Kählersche Geometrie auf komplexen Mannigfaltigkeiten, Skalarkrümmung und das Yamabe-Problem und Simulationen einer kryogenen Gas-Stopzelle

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1 Kählersche Geometrie auf komplexen Mannigfaltigkeiten, Skalarkrümmung und das Yamabe-Problem und Simulationen einer kryogenen Gas-Stopzelle Technische Universität Dresden Dr. rer. nat. Frank Morherr

2 Was ist Krümmung? Gerade soll Krümmung Null haben. Prototyp Kreis - großer Radius, kleine Krümmung: - kleiner Radius, große Krümmung: Daher liegt nahe zu definieren: Krümmung k = 1/R

3 Wie passt die Gerade hier rein? Erdoberfläche ist gekrümmt, trotzdem hielt sich hartnäckig bis ins 15.Jh. die Ansicht einer Scheibe. Grund: Erdradius so groß, dass man Krümmung auf 1. Blick nicht sieht. Gerade ist Kreis mit großem Radius.

4 Krümmung anderer Kurven der Gestalt Differentialrechnung: y 3.75 Steigung Kurve = Steigung Tangente = Krümmung Kurve = Krümmung des Krümmungskreises x Hängt zusammen mit Was ist der Krümmungskreis? ghghg Annäherung von P und P auf P ergibt Krümmungskreis mit Radius

5 Krümmung mit Vorzeichen Mathematisch positive Richtung ist entgegen dem Urzeigersinn, daher Positiv = Linkskrümmung Steigung der Ableitung wächst Negativ = Rechtskrümmung Steigung der Ableitung fällt

6 Krümmung von Kurven in anderen Darstellungen Für Kurven der Gestalt Beispiel Ellipse mit Parameter t gilt für die Krümmung

7 Schnittkrümmung von Flächen Schnitt von Flächen mit Ebenen ergibt Schnittkurven mit Krümmung Hauptkrümmungen = minimale und maximale Krümmung

8 Gaußsche Krümmung K Theorema Egregium: Gaußkrümmung K hängt nur von der inneren Geometrie der Fläche ab, nicht von dem umgebenden Raum

9 Mittlere Krümmung H Bei Minimalflächen = Flächen minimaler Oberfläche bei vorgegebenem Rand Beispiel: H = 0 Seifenhautgebilde Oberflächenenergie ist minimal

10 Bilder verschiedener Minimalflächen Enneperfläche Scherksche Fläche Katenoid Hennebergfläche

11 Der Riemannsche Krümmungstensor Auf gekrümmten Flächen ändern Vektoren nach Paralleltransport ihre Richtung. Einführung des Symbols als Ableitung des Vektorfeldes Y in Richtung des Vektorfeldes X Riemannscher Krümmungstensor:

12 Einsteinsche Feldgleichung Ric : Riccitensor R : Skalarkrümmung, Spur von Ric, R = 2K, K G.-Krümmung T : Energie-Impuls-Tensor g : Metrik (Abstandsfunktion) Λ : Kosmologische Konstante Spezielle Lösung: Schwarzschildmetrik eines schwarzen Loches:

13 Komplexe Mannigfaltigkeiten Topologische Mannigfaltigkeit mit biholomorphen Kartenwechselhomöomorphismen U offen, Karte (U,φ) Atlas biholomorphe Kartenwechsel

14 De Rham- und Dolbeault-Kohomologie Differenzierbaren n-dim reelle Mannigfaltigkeit M: Basis eines lokalen Tangentialraums Basis des lokalen Cotangentialraumes De Rham-Kohomologiegruppe

15 M komplexe n-dim Mannigfaltigkeit. Basis des lokalen Tangentialraumes Basis des lokalen Cotangentialraumes Zerlegung der n-differentialformen liefert Mit den Operatoren Bekommt man die Dolbeault-Kohomologie-Gruppen

16 Kählermetriken Sei M eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit. Eine hermitesche ( ) Metrik auf M mit zugehöriger Differentialform heißt Kählermetrik, falls ( also ) Eine Kählermetrik heißt Ricci-flach, wenn der Ricci-Krümmungstensor verschwindet, der im Kählerfall folgende Gestalt hat Eigenschaft Kähler-Einstein-Metrik:

17 Kählermetriken und Kohomologie Für Kähler-Metriken mit zugehörigen Kählerformen gilt: d.h. zwei Kähler-Metriken liefern dieselbe Kohomologieklasse in genau dann, wenn Kählerformen sich um Potential unterscheiden löste S.T. Yau das Calabi-Problem für den Fall trivialer erster Chern-Klasse: M kompakte holomorphe Mannigfaltigkeit mit trivialem kanonischen Bündel In jeder Kähler-Klasse existiert ein Ricci-flacher Repräsentant.

18 Calabi-Yau-Varietäten, speziell K3-Flächen K3-Flächen M: trivial und es existieren keine globalen holomorphen 1-Formen: Suche nach Ricci-flachen Kähler-Metriken motiviert durch Resultat von Y.-T. Siu, 1983: jede K3-Fläche ist kählersch, spezielle K3-Flächen: desingularisierte Kummerflächen.

19 Kummerflächen und Singularitätenauflösung Konstruktion von Kummerflächen mithilfe von algebraischen Tori mit amplem Geradenbündel und eindimensionalem Linearsystem. -Involution operiert auf X durch mit 16 verschiedenen Fixpunkten welche 16 Singularitäten vom Typ liefern. heißt dann singuläre Kummerfläche. Diese hängt noch von der Wahl des Gitters ab. Minimale Auflösung Jede singuläre algebraische Fläche besitzt minimales glattes Modell.

