Mathematik 3 für Informatik

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1 Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Präsenzaufgaen zum 8und 9 Lösungshinweise (onhe Garantie auf Fehlerfreiheit Sei f : D R mit D {(x, y R : x, y > } und f(x, y x sin(x y + xy (a Bestimmen Sie die partiellen Aleitungen f x und f y und geen Sie den Gradienten von f an der Stelle (x ; y (; an f x x sin(x y + x cos(x y + y (mit Produktregel und f y x cos(x y + x (mit Kettenregel Es folgt grad f(; ( fx(; f y(; ( sin + cos + cos + ( 5 ( Geen Sie die Gleichung für die Tangentialeene von f an der Stelle (x ; y (; an T (x, y f(; + f x (; (x + f y (; (y + 5(x 6(y (c Bestimmen Sie mit Hilfe der Tangentialeene in (x ; y (; eine Näherung für f(, ;, f(, ;, T (, ;, + 5, 6,, 9 (d Bestimmen Sie die Richtungsaleitungen von f an der Stelle (x ; y (; in Richtung der Vektoren v ( und w (, 6, 8 v (; grad f(;, v ( 5, ( w (; grad f(;, w 5 (, (, 6, 8 und 3 4, 8, 8 Bei einem rechtwinkligen Dreieck werden die Katheten a cm und 5 cm mit einer Genauigkeit von jeweils ±, cm gemessen Bestimmen Sie mittels einer linearen Approximation des Fehlers, mit welcher Genauigkeit sich daraus (a die Hypotenuse c a + erechnen lässt (a Es ist dc c c a da + d a a + da + ( der Winkel α arctan a a + d Es folgt (mit c a a c a a + + a + 3, cm also ist c 3 ±, 3 cm ( Mit der Kettenregel und arctan x +x erhält man α a +( a +a dα α α da a d a da + d +a und α a +( a a +a 7, cm 3, cm, 3 cm, und somit Es folgt α a + ( a + a 69 (5 +,, rad, 58o Mit arctan 5 67, 38o folgt α 67, 4 o ±, 6 o

2 3 (a Bestimmen Sie die ersten und zweiten partiellen Aleitungen der Funktion f(x, y ln(x + y 3 x3 y Mit Hilfe der Kettenregel mit x + y als innerer Funktion ( alle auftretenden inneren Aleitungen sind erhält man f x x+y x, f y x+y, f xx (x+y x sowie f xy f yx f yy (x+y ( Finden Sie alle lokalen Extremwerte von f Bei der Bestimmung der Nullstellen des Gradienten stellt man fest, dass f y x+y x+y x + y y x Daraus folgt dann durch Nullsetzen der partiellen Aleitung nach x f x x+y x x x x ± Somit git es zwei Nullstellen des Gradienten als Kandidaten für lokale Extrema: und ( x y ( ( x y ( Diese sind in die HesseMatrix H f auftretende Term H f (; ( 3 (x+y ( fxx f xy einzusetzen Daei stellt man fest, dass der mehrfach f yx f yy für die Kandidaten immer den Wert annimmt und erhält det H f (; 3 > Wegen f xx (; 3 < liegt an der Stelle (; ein lokales Maximum vor, der zugehörige Funktionswert ist f(; 3 ( Weiter ist H f ( ; det H f ( ; < Somit liegt hier ein Sattelpunkt vor 7 Berechnen Sie die folgenden estimmten Integrale: (a (x5 3x + 7 dx 6 x6 3 x + 7x (zur Stammfunktion siehe Aufgae 5 ( π/ sin(π x dx ( cos(π x π/ (Stammfunktion in ( und (c jeweils mit linearer Sustitution (c dx 3 7x+ (7x + /3 dx 7 3 (7x + /3 cos cos π ( ( 3 4 8/3 3 4 /3 3 4 (4 9 4 (d Mit partieller Integration mit u x und v cos x v sin x: π/ x cos x dx x sin x π/ π/ sin x dx π sin π sin π/ sin x dx + cos x π/ cos π cos ( (e Mit der Sustitution y x + dy x dx und entsprechender Sustitution der Grenzen: x x + dx dy y y, 43 (f Mit der Sustitution y x dy x dx und Sustitution der Grenzen erhält man cos x x dx / cos y dy sin y / sin + sin, 48 +, 84, 36

