LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 12. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie

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1 LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Andreas Herz, Dr. Stefan Häusler Department Biologie II Telefon: Großhadernerstr. Fax: Planegg-Martinsried. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie 3..9 Abgabe am 9. Januar vor der Vorlesung. Die Aufgaben werden in den Tutorien vom 3. Januar und. Februar besprochen. Aktuelle Infos und Übungszettel finden Sie unter: Funktionen mehrerer Veränderlicher, Gradienten [3 P] Gegeben sind die folgenden Funktionen: gx, y = x + xy y hx, y, z = cosz e x y 3 a Berechnen Sie die partiellen Ableitungen g x, g y, x, y b Bestimmen Sie die Gradienten gx, y und hx, y, z. und z. c An welchen Punkten verschwinden die Gradienten gx, y und hx, y, z? Interpretieren Sie Ihr Ergebnis. d Gegeben sei ein Vektor v α durch folgende Gleichung: v α = Dα cosα sinα mit Dα = sinα cosα Berechnen Sie die Richtungsableitungen von gx, y in Richtung von v α an der Stelle r g = in Abhängigkeit von α. Gibt es Winkel α, an denen die Richtungsableitungen verschwinden? a g x = x + y, g = x y, y x = x cosz y 3, e x y = y 3 cosz y 3, e x z = sinz y 3. e x b gx, x + y y = x y hx, y, z = x cosz e x y 3 y 3 cosz e x y 3 sinz e x y 3 c Der Gradient gx, y verschwindet am Punkt,. Der Gradient hx, y, z verschwindet an den Punkten, 3, nπ mit n Z, da die Exponentialfunktion nicht den Wert annehmen kann.

2 d v α = Dα = cosα sinα g r g v α =, 4 T cosα sinα = 4 sinα Gibt es Winkel α, an denen die Richtungsableitungen verschwinden? g r g v α = 4 sinα verschwindet für α = πk mit k Z.. Funktionen mehrerer Veränderlicher [3 P] Gegeben ist die Funktion fx, y = e x +y. a Berechnen Sie folgende Niveaulinien: fx, y = /e, fx, y = und fx, y = und zeichnen Sie sie, falls dies möglich ist. b Geben Sie eine Gleichung für die Tangentialebene an fx, y im Punkt, an, indem Sie eine Taylor-Entwicklung bis zur linearen Ordnung durchführen. c Wenn man auf dieser Tangentialebene in Richtung des Gradienten im Punkt, läuft, wie steil Winkel zur Horizontalen! geht es dann bergauf? Wie steil ist es in einer Richtung orthogonal zum Gradienten? d Untersuchen Sie f auf Extrema. Sattelpunkte handelt. Geben Sie jeweils an, ob es sich um Maxima, Minima oder a Niveaulinien: c = e x +y y = ± x + ln c für c = /e y = ± x c = y = ± x reelle Lösung nur an der Stelle x = c = keine Lösung. b Partielle Ableitungen erster Ordnung: f x = +y f xe x y = +y ye x Tangentialebene an fx, y im Punkt, : hx, y = e 5 4x y c Da sich die Steigung einer Ebene durch Verschiebung entlang der z-achse nicht ändert, verschieben wir die Tangentialebene hx, y so, dass sie durch den Koordinatenursprung verläuft hx, y = e 5 4x y. Nun können wir zwei Vektoren aufstellen x =,, e 5 entlang der Tangentialebene, y =,, in der in der xy-ebene. Den Winkel zwischen zwei Vektoren x, x erhält man aus α = arccos x =,, e 5 5, y =,, α = arccos = arccos.7 5+e 5 +e x, x x x. Mit Alternativ kann man auch den Winkel zwischen den Normalenvektoren von Tangential- und xy-ebene berechnen: Tangentialebene in Paramterdarstellung:,, e 5 T + t,, 4e 5 T + s,, e 5 T Normalenvektor 4e 5, e 5, T

3 xy-ebene in Paramterdarstellung:,, T + t,, T + s,, T Normalenvektor,, T Wie steil ist es in einer Richtung orthogonal zum Gradienten? d Untersuchen Sie f auf Extrema. Geben Sie jeweils an, ob es sich um Maxima, Minima oder Sattelpunkte handelt. fx, y = e x +y x, y T, fx, y = für x E, =, T Partielle Ableitungen zweiter Ordnung: f x = e x +y + 4x e x +y f y = e x +y + 4y e x +y f x y = +y 4xye x = f y x H = Eigenwerte λ / = < lokales Maximum am Punkt,, 3. Funktionen mehrerer Veränderlicher [ P] Berechnen bzw. bestimmen Sie für die Funktion fx, x = sinx x sinx + x mit x, x R i den Gradienten und die Extremalstellen, ii die Hessematrix an den Extremalstellen, iii die Eigenwerte der Hessematrix an den Extremalstellen; handelt es sich bei den Extremalstellen um Maxima, Minima oder Sattelpunkte? i fx, x =sinx x cosx +x + sinx +x cosx x, sinx x cosx +x sinx +x cosx x T =sinx, sinx T und so fx, x = für x = nπ, n Z, und x = mπ, m Z. cosx ii H = cosx iii Eigenwerte von Hx, x sind λ = cosx, λ = cosx. Bei den Extremalstellen mit x = nπ, n Z, und x = mπ, m Z ist λ = n und λ = m+. Für n gerade und m gerade oder n ungerade und m ungerade haben wir einen Sattelpunkt, da λ λ =. Für n gerade und m ungerade ist λ = λ =, und die Extremalstelle entspricht einem Minimum. Für n ungerade und m gerade ist λ = λ =, und die Extremalstelle entspricht einem Maximum. 4. Taylorentwicklung von Funktionen mehrerer Veränderlicher [3 P] Gegeben ist folgende Funktion: fx, x = sinπx cos πx

