Wirtschaftsmathematik.

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1 y y = f(x) F1 F3 a F b x Wirtschaftsmathematik. Lösungen: Fragen zur Selbstkontrolle Betriebswirtschaftslehre (B.A.)

2 Lösungen Lösungen Lektion 1 1. Grundlagen der Analysis 1.1 Arithmetische und algebraische Grundlagen 1. Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke: a) 0 ( 6) = 0 b) c) 9 0 = nicht erlaubt d) 0 3 = 0 ( 7 4) = e) ( ) ( 6 4) ( + 1) 8 =. Vereinfachen Sie die folgenden Terme: a) a { b + c [d a + (b + c)] d} = a b c + d a + b + c + d = a + b + c + 3d b) (4m n) (m + n)(m n) (5m + 3n) = 16m 8mn + n m + 8n 5m 30mn 9n = - 11m² -38mn c) (a + b) (a 3b) 4(a + b)(a b) = 4a + 4ab + b a + 6ab 9b 4a + 4b = a + 10ab 4b d) (x + 3y) (x 4y) + (x + y)(x y) 0xy = 4x + 1xy + 9y x + 8xy 16y + x y 0xy = 4x 8y e) [x 3x( x + 4)] 5x( 1 + x) = x + 1x 4x + 5x 10x = 4x 19x 3. Zerlegen Sie jeweils die Zahl im Zähler und Nenner in ihre Primfaktoren und kürzen Sie soweit wie möglich: a) b) c) d) e)

3 4. Lösen Sie die Klammern auf und vereinfachen Sie soweit wie möglich: a) b) c) d) e) 5. Finden Sie einen gemeinsamen Nenner und addieren bzw. subtrahieren Sie folgende Brüche: a) b) c) d) e) 1. Summen und Produkte 1. Berechnen Sie die folgenden Summen: a) b) 3

4 Lösungen d) e). Berechnen Sie die folgenden Produkte: a) b) c) 4

5 1.3 Gleichungen 1. Lösen Sie die Gleichungen nach x auf: a) b) c) Bemerkung zu 1b) Da x=-5 nicht zur Definitionsmenge der Bruchgleichung zählt, hat diese Bruchgleichung keine Lösung d) e). Lösen Sie die folgenden Gleichungen: a) b) 5

6 Lösungen c) d) 3. Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme: a) b) 6

7 c) 7

8 Lösungen 1.4 Ungleichungen 1. Lösen Sie die folgenden Ungleichungen: a) 8

9 b) c) d) 9

10 Lösungen e) Lektion. Funktionen.3 Eigenschaften von Funktionen 1. Sie haben einen Stromvertrag abgeschlossen mit einem monatlichen Grundpreis von 0,00. Der Arbeitspreis pro verbrauchter kwh beträgt 0,35. Skizzieren Sie den Graphen, der den Zusammenhang zwischen Stromkosten und Stromverbrauch darstellt. Wie hoch ist Ihre monatliche Stromrechnung, wenn Sie einen monatlichen Stromverbrauch von 400 kwh haben? x repräsentiert die Elektrizität (kwh) 10

11 . Eine Maschine benötigt 8 Stunden um Endprodukte herzustellen. Wenn eine zweite Maschine parallel zur ersten benutzt wird, dann benötigen beide Maschinen Stunden, um die Endprodukte zu produzieren. Wie lange würde die Produktion dauern, wenn die Endprodukte nur von Maschine B produziert würden? Maschine 1: n1 = Produktionsgeschwindigkeit 1 Maschine : n = Produktionsgeschwindigkeit Zusammen: 3. Bestimmen Sie den Definitions- und Wertebereich der folgenden Funktionen: a) b) 1 x 1 x 3 11

12 Lösungen 4. Skizzieren Sie den jeweils gegebenen Graphen. Erstellen Sie anschließend die Funktionsgleichung g(x), die aus den im Text genannten Verschiebungen resultiert: a) f(x) = x, man erhält g(x) indem f(x) Einheiten nach unten und 5 Einheiten nach rechts verschoben wird. g(x) = (x 5) 10 y = x² 8 y = (x-5)² b) f(x) = x 5, man erhält g(x) indem f(x) 4 Einheiten nach unten und 3 Einheiten nach links verschoben wird. g(x) = (x + 3) y = (x+3) -4 y = x

13 c) f(x) = x+, man erhält g(x) indem f(x) 3 Einheiten nach oben und 5 Einheiten nach links verschoben wird. g(x) = x + 15 (von g(x) = (x + 5) + + 3) 5 0 y = x y = x Erstellen Sie für die folgenden Funktionen jeweils die Umkehrfunktion: a) b) c) 13

14 Lösungen 6. Welche Symmetrieeigenschaften haben die folgenden Funktionen: gerade, ungerade oder weder noch? a) y = x þ gerade o ungerade o weder noch y = x² b) y = x 3 o gerade þ ungerade o weder noch 1000 y = x³

15 c) y = x o gerade o ungerade þ weder noch 3,0 y = x,5,0 1,5 1,0 0, d) y = (x + ) o gerade o ungerade þ weder noch y = (x+)²

16 Lösungen e) y = (x ) 4 o gerade o ungerade þ weder noch y = (x-)² f) y = 3x + 6x 4 7x 6 þ gerade o ungerade o weder noch y = 3x²+6x 4-7x g) y = (x + 3) 3 o gerade o ungerade þ weder noch y = (x+3)

17 .4 Grundlegende Funktionstypen 1. Eine polynomiale Funktion. Grades, die eine Nullstelle für x = hat und die gegen strebt, wenn x ±. Skizzieren Sie den Verlauf des Graphen. f(x) = -(x + ) Finden Sie eine polynomiale Funktion 7. Grades, die Nullstellen an den Stellen 8, 3, 1, und 7 hat gegen strebt, wenn x gegen strebt, wenn x Skizziere den Verlauf des Graphen f(x) = (-1)(x - 8) 3 (x - 7) (x - ) (x + 1) (x + 3) 17

