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1 Fabian Kohler Karolina Stoiber Ferienkurs Analsis für Phsiker SS 4 A Extrema In diesem Abschnitt sollen Extremwerte von Funktionen f : D R n R diskutiert werden. Auch hier gibt es viele Ähnlichkeiten mit Extremwertbestimmung in der Analsis.. Definitionen Generell sei in diesem Abschnitt f : D R n R, (D offen) eine mindestens zweimal stetig differenzierbare Abbildung. Definition. (Kritischer Punkt) x D heißt stationärer/kritischer Punkt von f, wenn die Jacobi-Matrix die Nullmatrix ist beziehungsweise der Gradient die Nullabbildung ist d.h. f(x ) =. Definition. (Hesse-Matrix) Die Hessematrix H f (x ) enthält alle zweifachen Ableitungen am Punkt x und ist smmetrisch. (H f (x )) ij = i j f(x ) Definition.3 (Extremum) Sei x D, so dass es eine Umgebung U von x gibt, derart dass für f(x) < f(x ) isoliertes lokales Maximum f(x) f(x ) lokales Maximum x U : gilt, so heißt x. f(x) > f(x ) isoliertes lokales Minimum f(x) f(x ) lokales Minimum Ferner nennen wir x Extremum. Satz. (Bestimmung von Extrema) Der stationäre Punkt x... ist ein isoliertes lokales Minimum, wenn die Hesse-Matrix positiv definit ist d.h. alle Eigenwerte von H f (x ) >. ist ein lokales Minimum, dann ist die Hesse-Matrix positiv semidefinit also alle Eigenwerte von H f (x ). ist ein isoliertes lokales Maximum, wenn die Hesse-Matrix negativ definit ist also alle Eigenwerte von H f (x ) <. ist ein lokales Maximum, dann ist die Hesse-Matrix negativ semidefinit also alle Eigenwerte von H f (x ). ist ein Sattelpunkt, wenn die Hesse-Matrix indefinit ist und es trifft keine der obigen Bedingungen zu d.h. es gibt sowohl Eigenwerte, die > und Eigenwerte, die < sind.

2 Man beachte: die Definitheit oder Indefinitheit der Hesse-Matrix ist ein hinreichendes Kriterium, Semidefinitheit ist es nicht! Auch wenn die Hesse-Matrix z.b. positiv semi-definit ist muss KEIN lokales Minimum vorliegen (siehe dazu das Beispiel in.4). Wenn nur Semidefinitheit vorliegt, kann der Punkt nicht anhand der Hesse-Matrix klassifiziert werden, weitere Betrachtungen sind dann nötig. Im anderen Fall folgt z.b. aus einem lokalen isolierten Minimum nicht, dass die Hesse-Matrix positiv definit sein muss (siehe wiederum Beispiel in.4). Die Implikationen gelten jeweils nur in eine Richtung! Um die Definitheit der Hesse-Matrix zu bestimmen muss man die Eigenwerte berechnen (vgl. Lineare Algebra). Dies geht, indem man die Gleichung für das charaktristische Polnom löst Die Lösungen für λ sind gerade die Eigenwerte. det (H f (x ) λ) =.. Rezept zum Auffinden von Extrema von f : D R n R. Potentielle Extrema sind: stationäre Punkte nicht differenzierbare Punkte Randpunkte. Im Inneren von D gilt: wenn f(x) = und f C, dann ist H f (x) semidefinit, wenn bei x ein Extremum vorliegt. Aus H > (H < ) folgt Minimum (Maximum)..3 Beispiel: Extremalstellen Sei f(x, ) = x 3 + x 3 mit x, R. Bestimmen und klassifizieren Sie die kritischen Punkte von f. Lösung Wir bestimmen zuerst die kritischen Punkte. 3x = f(x, ) = + 3x + x 3. Es muss also x ( ) = und ( x 3 ) = erfüllt sein.. Fall: x =. Dann folgt aus der zweiten Gleichung =.. Fall: x. Dann folgt aus der ersten Gleichung = ± und aus der zweiten x =. Die Hessematrix von f ist 6x( H f (x, ) = ) 6x 6x (x 3 ) Da f(x, ) = x 3, ist im Punkt (, ) kein lokales Minimum oder Maximum, sondern ein Sattelpunkt (auch wenn die Hesse-Matrix an dieser Stelle negativ semidefinit ist).

