Grundkurs Höhere Mathematik I (für naturwissenschaftliche. Studiengänge) Beispiele

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1 Grundkurs Höhere Mathematik I (für naturwissenschaftliche Studiengänge) Beispiele Prof. Dr. Udo Hebisch Diese Beispielsammlung ergänzt das Vorlesungsskript und wird ständig erweitert.

2 1 DETERMINANTEN 1 Determinanten Beispiel 1.1 Bestimmen Sie die Determinante Lösungshinweise Lösung Beispiel 1.2 Bestimmen Sie die Determinante t Lösungshinweise Lösung Beispiel 1.3 Bestimmen Sie x R so, daß die folgende Determinantengleichung erfüllt ist. 1 0 x = Lösungshinweise Lösung

3 1 DETERMINANTEN Hinweise zu Beispiel 1.1: Man kann zunächst elementar umformen, um weitere Nullen zu erzeugen und dann entwickeln, oder direkt die Regel von Sarrus anwenden. Hinweise zu Beispiel 1.2: Formen Sie zunächst elementar um, bevor Sie nach einer geeigneten Zeile oder Spalte entwickeln. Beachten Sie, daß die Regel von Sarrus direkt noch nicht anwendbar ist! Hinweise zu Beispiel 1.3: Formen Sie zunächst elementar um, bevor Sie nach einer geeigneten Zeile oder Spalte entwickeln. Beachten Sie, daß die Regel von Sarrus direkt noch nicht anwendbar ist!

4 1 DETERMINANTEN Lösung zu Beispiel 1.1: Addiert man zunächst das 2fache der dritten Zeile auf die erste, so erhält man = Diese Determinante kann man jetzt nach der ersten Spalte entwickeln: = Diese 2 2-Determinante kann man schließlich direkt berechnen 1 4 = ( 1) ( 2) 4 3 = 2 12 = Man kann natürlich auch die Regel von Sarrus auf die gegebene Determinante anwenden: = ( 2) ( 1) ( 2) = =

5 1 DETERMINANTEN Lösung zu Beispiel 1.2: Da es sich um eine 4 4-Determinante handelt, ist die Regel von Sarrus nicht anwendbar. Man kann entweder direkt entwickeln oder zuerst einige elementare Umformungen durchführen. Zieht man beispielsweise die zweite Spalte von der vierten ab, so ergibt sich t = t Zieht man nun das 2fache der dritten Zeile von der zweiten ab, so erhält man t = t Jetzt kann man nach der letzten Spalte entwickeln: t = ( 1) t Diese Determinante kann ebenfalls sofort nach der letzten Spalte entwickelt werden, oder man kann sie direkt nach der Regel von Sarrus berechnen. ( 1) t = ( 1) ( 5) t = 5(2t 12) = 10(t 6).

6 1 DETERMINANTEN Lösung zu Beispiel 1.3: Zur Vermeidung von Brüchen wird die 2 zunächst in die dritte Spalte hineinmultipliziert: 0 x = 5. Nun wird die letzte Zeile auf die zweite Zeile addiert, um in der letzten Spalte eine weitere 0 zu erzeugen: 0 x = 5. Jetzt wird nach der letzten Spalte entwickelt: 0 x = 0 x = 5. Die 3 3-Determinante kann entweder nach der Regel von Sarrus berechnet werden oder man entwickelt nach der 1. Spalte: 0 x = 2 x = 2(7x 1) = 5. Diese letzte Gleichung hat die einzige Lösung x = 1 2.

7 2 ABLEITUNGEN 2 Ableitungen Bestimmen Sie die (angegebenen) Ableitungen der folgenden Funktionen Beispiel 2.1 f(x) = ln 2 (x e) 1 (1. und 2. Ableitung) Lösungshinweise Lösung Beispiel 2.2 f(x) = (ln 2 (x e)) x (1. Ableitung) Lösungshinweise Lösung Beispiel 2.3 f(x) = ( 1 e ax b)2 für a 0. (1. und 2. Ableitung) Lösungshinweise Lösung Beispiel 2.4 f(x) = Lösungshinweise (x a)2 e 2x für a R. (1. Ableitung) 2 Lösung

8 2 ABLEITUNGEN Hinweise zu Beispiel 2.1: Es ist im wesentlichen ln 2 (y) nach der Kettenregel abzuleiten. Hinweise zu Beispiel 2.2: Schreiben Sie zunächst die Exponentialfunktion zur Basis a = ln 2 (x e) als Exponentialfunktion zur Basis e. Hinweise zu Beispiel 2.3: Es ist f(x) = (e ax b) 2 nach der Kettenregel abzuleiten. Hinweise zu Beispiel 2.4: Es ist die Produktregel anzuwenden und bei der Ableitung von e 2x ist die Kettenregel zu beachten.

9 2 ABLEITUNGEN Lösung zu Beispiel 2.1: Mit y = x e ist im wesentlichen f(y) = ln 2 (y) abzuleiten, da für die innere Ableitung dy = 1 gilt und die Ableitung des Summanden 1 verschwindet. Dies dx ist df dy = 2 ln(y) 1 y. Einsetzen von y = x e liefert f (x) = 2 ln(x e). x e Hieraus ergibt sich nach der Quotientenregel f (x) = 2 x e ln(x e) x e 1 ln(x e) = 2. (x e) 2 (x e) 2

10 2 ABLEITUNGEN Lösung zu Beispiel 2.2: Da es sich bei der abzuleitenden Funktion um eine Exponentialfunktion zur Basis a = ln 2 (x e) = (ln(x e)) 2 handelt, schreibt man diese zunächst als Exponentialfunktion zur Basis e. Dabei beachte man die Potenzrechenregel gemäß ((ln(x e)) 2 ) x = (ln(x e)) 2x. Man erhält dann f(x) = e ln((ln(x e))2x) = e 2x ln(ln(x e)). Hieraus ergibt sich die Ableitung mittels der Kettenregel f (x) = e 2x ln(ln(x e)) (2x ln(ln(x e))) = 2f(x) (x ln(ln(x e))). Für diese letzte Ableitung erhält man mit der Produktregel und der Kettenregel Also ist (x ln(ln(x e))) = ln(ln(x e)) + x f (x) = 2(ln(x e) 2x )(ln(ln(x e)) 1 ln(x e) 1 x e. x (x e) ln(x e) ).