18 Lösungen 3. Änderen Sie die Funktion von. derart ab, dass der Graph gegen + strebt, wenn x f(x) = (x - 8) 3 (x - 7) (x - ) (x + 1) (x + 3) 4. Die Funktion x 6 1x 5 5x x 3 + 4x 48x = 0 hat einfache Nullstellen an den Stellen, 1, 0, 1 und. Finden Sie die 6. Nullstelle. Wegen folgt für die Polynomdivision 18

19 5. Skizzieren Sie grob den Verlauf der folgenden Graphen: a) f(x) = x (x 4) (x + 9) 3 (x + 5) 5 (x 8) b) f(x) = x (x + 1) 3 (x 4) 5 (x ) (x + 3)

20 Lösungen 6. Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktionen mittels Polynomdivision: a) p(x) = x 4 3x 3 4x + 1x 0

21 b) p(x) = x 5 6x 4 14x x + 13x 4 Die erste Nullstelle x 1 =1 findet man durch Probieren 1

22 Lösungen c) p(x) = x x 7x 6 7. Lösen Sie die folgenden Gleichungen: a) x + x = 0 x 1 = 1 x = b) x 4 13x + 36 = 0 x 1 = 3 x = 3 x 3 = x 4 = c) y 6 7y 3 8 = 0 y 1 = y = 1 d) z ½ 5z ¼ + 6 = 0 z 1 = 81 z = 16 e) x 1 = 1 f) x 4 + 7x 3 + 9x 7x 54 = 0 x 1 = x = 3 g) x 7 x 4 16x = 0 x 1 = x = 1 x 3 = h) 4x 4 + x = 0 x 1 = x = i) a + 4a 5 = 0 a 1 = 1 a = 5

23 3 8. Erstellen Sie eine polynomiale Funktion der Form p(x) = a x + b x + c x+ d die die folgenden Eigenschaften besitzt: p( ) = 6 p(0) = 3 p(1) = ¾ p() = 4 9. Finden Sie die Nullstellen der folgenden gebrochen rationalen Funktionen. Welchen Grad haben die Nullstellen? a) 3

24 Lösungen b) c) d) 4

25 10. Finden Sie die Polstellen der folgenden gebrochen rationalen Funktionen. Sind die Polstellen gerade oder ungerade? x 1 a) r(x) = ( x 3) ( x ) Nullstelle: x 1 = 1 Polstelle 1: x = 3 (. Grades) þ gerade o ungerade Polstelle : x 3 = (1. Grades) o gerade þ ungerade b) ( x+ 4) r(x) = 4x 10x+ Nullstelle: x 1 = 4 Polstelle 1: x =,8 (1. Grades) o gerade þ ungerade Polstelle : x 3 = 0, (1. Grades) o gerade þ ungerade c) x + x+ 3 r(x) = x + 9 Nullstelle: keine vorhanden Polstelle 1: keine Lösung, da x = 9 o gerade o ungerade Polstelle : keine Lösung, da x = 9 o gerade o ungerade 11. Bestimmen Sie die Asymptoten der folgenden gebrochen rationalen Funktionen. a) 3 x + x 6 r(x) = 4 x + 6 n < m: Die Funktion nähert sich der x-achse ( x + 3) b) r(x) = 3 x + x 1 n = m Asymptote: 3 5

26 Lösungen 1. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion, die folgende Eigenschaften aufweist: Nullstellen 1. Grades: x 1 = 8, x = 1, x 3 = 1, x 4 = 6, x 5 = 8 Gerade Polstellen: x 6 = 9, x 7 = 0, x 8 = 7 Ungerade Polstelle: x 9 = 3 Minimum: x 10 = 7, x 11 = 4, x 1 = 10,5 Maximum: x 13 = 5, x 14 = 3, x 15 = 5 Asymptote: lim f(x) = 1,lim f(x) =+ x x Bestimmen Sie den Definitionsbereich der folgenden Wurzelfunktionen: Alle Werte müssen aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, die: den Nenner eines Bruches 0 werden lassen die Zahl unter einem Wurzelzeichen mit gradem Exponenten negativ werden lassen die zu logarithmierende Zahl negativ oder Null werden lassen a) f(x) = 3x x + 1 x² + 1 = 0 à Keine Ergebnisse, da x² immer 0 ist à Keine Werte müssen von Nenner ausgeschlossen werden Da der Nenner positiv ist, wird der gesamte Term negativ für: 3x < 0 à x < ⅔ à Alle Werte kleiner als ⅔ müssen ausgeschlossen werden D = \{x < ⅔} 6

27 b) f(x) = x 1 ( + ) x (x + )² = 0 à x = à muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden Nenner ist immer 0, folglich muss nach negativen Werten für den Zähler gesucht werden. x² - 1 < 0 à x 1 < 1 und x > 1 à Lösungen nach Auflösung der Wurzel aus 1 D = \{-1 < x < 1; -} 4x c) f(x) = 3 x 9 x² - 9 = 0 à (x - 3)(x + 3) = 0 à x 1 = 3 und x = 3 à Keine Einschränkung durch die Wurzel, da sie den Grad drei hat. D = \{-3; 3} d) f(x) = 5 4 x à Keine Einschränkung durch die Wurzel, da sie den Grad fünf hat. D = 14. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: a) e e x x b) ( 3 3x ) 3 Lösung: e x + c) ( e x 1 ) Lösung: e x+ Lösung: (3 3x ) -3 = (3 3 x (-3) ) = 3 3 x 3 (-1) = 3 9 (-x) = 19,683 x = d) log 3 9x Lösung: log 3 9x² = log log 3 x² = + log 3 x = (1 + log 3 x) e) 1 logx + log x Lösung:,5log x = log x,5 f) log xy Lösung: 7