3 Wir berechnen die Eigenwerte von H f (, ) = 6. 6 det (H f (x ) λ) = λ 36 = λ = ±6. Damit ist H f (, ) indefinit und (, ) ein Sattelpunkt. 6 H f (, ) = ist indefinit (Eigenwerte ±6), also ist (, ) ein Sattelpunkt. 6.4 Beispiel: Extrema Wir betrachten die Abbildungen f i : R R gegeben durch. f (x, ) := x + f (x, ) := x f 3 (x, ) := x f 4 (x, ) := x + 4 f 5 (x, ) := x + 3 Alle Abbildungen besitzen x = als kritischen Punkt, für die Hessematrizen in x = gilt: H f () =, H f () =, H f3 () = H f4 () = H f5 () = H f () ist positiv definit und daher hat f ein isoliertes Minimum in ; H f () ist indefinit und hat daher kein Extremum in (man sagt hier auch ist Sattelpunkt wegen der Form des Schaubilds). H f3, H f4, H f5 ist positiv semidefinit, man kann aus der Hessematrix nun aber keine Schlüsse ziehen. f 3 hat in ein (nicht isoliertes) Minimum, f 4 in isoliertes Minimum und f 5 kein Extremum. Vergleiche die Schaubilder in Abbildung! 3

4 x 4 x x (a) Schaubild von f (b) Schaubild von f (c) Schaubild von f x x 3 (d) Schaubild von f 4 (e) Schaubild von f 5 Abbildung : Plots der Beispiele 4

5 Extrema mit Nebenbedingung Oft kommt es vor, dass man nicht einfach nur ein Minimum oder Maximum von einer Funktion finden möchte sondern ein Optimum unter einer bestimmten Bedingung erreichen möchte (z.b. der kürzeste Weg zwischen zwei Punkte, der über eine Kugelfläche führt). Wir wollen nun schauen, wie man eine solche Aufgabe lösen kann. Dies bezeichnet man als Extremalisierung unter Nebenbedingungen. Im Folgenden sei f eine mindestens zweimal stetig differenzierbare Funktion f : R n R und h eine Funktion h : R n R. Die Funktion h bezeichnen wir als Nebenbedingung, wir suchen nun die Extremalstellen von f, sodass h(x) = c gilt mit einer Konstante c.. Lagrange. Art Um eine Lösung des Extremalproblems von f unter der Nebenbedingung h(x) = c zu finden, können nur Punkte in Frage kommen, bei denen h(x) = c tangential zu f verläuft. Auf einer solchen Tangentiale kann man nämlich die Werte so verändern, dass f maximal/minimal wird aber die Nebenbedingung immer erfüllt bleibt. Geometrisch bedeutet dies, dass die Gradienten von f unf h beim Maximum/Minimum parallele Vektoren sind, wobei der Gradient von h nicht verschwinden darf (siehe auch Abbildung ). f h Zur Lösung führen wir die Lagrange-Multiplikatoren λ ein und schreiben f = λ h f + λ h = (f + λh) = Das bedeutet also, wir suchen gerade die kritischen Punkte von f +λh mit den passenden λ. Die λ können wir erhalten indem wir die Nebenbedingung h(x) = c zum Auflösen des Gleichungssstem nutzen. Damit haben wir das Problem der Extremalisierung unter Nebenbedingungen auf eine Problem der Extremalisierung ohne Nebenbedingung zurückgeführt und können die altbekannten Methoden für die Bestimmung von Extrema verwenden. Man beachte: Wir erhalten damit die kritischen Punkte, diese sind aber nicht zwangsläufig Extrema! Wir haben also nur eine notwendige Bedingung, nicht jeder kritische Punkt von f + λh wird das ursprüngliche Optimierungsproblem tatsächlich lösen. In der Phsik bezeichnet man dieses Lösungsverfahren auch als Lagrangegleichungen. Art, die Zwangsbedingung/ Zwangskräfte werden so für die Lösung berücksichtigt.. Rezept für das Auffinden von Extrema unter Nebenbedingungen. Löse die k+n Gleichungen f(x) = k λ i h i (x) i= h(x) = c nach den k + n Variablen (λ, x) auf. Kandidaten für Extremalstellen 5

6 . separate Betrachtung: kritische Punkte Punkte, an denen keine Differenzierbarkeit vorliegt Punkte auf dem Rand 3. Bestimme Extrema unter den Kandidaten. Rechtfertige Existenz von Minima/Maxima durch Kompaktheitsargument..3 Beispiel: Extrema mit Nebenbedingung Sei g : R + R eine C -Funktion mit g (t) > für t und f : R R gegeben durch f(x) = g( x ). Finden Sie die globalen Maxima und Minima von f unter der Nebenbedingung 5x + 4x x + x = 5. Lösung Die Nebenbedingung kann geschrieben werden als h(x) = mit h(x) = 5x + 4x x + x c. Es gilt x + 4x h(x) = () 4x + 4x für (x, x ). Insbesondere ist h(x) falls h(x) =. Für einen Extremwert x von f unter der Nebenbedingung h(x) = gilt f(x) = λ h(x) () mit λ R. Wegen f(x) = g ( x ) x x für x, ist das gleichbedeutend mit h(x) = µx, (3) wobei µ = g ( x ) λ x. Eingesetzt ergibt das die Eigenwertgleichung 4 x = µx, (4) 4 4 mit den Lösungen µ =, x = α µ =, x = α ( ), α R, α R Dies sind die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume der Matrix. Damit die Nebenbedingung erfüllt ist, muss also gelten: = h(α, α) = 5α 8α + 8α 5 = 5α 5, also α = ± = h(α, α) = α + 8α + α 5 = 3α 5, also α = ± 6 Die einzigen Kandidaten für Extremstellen sind also x () = (, ), x () = x () und x (3) = 6( 3, 6 ), x(4) = x (3). Wegen x () = x () = 5 5 > 6 = x(3) = x (4) ist f(x () ) = f(x () ) > f(x (3) ) = f(x (4) ). Da die durch h(x) = gegebene Menge kompakt ist, nimmt f Maximum und Minimum darauf an. Somit liegen bei x (,) die beiden absoluten Maxima und bei x (3,4) die beiden absoluten Minima. 6

