema multivariater Funktionen 2-4
12 (i) Notwendige Bedingung für Extrema: x lokale Extremstelle von f = t = 0 lokale Extremstelle von g und folglich 0 = g (0) = grad f (x )) t v = v f (x ) Richtung v beliebig = grad f (x ) = (0,..., 0) t Extrema multivariater Funktionen 2-5
13 (i) Notwendige Bedingung für Extrema: x lokale Extremstelle von f = t = 0 lokale Extremstelle von g und folglich 0 = g (0) = grad f (x )) t v = v f (x ) Richtung v beliebig = grad f (x ) = (0,..., 0) t Für ein lokales Minimum x am Rand folgt aus g (0) 0 für jede ins Innere von D zeigende Richtung v, dass v f (x ) 0 Extrema multivariater Funktionen 2-6
14 (i) Notwendige Bedingung für Extrema: x lokale Extremstelle von f = t = 0 lokale Extremstelle von g und folglich 0 = g (0) = grad f (x )) t v = v f (x ) Richtung v beliebig = grad f (x ) = (0,..., 0) t Für ein lokales Minimum x am Rand folgt aus g (0) 0 für jede ins Innere von D zeigende Richtung v, dass v f (x ) 0 analoges Argument für ein lokales Maximum am Rand Extrema multivariater Funktionen 2-7
15 (ii) Hinreichende Bedingung: Extrema multivariater Funktionen 2-8
16 (ii) Hinreichende Bedingung: Eigenwerte von H f (x ) positiv H f (x ) positiv definit v t H f (x )v c > 0 Extrema multivariater Funktionen 2-9
17 (ii) Hinreichende Bedingung: Eigenwerte von H f (x ) positiv H f (x ) positiv definit v t H f (x )v c > 0 Stetigkeit = Die Ungleichung bleibt für H f (x) und x = x + tv in einer Umgebung U : t < δ erhalten mit der kleineren Konstanten c/2 an Stelle von c. Extrema multivariater Funktionen 2-10
18 (ii) Hinreichende Bedingung: Eigenwerte von H f (x ) positiv H f (x ) positiv definit v t H f (x )v c > 0 Stetigkeit = Die Ungleichung bleibt für H f (x) und x = x + tv in einer Umgebung U : t < δ erhalten mit der kleineren Konstanten c/2 an Stelle von c. Taylor-Approximation für x U = f (x) = g(t) = g(0) + g (0) t + 1 }{{} 2 g ( 0 s }{{} [0,δ) ) t 2 = f (x ) v t H f (x } + {{ sv } )v t 2 f (x ) + 1 c 2 t2 2 > f (x ) U Extrema multivariater Funktionen 2-11
19 (ii) Hinreichende Bedingung: Eigenwerte von H f (x ) positiv H f (x ) positiv definit v t H f (x )v c > 0 Stetigkeit = Die Ungleichung bleibt für H f (x) und x = x + tv in einer Umgebung U : t < δ erhalten mit der kleineren Konstanten c/2 an Stelle von c. Taylor-Approximation für x U = f (x) = g(t) = g(0) + g (0) t + 1 }{{} 2 g ( 0 s }{{} [0,δ) ) t 2 = f (x ) v t H f (x } + {{ sv } )v t 2 f (x ) + 1 c 2 t2 2 > f (x ) U = x lokale Minimalstelle von f in U Extrema multivariater Funktionen 2-12
20 (ii) Hinreichende Bedingung: Eigenwerte von H f (x ) positiv H f (x ) positiv definit v t H f (x )v c > 0 Stetigkeit = Die Ungleichung bleibt für H f (x) und x = x + tv in einer Umgebung U : t < δ erhalten mit der kleineren Konstanten c/2 an Stelle von c. Taylor-Approximation für x U = f (x) = g(t) = g(0) + g (0) t + 1 }{{} 2 g ( 0 s }{{} [0,δ) ) t 2 = f (x ) v t H f (x } + {{ sv } )v t 2 f (x ) + 1 c 2 t2 2 > f (x ) U = x lokale Minimalstelle von f in U analoges Argument für ein lokales Maximum im Innern Extrema multivariater Funktionen 2-13
21 Beispiel: quadratische Funktion f (x) = 1 2 x t Ax x t b + c, A = A t Extrema multivariater Funktionen 3-1
22 Beispiel: quadratische Funktion f (x) = 1 2 x t Ax x t b + c, A = A t Gradient und Hesse-Matrix grad f = Ax b, H f = A Extrema multivariater Funktionen 3-2