28 Lösungen g) logx 3log y Lösung: 15. Skizzieren Sie den Verlauf der folgenden Exponentialfunktionen: x = = 1 y 1.8 y y 5 x = x 3 y=3 -x y= 1 5 x y y=1,8 x x Alle Kurven haben den gemeinsamen Punkt (0 / 1), da das Ergebnis für x = 0 immer 1 ist. Der rote Graph hat eine negative Steigung, da die Basis ein Bruch zwischen 0 und 1 ist. Der grüne Graph hat eine negative Steigung aufgrund des negativen Exponenten. à Alle x-werte kleiner als 0 verursachen negative Exponenten und alle x-werte größer als 0 verursachen positive Exponenten. 16. Berechnen Sie x für die folgenden Ausdrücke: a) log3 81 = x x = = 4 b) log1,1 1,1 = x x = c) log0,5 8= x x = 3 d) log5 5= x x = 0,5 e) log 3 9= x x = 8

29 x f) = 3 3x+ 1 x = (x - 3) ln = (3x + 1) ln x - 3 = 3x + 1 x = - x g) 1 3 x = 5 x 1 x x = 0,5 (x-1) ln 5 + (3-x) ln 5 = (x-1) ln 5 (x-) ln 5 x x = x - 1 x + -x + = x + 1 x = 1 x = 0,5 h) ( x ) = 9 x = 1 x+1 = 3 x = x = Welche der folgenden Gleichungen sind wahr? u a) lnu = ln e þ wahr o falsch ln u = ln u ln e ln u = ln u 3 e b) 3+ nv = ln v o wahr þ falsch 3 + nv = 3 ln v nv = ln v uv c) lnu+ lnv lnw = ln w þ wahr o falsch ln u + ln v ln w = ln u + ln v ln w d) ln 3+ ln5= ln8 o wahr þ falsch ln (3 5) = ln 8 ln 15 = ln 8 9

30 Lösungen e) a+ b ln = ln a + lnb ln c o wahr þ falsch c ln (a + b) ln c = ln a + ln b ln c a+ b ln = ln a + b ln c þ wahr o falsch c f) ( ) ln (a + b) ln c = ln (a+b) ln c 18. Die Bevölkerung von Botswana wurde 1989 auf 1, Millionen Einwohner geschätzt. Die jährlichen Wachstumsrate beträgt 3,4 %. Finden Sie eine Formel für die Bevölkerungszahl zum Zeitpunkt t, wenn t=0 für das Jahr 1989 steht. Bevölkerung nach einem Jahr: 1. m (Wachstumsrate 3.4 %) Bevölkerung nach zwei Jahren: 1. m ² Bevölkerung nach t Jahren 1. m t t bezeichnet die Anzahl der Jahre seit 1989 Wie lange dauert es, bis sich die Bevölkerungszahl verdoppelt hat? Zur Berechnung der Verdopplungszeit wird folgende Gleichung erstellt: 1, m 1,034 t = 1, m 1,034 t = ln 1,034 t = ln t ln 1,034 = ln t = t = 0,73 Nach ca. 1 Jahren oder im Jahr 010 wird sich die Bevölkerung voraussichtlich verdoppelt haben. Lektion 3 3. Differenzialrechnung I 3.4 Bedeutung der ersten und zweiten Ableitung 1. Differenzieren Sie die folgenden Funktionen: a) 1 y = + 5 x 3 3x x b) 1 y = x 3x 1 Lösung: y' = + 6x 1 Lösung: y' = 5 x 30

31 c) y = 3 x d) y = Lösung: Lösung: y' = abx ax b b 1 e) y = ( 3x 4 ) 1 Lösung: y' = 5 x. Differenzieren Sie die folgenden Funktionen unter Verwendung der Produktregel: a) f(x) = ( 7x 3 3x )( ln x 4x) Lösung: y' = x( 11x + 43x+ 3(7x )lnx 3) b) f(x) = ( ax b) ( cx ) Lösung: y' = cx(3ax b) c) f(x) = ( 3x)( 1+ x)( x+ ) Lösung: y' = x(9x + 14) d) f(x) = e x ( 5x 3) x Lösung: y' = e (5x + ) e) = ( + ) f(x) x 4x 1 4 Lösung: y' = x 3. Differenzieren Sie die folgenden Funktionen unter Verwendung der Quotientenregel: 4x ln x a) f(x) = b) f(x) = x + 5 x 0 1 ln x Lösung: y' = Lösung: y' = ( x + 5) x ax + b c) f(x) = cx + d ax( cx + d) bc Lösung: y' = ( cx + d ) ax + bx d) f(x) = cx + dx 1 1 xbc ( ad ) Lösung: y' = ( cx + d ) 31

32 Lösungen 4. Differenzieren Sie die folgenden Funktionen unter Verwendung der Kettenregel: ln a) = ( x + 4x f(x) e ) 3 b) f(x) = 6x 3x + 18x 3 Lösung: y' = x+ 4 Lösung: y' = 3 6x 3x+ c) f(x) = e x d) f(x) = ( ax + b) 4 Lösung: y' = e x Lösung: y' = 4 a( ax + b) 3 e) f(x) = ln( 4x + 1) 8x Lösung: y' = 4x + 1 x 3

33 5. Gegeben ist die Funktion 4 3 f(x) = ax bx + cx ln x Bestimmen Sie die Werte der Parameter a,b und c, so dass gilt: 87 f'() =,f''(1) = 49,f'''( 1) = f ( x) = ax bx + cx ln x f '( x) = 4ax 3bx + c f '() = x 1 f ''( x) = 1ax 6bx + x f ''(1) = 49 f '''( x) = 4ax 6b 3 x f '''( 1) = Ι. = 3a 1b+ c ΙΙ. 49= 1a 6b+ 1 6b = 1a 48 ΙΙΙ. 130 = 4a 6b+ 6b = 1a 48aus ΙΙ.in ΙΙΙ. 130 = 4 a (1a 48) + a = 5 6b = 1a 48mit a = 5 6b = b = Ι.mit a = 5und b = 87 1 = c c = f ( x) = 5x x + 8x ln x 6. Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen: a) ( )= ( f x e 1 ) x 1 x Lösung: y' = e x 1 b) f( x)= x + 3 x x x 3 Lösung: y' = 3 6x 33

