Funktionen in mehreren Variablen Lösungen

Transkript

1 Funktionen in mehreren Variablen en Jonas Funke

2 1 Stetigkeit und partielle Dierentiation 1 Stetigkeit und partielle Dierentiation 1.1 Aufgabe Gegeben ist die Funktion: { (x + y 1 ) sin( ) (x, y) (0, 0) f(x, y) = x +y 0 (x, y) = (0, 0) Ist die Funktion stetig? Ist sie partiell und total Dierenzierbar? Für (x, y) (0, 0) ist die Funktion als Zusammensetzung stetiger Funktionen stetig. Da f(x, y) f(0, 0) = (x + y 1 ) sin( x + y ) x + y 0 (x,y) (0,0) ist sie auch bei (0, 0) stetig. Für (x, y) (0, 0) ist die Funktion partiell Dierenzierbar un din (0, 0) gilt: f(h, 0) f(0, 0) f x (0, 0) = lim = lim h sin( 1 h 0 h h 0 h ) = 0 Analog gilt dies für f y (0, 0) = Aufgabe Gegeben ist die Funktion f : R R und eine Konstante a R mit sin( x +y ) (x, y) (0, 0) f(x, y) = x +y. a (x, y) = (0, 0) a) Wie muss die Konstante a gewählt werden, damit f(x, y) in (0, 0) stetig ist? (Hinweis: Übergang zu Polarkoordinaten) b) Man bestimme eine Parametrisierung und eine implizite Darstellung der Tangentialebene an den Graphen z = f(x, y) im Punkt P ( π, 0, 0). a) Übergang zu polarkoordinaten liefert: sin(r) sin(r) cos(r) sin(r) a = lim = lim = lim lim cos(r) = 1 1 = r 0 r r 0 r r 0 r r 0

3 1 Stetigkeit und partielle Dierentiation b) Berechnung der Tangentialeben mit Taylorentwicklung: z = f( π, 0) + f(π, 0)T ( ) x π = 0 + y 0 Berechnung mit Parametrisierung: Der Aufpunkt der Ebene ist ( π, 0, 0)T. Die Richtungsvektoren ergeben sich: u = 0 = 0 v = 1 = 1 f x ( π ) 4 π f y ( π ) 0 ( 4π ) T ( ) x π, 0 = 4 y π x Für die Tangentialebene ergibt sich: π 1 0 t = 0 + α 0 + β π 0 α, β R 1.3 Aufgabe (Potentialkasten) Zeigen Sie, dass die Wellenfunktion Ψ : R 3 R Ψ(x, y, z) = sin(πn x x) sin(πn y y) sin(πn z z) mit n x, n y, n z N\ {0} die Schrödingergleichung für den 3-dimensionalen Potentialkasten löst: Ψ(x, y, z) = EΨ(x, y, z) m und berechnen Sie die möglichen Energieniveaus E nx,n y,n z. (Potentialkasten) Wir leiten Ψ zweimal nach x ab und erhalten: x Ψ(x, y, z) = π n x sin(πn x x) sin(πn y y) sin(πn z z) = π n x Ψ(x, y, z) Analog folgt Ψ yy (x, y, z) = π n yψ(x, y, z) und Ψ z (x, y, z) = π n zψ(x, y, z). Dies setzen wir in die gegeben Schrödingergleichung ein und erhalten: ( ) m x + y + z Ψ(x, y, z) = π m (n x + n y + n z) = E nx,ny,n z Ψ(x, y, z) E nx,n y,n z = π m (n x + n y + n z) 3

4 1 Stetigkeit und partielle Dierentiation 1.4 Aufgabe (Wellengleichung) Sei f, g : R R zweimal dierenzierbar und c > 0. Zeigen Sie, dass die Funktion Ψ(t, x) : R R, Ψ(t, x) = f(x ct) + g(x + ct) die Wellengleichung erfüllt. t Ψ(t, x) = c xψ(t, x) (Wellengleichung) Wir führen zunächst die neuen Variablen u(x, t) = x ct v(x, t) = x + ct Nun berechnen wir die partielle ableitung nach t: t Ψ(x, t) = t (f u (u) u t Nun nach x: }{{} = c +g v (v) v t }{{} =c xψ(x, t) = x (f u 1 + g v 1) = f uu + g vv ) = c f uu (u) u t +c g vv(v) v t = c (f uu + g vv ) Dies setzt man in die Wellengleichung ein und veriziert so die. 1.5 Aufgabe (Totales Dierential) Man bestimme das totale Dierential der folgenden Funktionen: a) f(x, y) = 4x 3 y 3x e y b) f(x, y, z) = ln( x + y + z ) a) dz= (1x y 3 e y )dx + (4x 3 3x e y )dy a) du= x x +y +z dx + y x +y +z dy + z x +y +z dz 4