11 2 ABLEITUNGEN Lösung zu Beispiel 2.3: Wegen f(x) = (e ax b) 2 folgt mit der Kettenregel f (x) = 2 (e ax b) e ax ( a) = 2ae ax (b e ax ) = 2abe ax 2ae 2ax. Hieraus ergibt sich die zweite Ableitung zu f (x) = 2a 2 be ax + 4a 2 e 2ax.

12 2 ABLEITUNGEN Lösung zu Beispiel 2.4: Mit der Produkt- und der Kettenregel folgt f (x) = 2 (x a) e 2x + 2 (x a)2 e 2x 2 = e 2x (x a)(1 + x a). 2

13 3 BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN 3 Bestimmung von Grenzwerten Die folgenden Grenzwerte lassen sich nach den Regeln von l Hospital berechnen. Beispiel 3.1 lim x 0 ln(1 + x) x Lösungshinweise Lösung x Beispiel 3.2 lim x 0 x ln 1 x Lösungshinweise Lösung Beispiel 3.3 lim x 0+ xα ln(x) mit α > 0 Lösungshinweise Lösung Beispiel 3.4 lim x 0+ x2 ln( x ) mit k > 0 Lösungshinweise Lösung k Beispiel 3.5 lim x ln(sin(x)) Lösungshinweise Lösung x 0+ Beispiel 3.6 lim x ln(tan(x)) Lösungshinweise Lösung x 0+ Beispiel 3.7 x 1 lim Lösungshinweise Lösung x 1+ x 1 Beispiel 3.8 lim x 0 (1 + x) 1 x Lösungshinweise Lösung Beispiel 3.9 lim x 0 e x x 1 x(e 2x 1) Lösungshinweise Lösung Beispiel 3.10 lim x (cos( 1 ) 1) Lösungshinweise Lösung x x Beispiel 3.11 lim x 0 4 sin 3 (x) sin(x) x Lösungshinweise Lösung Beispiel 3.12 x lim x ( π arctan(2x)) Lösungshinweise Lösung 2

14 3 BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN Beispiel 3.13 lim x π 2 ( sin(x) cos 2 (x) tan2 (x)) Lösungshinweise Lösung Beispiel 3.14 lim x 0+ x2 e 1 x Lösungshinweise Lösung Beispiel 3.15 lim x 0 x2 e 1 x Lösungshinweise Lösung Beispiel 3.16 lim x 0 e 1 x aa e 1 x a für a > 0 und a 1. Lösungshinweise Lösung Beispiel 3.17 lim x 0+ e 1 x aa e 1 x a für a > 0 und a 1. Lösungshinweise Lösung

15 3 BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN Hinweise zu Beispiel 3.1: Es liegt der Fall 0 0 der Regel von l Hospital vor. Hinweise zu Beispiel 3.2: Man wende zünachst die Rechenregeln für die Logarithmusfunktion und die Summe und das Produkt von Grenzwerten an. Die dann noch fraglichen Grenzwerte berechnet man mit der Regel von l Hospital. Hinweise zu Beispiel 3.3: Formen Sie den Term zunächst so um, daß einer der beiden Fälle der Regel von l Hospital vorliegt. Hinweise zu Beispiel 3.4: Man wendet zunächst die Rechenregeln für die Logarithmusfunktion und für die Summe von Grenzwerten an. Den dann noch fraglichen Grenzwert berechnet man mit der Regel von l Hospital. Hinweise zu Beispiel 3.5: Formen Sie den Term zunächst so um, daß einer der beiden Fälle der Regel von l Hospital vorliegt. Wegen lim x 0 sin(x) x = 1 ist zu erwarten, daß sich derselbe Grenzwert wie für lim x ln(x) (vgl. Beispiel 3.3) ergibt. x 0+ Hinweise zu Beispiel 3.6: Wegen tan(x) = sin(x) kann man zunächst die Rechenregeln für die Logarithmusfunktion auf diesen Quotienten cos(x) anwenden. sin(x) = 1 ist zu erwarten, daß sich der- x x ln(x) (vgl. Beispiel 3.3) ergibt. tan(x) Wegen lim = lim x 0 x x 0 selbe Grenzwert wie für lim x 0+ Hinweise zu Beispiel 3.7: sin(x) x cos(x) = lim x 0 Es liegt der Fall 0 0 der Regel von l Hospital vor. Hinweise zu Beispiel 3.8:

16 3 BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN Es handelt sich um einen unbestimmten Ausdruck der Form 1. Die vorkommende Exponentialfunktion zur Basis (1 + x) kann zunächst in eine Exponentialfunktion zur Basis e umgeschrieben werden. Es entsteht im Exponenten ein unbestimmter Ausdruck, der sich mit der Regel von l Hospital bestimmen läßt. Hinweise zu Beispiel 3.9: Es liegt der Fall 0 0 der Regel von l Hospital vor. Hinweise zu Beispiel 3.10: Formen Sie den Term zunächst so um, daß einer der beiden Fälle der Regel von l Hospital vorliegt. Hinweise zu Beispiel 3.11: Es liegt der Fall 0 der Regel von l Hospital vor. Man kann den Grenzwert aber 0 sin(x) auch direkt bestimmen, wenn man den Grenzwert lim x 0 = 1 benutzt. x Hinweise zu Beispiel 3.12: Formen Sie den Term zunächst so um, daß einer der beiden Fälle der Regel von l Hospital vorliegt. Hinweise zu Beispiel 3.13: Es liegt der Fall 0 0 der Regel von l Hospital vor. Hinweise zu Beispiel 3.14: Achtung: Es handelt sich nicht um einen unbestimmten Ausdruck, der die Anwendung der Regel von l Hospital notwendig macht. Hinweise zu Beispiel 3.15: Wegen x 0 1 kann man die Funktion umschreiben und dann x den Grenzwert bei betrachten. Hinweise zu Beispiel 3.16: Wegen x 0 1 x Hinweise zu Beispiel 3.17: ist der Grenzwert lim e t + a t e t a zu betrachten. Wegen x 0+ 1 x e t + a ist der Grenzwert lim t e t a zu betrachten.

17 3 BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN Lösung zu Beispiel 3.1: Wegen lim x 0 ln(1+x) = ln(1) = 0 kann die Regel von l Hospital angewandt werden, d. h. es werden Zähler und Nenner getrennt abgeleitet und der entstehende Grenzwert berechnet. ln(1 + x) lim x 0 x = lim x x 1 = 1

18 3 BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN Lösung zu Beispiel 3.2: Wegen ln 1+x = 1(ln(1 + x) ln(1 x)) sind lim 1 x 2 x 0 ln(1+x) ln(1 x) und lim x x 0 x zu berechnen. Der erste Grenzwert ergibt sich nach Beispiel 3.1 zu 1, der zweite wird analog berechnet: ln(1 x) lim x 0 x = lim x 0 1 ( 1) 1 x 1 = 1. Insgesamt ist also x lim x 0 x ln 1 x = 1 (1 ( 1)) = 1. 2

19 3 BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN Lösung zu Beispiel 3.3: Wegen lim ln(x) = liegt der Fall 0 vor. x 0+ Dieser Fall wird auf den Fall zurückgeführt und anschließend werden Zähler und Nenner gemäß der Regel von l Hospital getrennt abgeleitet. Vereinfachung des Bruches nach den bekannten Bruchrechenregeln liefert dann den gesuchten Grenzwert. ln(x) lim x 0+ xα ln(x) = lim x 0+ = lim x 0+ = lim x 0+ = lim x 0+ x α x 1 ( α)x α 1 1 x α+1 α x 1 α xα = 0.

20 3 BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN Lösung zu Beispiel 3.4: Wegen ln( x k ) = ln(x) ln(k) und lim x 0+ x 2 ln(k) = 0 bleibt noch lim x 0+ x 2 ln(x) zu bestimmen. Hierfür ergibt sich der Wert 0 wie in Beispiel 3.3.

21 3 BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN Lösung zu Beispiel 3.5: Wegen lim sin(x) = 0 und lim ln(x) = liegt der Fall 0 vor. x 0+ x 0+ Dieser Fall wird auf den Fall zurückgeführt und anschließend werden Zähler und Nenner gemäß der Regel von l Hospital getrennt abgeleitet. Danach werden die Limesrechenregeln für Produkte und der spezielle bekannte x Grenzwert lim x 0+ sin(x) = 1 benutzt. ln(sin(x)) lim x ln(sin(x)) = lim x 0+ x 0+ x 1 1 = lim cos(x) sin(x) x 0+ ( 1)x 2 cos(x) = lim x 0+ ( 1)x2 sin(x) x = lim ( 1)x cos(x) x 0+ = ( 1) 0 1 lim x 0+ sin(x) x sin(x) = 0 1 = 0.

22 3 BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN Lösung zu Beispiel 3.6: Wegen tan(x) = sin(x) cos(x) gilt nach den Rechenregeln für die Logarithmusfunktion x ln(tan(x)) = x ln(sin(x)) x ln(cos(x)). Aus cos(0) = 1 und ln(1) = 0 folgt dann lim x ln(tan(x)) = lim x ln(sin(x)). x 0+ x 0+ Damit ist dieses Beispiel auf Beispiel 3.5 zurückgeführt. Natürlich kann man auch die Regel von l Hospital direkt anwenden.

23 3 BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN Lösung zu Beispiel 3.7: Da es sich um einen unbestimmten Ausdruck der Form 0 0 die Regel von l Hospital angewandt werden: handelt, kann direkt x 1 lim = lim x 1 x 1 x 1 = lim x x 1 2 x 1 x 1 x = 0.

24 3 BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN Lösung zu Beispiel 3.8: Wegen (1 + x) 1 x = e 1 x ln(x) und der Stetigkeit der Exponentialfunktion ist lim x 0 (1 + x) 1 x = e lim x 0 womit sich aus Beispiel 3.1 der Wert e 1 = e ergibt. ln(1+x) x,

25 3 BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN Lösung zu Beispiel 3.9: Es handelt sich um einen unbestimmten Ausdruck der Form 0. Nach der Regel 0 von l Hospital (zweimal anwenden!) gilt e x x 1 lim x 0 x(e 2x 1) = lim x 0 e x 1 = lim x 0 = (e 2x 1) + x(2e 2x ) e x 2e 2x + 2e 2x + 2x(2e 2x ) = 1 4.