34 Lösungen c) f( x)= 1 ln x ln x 3 3 Lösung: y' = x x x x ln x 1 ln x = 3 ln x x x d) f( x)= x x 4 Lösung: e) f( x)= ( x 6) f) ( )= ( ) 3 Lösung: y 4 xx ( 6) ' = 3(( x 6)) 3 f x x ln3x Lösung: y' = ln(3 x ) + = 7. Bestimmen Sie für a) und b) alle Ableitungen und für c) bis e) die ersten zwei: 3 a) f( x)= 3x + 7x x+ b) f( x)= 1 x + 6x 3 Lösung: Lösung: c) f( x)= x Lösung: ( ) d) f( x)= e x x Lösung: e) f( x)= x ln( 1 x ) Lösung: 34

35 8. Skizzieren Sie für die Funktion f(x) = x 4 4x 3 3x + 14x 8 = (x 1) (x 4)(x + ) die Graphen der Funktionen f( x ),f ( x,f ) ( x ),f ( x). f(x) f (x) 40 f (x) 0 4 f (x) 0 9. Bestimmen Sie die Steigung und die Krümmung an den Stellen x = 0 und x = 1: a) f( x)= x x 35

36 Lösungen b) f( x)= e ( x+ ) c) f( x) = ( 1 4x) Finden Sie die Gleichung der Tangente an dem angegebenen Punkt: a) y = 3x an der Stelle x = 1 Lösung: f (1) = 3 DieTangenteberührt denpunkt P(1/ 3) f '( x) = 6x f '(1) = 6 Die Tangente hat die Steigung 6 Allgemeine Tangentengleichung: t(x) = ax + b DurchEinsetzen vonperhält man 3= 6 1+ b b = 3 tx ( ) = 6x

37 b) y = x x an der Stelle x = 4 Lösung: f (4) = 14 DieTangenteberührt denpunkt P(4/ 14) 1 1 f '( x) = x x f '(4) = 7,75 Die Tangente hat die Steigung 7,75 Allgemeine Tangentengleichung: t(x) = ax + b DurchEinsetzen vonperhält man 14 = 7, b b = 17 tx ( ) = 7,75x + 17 c) x x y = x+ 3 Lösung: 3 an der Stelle x = 1 37

38 Lösungen 11. Bestimmen Sie für die Funktion die Werte der Parameter a, b und c, die sicherstellen, dass f(x) eine Polstelle an der Stelle x =, eine Nullstelle an der Stelle x = 1 und eine Asymptote der Form g(x) = hat. Lösung: ax f(x) = x Polstelle an x = wirderreicht, wenn x + c = 0 mitx = erfüllt ist 4 + c = 0 c = 4 + b + c Asymptote g( x) = entsteht durch Polinomdivision (b undckönnenhiervernachlässigt werden)und Gleichsetzung mitg( x) = ax = g( x) = x a = Nullstelle beix = 1entsteht wenn Zähler null wird mitx = 1unda = 1 + b = 0 b = Lektion 4 4. Differenzialrechnung II: Anwendungen 4. Kurvendiskussion 1. Finden Sie die Extremwerte der folgenden Funktionen und zeigen Sie, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt: a) o Minimum þ Maximum y'( x) = 4x + 8 y''( x) = 4 Extremwert: x = y''() = 4< 0 Hochpunkt 38

39 b) o Minimum o Maximum Für die mathematisch besonders Interessierten: Eigentlich handelt es sich hierbei nicht um einen Sattelpunkt sondern um ein Minimum. Der Beweis hierzu ist allerdings komplex auf ihn wird hier verzichtet. Eine solche Aufgabe ist nicht klausurrelevant. c) o Minimum þ Maximum d) ( ) y = 5x+ 3 4 o Minimum o Maximum e) o Minimum o Maximum = 4x y'( x) (1 + x ) = 1 x (1 + x ) y x + 3 x (1 + x ) ''( ) 4 4 (1 + x ) Extremwert: x = 0 y''(0) = 0 Sattelpunkt

40 Lösungen Für die mathematisch besonders Interessierten: Eigentlich handelt es sich hierbei nicht um einen Sattelpunkt sondern um ein Maximum. Der Beweis hierzu ist allerdings komplex auf ihn wird hier verzichtet. Eine solche Aufgabe ist nicht klausurrelevant.. Analysieren Sie die folgenden Funktionen hinsichtlich Definitionsbereich Nullstellen und nenne den Grad der Nullstelle an Polstellen und spezifiziere, ob die Polstelle gerade oder ungerade ist hebbare Unstetigkeitsstellen Asymptote Skizzieren Sie anschließend den Graph. Falls eine hebbare Unstetigkeitsstelle existiert sollte zuerst die Ersatzfunktion gebildet werden und anschließend diese analysiert werden. x x a) y = ( x+ 1) ( x 1) Definitionsbereich: D= \{ 1;1} Nullstellen: x = 0ersten Grades; x = 0,5erstenGrades 1 Polstellen: x = 1ungerade x = 1gerade 3 4 Hebbare Unstetigkeitsstellen: nichtvorhanden Asymptote: g(x)=

41 b) Definitionsbereich: D= \{0} 1 Nullstelle: x1 = ersten Grades; 3 Polstelle: x = 0gerade Hebbare Unstetigkeitsstellen: nichtvorhanden Asymptote: g(x)=x

42 Lösungen c)

43 d) Definitionsbereich: D= Nullstelle: nicht vorhanden Polstelle: nicht vorhanden Hebbare Unstetigkeitsstellen: nichtvorhanden Asymptote: g(x)=0 3,0,5,0 1,5 1,0 0,