23 Beispiel: quadratische Funktion f (x) = 1 2 x t Ax x t b + c, A = A t Gradient und Hesse-Matrix grad f = Ax b, H f = A kritische Punkte x : Lösungen von Ax = b Extrema multivariater Funktionen 3-3
24 Beispiel: quadratische Funktion f (x) = 1 2 x t Ax x t b + c, A = A t Gradient und Hesse-Matrix grad f = Ax b, H f = A kritische Punkte x : Lösungen von Ax = b Eigenwerte von A ausschließlich positiv oder negativ = det A 0 und Ax = b eindeutig lösbar Extrema multivariater Funktionen 3-4
25 Beispiel: quadratische Funktion f (x) = 1 2 x t Ax x t b + c, A = A t Gradient und Hesse-Matrix grad f = Ax b, H f = A kritische Punkte x : Lösungen von Ax = b Eigenwerte von A ausschließlich positiv oder negativ = det A 0 und Ax = b eindeutig lösbar genau ein lokales und damit ebenfalls globales Extremum von f Extrema multivariater Funktionen 3-5
26 z.b. f (x, y) = 3 2 x 2 + 2xy y 2 + x + 4y 3, A = ( ) 3 2, b = 2 3 ( ) 1 4 Extrema multivariater Funktionen 3-6
27 z.b. f (x, y) = 3 2 x 2 + 2xy y 2 + x + 4y 3, A = ( ) 3 2, b = 2 3 ( ) 1 4 grad f = (0, 0) t ( ) ( x y ) = ( 1 4 ) mit der Lösung (x, y ) = (1, 2) Extrema multivariater Funktionen 3-7
28 z.b. f (x, y) = 3 2 x 2 + 2xy y 2 + x + 4y 3, A = ( ) 3 2, b = 2 3 ( ) 1 4 grad f = (0, 0) t ( ) ( x y ) = ( 1 4 ) mit der Lösung (x, y ) = (1, 2) det A = 5 und Spur A = 6 positiv Extrema multivariater Funktionen 3-8
29 z.b. f (x, y) = 3 2 x 2 + 2xy y 2 + x + 4y 3, A = ( ) 3 2, b = 2 3 ( ) 1 4 grad f = (0, 0) t ( ) ( x y ) = ( 1 4 ) mit der Lösung (x, y ) = (1, 2) det A = 5 und Spur A = 6 positiv = Eigenwerte von A positiv Extrema multivariater Funktionen 3-9
30 z.b. f (x, y) = 3 2 x 2 + 2xy y 2 + x + 4y 3, A = ( ) 3 2, b = 2 3 ( ) 1 4 grad f = (0, 0) t ( ) ( x y ) = ( 1 4 ) mit der Lösung (x, y ) = (1, 2) det A = 5 und Spur A = 6 positiv = Eigenwerte von A positiv = (1, 2) ist das globale Minimum von f Extrema multivariater Funktionen 3-10
31 Beispiel: Bestimmung der globalen Extrema der Funktion f (x, y) = cos x + cos y + cos(x + y) Extrema multivariater Funktionen 4-1
32 Beispiel: Bestimmung der globalen Extrema der Funktion f (x, y) = cos x + cos y + cos(x + y) f ist 2π-periodisch bezüglich x und y und f (y, x) = f (x, y) = f ( x, y) = Es genügt, den Bereich zu untersuchen. D = ( π, π] [0, π] Extrema multivariater Funktionen 4-2
33 Beispiel: Bestimmung der globalen Extrema der Funktion f (x, y) = cos x + cos y + cos(x + y) f ist 2π-periodisch bezüglich x und y und f (y, x) = f (x, y) = f ( x, y) = Es genügt, den Bereich D = ( π, π] [0, π] zu untersuchen. keine Randpunkte und Unstetigkeitstellen von partiellen Ableitungen nur kritische Punkte relevant Extrema multivariater Funktionen 4-3
34 Beispiel: Bestimmung der globalen Extrema der Funktion f (x, y) = cos x + cos y + cos(x + y) f ist 2π-periodisch bezüglich x und y und f (y, x) = f (x, y) = f ( x, y) = Es genügt, den Bereich D = ( π, π] [0, π] zu untersuchen. keine Randpunkte und Unstetigkeitstellen von partiellen Ableitungen nur kritische Punkte relevant grad f = ( ) sin x sin(x + y) = sin y sin(x + y) ( ) 0 0 Extrema multivariater Funktionen 4-4
35 Beispiel: Bestimmung der globalen Extrema der Funktion f (x, y) = cos x + cos y + cos(x + y) f ist 2π-periodisch bezüglich x und y und f (y, x) = f (x, y) = f ( x, y) = Es genügt, den Bereich D = ( π, π] [0, π] zu untersuchen. keine Randpunkte und Unstetigkeitstellen von partiellen Ableitungen nur kritische Punkte relevant grad f = ( ) sin x sin(x + y) = sin y sin(x + y) sin x = sin(x + y) = sin y ( ) 0 0 Extrema multivariater Funktionen 4-5