26 3 BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN Lösung zu Beispiel 3.10: Wegen x 1 0+ ist also der Grenzwert lim x y 0+ cos(y) 1 y Hierfür kann direkt die Regel von l Hospital angewandt werden: zu berechnen. lim x (cos( 1 cos(y) 1 1) = lim x x y 0+ y = lim y 0+ sin(y) 1 = 0.

27 3 BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN Lösung zu Beispiel 3.11: Wegen 4 sin 3 (x) sin(x) x und sin(x) lim = 1 x 0 x folgt aus der Produktregel für Grenzwerte sofort 4 sin 3 (x) sin(x) lim x 0 x = sin(x) x (4 sin2 (x) 1) = 1. Man kann natürlich auch die Regel von l Hospital anwenden, da der Fall 0 0 vorliegt.

28 3 BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN Lösung zu Beispiel 3.12: Es handelt sich um einen unbestimmten Ausdruck der Form 0. Formt man gemäß x( π π 2 arctan(2x)) = arctan(2x) 2 x 1 um, so liegt der Fall 0 0 vor und die Regel von l Hospital kann angewandt werden: lim x(π arctan(2x)) = lim x 2 x 2 1+4x 2 x 2 2x 2 = x lim 1 + 4x = = 1 2.

29 3 BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN Lösung zu Beispiel 3.13: Es ist sin(x) cos 2 (x) tan2 (x) = sin(x) sin2 (x). cos 2 (x) Daher liegt ein unbestimmter Ausdruck der Form 0 vor und der Grenzwert kann 0 mit der Regel von l Hospital berechnet werden. lim ( sin(x) x π 2 cos 2 (x) tan2 (x)) = lim x π 2 cos(x) 2 sin(x) cos(x) 2 cos(x) sin(x) 1 = lim ( 2 sin(x) + 1) = = 1 2. x π 2

30 3 BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN Lösung zu Beispiel 3.14: Schreibt man die Funktion gemäß x 2 e 1 x = e x 1 x 2 = e x 1 (x 1 ) 2 um und beachtet x 0+ x 1 e, so ist der Grenzwert lim t t zu t 2 berechnen. Da dieser den Wert 0 hat, gilt dasselbe für den gesuchten Grenzwert.

31 3 BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN Lösung zu Beispiel 3.15: Es handelt sich um einen unbestimmten Ausdruck der Form 0. Schreibt man die Funktion gemäß x 2 e 1 e x 1 x = = e x 1 x 2 ( x 1 ) 2 um und beachtet x 0 x 1 e, so ist der Grenzwert lim t t zu t 2 berechnen. Da dieser den Wert hat, gilt dasselbe für den gesuchten Grenzwert.

32 3 BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN Lösung zu Beispiel 3.16: Wegen x 0 1 e t + a ist der Grenzwert lim x x e t a Wegen lim t et = 0 gilt daher zu betrachten. e 1 x + a lim x 0 e 1 x a = a a = 1.

33 3 BESTIMMUNG VON GRENZWERTEN Lösung zu Beispiel 3.17: Wegen x 0+ 1 e t + a ist der Grenzwert lim x t e t a man durch e t a > 0 und beachtet lim = 0, so erhält man t et e 1 x + a lim x 0+ e 1 x a = lim 1 + a e t x 1 a = 1. e t zu betrachten. Kürzt

34 4 BESTIMMUNG VON STAMMFUNKTIONEN 4 Bestimmung von Stammfunktionen Beispiel 4.1 Beispiel 4.2 ln(x 2 ) x 2 dx Lösungshinweise Lösung e + sin(2x)dx Lösungshinweise Lösung Beispiel x 2 + x2 dx Lösungshinweise Lösung x x2 Beispiel 4.4 Beispiel 4.5 Beispiel 4.6 e x a ex 1 dx für a > 0 Lösungshinweise Lösung ln 2 (ax) ln((ax) 2 )dx für a > 0 Lösungshinweise Lösung ( x 2 + 1)e 1 2 x2 +2x 1 dx Lösungshinweise Lösung Beispiel 4.7 Beispiel 4.8 x e 2x dx Lösungshinweise Lösung e 1 2x cos(2x)dx Lösungshinweise Lösung Beispiel 4.9 Beispiel 4.10 e 2x dx Lösungshinweise Lösung e 3 x + ex 1 x + x x dx Lösungshinweise Lösung Beispiel 4.11 x 2 dx Lösungshinweise Lösung (x a) 2 Beispiel cos( 2 x)dx Lösungshinweise Lösung Beispiel x a + 1dx für a > 0. Lösungshinweise Lösung Beispiel 4.14 a(1 x)dx für a > 0. Lösungshinweise Lösung

35 4 BESTIMMUNG VON STAMMFUNKTIONEN Hinweise zu Beispiel 4.1: Wegen ln(x 2 ) = 2 ln(x) ist eine Stammfunktion von ln(x) x 2 zu suchen. Diese kann man mittels partieller Integration finden. Hinweise zu Beispiel 4.2: Wegen der Summenregeln für Integrale können beide Summanden getrennt integriert werden. Der erste Integrand ist konstant. Hinweise zu Beispiel 4.3: Man zerlege den Integranden soweit wie möglich in einzelne Summanden. Eine explizite Partialbruchzerlegung ist dann nicht mehr nötig! Hinweise zu Beispiel 4.4: Wenden Sie auf den Integranden das Additionstheorem für die Exponentialfunktion an und kürzen Sie durch e x. Hinweise zu Beispiel 4.5: Wenden Sie die Summenregel für Integrale an. Das erste Integral läßt sich durch partielle Integration lösen. Auf den zweiten Integranden kann man die Rechenregeln der Logarithmusfunktion anwenden. Hinweise zu Beispiel 4.6: Substituieren Sie t = 1 2 x2 + 2x 1. Hinweise zu Beispiel 4.7: Zerlegen Sie das Integral mit Hilfe der Summenregel und wenden Sie auf das erste Teilintegral die partielle Integration an. Hinweise zu Beispiel 4.8: Wenden Sie das Additionstheorem für die Exponentialfunktion an und substituieren Sie t = 2x. Hinweise zu Beispiel 4.9: Substituieren Sie t = e x. Hinweise zu Beispiel 4.10:

36 4 BESTIMMUNG VON STAMMFUNKTIONEN Substituieren Sie t = x. Hinweise zu Beispiel 4.11: Führen Sie zunächst die lineare Substitution t = x a durch. Hinweise zu Beispiel 4.12: Substituieren Sie t = 2 x. Hinweise zu Beispiel 4.13: Wegen x a + 1 = 1 a x + a ist eigentlich nur x + a zu integrieren. Hinweise zu Beispiel 4.14: Wegen a(1 x) = a (1 x) ist eigentlich nur 1 x zu integrieren.

37 4 BESTIMMUNG VON STAMMFUNKTIONEN Lösung zu Beispiel 4.1: Es ist zunächst ln(x 2 ) dx = 2 ln(x) x 2 dx. x 2 Mit f(x) = ln(x) und g (x) = x 2 gilt f (x) = x 1 und g(x) = x 1. Partielle Integration liefert dann ln(x) x 2 dx = x 1 ln(x) + x 1 x 1 dx = x 1 ln(x) x 1 + c = ln(x) c. x

38 4 BESTIMMUNG VON STAMMFUNKTIONEN Lösung zu Beispiel 4.2: Nach der Summenregel für Integrale sind edx und sin(2x)dx zu berechnen. Es ist aber edx = ex + c und sin(2x)dx = 1 cos(x) + c. Also ergibt sich 2 e + sin(2x)dx = ex 1 cos(x) + c. 2

39 4 BESTIMMUNG VON STAMMFUNKTIONEN Lösung zu Beispiel 4.3: Der Integrand läßt sich umformen gemäß Also gilt 1 x 2 x 2 + x2 1 + x 2 = 1 x x x 2 = 1 x x 2. 1 x 2 x 2 + x2 1 + x 2 dx = 1 x x 2 dx = 1 arctan(x) + c. x

40 4 BESTIMMUNG VON STAMMFUNKTIONEN Lösung zu Beispiel 4.4: Der Integrand läßt sich umformen gemäß Also gilt e x a e x 1 = e ex a e x = e (1 ae x ). e x a e x 1 dx = e(x + ae x ) + c.

41 4 BESTIMMUNG VON STAMMFUNKTIONEN Lösung zu Beispiel 4.5: Mit f(x) = ln(ax) und g (x) = ln(ax) gilt f (x) = 1 und g(x) = x ln(ax) x. x Damit ist einerseits ln((ax) 2 )dx = 2 ln(ax)dx = 2x ln(ax) + 2x + c. Andererseits ergibt sich durch partielle Integration ln 2 (ax)dx = x ln 2 (ax) x ln(ax) 1 (x ln(ax) x)dx x = x ln 2 (ax) x ln(ax) (x ln(ax) x x) + c = x ln 2 (ax) 2x ln(ax) + 2x + c. Insgesamt hat man also ln 2 (ax) ln((ax) 2 )dx = x ln 2 (ax) 4x ln(ax) + 4x + c.

42 4 BESTIMMUNG VON STAMMFUNKTIONEN Lösung zu Beispiel 4.6: Für die Substitution t = 1 2 x2 + 2x 1 gilt dt = (x + 2)dx und folglich ( x 2 + 1)e 1 2 x2 +2x 1 dx = 1 e t dt = e 1 2 x2 +2x 1 + c.

43 4 BESTIMMUNG VON STAMMFUNKTIONEN Lösung zu Beispiel 4.7: Es ist nach der Summenregel x dx = e 2x Für das zweite Integral folgt sofort x 2 e 2x dx + e 2x dx. e 2x dx = 1 2 e 2x + c und das erste Integral läßt sich mittels partieller Integration bestimmen.

44 4 BESTIMMUNG VON STAMMFUNKTIONEN Lösung zu Beispiel 4.8: Für die Substitution t = 2x ist dt = 2dx und folglich e 1 2x cos(2x)dx = e e 2x cos(2x)dx = e 2 e t cos(t)dt. Dieses Integral ist mittels partieller Integration zu lösen. Es ergibt sich insgesamt e 1 2x cos(2x)dx = e 4 (cos(2x) sin(2x))e 2x + c.

45 4 BESTIMMUNG VON STAMMFUNKTIONEN Lösung zu Beispiel 4.9: Für die Substitution t = e x ist dt = e x dx und folglich e 2x e 3x + e dx = x t t 3 + t dt = 1 t dt = arctan(t) + c = arctan(ex ) + c.

46 4 BESTIMMUNG VON STAMMFUNKTIONEN Lösung zu Beispiel 4.10: Für die Substitution t = x, also x = t 2, ist dx = 2tdt und folglich 1 t dx = 2 x + x x t + t dt 3 1 = t dt 2 = 2 arctan(t) + c = 2 arctan( x) + c.