44 Lösungen 4.3 Cournot-Punkt 1. Gegeben ist die Preis-Absatz-Funktion p(x) = 40 x und die Kostenfunktion K(x) = 13x + 19 eines Monopolisten. Finden Sie den Preis, der den Gewinn maximiert. Wie hoch ist der maximale Gewinn? K '( x) = 13 U( x) = 40x x U'( x) = 40 3x 3 Gx ( ) = x + 7x 19 3 DieoptimaleMenge wird alshilfsgrößeberechnet K'(x)=U'(x) x=3 DurchEinsetzen vonx=3 in p(x) erhält man p(3)=31(preis) DurchEinsetzen vonx=3 in G(x) erhält man Gx ( ) = 35 (Gewinn). Gegeben ist die Preis-Absatz-Funktion p(x) = 4 x und die Grenzkostenfunktion K (x) = eines Monopolisten. Finden Sie den Preis, der den Gewinn maximiert. 44

45 3. Die Preis-Absatz-Funktion p(x) = x + 00 sowie die variablen Kosten K v (x) als auch die Fixkosten K f (x) eines Monopolisten sind gegeben: 8000 K ( x)= Kf ( x)= 9 x v 9 K( x) = x K '( x) = x 9 U( x) = x + 00x U'( x) = 4x Gx ( ) = x + 00x 9 3 G'( x) = x a) Bei welcher Produktionsmenge ist der Umsatz gleich Null? U( x) = 0 x + 00x = 0 x = 0 DieLösung x = 100 entfällt, danegativemengennicht existieren b) Bei welcher Produktionsmenge ist der Gewinn gleich Null? Gx ( ) = x + 00x = x = 13,85 DieLösung x = 16,35entfällt, danegativemengennicht existieren 45

46 Lösungen 4. Die Kosten eines Strommonopolisten für die Herstellung von Strom sind K(x) = 100x (x wird in 000 kwh gemessen). Der Preis pro kwh hängt ab von der Stromnachfrage gemäß p(x) = b a x. Aus Erfahrung weiß der Monopolist, dass die gewinnmaximale Menge x opt = 50 beträgt mit einem Gewinn von Bestimmen Sie die zugehörigen Parameterwerte a und b der Preis-Absatz-Funktion. K '( x) = 100 px ( ) = b ax U( x) = bx ax U'( x) = b ax Gx ( ) = bx ax 100x 8000 G(50) = = b 50 a Ι = 50b 6500a U'( x) = K '( x) mit x = 50 b a 50 = 100 ΙΙ. b = a II. in I = 50( a) 6500a a = 0, a = 0,in II. b = , b = 00 46

47 5. Multivariate Funktionen Lektion 5 5. Partielle Ableitungen 1. Bilden Sie alle ersten partiellen Ableitungen der folgenden Funktionen: a) f(x,y) = (x 3y)(x ) f '( x, y) = 3x 4x 3y x f '( x, y) = 3x + 6 y b) y + 3 f '( x x, y) = ( x + y) f x y = (x '(, ) 3) y ( x + y) c) 1 f '( x x, y) = 6xy + y x f '( y x, y) = 3x y d) f '( x, x ) = x 4 x1 f '(( x, x ) = x + 3 x e) 4 f '( x x, x ) = 1 1 x f x x = (4x1 '((, ) + 3) x 1 ( x ) 47

48 Lösungen. Bilden Sie alle ersten und zweiten partiellen Ableitungen der folgenden Funktion: 3. Überprüfen Sie die folgenden Funktionen auf die Existenz von Extrema und zeigen Sie, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt: a) f(x,y) = x 3 + y 3 x y fx '( x; y) = 3x 4x f y '( x; y) = 6y 4y fxy ''( x; y) = 0 fxx ''( x; y) = 6x 4 f ''( x; y) = 1 y 4 yy Überprüfung der notwendigen Bedingung fx '( x; y) = 0 3x 4x = 0 4 x1 = 0 x = 3 f y '( x; y) = 0 6y 4y = 0 y1 = 0 y = 3 A(0;0) B(0; C D 3 ) (4 3 ;0) (4 3 ; 3 ) 48 Überprüfung der hinreichenden Bedingungen A(0;0) f xx ''(0;0) = 4< 0

49 49

50 Lösungen 50

51 b) f(x,y) = x ln(x + y) y 51

52 Lösungen 5.4 Extremwertbestimmung unter Nebenbedingungen 1. Finden Sie mittels der Langrange-Methode die Extrema der folgenden Funktionen unter Berücksichtigung der angegebenen Nebenbedingung: a) Max f(x,y) = 15x + 10y x y u.d.n. 3x + y = 4 u.d.n. 3x + y = 4 f ( x, y, λ) = 15x + 10 y x y 3xλ yλ + 4λ I. f '( x x, y, λ) = 15 4x 3λ = 0 II. f '(, y x y, λ) = 10 y λ = 0 III. f '(, x y, λ) = 3x y + 4= 0 λ Aus II. folgt y = 10 λ y = 10 λ in III. 3x 10+ λ + 4= 0 x = λ 3 x = λ ini ( λ ) 3λ = λ = x = λ = in y = 10 λ 17 y = y = 17 A( 1 17 ;16 17 ) 5

53 b) Max u.d.n. x + y = 8 Erklärung: B(-; ) und C(; -) sind keine Lösungen. Dies erkennt man durch Einsetzen in die Maximierungsbedingung. Dies liefert bei B und C einen Funktionswert von -1. Optimal wäre jedoch 1, also sind nur A (; ) und D(-; -) richtige Lösungen. 53