20 Auflösung im Fall (lokale Beschreibung) Cartan: Quotient einer algebraischen Varietät nach endlicher Gruppe ist algebraisch, wird durch invariante Polynome gegeben. Algebra der invarianten Polynome endlich erzeugt. V ist singulär in (0,0,0). Einmaliges Aufblasen in, Übergang zur eigentlich Transformierten liefert lokale Auflösung X X kann mit Totalraum des zweifach tautologischen Geradenbündels auf

21 Desingularisierung der Kummerfläche

22 Ricci-flache Kählermetrik auf der Singularität Kartenwechsel des Bündels ergeben sich zu Wobei reicht,erhält man mittels ist invariant unter Kartenwechseln des Bündels. Lösen von liefert die ricci-flache Kähler-(Einstein)-Metrik Potential: (1)

23 Kummerflächen und Thetafunktionen Einbettung der abelschen Fläche, invariant unter Involution Thetafunktion Für mit zeigt langwierige Rechnung mit wobei

24 Dabei gilt in klassischer Notation für die Koeffizienten Mit den Thetanullwerten Kummerfläche invariant unter folgenden -Automorphismen

25 Sei Einparameterspezialfall von Kummerflächen wobei Kummergleichung wird zu Mit den Tetraederkoordinaten p,q,r,s. 16 Singularitäten entstehen aus unter den Automorphismen.

26 4 reelle Punkte

27 Konstruktion der Kähler-Einstein-Metrik auf der Kummerfläche aus Metrik in den Singularitäten Perioden der Thetafunktionen bestimmen sich aus abelschen Integralen wobei mit 1-Parameter Kummerfl. hat Gestalt Damit lässt sich Metrik in Thetafunktionen ausdrücken.

28 Kummerflächen bzw. Calabi-Yau in der Physik Stringtheorie: Teilchen keine Punkte, sondern vibrierende eindimensionale Objekte. Teilchen: eindimensionale Weltlinie String: zwei dimensionale Weltlinie Es überträgt sich auch der Prozess der Desingulierung (Aufblasung) der Kummerfläche Kompaktifizierung (Einrollen) der Extradimensionen zu den beobachtbaren 4 Dimensionen: Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten Literatur: Paul Aspinwall: K3 Surfaces and String Duality

29 Konstruktion von Kähler-Einstein-Metriken mittels der Monge-Ampére-Gleichung

30 Konstruktion von Kähler-Einstein-Metriken mittels der Monge-Ampére-Gleichung

31 Das Yamabe Problem

32 Kann sich Krümmung wie Wärme verhalten? Der Yamabe-Fluss Yamabe-Problem: Geometrie einer Riemannschen Mannigfaltigkeit soll konform abgeändert werden, dass als Resultat Skalarkrümmung konstant wird. Krümmung soll gleichmäßiger auf der Mannigfaltigkeit verteilt werden, hat also eine Art dissipatives Verhalten Vergleich mit Wärme: Wärme hat grundlegende Eigenschaft, sich im Verlauf der Zeit in einem Raum zu verteilen, bis die Temperatur überall den gleichen Wert hat. Verhalten wird durch Wärmeleitungsgleichung beschrieben Analog zum Wärmefluss: Yamabe-Fluss. Problem: Nicht klar, dass dieser Evolutionsprozess immer erfolgreich verläuft Ausbildung von Singularitäten möglich Mittels Reskalierungstechnik wurde Geometrie in Umgebung eines solchen Blow- Up-Punktes präzise bestimmt. Mannigfaltigkeit sieht an solchen Punkten wie eine Seifenblase fester Größe aus, die sich abschnüren kann Ergebnis mittels Yamabe-Fluss: Seifenblasen können sich nie komplett ausbilden. Yamabe-Fluss deformiert erfolgreich Ausgangsmetrik zur konformen Metrik

33 Bilder: Seifenblasen und Schwarze Löcher

34 Bilder: Seifenblasen und Schwarze Löcher

35 Flüsse in Anwendung: Simulation einer kryogenen Gasstoppzelle für den Super-FRS für FAIR mit ANSYS-FLUENT Ziel: Effektives Abstoppen von aus dem Super-Fragmentseparator kommenden Spaltprodukten in einer Gasstoppzelle zur Weiterleitung in die Radio-Frequenz- Quadrupole zur Weiterleitung in das Multi-ToF und die Detektoren

36 Simulations-Prozedur Berechnen des elektrischen Feldes mit FEM-Software COMSOL Gasdynamische Rechnung mit FEM/FVM- Software ANSYS-FLUENT Ausblick: Importieren der elektrischen- und gasdynamischen Parameter in ITSIM Simulation der individual Teilchenpfade und Optimierung Theoretische Beschreibung des Gasflusses Modell für Gas-Fluss Rechnungen Boltzmann-Gleichung: Beschreibt die statistische Entwicklung in Zeit und Ort der Dichte-Verteilung der Teilchen Kann für jeden Gas-Fluss genutzt werden Berechnung ist sehr zeitaufwendig Kontinuum-Beschreibung (Navier-Stokes- Gleichung) Beschreibung des Gas-Flusses Ist nicht exakt für Gase mit geringem Druck Kann von der Boltzmann-Gleichung abgeleitet werden Berechnung ist weniger zeitaufwendig

37 Comput. Fluid Dynamics (CFD) (Finite Vol.) Methode Kontinuitätsgleichung: Erhaltung der Masse: Impuls-Gleichung: Erhaltung des Impulses Energie-Gleichung: Erhaltung der Energie Innere- und kinetische Energie Potentielle Energie Druck Reibung Wärmeleitung 1. Diskretisierung der Gleichungen 2. Gleichungen werden gelöst in Ort und Zeit bis die Lösung konvergiert und stationär ist 3. Gekoppelte Lösung: Löst Masse-, Impuls- und Energie- Gleichung simultan

38 Simulationen