47 4 BESTIMMUNG VON STAMMFUNKTIONEN Lösung zu Beispiel 4.11: Für die lineare Substitution t = x a, also x = t + a, gilt dx = dt und folglich x 2 (t + a) 2 (x a) dx = dt. 2 t 2 Dieses Integral läßt sich aber nach dem Ausmultiplizieren des Zählers mittels der Summenregel zerlegen und berechnen t 2 + 2at + a 2 dt = t 2 Damit ergibt sich das gesuchte Integral zu 1dt + 2a 1 t dt + a2 1 t 2 dt = t + 2a ln( t ) a2 1 t + c. x 2 a2 dx = x a + 2a ln( x a ) + c = x + 2a ln( x a ) a2 (x a) 2 x a x a + c.

48 4 BESTIMMUNG VON STAMMFUNKTIONEN Lösung zu Beispiel 4.12: Für die Substitution t = 2 x, also x = 2 t 2, gilt dx = 2tdt und folglich cos( 2 x)dx = 2 cos(t)2tdt = cos(t)tdt. Dieses Integral ist durch partielle Integration zu lösen. Mit f(t) = t und g (t) = cos(t) ist f (t) = 1 und g(t) = sin(t), also cos(t)tdt = t sin(t) 1 sin(t)dt = t sin(t) + cos(t) + c. Damit ist insgesamt 1 2 cos( 2 x)dx = 2 x sin( 2 x) cos( 2 x) + c.

49 4 BESTIMMUNG VON STAMMFUNKTIONEN Lösung zu Beispiel 4.13: Wegen 1 x a + 1 = 1 1 a x + a gilt x 1 1 a + 1dx = x x + adx. a Nun ist aber x + adx = (x + a) 1 2 dx = 2 3 (x + a) c. Insgesamt ergibt sich also 1 x a + 1dx = x 2 3 a (x + a) c.

50 4 BESTIMMUNG VON STAMMFUNKTIONEN Lösung zu Beispiel 4.14: Wegen a(1 x) = a 1 x = a(1 x) 1 2 gilt a(1 x)dx = a( 2 3 )(1 x) 3 2 = 2 a 3 (1 x) 1 x.

51 5 PARTIALBRUCHZERLEGUNG 5 Partialbruchzerlegung Die folgenden Stammfunktionen rationaler Funktionen sind mittels Partialbruchzerlegung zu ermitteln. Beispiel 5.1 x 3 + 5x x 3 + 4x 2 dx Lösungshinweise Lösung Beispiel 5.2 x dx Lösungshinweise Lösung (x 2 4x + 5) 2 Beispiel 5.3 Beispiel 5.4 3x dx Lösungshinweise Lösung (x 2 1) 3 x dx Lösungshinweise Lösung (x 2 4) 2

52 5 PARTIALBRUCHZERLEGUNG Hinweise zu Beispiel 5.1: Da Zähler und Nenner denselben Grad haben, ist zunächst eine Polynomdivision durchzuführen. Der Nenner läßt sich gemäß x 3 + 4x 2 = x 2 (x + 4) faktorisieren. Also ist x 1 = 0 doppelte und x 2 = 4 einfache Nullstelle. Hinweise zu Beispiel 5.2: Da der Zähler den Grad 3 und der Nenner den Grad 4 hat, kann unmittelbar die Partialbruchzerlegung durchgeführt werden. Da der Nenner keine relle Nullstelle besitzt, liegt er bereits in faktorisierter Form vor. Der quadratische Ausdruck tritt in zweiter Potenz auf! Hinweise zu Beispiel 5.3: Da der Zähler den Grad 2 und der Nenner den Grad 6 hat, kann unmittelbar die Partialbruchzerlegung durchgeführt werden. Der Nenner läßt sich noch gemäß x 2 1 = (x + 1)(x 1) in Linearfaktoren zerlegen. Da beide Linearfaktoren in dritter Potenz auftreten, sind sie in der Partialbruchzerlegung entsprechend oft zu berücksichtigen. Hinweise zu Beispiel 5.4: Da der Zähler den Grad 1 und der Nenner den Grad 4 hat, kann unmittelbar die Partialbruchzerlegung durchgeführt werden. Der Nenner läßt sich noch gemäß x 2 4 = (x + 2)(x 2) in Linearfaktoren zerlegen. Da beide Linearfaktoren in zweiter Potenz auftreten, sind sie in der Partialbruchzerlegung entsprechend oft zu berücksichtigen.

53 5 PARTIALBRUCHZERLEGUNG Lösung zu Beispiel 5.1: Da bei der vorliegenden gebrochen rationalen Funktion der Zähler denselben Grad hat wie der Nenner (nämlich 3), ist zunächst eine Polynomdivision durchzuführen: Daher gilt x 3 + 5x : x 3 + 4x 2 = 1 + x2 + 8 x 3 + 4x 2. x 3 + 5x dx = x 3 + 4x 2 1dx + x x 3 + 4x 2 dx. Wegen 1dx = x + c ist noch das zweite Integral mittels Partialbruchzerlegung zu bestimmen. Der Nenner läßt sich gemäß x 3 + 4x 2 = x 2 (x + 4) faktoriesieren. Also ist x 1 = 0 doppelte und x 1 = 4 einfache Nullstelle. Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung ist daher x x 3 + 4x = a 2 x + b x + c 2 x + 4. Multiplikation mit dem Hauptnenner x 3 + 4x 2 liefert x = ax(x + 4) + b(x + 4) + cx 2 = (a + c)x 2 + (4a + b)x + 4b. Der Koeffizientenvergleich der beiden Polynome liefert das lineare Gleichungssystem für die unbekannten Koeffizienten der Partialbruchzerlegung a + c = 1, 4a + b = 0, 4b = 8. Die letzte Gleichung zeigt b = 2. Aus der zweiten Gleichung folgt dann a = 2 4 = 1 2 und damit aus der ersten Gleichung c = = 3 2. Also lautet die Partialbruchzerlegung des Integranden x x 3 + 4x = x + 2 x x + 4.