54 Lösungen c) Max u.d.n. x + 4y = 16 54

55 Nach Einsetzen in f (x, y) erkennt man dass nur die letzte Lösung y 1 = 0; x 3 = -4 optimal ist. d) Max f(x,y) = x + y u.d.n. x + 3xy + 3y = 3 A(3; 1) B(-3; 1) C(3; -1) D(-3; -1) Durch Einsetzen in die Maximalbedingung erkennt man dass nur C(3; -1) optimal ist.. Maximieren Sie das Produkt zweier positiver Zahlen, deren Summe 36 ist. 55

56 Lösungen 3. Ein Bauer besitzt 400m Zaun, mit dem er ein rechteckiges Feld einzäunen möchte. An der Seite grenzt das Feld an einen Fluss an und muss nicht eingezäunt werden. Welche Abmessung des Feldes maximiert die verfügbare Fläche, wenn die verbleibnden Seiten mit dem verfügbaren Zaun eingezäunt werden sollen? b a 4. Ein Bauer besitzt 400m Zaun, mit dem er ein rechteckiges Feld einzäunen möchte. Das Feld des Bauern grenzt an andere Felder an, die bereits eingezäunt sind und deren Zäune im rechten Winkel zueinander stehen. Welche Abmessung des Feldes maximiert die verfügbare Fläche, wenn die verbleibenden Seiten mit dem verfügbaren Zaun eingezäunt werden sollen? b a 56

57 5. Eine Kiste mit rechteckigen Seitenwänden und quadratischem Boden soll ein Volumen von 1000cm 3 haben. Welche Abmessungen der Kiste führen zu einer kleinstmöglichen Oberfläche, unter der Annahme, dass die Kiste keinen Deckel besitzt, sondern oben offen ist. y x x 57

58 Lösungen 6. Die Produktionsfunktion einer Firma ist. Dabei steht K für den Kapitaleinsatz gemessen in Maschinenstunden und L ist der Arbeitseinsatz, gemessen in Arbeitsstunden. Die Leasing-Kosten der Maschine betragen 5 die Stunde, während die Arbeitsstunde Euro pro Stunde kostet. a) Welche masximale stündliche Produktionsmenge ist möglich, wenn ein Budget von 1000 zur Verfügung steht? b) Wie ändert sich die Lösung, wenn das doppelte Budget zur Verfügung steht? III. f ' ( x, y, λ ) = 5K L b λ 5 Nach wie vor gilt: L = K 5 L = K in III b.einsetzen 5K+ 5 K = 000 K = 00 L =

59 c) Was ist die optimale Lösung, wenn der Stundenlohn 4 beträgt? 6. Folgen und Reihen Lektion Arithmetische und geometrische Folgen 1. Bei welcher der folgenden Folgen handelt es sich um eine arithmetische oder geometrische Folge? Bestimmen Sie im Fall einer arithmetischen oder geometrischen Folge das nächste sowie das allgemeine Glied. a) 1, 15, 18, 1, 4 þ arithmetisch, d=3 o geometrisch o weder noch nächstes Glied: 7 allgemeines Glied: a n =1 + (n 1).3 b) 5 3,1, 5, 1 8 o arithmetisch o geometrisch þ weder noch nächstes Glied: allgemeines Glied: c) 1, 1 7, 1 49, o arithmetisch þ geometrisch, q= o weder noch nächstes Glied: allgemeines Glied: d) 5 x, 5 x 1, 5 x, 5 x+ 1 o arithmetisch o geometrisch þ weder noch nächstes Glied: allgemeines Glied: 59

60 Lösungen e) 40, 0, 10, 5 o arithmetisch þ geometrisch, q= o weder noch nächstes Glied:,5 allgemeines Glied:. Bei welcher der folgenden Folgen handelt es sich um eine arithmetische oder geometrische Folge? a) a n = n 1 o arithmetisch o geometrisch þ weder noch b) o arithmetisch þ geometrisch, q= o weder noch c) n a n = n o arithmetisch o geometrisch þ weder noch 3. Vervollständigen Sie die beiden Tabellen: a) b) c) d) a q - ⅓ 0,,5 n a n -1 0, 15,65 a n ist eine geometrische Folge mit dem konstanten Quotienten q. Allgemeine Gleichung für geometrische Folgen: a) b) 60

61 c) d) e) f) g) h) b d n b n b n ist eine arithmetische Folge mit der konstanten Differenz d. Allgemeine Gleichung für arithmetische Folgen: e) f) g) h) n 4. Gegeben ist die Folge a n = n + 1 Bestimmen Sie die ersten fünf Glieder der Folge. 61

62 Lösungen 5. Das 5. Glied einer arithmetischen Folge ist 19 und das 1. Glied ist 40. Bestimmen Sie für diese Folge das 1. und das allgemeine Glied. 1. Glied: Allgemeines Glied: Lösung: Zuerst stellen wir die beiden Bedingungen auf, die vorgegeben sind: Durch äquivalentes Umformen erhalten wir daraus beziehungsweise Nun können wir die erste Gleichung in die zweite Gleichung einsetzen und nach a 1 umformen. Durch Einsetzen von a 1 in die zweite Gleichung errechnen wird. 6

63 6. Eine arithmetische Folge der Form k, k 3, k 3,0,... ist gegeben. Das 0. Glied ist 15. Finden Sie k. Lösung: Da das erste Glied als k gegeben ist, kennen wir a 1 schon. Nun kann man d in a 0 einsetzen und k berechnen. 6. Arithmetische und geometrische Reihen 1. Tom spart 10-Cent Münzen. Am ersten Tag wirft er eine Münze in sein Sparschwein, am zweiten Tag zwei, am dritten Tag drei, usw. Welchen Betrag hat Tom nach 60 Tagen gespart? Lösung:. Ein Element hat eine Halbwertszeit von 4 Stunden, d. h. nach 4 Stunden hat sich das Gewicht des Elements halbiert. Wenn das Gewicht zu einem bestimmten Zeitpunkt 160g beträgt, wie viel wiegt dann das Element 4 Stunden später? Lösung: Der Zerfallsprozess gestaltet sich wie folgt: Mittels geometrischer Reihe berechnen wir dann 63