36 sin x = sin y mit 0 y π und π < x π zwei mögliche Fälle x = y y = π x Extrema multivariater Funktionen 4-6
37 sin x = sin y mit 0 y π und π < x π zwei mögliche Fälle x = y y = π x betrachte für beide Fälle die zweite Gleichung sin x = sin(x + y) Extrema multivariater Funktionen 4-7
38 sin x = sin y mit 0 y π und π < x π zwei mögliche Fälle x = y y = π x betrachte für beide Fälle die zweite Gleichung sin x = sin(x + y) (i) x = y: Extrema multivariater Funktionen 4-8
39 sin x = sin y mit 0 y π und π < x π zwei mögliche Fälle x = y y = π x betrachte für beide Fälle die zweite Gleichung sin x = sin(x + y) (i) x = y: sin x = sin(2x) = 2 sin x cos x (1/2 + cos x) sin x = 0 Extrema multivariater Funktionen 4-9
40 sin x = sin y mit 0 y π und π < x π zwei mögliche Fälle x = y y = π x betrachte für beide Fälle die zweite Gleichung sin x = sin(x + y) (i) x = y: sin x = sin(2x) = 2 sin x cos x (1/2 + cos x) sin x = 0 kritische Punkte (0, 0), (π, π) und (2π/3, 2π/3) im betrachteten Bereich Extrema multivariater Funktionen 4-10
41 sin x = sin y mit 0 y π und π < x π zwei mögliche Fälle x = y y = π x betrachte für beide Fälle die zweite Gleichung sin x = sin(x + y) (i) x = y: sin x = sin(2x) = 2 sin x cos x (1/2 + cos x) sin x = 0 kritische Punkte (0, 0), (π, π) und (2π/3, 2π/3) im betrachteten Bereich (ii) y = π x: Extrema multivariater Funktionen 4-11
42 sin x = sin y mit 0 y π und π < x π zwei mögliche Fälle x = y y = π x betrachte für beide Fälle die zweite Gleichung sin x = sin(x + y) (i) x = y: sin x = sin(2x) = 2 sin x cos x (1/2 + cos x) sin x = 0 kritische Punkte (0, 0), (π, π) und (2π/3, 2π/3) im betrachteten Bereich (ii) y = π x: sin(x) = sin(π) = 0 kritische Punkte (0, π) und (π, 0) im betrachteten Bereich Extrema multivariater Funktionen 4-12
43 π π/ π/ π π π/2 0 π/2 π 2 π 0 π π 0 π Extrema multivariater Funktionen 4-13
44 π π/ π/ π π π/2 0 π/2 π 2 π 0 π π 0 π Vergleich der Funktionswerte = Extrema multivariater Funktionen 4-14
45 π π/ π/ π π π/2 0 π/2 π 2 π 0 π π 0 π Vergleich der Funktionswerte = globales Maximum mit Wert f (0, 0) = 3 bei (0, 0) Extrema multivariater Funktionen 4-15
46 π π/ π/ π π π/2 0 π/2 π 2 π 0 π π 0 π Vergleich der Funktionswerte = globales Maximum mit Wert f (0, 0) = 3 bei (0, 0) globales Minimum mit Wert f (2π/3, 2π/3) = 3/2 bei (2π/3, 2π/3) Extrema multivariater Funktionen 4-16
47 Typbestimmung der anderen kritischen Punkte mit Hilfe der Hesse Matrix ( ) cos x cos(x + y) cos(x + y) H f = cos(x + y) cos y cos(x + y) Extrema multivariater Funktionen 4-17
48 Typbestimmung der anderen kritischen Punkte mit Hilfe der Hesse Matrix ( ) cos x cos(x + y) cos(x + y) H f = cos(x + y) cos y cos(x + y) Sattelpunkt bei (π, π), da H f (π, π) = ( ), det H f = 1 < 0 Extrema multivariater Funktionen 4-18
49 Typbestimmung der anderen kritischen Punkte mit Hilfe der Hesse Matrix ( ) cos x cos(x + y) cos(x + y) H f = cos(x + y) cos y cos(x + y) Sattelpunkt bei (π, π), da H f (π, π) = ( ), det H f = 1 < 0 Sattelpunkte bei (π, 0) und (0, π) (symmetrische Lage), da ( ) ( ) H f (π, 0) =, H f (0, π) =, det H f = 1 < Extrema multivariater Funktionen 4-19
50 Typbestimmung der anderen kritischen Punkte mit Hilfe der Hesse Matrix ( ) cos x cos(x + y) cos(x + y) H f = cos(x + y) cos y cos(x + y) Sattelpunkt bei (π, π), da H f (π, π) = ( ), det H f = 1 < 0 Sattelpunkte bei (π, 0) und (0, π) (symmetrische Lage), da ( ) ( ) H f (π, 0) =, H f (0, π) =, det H f = 1 < Punktsymmetrie bzgl. (0, 0) weitere kritische Punkte in D: globales Minimum bei ( 2π/3, 2π/2), Sattelpunkt bei (0, π) Extrema multivariater Funktionen 4-20