54 5 PARTIALBRUCHZERLEGUNG Hieraus ergibt sich x x 3 + 4x dx = ln( x ) 4 1 x + 3 ln( x + 4 ) + c. 2 Insgesamt hat man x 3 + 5x dx = x 1 x 3 + 4x 2 2 ln( x ) 4 1 x + 3 ln( x + 4 ) + c. 2

55 5 PARTIALBRUCHZERLEGUNG Lösung zu Beispiel 5.2: Da der Grad des Zählers echt kleiner ist als der Grad des Nenners, kann unmittelbar die Partialbruchzerlegung durchgeführt werden. Der quadratische Ausdruck im Nenner hat keine reelle Loe ist als der Grad des Nenners, kann unmittelbar die Partialbruchzerlegung durchgeführt werden. Der quadratische Ausdruck im Nenner hat keine reelle Lösung, er kann also nicht weiter faktorisiert werden. Da er aber doppelt vorkommt, muß er bei der Partialbruchzerlegung entsprechend berücksichtigt werden: x (x 2 4x + 5) = ax + b 2 x 2 4x cx + d (x 2 4x + 5). 2 Nach Multiplikation mit dem Hauptnenner (x 2 4x + 5) 2 ergibt sich hieraus x 3 +1 = (ax+b)(x 2 4x+5)+cx+d = ax 3 +(b 4a)x 2 +(5a 4b+c)x+(5b+d). Der Koeffizientenvergleich beider Polynome führt auf das lineare Gleichungssystem a = 1, b 4a = 0, 5a 4b + c = 0, 5b + d = 1. Hierfür erhält man direkt die Lösung a = 1, b = 4a = 4, c = 5a + 4b = 11, d = 1 5b = 19. Also lautet die Partialbruchzerlegung des Integranden Hieraus ergibt sich x (x 2 4x + 5) = x x x 2 4x + 5 (x 2 4x + 5). 2 x (x 2 4x + 5) dx = 2 x + 4 x 2 4x + 5 dx + 11x 19 (x 2 4x + 5) 2 dx. Die beiden Integrale können dann aus der Formelsammlung abgelesen werden.

56 5 PARTIALBRUCHZERLEGUNG Lösung zu Beispiel 5.3: Da der Grad des Zählers echt kleiner ist als der Grad des Nenners, kann unmittelbar die Partialbruchzerlegung durchgeführt werden. Der Nenner läßt sich wegen x 2 1 = (x 1)(x + 1) vollständig in Linearfaktoren zerlegen: (x 2 1) 3 = (x 1) 3 (x + 1) 3. Daher lautet der Ansatz für die Partialbruchzerlegung 3x (x 1) 3 (x + 1) = a 3 x 1 + b (x 1) + c 2 (x 1) + d 3 x e (x + 1) + f 2 (x + 1). 3 Multiplikation mit dem Hauptnenner liefert 3x = a(x 1) 2 (x + 1) 3 + b(x 1)(x + 1) 3 + c(x + 1) 3 +d(x + 1) 2 (x 1) 3 + e(x + 1)(x 1) 3 + f(x 1) 3. Nun ergibt Einsetzen von x = 1 sofort 4 = 8c, also c = 1, und Einsetzen von 2 x = 1 sofort 4 = 8f, also f = 1. 2 Berücksichtigt man jeweils diese Werte und setzt nacheinander x = 0, x = 2, x = 2 und x = 3 ein, so erhält man das folgende lineare Gleichungssystem für a, b, d und e: 0 = a b d e 0 = 27a + 27b + 9d + 3e 0 = 9a + 3b 27d + 27e 0 = 256a + 128b + 128d + 32e. Diese Gleichungssystem ist homogen und hat daher die Lösung a = b = d = e = 0. Daraus erhält man die folgende Partialbruchzerlegung des Integranden: 3x (x 2 1) = ( 1 (x 1) 1 3 (x + 1) ). 3

57 5 PARTIALBRUCHZERLEGUNG (Übrigens kann man diese Zerlegung schnell durch Ausmultiplikation zur Probe bestätigen!) Die Berechnung des unbestimmten Integrals liefert schließlich 3x (x 2 1) dx = ( (x 1) (x + 1) ) + c. 2

58 5 PARTIALBRUCHZERLEGUNG Lösung zu Beispiel 5.4: Da der Grad des Zählers echt kleiner ist als der Grad des Nenners, kann unmittelbar die Partialbruchzerlegung durchgeführt werden. Der Nenner läßt sich wegen x 2 4 = (x 2)(x + 2) vollständig in Linearfaktoren zerlegen: (x 2 4) 2 = (x 2) 2 (x + 2) 2. Daher lautet der Ansatz für die Partialbruchzerlegung x (x 2) 2 (x + 2) = a 2 x 2 + b (x 2) + c 2 (x + 2) + d (x + 2). 2 Multiplikation mit dem Hauptnenner liefert x = a(x + 2)(x 2) 2 + b(x 2) 2 + c(x 2)(x + 2) 2 + d(x + 2) 2. Nun ergibt Einsetzen von x = 2 sofort 2 = 16d, also d = 1, und Einsetzen von 8 x = 2 sofort 2 = 16b, also b = 1. Berücksichtigt man dies und setzt x = 0 8 ein, so erhält man 0 = 8a 1 8c + 1, woraus a = c folgt. Setzt man nun noch 2 2 x = 1 ein, so erhält man 1 = 3a 1 9a + 9 = 1 6a, woraus a = c = 0 folgt. 8 8 Daher lautet die Partialbruchzerlegung des Integranden x (x 2 4) 2 = 1 8 ( 1 (x 2) 2 1 (x + 2) 2 ), was man leicht durch Ausmultiplizieren bestätigen kann. Wegen (x + a) 2 dx = (x + a) 1 + c erhält man aus der Partialbruchzerlegung x (x 2 4) dx = ( 1 x 2 1 x + 2 ) + c = x c. (Übrigens kann man dasselbe Ergebnis erheblich schneller mittels Substitution gemäß t = x 2 4 erhalten.)