3 5 Berechnen Sie die folgenden unestimmten Integrale: (a (x 5 3x + 7 dx 6 x6 3 x + 7x + c (mit x α dx α+ xα+ und Linearität des Integrals ( e x dx e x + c mit linearer Sustitution 3 (c x dx 3 x dx 3x + c 3 x + c (d 3 cos(4x 5 dx 3 4 sin(4x 5 mit linearer Sustitution (e Mit partieller Integration u x + und v : (x + dx (x + dx (x + + c (x + c (f x dx x ex x ex dx x x ex + 4 ex + c ( x x + + c mit zweimaliger partieller Integration und linearer Sustition, im vorletzten Schritt wird enutzt x ex dx x dx x ex ex dx x ex 4 ex + c (g x dx e y dy e y + c + c (mit der Sustitution y x dy x dx (h Mit partieller Integration u ln x und v x erhält man F (x ln x x dx ln x ln x x ln x dx (ln x F (x F (x (ln x F (x (ln x + c Bemerkung: Dieses Integral kann alternativ auch mit Hilfe der Sustitution y ln x erechnet werden (i Mit partieller Integration: 3 x ln x dx x 3/ ln x x 3/ x dx x3/ ln x x / dx x 3/ ln x 3 x3/ + c x 3/ (ln x 3 + c (j Mit der Sustitution y + 3 dy dx dx y erhält man + 3 dx y dy ln y + c ln(ex c 6 (a Bestimmen Sie zwei Stammfunktionen F und F von f(x x 4 + 3x mit F ( 5 und F ( 3 Die allgemeine Form der Stammfunktion ist x 4 + 3x dx 5 x5 + 3 x x + c Die Bedingung F ( 5 liefert eine Gleichung für c: 5 F ( c c , 3, also F (x 5 x5 + 3 x x + 4, 3 Analog erhält man 3 F ( c c 3 6, , 4 also F (x 5 x5 + 3 x x 3, 4 ( Finden Sie eine Funktion F mit F (x x und F ( und F ( Man erhält F (x x dx 3 x3 x + c mit F ( 3 + c c , also F (x 3 x3 x Dann ist F (x 3 x3 x dx x4 x x + c mit F ( c c , also F (x x4 x x 9 4

4 8 Prüfen Sie, o die folgenden uneigentlichen Integrale existieren und erechnen Sie sie gegeenenfalls: (a e x dx Mit Aufgae 5( erhält man e x dx e x e + e e Für stret und somit e Es folgt, dass das uneigentliche Integral konvergiert mit e x dx ( e x dx Analog zu (a erhält man a e x dx + e a Für a stret a und somit auch e a gegen, womit das uneigentliche Integral von is und damit auch von is nicht existiert (c x +x dx Mit y + x dy x dx folgt mit lim ( + x dx +x y / dy y + c + x + c, Da kein endlicher Grenzwert existiert, divergiert das uneigentliche Integral (d x dx +x Da nach (c der Grenzwert für nicht existiert, ist klar, dass das uneigentliche Integral divergiert Der Grenzwert für a raucht dann nicht mehr etrachtet zu werden (auch dieser Grenzwert ist unendlich (e cos x x dx Wie in Aufgae 7(f folgt cos x x dx sin y / sin + sin Für stret Mit der Stetigkeit der Sinunsfunktion folgt cos lim x x dx sin + lim sin sin + sin sin, 48 Somit existiert das uneigentliche Integral und hat den Wert, 48 (f x e x dx Mit partieller Integration mit u x und v e x v e x erhält man x e x dx x e x + e x e + e e x e e + e e e Mit lim e lim (z B mit der Regel von l'hospital und lim e e folgt, dass das uneigentliche Integral existiert mit x e x dx (g dx x Es handelt sich um ein uneigentliches Integral, da der Integrand für x nicht deniert ist Es ist dx x x + (Stammfunktion mit linearer Sustitution Für erhält man mit der Stetigkeit der Wurzelfunktion lim Daher existiert das uneigentliche Integral mit (h dx dx x + Es handelt sich um ein uneigentliches Integral, da der Integrand für x nicht deniert ist Zur Bestimmung einer Stammfunktion kann y dy dx sustituiert werden: dx dy y y + c + c Damit erhält man a ex dx e e a mit lim a e a e (folgt aus der Stetigkeit der e und der Wurzelfunktion Somit konvergiert das uneigentliche Integral gegen ex dx e, 6

5 4 Sei f(x, y + 3y y 3 + cos(x y (a Berechnen Sie den Gradienten und die HesseMatrix von f ( ( grad f fx sin(x y f y 6y 3y + sin(x y und ( ( H f fxx f xy 4 cos(x y cos(x y f yx f yy cos(x y 6 6y cos(x y ( Bestimmen Sie den Gradienten und die Gleichung für die Tangentialeene an der Stelle (x ; y ( π 4 ; ( Es ist f π x 4 ; sin π und f ( π y 4 ; + sin π und somit grad f ( π 4 ; ( Mit f ( ( ( π 4 ; + cos π folgt T (x, y +, x π 4 ( x π y 4 + y (c Berechnen Sie an der Stelle (x ; y ( π ( 4 ; die Richtungsaleitungen in Richtung der Vektoren u 3 5 ; 4 5, v 5 (; und w (; Mit dem grad f ( ( π 4 ; aus ( erhält man u grad f ( π 4 ;, u ( (,, 6,, 8,, 8 v grad f ( π 4 ;, v ( ( 5, und w grad f ( π 4 ;, w ( (,, (d Prüfen Sie an den Stellen (x ; y (; und (x ; y (;, o ein lokales Maximum, ein lokales Minimum oder ein Sattelpunkt vorliegt Es ist grad f(x ; y grad f(x ; y Weiter ist H f (x ; y ( 4 5 ( det H f (x ; y 4 < Es folgt, dass f an der Stelle (x ; y (; einen Sattelpunkt hat Mit H f (x ; y ( 4 7 det H f (x ; y +4 > folgt, dass f an der Stelle (x ; y (; einen lokalen Extremwert hat Wegen f xx (; 4 < handelt es sich um ein lokales Maximum