64 Lösungen n 3. Gegeben ist die Folge a n = n + 1 Bestimmen Sie die ersten fünf Glieder der entsprechenden Reihe. 4. Berechnen Sie die Summe der ersten 17 Glieder der folgenden Folgen: a), 3, 8, 13, 18,... Lösung: b), 8, 3, 18,... Lösung: c) 1 3, 1 9, 1 7, 1 81,... Lösung: d) 1, 3, 9, 7,... Lösung: e) 3 1,, 9 4, 7,... 8 Lösung: f) 1,, 4, 8, 16,... Lösung: 5. Berechnen Sie die Summe sämtlicher zweistelligen natürlichen Zahlen, die durch 5 teilbar sind. Lösung: Durch 5 teilbar sind 10, 15, 0, 5,...,90, 95. Dabei gilt Bleibt noch n zu berechnen. Wegen ist n=18. Damit folgt für die Summe 6. Die Summe der ersten 0. Glieder einer arithmetischen Folge ist gleich der Summe der ersten. Glieder. Die konstante Differenz d beträgt. Finden Sie a 1. Lösung: 64

65 Nun sind die beiden folgenden Summen gleich: Durch Vereinfachen finden wir 6.3 Finanzmathematische Anwendungen 1. Sie haben eine Anlagemöglichkeit gefunden, die Ihnen einen Zinssatz von 8% p.a. garantiert. Sie investieren 400. Welchen Endbetrag bekommen Sie nach 3 bzw. 7 Jahren ausgezahlt, im Fall von a) einfacher Verzinsung? Lösung: b) Zinseszinsen? Lösung:. Sie zahlen am 16. Juni auf Ihr Bankkonto ein, das mit 3% p.a. verzinst wird. Welchen Betrag können Sie am 10. März 01 wieder abheben, wenn die Zinsberechnung unter der Verwendung der a) Deutschen Methode b) Euromethode c) Englischen Methode d) Tagesgenauen Methode erfolgt? Beachte: Das Jahr 01 ist ein Schaltjahr. Lösung a): Lösung b): Lösung c): 65

66 Lösungen Lösung d): 3. Eine Anfangsinvestition ist von auf.80 innerhalb von 10 Jahren angewachsen. Zu welchem jährlichen Zinssatz wurde das Kapital verzinst? Lösung : Es handelt sich um eine Zinseszinsrechnung. Die Formel ist nach dem Zinssatz i aufzulösen 4. Berechnen Sie den Effektivzins einer Investition, die bei quartalsweiser Zinszahlung einem Zinssatz von 6% pro Quartal hat. Lösung : Es handelt sich um eine Zinseszinsrechnung. Die Formel ist nach dem effektiven Zinssatz aufzulösen. Allerdings ist dabei zu beachten, dass eine quartalsweise Verzinsung stattfindet. Insgesamt haben wir die beiden Formeln Setzen wir die Zinseszinsformel in die Effektivzinsformel ein und stellen nach ieff um. 66

67 5. Eine Anlage verzinst das angelegte Kapital quartalsweise. Der effektive Jahreszins beträgt 6% p.a. Berechnen Sie den Quartalszins als auch den jährlichen Nominalzins. Quartalszins: Nominalzins: Lösung : Es handelt sich um eine Zinseszinsrechnung. Die Formel ist nach dem Quartalszinssatz aufzulösen. Allerdings ist dabei zu beachten, dass eine quartalsweise Verzinsung stattfindet. Insgesamt haben wir die beiden Formeln Setzen wir die Zinseszinsformel in die Effektivzinsformel ein und stellen nach i um. 6. Ein Betrag von wird über einen Zeitraum von fünf Jahren angelegt. Der Nominalzins beträgt 5% p.a. Berechnen Sie den Endwert der Investitionen. Der Zinszahlung liegt die Deutsche Methode zugrunde und erfolgt a) jährlich Lösung : b) monatlich Lösung : c) täglich Lösung : 67

68 Lösungen 7. Berechnen Sie den Endwert von 1.000, die bei quartalsweiser Verzinsung über einen Zeitraum von drei Jahren zu einem Nominalzins von 5% p.a. angelegt werden. Lösung : K = 1160,75 Es handelt sich um eine Zinseszinsrechnung. Das Endkapital ist zu berechnen. Allerdings ist dabei zu beachten, dass eine quartalsweise Verzinsung stattfindet. 8. Sie legen 800 über einen Zeitraum von zehn Jahren an. a) Der Zinssatz beträgt 0,0755% pro Woche bei wöchentlicher Verzinsung b) der Zinssatz beträgt 4% p.a. bei jährlicher Verzinsung Berechnen Sie den Endwert der Investitionen. Lösung a): Lösung b): 9. Welche Form der Anlage ist attraktiver, um 100 über einen Zeitraum von 10 Jahren anzulegen: a) 5% p.a. bei einfacher Verzinsung. b) 0,39% per Monat bei monatlicher Verzinsung. c) 4,7% p.a. bei jährlicher Verzinsung. Lösung a): Lösung b): Lösung c): 68