5 Extremwertberechung Extremwertberechung.1 Aufgabe Bestimmen Sie die kritischen Punkte der Funktion f : R R und chrakterisieren Sie diese. II in I: f(x, y) = x 3 1xy + 8y 3 f = ( 3x ) 1y 1x + 4y = 0 I 3x 1y = 0 II 1x + 4y = 0 x = y 0 = y(y 3 1) (y 1 = 0, x 1 = 0) (y = 1, x = ) Die Punkte P 1 (0, 0) und P (, 1) sind stationäre, bzw. kritische Punkte. ( ) 6x 1 det(h f (x)) = det = 88xy y Es ergibt sich: P 1 (0, 0) : det(h f (0, 0)) = 1 < 0 Sattelpunkt P (, 1) : det(h f (, 1)) > 0 mit f xx (, 1) = 1 > 0 lokalesminimun. Aufgabe Gegeben ist die Funktion f : R R: f(x) = x 4 a x + x 1 mit a R\ {0} Berechnen Sie die kritischen Punkte und charakterisieren Sie diese in Abhängigkeit von a. Stationäre Punkte: ( x((x f = + y ) ) a + 1) y((x + y = 0 ) a) Fall 1: x 1 = 0 y 1 = 0 5

6 Extremwertberechung Fall : x = 0 ((x + y ) a) = 0 a y = ± für a > 0 Fall 3: ((x + y ) a + 1) = 0 y = 0 x = ± a 1 für a > 1 Fall 4: ((x + y ) a + 1) = 0 ((x + y ) a) = 0 keine Für die Hessematrix ergibt sich: ( (6x + y ) a + 1) 8xy 8xy (x + 6y a) Charakterisierung der stationären Punkte: Fall 1: a beliebig P 1 (0, 0) > 0 für a > 1 (mit f xx < 0) (lokalesmaximum) det(h f (0, 0)) = 4a(a 1) = 0 für a = 1 (mit f xx = 0) (siehef all4) < 0 für a < 1 (mit f xx > 0) (Sattelpunkt) Fall : a > 0 P (0, ± a ) P 1: a det(h f (0, ± )) = 8a > 0 mit f xx > 0 ist P ein lokales Minimum a 1 Fall 3: a > 1 P 3 (±, 0) P P 1 a 1 det(h f (±, 0)) = 8(1 a) < 0 Fall 4: a = 1 P 1 P Problem: det(h f (0, 0)) = 0 keine Aussage Um trotzdem zu testen um welche Art von stationären Punkt es sich handelt, betrachten wir f(x, y) f(0, 0) in der Nähe von (0, 0): ( ) ɛ cos(φ) x = mit ɛ hinreichend klein ɛ sin(φ) = f(ɛ cos(φ), ɛ sin(φ)) f(0, 0) = ɛ (ɛ 1 + cos(φ) ) }{{} [0, ] Für φ = 0 folgt > 0 und für φ = π ist < 0, d.h für a = 1 ist (0, 0) ein Sattelpunkt Zusammen: 6

7 Extremwertberechung a < 0: P 1 (0, 0) Minimum o < a < 1: P 1 (0, 0) Sattelpunkt, P (0, ± a ) Minimum a = 1: P 1 (0, 0) Sattelpunkt, P (0, ± a ) Minimum a > 1: P 1 (0, 0) Maximum, P (0, ± a ) Minimum, P 3(±.3 Aufgabe Gegeben ist die Funktion f(x, y) = sin(x) sin(y) a 1, 0) Sattelpunkt Diskutieren Sie f(x, y) (Periodizität, Nullstellen) und bestimmen Sie lokale Minima, lokale Maxima und Sattelpunkte. (Betrachten Sie zuerst die Periodizität und schränken Sie so den zu untersuchenden Bereich ein.) Da sin(x) π-periodisch ist gilt: f(x + π, y) = f(x, y) = f(x, y + π) Es reicht also den Breich 0 x < π und 0 y < π zu untersuchen. Nullstellen: 0 = sin(x) sin(y) x = nπ y = mπ n, m = 0, 1,... Kritische Punkte: ( ) cos(x) sin(y) f = = 0 sin(x) cos(y) Fall 1: sin(y) = 0 sin(x) = 0 x = kπ y = lπ P 1 (kπ, lπ) Fall : cos(y) = 0 cos(x) = 0 x = π + mπ y = π + nπ P ( π + mπ, π + nπ) Charakterisierung der kritischen Punkte: ( ) sin(x) sin(y) cos(x) cos(y) det H f (x, y) = = sin(x) cos(y) cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) 7

8 Extremwertberechung (x, y) det H f (x, y) f xx (x, y) Typ (0, 0) 1 Sattelpunkt (π, 0) 1 Sattelpunkt (0, π) 1 Sattelpunkt (π, π) 1 Sattelpunkt ( π, π ) 1 1 lokales Maximum ( 3π, π ) 1 1 lokales Minimum ( π, 3π ) 1 1 lokales Minimum ( 3π, 3π ) 1 1 lokales Maximum.4 Aufgabe Bestimmen sie lokale Maxima, Minima und Sattelpunkte folgender Funktionen: a) b) f(x, y) = 3xy + 4x 3 3y 1x + 1 f(x, y) = (x + y ) e x a) Es ergeben sich vier kritische Punkte: (1, ): det H f = 144 < 0 Sattelpunkt (1, ): det H f = 144 < 0 Sattelpunkt (0, 0): det H f = 144 > 0 und f xx = 4 < 0 lokales Maximum (, 0): det H f = 144 > 0 und f xx = 4 < 0 lokales Minimum b) Es ergeben sich zwei kritische Punkte: (, 0): det H f = 4 e 4 < 0 Sattelpunkt (0, 0): det H f = 4 > 0 und f xx = > 0 lokales Minimum 8