4 a Geben Sie den Gradienten und die Hessematrix an der Stelle r = an. b Bestimmen Sie die Taylor-Entwicklung von f an der Stelle r bis zur zweiten Ordnung. c Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Hessematrizen an den Extremalstellen und interpretieren Sie diese geometrisch. d Gegeben sei ein Vektor v α durch folgende Gleichung: cosα sinα v α = Dα mit Dα = sinα cosα Berechnen Sie die Richtungsableitungen von f in Richtung von v α an der Stelle r. Gibt es Winkel α, an denen die Richtungsableitungen verschwinden? a f =π cosπx cos πx f x x = π rf f = π sinπx sinπx f x x = rf f x = π sinπx cosπx f x = rf f x = π cosπx sinπx f x = rf f = π cosπx sinπx f x x x x = rf f x = π cosπx cos πx, π sinπx sinπx T f rf = π, T H x = π sinπx cosπx π cosπx sinπx π cosπx sinπx π cosπx sinπx b Hieraus ergibt sich die Taylor-Entwicklung zu: f x + π, T x + x x =... = πx H r f = c f x E = π cosπx cos πx, π sinπx sinπx =π cosπx π cosπx cos πx, π sinπx sinπx = wenn entweder x = / + n und x = m mit m, n Z oder x = / + m und x = c mit beliebigem c und m Z ist. Fall x = / + n und x = m mit m, n Z π H x = sinπx cosπx π cosπx sinπx π cosπx sinπx π = cosπx sinπx n+ π n+ π Hessematrix hat Eigenwerte λ = n+ π, λ = n+ π und Eigenvektoren x =, T und x =, T. Geometrisch gesehen, für x = /, x+ = m haben wir λ = π, λ = π und daher ein Maximum, und für x = 3/, x = m haben wir λ = π, λ = π und daher ein Minimum.

5 Fall x = / + m und x = c mit beliebigem c und m Z π H x = sinπx cosπx π cosπx sinπx π cosπx sinπx π = cosπx sinπx π sinπc Hessematrix hat Eigenwerte λ =, λ = π sinπc und die Eigenvektoren sind wieder x =, T und x =, T. Wenn ein Eigenwert Null ist, dann heißt der Sattelpunkt neutral. In der Richtung des dazugehörenden Eigenvektors, nämlich entlang der x Achse, bleibt der Wert von fx, / = sogar konstant für diese Funktion. In der x -Richtung hingegen haben wir für < x < ein Minimum x = c und sinπc >, und für < x < ein Maximum x = c und sinπc <. d f r f v α = π, T cosα sinα = π cosα Gibt es Winkel α, an denen die Richtungsableitungen verschwinden? f r f v α = π cosα verschwindet für α = π/k + mit k Z 5. Tangentialebene und Tangentengleichung [ P] Entwickeln sie die Funktion z = fx, y = xy yx 3 um den Punkt, bis zur linearen Ordnung nach Taylor. Geometrisch betrachtet, haben sie damit die Ebene gefunden, die die Funktion fx, y im Punkt, bestmöglich approximiert. Dies ist die Tangentialebene T an f in,. Wenn sie nun noch die Tangentialebene T mit der Ebene z = schneiden, so erhalten sie die Tangente t an die Kurve xy yx 3 =. Ohne diese Beziehung nach x oder y aufzulösen, können sie somit die Gleichung der Tangente dieser Kurve im Punkt, bestimmen. Wie lautet sie? fx, y = xy yx 3 fx, y y = 3yx xy x 3 Entwicklung von f um, bis zur linearen Ordnung: f lin x, y = f, + f, x T y x = +, 3 y = x + + 3y 6 = 3y x d.h. die Ebene x 3y+z = ist Tangentialebene an fx, y im Punkt,. Die Tangentialebene x 3y+z = geschnitten mit der Ebene z = ergibt x + 3y = 4 y = 3 x die Tangente an xy yx 3 =.

6 3 fx,y x Figure.: Graph der Funktion fx, y = xy yx 3 y