Mathematik I ITB. Funktionen mit mehreren reellen Variablen. Prof. Dr. Karin Melzer

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1 Funktionen mit mehreren reellen Variablen

2 Beispiel: Funktionsgebirge Das Beispiel zeigt die Funktion z = y sin(x 2 )

3 Schnittkurven: Beispiel Kegelschnitte Schnittkurve: Kurve, die aus dem Schnitt eines 3-dimensionalen Körpers mit einer ebenen Fläche entsteht. Was entsteht beim Schnitt Doppelkegel Ebene? Für die Darstellung von Funktionen über Schnittkurven verwendet man i.d.r. nur drei Arten von Ebenen: Ebenen, die parallel zu den Koordinatenebenen ((x, y)-, (x, z)- und (y, z)-ebene) verlaufen.

4 Beispiel: Kegel Kegel im Schrägbild: Zu einigen Punkten (x,y) werden die Höhenpunkte eingezeichnet und mit einem Gitter verbunden. Eigentlich: Fläche.

5 Beispiel: Kegel Höhenlinien (konstante z- Werte) sind Kreise Isoquanten = Projektion auf (x, y)-ebene

6 Schnittkurven Wie erhält man Schnittkurven parallel zu den Koordinatenebenen? In der Funktionsgleichung wird eine Variable als konstant vorgegeben: Schnitt mit Ebene parallel zur (x, y)-ebene (Isoquante) z = z 0 konstant z 0 = f (x, y) (x, z)-ebene y = y 0 konstant z = f (x, y 0 ) (y, z)-ebene x = x 0 konstant z = f (x 0, y)

7 Darstellung von Funktionen mit zwei Variablen Zusammenfassung der möglichen Darstellungsarten: Termdarstellung Wertetabelle Graph: Schrägbild: 3-dimensionale Ansicht: Funktionsgebirge/Gebirgsäche = Oberäche eines Funktionsgebirges Schnittkurven: 2-dimensionale Ansicht 1. Schnitte parallel zur (x, y)-ebene: "Draufsicht"/Höhenlinien Projektion der Höhenlinien auf die (x,y)-ebene: Isoquanten 2. Schnitte parallel zur (x, z)- bzw. (y, z)-ebene: Seitenansicht

8 z = f (x, y) = 16 x 2 y 2 (I) z = f (x, y) = 16 x 2 y 2 mit D f = { (x, y) x 2 + y 2 16 } (D f ist Kreisscheibe) Isoquanten (Draufsicht): z = z 0 z 0 = 16 x 2 y 2 x 2 + y 2 = 16 z0 2 Kreis m. Radius z = 0 : 0 = 16 x 2 y 2 x 2 + y 2 = 16 4 z = 1 : 1 = 16 x 2 y 2 x 2 + y 2 = z = 2 : 2 = 16 x 2 y 2 x 2 + y 2 = z = 3 : 3 = 16 x 2 y 2 x 2 + y 2 = 7 7 z = 4 : 4 = 16 x 2 y 2 x 2 + y 2 = 0 Punkt (0 0) z = 5 : 5 = 16 x 2 y 2 x 2 + y 2 = 9 nicht mgl. Isoquanten ergeben konzentrische Kreise um den Punkt (0 0).

9 z = f (x, y) = 16 x 2 y 2 (II) Seitenansicht: Schnitte parallel zur (y, z)-ebene (x = x 0 konst.) x = x 0 : z = 16 x 0 2 y 2 z = (16 x 0 2) y 2 x = 0 : z = 16 0 y 2 z = 16 y 2 x = ±1 : z = 16 1 y 2 z = 15 y 2 x = ±2 : z = 16 4 y 2 z = 12 y 2 x = ±3 : z = 16 9 y 2 z = 7 y 2 x = ±4 : z = y 2 z = 0 y 2 Punkt (0 0) Schnitte parallel zur (y, z)-ebene ergeben Halbkreise. Funktion ändert sich durch Vertauschen der Variablen x und y nicht Schnitte parallel zur (x, z)-ebene ergeben auch Halbkreise. Schaubild von f (x, y) = 16 x 2 y 2 ist Oberäche einer Halbkugel.

10 z = 9 y 2 = f (x, y) (I) x kommt in der Funktionsgleichung nicht vor, also ist f (x, y) unabhängig von x, d.h. wenn man x ändert, ändert sich der Funktionswert nicht. Isoquanten (Draufsicht): z = z 0 : z 0 = 9 y 2 y 2 = 9 z 2 0 y = ± 9 z 2 0 Gerade(n) z = 0 : 0 = 9 y 2 y 2 = 9 y = ±3 2 Geraden z = 1 : 1 = 9 y 2 y 2 = 8 y = ± 8 2 Geraden z = 2 : 2 = 9 y 2 y 2 = 5 y = ± 5 2 Geraden z = 3 : 3 = 9 y 2 y 2 = 0 y = 0 1 Gerade z = 4 : 4 = 9 y 2 y 2 = 7 nicht mgl. Isoquanten ergeben Geraden, die parallel zur x-achse sind (ändern sich nicht mit x).