59 6 BESTIMMTE INTEGRALE 6 Bestimmte Integrale Beispiel 6.1 ln(2a) ln(a) e x a dx für a > 0 Lösungshinweise Lösung ex 1 Beispiel 6.2 Berechnen Sie die Fläche zwischen der Funktion und der x-achse im Intervall [ a, 3a]. f(x) = 1 x a + 1 a > 0 Lösungshinweise Lösung Beispiel 6.3 Die Fläche A werde von den Funktionen f(x) = 2 ax und g(x) = a(1 x) sowie der x-achse begrenzt. Berechnen Sie den Fächeninhalt. Lösungshinweise Lösung Beispiel 6.4 Berechnen Sie die Fläche zwischen der Funktion und der x-achse im Intervall [ 1 e, e]. f(x) = ln( 5 x ) x Lösungshinweise Lösung

60 6 BESTIMMTE INTEGRALE Hinweise zu Beispiel 6.1: Ermitteln Sie zunächst eine Stammfunktion von f(x) = ex a e x 1 (vgl. Beispiel 4.4). Hinweise zu Beispiel 6.2: Ermitteln Sie zunächst eine Stammfunktion von f(x). Bei der Berechnung der Fläche ist zu berücksichtigen, daß f(x) im angegebenen Intervall eine Nullstelle besitzt. Hinweise zu Beispiel 6.3: Berechnen Sie zunächst den Schnittpunkt der beiden Funktionen und anschließend zwei bestimmte Integrale. Hinweise zu Beispiel 6.4: Berechnen Sie zunächst die Nullstelle der Funktion in dem und anschließend zwei bestimmte Integrale. Beachten Sie dabei ln( 5 x) = 1 5 ln(x).

61 6 BESTIMMTE INTEGRALE Lösung zu Beispiel 6.1: Gemäß Beispiel 4.4 ist F (x) = e(x + ae x ) + c eine Stammfunktion des Integranden. Damit ergibt sich das gesuchte bestimmte Integral zu ln(2a) ln(a) e x a e x 1 dx = e (ln(2a) + ae ln(2a) ln(a) ae ln(a) ) = e (ln(2) + ln(a) ln(a) + a( 1 2a 1 a )) = e (ln(2) ) = e(ln(2) 1 2 ).

62 6 BESTIMMTE INTEGRALE Lösung zu Beispiel 6.2: Nach Beispiel 4.13 ist F (x) = x 2 3 a (x + a) 3 2 eine Stammfunktion von f(x). Weiterhin besitzt f(x) im Intervall [ a, 3a] genau eine Nullstelle: x x 1 a + 1 = 0 1 = a + 1 = 1 = x a = x a x = 0. Für x [ a, 0] gilt f(x) 0, für x [0, 3a] gilt f(x) 0. Daher ergibt sich der gesuchte Flächeninhalt gemäß A = 0 a f(x)dx + 3a 0 f(x)dx = (F (0) F ( a)) + ( F (3a) ( F (0)). Nun gilt F (0) = 2a, F ( a) = a und F (3a) = 3a 16 a. Hieraus erhält man 3 3 schließlich Anmerkung: Dagegen ist A = a( ) = 2a. 3a a f(x)dx = F (3a) F ( a) = 4 3 a.

63 6 BESTIMMTE INTEGRALE Lösung zu Beispiel 6.3: Es ist f(x) = 2 a x definiert für x 0 und g(x) = a 1 x für x 1. Beide Funktionen sind in ihrem jeweiligen Definitionsbereich nichtnegativ. Für ihren Schnittpunkt ergibt sich 2 x = 1 x = 4x = 1 x = x = 1 5. Im Intervall [0, 1 gilt f(x) g(x), im Intervall [ 1, 1] dagegen g(x) f(x). Daher 5 5 erhält man den gesuchten Flächeninhalt aus A = f(x)dx g(x)dx. Eine Stammfunktion von f(x) = 2 a x ist F (x) = 2 a 2 3 x 3 2, eine Stammfunktion von g(x) ist (vgl. Beispiel 4.14) Also gilt G(x) = 2 a 3 (1 x) 1 x. A = F ( 1 5 ) F (0) + G(0) G(1) = (a)( 4 ( ) ) = 2 a 3 ( ).

64 6 BESTIMMTE INTEGRALE Lösung zu Beispiel 6.4: Es ist ln( 5 x) = 1 ln(x) und ln(x) hat die einzige Nullstelle bei x = 1 [ 1, e]. 5 e Für x < 1 ist ln(x) negativ, für x > 1 positiv. x Daher ergibt sich die gesuchte Fläche gemäß A = 1 5 ( 1 1 e ln(x) e x dx + 1 ln(x) x dx). Nun ist aber F (x) = 1 2 (ln(x))2 eine Stammfunktion von ln(x), wie man durch x Ableiten sofort betätigt. Daher ist A = 1 5 (F (1 e ) F (1) + F (e) F (1)) = 1 10 (( 1) ) = 1 5.