51 Typbestimmung der anderen kritischen Punkte mit Hilfe der Hesse Matrix ( ) cos x cos(x + y) cos(x + y) H f = cos(x + y) cos y cos(x + y) Sattelpunkt bei (π, π), da H f (π, π) = ( ), det H f = 1 < 0 Sattelpunkte bei (π, 0) und (0, π) (symmetrische Lage), da ( ) ( ) H f (π, 0) =, H f (0, π) =, det H f = 1 < Punktsymmetrie bzgl. (0, 0) weitere kritische Punkte in D: globales Minimum bei ( 2π/3, 2π/2), Sattelpunkt bei (0, π) Periodizität globale Maxima bei (2kπ, 2lπ), globale Minima bei (2π/3 + 2kπ, 2π/3 + 2lπ), ( 2π/3 + 2kπ, 2π/3 + 2lπ), Sattelpunkte bei (kπ, lπ), jeweils mit k, l Z Extrema multivariater Funktionen 4-21
52 Beispiel: Steiners Problem: Extrema multivariater Funktionen 5-1
53 Beispiel: Steiners Problem: Bestimme den Punkt Q R 2, so dass die Summe der Abstände zu vorgegebenen Punkten P i minimal wird. Extrema multivariater Funktionen 5-2
54 Beispiel: Steiners Problem: Bestimme den Punkt Q R 2, so dass die Summe der Abstände zu vorgegebenen Punkten P i minimal wird. Spezialfall dreier Punkte P 1, P 2, P 3 Q Randpunkt des Dreiecks [P 1, P 2, P 3 ] oder (P i, Q, P j ) = 2π/3 i, j Extrema multivariater Funktionen 5-3
55 Beispiel: Steiners Problem: Bestimme den Punkt Q R 2, so dass die Summe der Abstände zu vorgegebenen Punkten P i minimal wird. Spezialfall dreier Punkte P 1, P 2, P 3 Q Randpunkt des Dreiecks [P 1, P 2, P 3 ] oder (P i, Q, P j ) = 2π/3 i, j P 2 P 1 Q 2π 3 P 3 Extrema multivariater Funktionen 5-4
56 zeige die Charakterisierung für einen inneren Punkt: Extrema multivariater Funktionen 5-5
57 zeige die Charakterisierung für einen inneren Punkt: d i : Abstand zwischen Q = (x, y) und P i = (x i, y i ), d.h. d 2 i = (x x i ) 2 + (y y i ) 2 Extrema multivariater Funktionen 5-6
58 zeige die Charakterisierung für einen inneren Punkt: d i : Abstand zwischen Q = (x, y) und P i = (x i, y i ), d.h. d 2 i = (x x i ) 2 + (y y i ) 2 Kettenregel = bzw. 2d i d i x = 2 (x x i) d i x = x x i d i und entsprechend d i / y = (y y i )/d i Extrema multivariater Funktionen 5-7
59 zeige die Charakterisierung für einen inneren Punkt: d i : Abstand zwischen Q = (x, y) und P i = (x i, y i ), d.h. d 2 i = (x x i ) 2 + (y y i ) 2 Kettenregel = bzw. 2d i d i x = 2 (x x i) d i x = x x i d i und entsprechend d i / y = (y y i )/d i = grad d i = 1 ( ) ( x xi, d d i y y i = x xi i y y i ) Extrema multivariater Funktionen 5-8
60 Minimum von bei innerem Punkt Q = grad f (Q) = i f = d 1 + d 2 + d 3 grad d i = i grad d i = da f in einer Umgebung von Q stetig differenzierbar ist ( 0 0 ), Extrema multivariater Funktionen 5-9
61 Minimum von bei innerem Punkt Q = grad f (Q) = i f = d 1 + d 2 + d 3 grad d i = i grad d i = ( 0 0 da f in einer Umgebung von Q stetig differenzierbar ist grad d i = 1 = Gradienten bilden gleichseitiges Dreieck (Vektorsumme null) ), Extrema multivariater Funktionen 5-10
62 Minimum von bei innerem Punkt Q = grad f (Q) = i f = d 1 + d 2 + d 3 grad d i = i grad d i = ( 0 0 da f in einer Umgebung von Q stetig differenzierbar ist grad d i = 1 = Gradienten bilden gleichseitiges Dreieck (Vektorsumme null) Winkel 2π/3 zwischen den Gradientenrichtungen ), Extrema multivariater Funktionen 5-11
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