11 z = 9 y 2 = f (x, y) (II) Seitenansicht: Schnitte parallel zur (y, z)-ebene (x = x 0 konst.) Z. B. x = 0 ergibt z = 9 y 2. Da f (x, y) unabhängig von x ist, ergibt sich für alle x dasselbe Ergebnis/Bild: Halbkreis mit Radius 3. Schnitte parallel zur (x, z)-ebene (y = y 0 konst.): y = y 0 z = 9 y 0 2 z = z 0 y = 0 : z = 9 0 z = 3 y = ±1 : z = 9 1 z = 8 y = ±2 : z = 9 4 z = 5 y = ±3 : z = 9 9 z = 0 Parallelen zur x-achse. Schaubild von f (x, y) = 9 y 2 ist Oberäche einer umgestülpten Dachrinne (Halbzylinder) mit Richtung x-achse.

12 Beispiel: Kostenfunktion Bei der Herstellung der Menge x von Produkt A und der Menge y von Produkt B entstehen Gesamtkosten in Höhe von z = K(x, y) = 4x + 5y Isoquanten = diejenigen Produktionspläne (x, y), die zu den gleichen Kosten führen (Kostenisoquanten) Beispiel: Welche Produktionspläne führen zu Kosten in Höhe von K = 120 Einheiten? Gerade: 4x + 5y = 120 y = 24 0, 8x Denitionsbereich: x 0, y 0 (1. Quadrant) Schrägbild der Kostenfunktion gibt eine Ebene im Raum. (Alle Schnitte mit Ebenen parallel zur (x, z)- bzw. (y, z)-ebene ergeben Geraden.)

13 Satz von Schwarz Tangentialebene Satz von Schwarz Der Satz von Schwarz besagt, dass für zweimal stetig dierenzierbare Funktionen die Reihenfolge der partiellen Dierentiation (Ableitung) nicht entscheidend für das Ergebnis ist. Bzw. kurz: f xy = f yx (für alle in der Praxis vorkommenden Fälle). Bemerkung: eine Funktion ist stetig dierenzierbar, wenn die Ableitung auch wieder eine stetige Funktion ist.

14 Satz von Schwarz Tangentialebene Tangentialebene Funktion mit zwei Variablen und waagrechter Tangentialebene (gelb) im (lokalen) Maximum

15 Lokale ohne NB Lokale ohne Nebenbedingungen (NB) Gegeben: Fläche z = f (x, y). Frage: wo hat z ein lokales Extremum (Max. oder Min.)? Extremum: f (x, y) hat in (x 0, y 0 ) ein lokales Maximum, wenn f (x, y) f (x 0, y 0 ) in einer Umgebung von (x 0, y 0 ) Extremum: f (x, y) hat in (x 0, y 0 ) ein lokales Minimum, wenn f (x, y) f (x 0, y 0 ) in einer Umgebung von (x 0, y 0 ) Notwendige Bedingung für ein lokales Extremum: Tangentialebene muss waagrecht sein. Das bedeutet: Die Kurve z = f (x, y 0 ) muss eine waagrechte Tangente haben. Die Kurve z = f (x 0, y) muss eine waagrechte Tangente haben. D.h. notwendige Bedingung: f x = 0 und f y = 0

16 Lokale ohne NB Lokale ohne Nebenbedingungen (NB) Notwendige Bedingung ergibt Kandidaten für einen Extremwert. Denition: Die Punkte (x 0, y 0 ), für die f x (x 0, y 0 ) = 0 und f y (x 0, y 0 ) = 0 gilt, heiÿen stationäre Stellen. Überprüfung der Kandidaten auf Extremum oder Sattelpunkt Sei (x 0, y 0 ) ein Kandidat: wenn f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) (f xy (x 0, y 0 )) 2 > 0, dann lokales Extremum wenn f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) (f xy (x 0, y 0 )) 2 < 0, dann Sattelpunkt

17 Lokale ohne NB Bestimmung lokaler ohne NB Satz: Die Funktion z = f (x, y) hat an der Stelle (x 0, y 0 ) ein lokales Extremum, wenn gilt: f x (x 0, y 0 ) = 0 und f y (x 0, y 0 ) = 0 und (x 0, y 0 ) = f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) (f xy (x 0, y 0 )) 2 > 0 Ist f xx (x 0, y 0 ) > 0, dann liegt ein lokales Minimum vor. Ist f xx (x 0, y 0 ) < 0, dann liegt ein lokales Maximum vor. Anmerkung: Statt f xx (x 0, y 0 ) kann man auch f yy (x 0, y 0 ) überprüfen (müssen gleiches Vorzeichen haben).

18 Lokale ohne NB Vorgehen: Bestimmung lokaler ohne NB 1. Stationäre Stellen bestimmen: Sämtliche partiellen Ableitungen müssen Null sein, d.h. f x (x, y) = 0 und f y (x, y) = 0. Dadurch ergibt sich ein System von zwei (i. A. nichtlinearen) Gleichungen für die Unbekannten x und y Lösungen (x E, y E ). 2. Überprüfung der Kandidaten auf Extrema: Sämtliche zweite Ableitungen berechnen: f xx, f yy, f xy Für alle (x E, y E ) berechne = f xx f yy (f xy ) 2 Falls (x E, y E ) > 0, so ist (x E, y E ) Extremstelle. Maximumstelle, falls (x E, y E ) > 0 und f xx (x E, y E ) < 0 Minimumstelle, falls (x E, y E ) > 0 und f xx (x E, y E ) > 0 Falls (x E, y E ) < 0: (x E, y E ) ist Sattelpunktstelle. Falls (x E, y E ) = 0: keine Aussage mgl./weitere Überlegungen notwendig.