7 3 Implizite Funktionen In diesem Kapitel werden Kriterien vorgestellt, wann eine Gleichung nach einer Variablen auflösbar ist. Es geht nicht darum dies auch tatsächlich zu tun. Das Interessante ist, dass man hier auch eine Formel lernt um die Ableitung der Auflösung zu bilden ohne die eigentliche Gleichung tatsächlich auszulösen. Der Satz über implizite Funktionen trifft Aussagen über die Möglichkeit Gleichungen nach bestimmten Variablen aufzulösen. Es gilt z.b. f(x, ) =. Ist es dann möglich eine Funktion ỹ zu finden, sodass = ỹ(x)? In welchem Bereich ist das möglich? Definition 3. (partielle Differentiale) Für eine differenzierbare Funktion f : U U R m mit U R n und U R m, definieren wir die partiellen Differentiale Damit ergibt sich das totale Differential D x f(x, ) : U R m,h f (x, )(h, ) D f(x, ) : U R m,k f (x, )(, k) Df(x, )(h, k) := f (x, ) (h, k) = D x f(x, ) h + D f(x, ) k }{{}}{{}}{{} J J x J x und J sind dann die zu den jeweiligen Variablen zugehörigen Teilmatrizen der Jacobimatrix J. Hinweis: Ist f(x, g(x)) = mit g : R n R m. Die Ableitung der Funktion f ergibt sich zu: D x f + D fd x g = Dabei stellen die einzelnen Ableitungen Matrizen dar: (D x f) ij = x j f i (D f) ij = j f i (D x g) ij = x j g i Diese Gleichungen folgen direkt aus dem Differentialquotienten (Kettenregel). Ist nun D j f invertierbar, dann gilt: D x g = (D f) D x f Satz 3. (Satz über implizite Funktionen) Seien U R n und U R m sowie eine Funktion f mit f : U U R m einmal stetig differenzierbar. Ferner habe f eine Nullstelle (a, b) U U und sei D f(a, b) invertierbar. Dann gibt es offene Umgebungen V, V mit a V U und b V U und eine stetig differenzierbare Funktion g : V V sodass f(x, g(x)) = = g(x) x V. J 7

8 Desweiteren gilt g (x) = [D f(x, g(x))] D x f(x, g(x)) x V. Bemerkungen: Die Formel für die Ableitung erhält man durch Differenzieren von f(x, g(x)) = unter Anwendung der Kettenregel. 3. Kochrezept: Anwendung Satz über Implizite Funktionen Ist f stetig differenzierbar? Ja Nein Satz nicht anwendbar Hat f in (x, ) eine Nullstelle f(x, ) =? Ja Nein Satz nicht anwendbar Ist D f(x, ) invertierbar d.h. det (D f(x, ))? Ja Nein Satz nicht anwendbar Die Gleichung f(x, ) = kann in einer Umgebung um (x, ) aufgelöst werden. 3. Beispiel: Einheitskreis Gegeben sei die Funktion f(x, ) = x +. Die Nullstellenmenge ist gerade der Einheitskreis. Kann diese Gleichung überall nach aufgelöst werden? Lösung Berechne D f(x, ) = f(x, ) = Offensichtlich ist D f nur für invertierbar. An allen Stellen lässt sich f(x, ) = also lokal invertieren. Allerdings bedeutet das nicht, dass es eine globale Funktion = g(x) gibt. Das sieht man leicht wenn man nach umstellt, es ergibt sich = ± x d.h. zu jedem -Wert gibt es zwei x-werte. Im Fall = d.h. bei x = ± verzweigen sich diese beiden Möglichkeiten und eine eindeutige Auflösung ist nicht möglich. 3.3 Beispiel: Berechnung der Ableitung Sei f : R R, (x, ) e x x. Gibt es Stellen an denen sich die Gleichung bei f(x, ) = nach auflösen lässt? Falls ja, bestimmen Sie für eine solche Stelle die Ableitung der aufgelösten Funktion g(x). 8

9 Lösung Die Ableitung nach der aufzulösenden Variable lautet f(x, ) = xe x x. An allen Punkten außerhalb der x-achse, die obige Gleichung erfüllen lässt sich die Gleichung auflösen. Ein solcher Punkt ist z.b. (x, ) = (, ). Ist g dann nach dem Satz über implizite Funktionen die Funktion mit g() = und f(, g()) = so gilt für die Ableitung g () = ( f(, )) x f(, ) = ( e ) ( e ) =. 9

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