69 10. Welcher Anfangsbetrag muss ursprünglich investiert werden, um nach 5 Jahren und einem Zinssatz von 8% p.a. mit jährlicher Verzinsung einen Endwert von 3 zu erhalten. Lösung: Es handelt sich um eine Zinseszinsrechnung. Das Startkapital ist zu berechnen. Die Zinseszinsformel muss also nach K 0 umgestellt werden. 11. Wie lange dauert es, bis sich eine Anfangsinvestition bei einem Zinssatz von 3,5% p.a. und jährlicher Verzinsung vervierfacht hat? Lösung: Das Endkapital ist bekannt. Es ist viermal so groß wie das Startkapital. Damit haben wir eine Gleichung mit zwei Variablen, nämlich K 0 und n. Da sich K 0 wegkürzt, kann die Gleichung nach n aufgelöst werden Es dauert also mehr als 40 Jahre, bis es zur Vervierfachung des eingesetzten Kapitals kommt. 1. Eine Anfangsinvestition wurde über die ersten vier Jahre mit 6% p.a. und anschließend für weitere drei Jahre mit 6,5 % p.a. jährlich verzinst. Berechnen Sie den jährlichen Effektivzins dieser Investition. Lösung: i = 6,1% Der Effektivzins entspricht dem Zins, den man äquivalent zu den beiden unterschiedlichen Verzinsungen ansetzen kann. Am Ende muss das gleiche Kapital sich ergeben. Daher kann man beide Alternativen gleichsetzen und nach i (dem Effektivzins) auflösen. 69

70 Lösungen 13. Ein Autor kann hinsichtlich seines Honorars zwischen zwei unterschiedlichen Modellen wählen: Er bekommt entweder sofort ausgezahlt oder drei gleich große jährliche Zahlungen über 7.650, wobei die erste Zahlung sofort fällig ist. Welche der beiden Alternativen ist für den Autor attraktiver, wenn der aktuelle Marktzins 6% p.a. beträgt? Lösung: Alternative Hier müssen zwei Alternativen getrennt voneinander betrachtet werden. Zuerst berechnen wir das Endkapital der ersten Variante, anschließend das der zweiten Variante. Unter der Annahme der Endvermögensmaximierung wählt der Autor Alternative, da diese zum höheren Endvermögen führt. 70

71 7. Integralrechnung Lektion Das unbestimmte Integral 1. Finden Sie f(x): Lösung zu Aufgabe a): Durch Probieren und Anwendung der Integrationsregeln finden wir Bitte beachten Sie unbedingt, dass neben der Konstanten c auch in f(x) ein weiterer Term ax eingefügt werden muss, wobei a=0 zulässig ist. Lösung zu Aufgabe b): Da die Exponentialfunktion abgeleitet gleich bleibt, erhalten wir Bitte beachten Sie unbedingt, dass neben der Konstanten c auch in f(x) ein weiterer Term ax und bx eingefügt werden muss, wobei a=0 und b=0 zulässig ist. 71

72 Lösungen Lösung zu Aufgabe c): Hier muss durch die Angabe f(1)= 5/1 noch die Konstante c exakt bestimmt werden. Zuerst einmal bestimmen wir die allgemeine Stammfunktion zu Anschließend wird x=1 in die Stammfunktion eingesetzt und c berechnet Lösung zu Aufgabe d): Hier muss durch die Angabe f(0)= 1/ noch die Konstante c exakt bestimmt werden. Zuerst einmal bestimmen wir die allgemeine Stammfunktion zu Anschließend wird x=0 in die Stammfunktion eingesetzt und c berechnet Lösung zu Aufgabe e): Hier muss durch die Angabe f(0)= 1/ und f (1)=5 noch die Konstante a und b exakt bestimmt werden. Zuerst einmal bestimmen wir die allgemeine Stammfunktion zu Anschließend wird x=1 in die 1. Ableitung f (x) eingesetzt und a berechnet 7

73 Danach wird x=1 in die Funktion f(x) eingesetzt und b berechnet Wir erhalten also ingesamt die Funktion Lösung zu Aufgabe f): Hier muss durch die Angabe f(0)= 1 und f (0)=-1 noch die Konstante a und b exakt bestimmt werden. Zuerst einmal bestimmen wir die allgemeine Stammfunktion zu Anschließend wird x=0 in die 1. Ableitung f (x) eingesetzt und a berechnet Danach wird x=0 in die Funktion f(x) eingesetzt und b berechnet Wir erhalten also ingesamt die Funktion 73

74 Lösungen. Finden Sie die zugehörige Stammfunktion: 3. Die Grenzkostenfunktion eines Produktes ist K (x) = 3x + 4 und die Fixkosten sind 40. Bestimmen Sie die Kostenfunktion K(x). Lösung: Aus den Grenzkosten ergeben sich zuerst die variablen Gesamtkosten, indem man die Stammfunktion der Grenzkosten findet. Diese lautet hier: Damit ergeben sich die Gesamtkosten aus der Summe der variablen und fixen Gesamtkosten: 74

75 7. Das bestimmte Integral 1. Berechnen Sie die Fläche unter den Funktionen: a) Fläche = 4 Lösung: Zuerst ist die Stammfunktion zu finden. Diese lautet hier (ohne Konstante) Nun kann die Fläche durch das Einsetzen der oberen bzw. unteren Integrationsgrenze berechnet werden. Da die Funktion 4x im positiven Bereich zwischen und 5 verläuft, sind keine Betragszeichen notwendig ,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 Für die Fläche erhalten wir dann 75

76 Lösungen b) Fläche = 4 Lösung: Zuerst ist die Stammfunktion zu finden. Diese lautet hier (ohne Konstante) Nun kann die Fläche durch das Einsetzen der oberen bzw. unteren Integrationsgrenze berechnet werden. Da die Funktion im positiven Bereich zwischen -1 und 3 verläuft, sind keine Betragszeichen notwendig Für die Fläche erhalten wir dann 76

77 c) Fläche = 3,5573 Lösung: Zuerst ist die Stammfunktion zu finden. Diese lautet hier (ohne Konstante) Nun kann die Fläche durch das Einsetzen der oberen bzw. unteren Integrationsgrenze berechnet werden. Da die Funktion im negativen Bereich zwischen 4 und 5 verläuft, sind Betragszeichen notwendig , 4,4 4,6 4,8 5,0 Für die Fläche erhalten wir dann 77

78 Internationale Hochschule Bad Honnef Bonn Fernstudium Campus Bad Reichenhall Zenostraße Bad Reichenhall Telefon: Telefax: [email protected]